Динамика СПУКА и управление МКТС и ВКА в атмосфере

, (94)

где . Условия применения формул (93) и (94) для вычисления дальности кабрирования следуют из раскрытия коэффициента в неравенстве: .

Приходим к квадратному неравенству:

.

Из решения соответствующего квадратного уравнения получаем:

.(95)

Если величина аэродинамического качества превышает значение, вычисленное по формуле (95), то расчёт дальности кабрирования проводится по формуле (93). В противном случае вычисление проводится по формуле (94). Пример Пусть ВКА с баллистическим параметром 0,5•10?⁴ м²/кг совершает горизонтальный полёт на высоте 10 км, на которой стандартная атмосфера имеет плотность 0,4135 кг/м По формуле (95) получаем оценку: 10,748. Определим зависимость аэродинамического качества от подъёмной силы. По определению подъёмной силы запишем:

.

После очевидных преобразований получаем:

.(96)

Пусть ВКА имеет массу 150 кг и совершает полёт со скоростью 3000 м/. Величина подъёмной силы составляет: 279,1 кН.

Вычислим значение поперечной перегрузки:

178,9. Таким образом, для ВКА с аэродинамическим качеством =10,748 поперечная перегрузка может достигать значения 178,9. Это значит, что на практике при расчёте дальности кабрирования возникает необходимость использовать обе полученные формулы.

Высота кабрирования. Запишем третье уравнение системы (78) в виде:

.

.



В полученное уравнение подставим выражение для плотности (84):

.(97)

Высота на траектории восходящего кабрирования монотонно возрастает, и её принимаем за переменную интегрирования. Интегрированием (97) получаем соотношение для вычисления текущей высоты кабрирования в зависимости от угла наклона траектории:

.(98)

По окончании кабрирования высота определяется по формуле:

.(99)

Длительность кабрирования. В уравнение (89) подставим выражения для плотности (84) и скорости кабрирования (85):

.(100)

Решение уравнения (100) запишем через интеграл с переменным верхним пределом:



,(101)

который не выражается в элементарных функциях. Вычислим его приближённо, заменив экспоненту функциональным рядом, в котором оставим только линейный член разложения: .

Решение для времени кабрирования выражается через два интеграла:

,(102)

из которых первый уже вычислен при определении дальности кабрирования. Второй интеграл в (102) вычислим приближённо, используя соотношение . Преобразуем второй интеграл к виду:

.

Вычисление второго интеграла даёт:

.



Учитывая принятое допущение, получаем выражение для второго интеграла в соотношении для времени (102):

.(103)

Длительность кабрирования при большом . При большом коэффициенте , , т.е. при большой величине с учётом соотношения (93) получаем выражение для приближённого вычисления продолжительности кабрирования:

.(104)

Длительность кабрирования при малом . При малом , , т.е. при малой величине получаем следующее выражение для определения полного времени кабрирования:

.(105)



где . Таким образом, получены аналитические выражения для кинематических параметров поступательного движения , , , , , на типовых траектории кабрирования в функции угла наклона вектора скорости . Выразим решение для дальности кабрирования через плотность . Разделим обе части четвёртого уравнения системы (78) на соответствующие части третьего уравнения и с учётом соотношения (74) приходим к уравнению:

.

С учётом выражения (83) получаем уравнение с разделёнными переменными:

,(106)

где при выражении через принят знак минус в соответствии с условием для нисходящего кабрирования: .

Поскольку дальность возрастает, то её величину примем в качестве переменной интегрирования:



.(107)

После преобразований и введения обозначений приходим к интегралам:

,(108)

где ; .

Вычислим первый интеграл:

.(109)

Для этого запишем:

.



Получили: . Приходим к решению для первого интеграла в функции текущей плотности атмосферы: .(110)

Далее запишем: . Поскольку значения угла наклона траектории кабрирования изменяются в диапазоне , то получаем:

.(111)

Дальность кабрирования при большой величине . Вычислим второй интеграл в формуле для дальности кабрирования (108). Для этого оценим знак коэффициента . Предположим, что :

.



Решим квадратное неравенство: .

Решение соответствующего квадратного равенства имеет вид:

.(112)

Выражение (112) означает, что условие справедливо при значении , большем значения, вычисленного по формуле (112). Оценка по формуле (112) показывает: 11,4. Необходимо, чтобы ВКА обладал большим качеством, чем полученное значение 11,4. Тогда справедливы ниже приведённые выкладки при вычислении второго интеграла в (108):

.

По окончании кабрирования дальность определяется выражением:

.(113)



По окончании кабрирования с учётом (84) дальность траектории определяется выражением:

.(114)

Формулы (113), (114) справедливы при достаточно большом значении , определяемом формулой (112). Дальность кабрирования при малой величине . Вычисление интегралов в выражении (108) при малом аэродинамическом качестве даёт следующее выражение для определения дальности кабрирования:

,(115) где и преобразование: .

С учётом (82) получаем более простое выражение для определения величины дальности кабрирования:

,(116)

в котором, кроме плотности атмосферы , присутствует угол наклона траектории кабрирования . Высота траектории кабрирования. Текущая высота кабрирования определяется из уравнения . Величина плотности возрастает, и она используется в качестве переменной интегрирования. Выражение для текущей высоты имеет вид:

.(117)

По окончании кабрирования высота траектории определяется по формуле:

.(118)

Таким образом, получены аналитические выражения для определения текущих параметров кабрирования в функции плотности атмосферы. Когда обе переменные одного дифференциального уравнения с разделёнными переменными убывают, оно решается методом обратного интегрирования, т.е. на отрезке, противоположном отрезку движения. Условие применимости формулы для дальности кабрирования (114), следует из неравенства и записывается в виде: . Если ВКА находился на высоте 10 км, то получаем следующую оценку :

10,506.

Соответственно условием применимости формул (115), (116) является противоположное неравенство: . Поскольку величина аэродинамического качества пропорциональна величине подъёмной силы, то полученное ограничение определяет требование, предъявляемое к эффективности рулевых органов. ВКА должен обладать достаточной эффективностью управления, которая на практике позволит применить для расчёта дальности кабрирования формулы только одного типа (114).

6. Траектории пикирования Пикированием называется полёт в атмосфере с подъёмной силой направленной вниз, . Если угол наклона вектора скорости принимает значения из диапазона , пикирование называется нисходящим, если из диапазона , то восходящим. Угол наклона траектории пикирования. Второе уравнение системы (78) при пикировании, , принимает вид: .(119)

Из уравнения (119) выразим дифференциал времени:

.(120)

С учётом уравнения для высоты из системы (78) и дифференциального соотношения (74) приходим к дифференциальному уравнению:

.

Разделение переменных приводит к уравнению: . При восходящем пикировании величина монотонно возрастает и её выбираем в качестве переменной интегрирования на отрезке . При нисходящем пикировании монотонно возрастает величина плотности и её принимаем за переменную интегрирования. В обоих случаях приходим к одному выражению для косинуса текущего угла наклона траектории пикирования:



,(121)

откуда записываем выражение для текущей плотности атмосферы на траектории пикирования:

.(122)

В конце пикирования получаем выражение для косинуса конечного угла наклона траектории: .(123) Скорость пикирования. Из первых двух уравнений системы (78) при получаем: . Траектория пикирования начинается в момент и заканчивается моментом , обе величины и убывают. Интегрирование ведём в направлении, обратном движению, используя в качестве переменной интегрирования одну из двух величин или : .

Вычисление интегралов даёт выражение для текущей скорости: .

В конце отрезка интегрирования, т.е. в начале отрезка движения, получаем: . Выразив из последнего соотношения величину и подставив её в предпоследнее выражение, получим формулу для текущей скорости пикирования:



.(124)

В конце пикирования получаем формулу для определения скорости:

.(125)

Дальность пикирования по переменной . Уравнение для дальности пикирования имеет вид: .

Подстановка выражений для дифференциала времени (120) и плотности (122) приводит к уравнению с разделёнными переменными:

,(126)

где . После вычисления первого интеграла получаем:

.(127)

Вычисление интеграла в правой части выражения (127) зависит от величины коэффициента , которая определяется значением . Дальность пикирования при большом . После вычисления интеграла в правой части (127) получаем формулу для вычисления дальности пикирования при достаточно большой эффективности управления:



,(128)

где , . Дальность пикирования при малом . После вычисления интеграла в правой части (127) получаем формулу для определения дальности пикирования при достаточно малой эффективности управления:

,

(129)

где , . Выражения для дальности пикирования (128), (129) получены и записаны через переменную . Желание выразить величину дальности через плотность выполняется подстановкой переменной в указанные формулы или выводом соответствующих формул, как это сделано для выражений дальности кабрирования (114) и (11). Условие применимости формулы (128) для вычисления дальности пикирования определяется неравенством и записывается в виде:

.(130)

Соответственно условием применимости формулы (129) является неравенство, противоположное неравенству (130). По формуле (139) получаем оценку:

5,253,

из которой следует, что при выполнении пикирования требование к эффективности управления ВКА ослабляется по сравнению с выполнением кабрирования.

Высота траектории пикирования. Определение текущей высоты пикирования, подобно тому, как это сделано для кабрирования, приводит к выражению:

.(131)

По окончании пикирования высота определяется формулой:

.(132)

Длительность пикирования. В уравнение (120) подставим выражения для плотности (122) и скорости (124):

.(133)

Интеграл в правой части уравнения (133) не выражается через элементарные функции. Вычислим его приближённо, разложив экспоненту в ряд и оставив только линейный член разложения: .



Приходим к уравнению:

,(134)

где .

Первый интеграл в выражении (134) вычислен при определении дальности, для вычисления второго интеграла косинус угла наклона траектории пикирования разложим в ряд: .

Второй интеграл принимает вид:

.

Дальнейшие вычисления дают:

.

Окончательно получаем значение второго интеграла из выражения (134):

.(135)

Длительность пикирования при большом . При получаем выражение для приближённого вычисления полного времени пикирования:



,(136)

где . Длительность пикирования при малом . При полное время пикирования приближённо вычисляется из выражения:

,(137)

где . Как показывают оценки, границу разделения области применения соответствующих формул для точного расчёта дальности и приближённого расчёта времени на типовых отрезках траекторий кабрирования и пикирования составляет величина от 5 до 10. Поэтому в практических расчётах следует принимать во внимание оба вида формул. Формулы и выражения, полученные для пикирования, справедливы при условии: . Обсуждение результатов. Для каждой из двух типовых траекторий кабрирования и пикирования получены аналитические выражения для кинематических параметров движения. Для скорости, угла наклона траектории, дальности и высоты аналитические выражения представляют строгие решения модельной системы дифференциальных уравнений продольного движения (78). Для продолжительности полёта на типовой траектории получены приближённые выражения, точность которых тем выше, чем больше величина и меньше абсолютная величина угла наклона траектории . Модельная система дифференциальных уравнений продольного движения (78) получена из исходной системы дифференциальных уравнений пространственного движения (73) в предположении преобладающего воздействия аэродинамического сопротивления по сравнению с составляющей гравитационного ускорения, что позволяет решать первое уравнение системы (78) без второго слагаемого. Второе допущение - это преобладающее воздействие подъёмной силы (аэродинамического качества) на движение по сравнению с составляющей гравитационного ускорения, что позволяет решать второе уравнение системы (78) без второго слагаемого.

Представленные математические зависимости получены в предположении постоянной и известной величины аэродинамического качества, действующего на каждой из двух типовых траекторий кабрирования и пикирования. Такое предположение упрощает конструкцию и проектирование ВКА и МКТС, а также облегчает разработку законов программного управления.

Полученные аналитические выражения для кинематических параметров поступательного продольного движения составляют основу метода аналитического конструирования составных траекторий и построения законов управления в решении различных терминальных задач полёта в атмосфере. Под терминальной задачей понимается полёт в заданную конечную точку пространства состояний, для достижения которой ЛА обладает достаточным аэродинамическим качеством. При выбранной структуре закона управления её решение сводится к нахождению значений управляющих параметров, которыми являются по одной из координат точек переключения управления с одного типового промежутка на другой типовой промежуток составной траектории.

7. Траектории плоского разворота В общем случае пространственного движения ВКА в атмосфере угол скоростного крена отличен от крайних значений при кабрировании и при пикировании и выражение параметров движения через элементарные функции весьма затруднено. Один из приёмов упрощения исследования полёта ВКА в атмосфере состоит во введении в рассмотрение плоского разворота, под которым понимается движение ВКА под действием подъёмной силы, направленной перпендикулярно вектору скорости и параллельно поверхности. Физически это означает, что вся величина подъёмной силы действует на разворот вектора скорости по углу пути. Математически плоский разворот означает движение с углом скоростного крена , если разворот вектора скорости происходит вправо, или , если разворот происходит влево, если смотреть по направлению движения. При высокой скорости полёта и большой величине аэродинамического качества с большой достоверностью можно предполагать, что процесс плоского разворота происходит достаточно быстро, чтобы считать наклон вектора скорости постоянным в процессе всего плоского разворота. Кроме того, будем считать, что составляющие аэродинамического ускорения преобладают над составляющими гравитационного ускорения. Приходим к следующей модельной системе дифференциальных уравнений для аналитического исследования плоского разворота:

;; ;;,(138)

с начальными условиями: ; ; ; ; ; .(139) Для ВКА с высоким аэродинамическим качеством пространственный разворот в нужном направлении потребует небольшого времени, если сразу задействовать максимальную эффективность управления на разворот по углу пути: .



Запишем уравнение для угла пути из системы (138):

.

С учётом третьего уравнения системы (138) получаем:

.

С учётом дифференциального соотношения (74) приходим к уравнению с разделёнными переменными:

.(140)

Угол пути. При плоском развороте на нисходящей траектории величина плотности атмосферы монотонно возрастает, её принимаем за переменную интегрирования. Интегрирование уравнения (140) даёт зависимость текущего угла пути от плотности атмосферы на нисходящей траектории:

.(141)

Формула (141) показывает, что угол пути отрицателен при правом развороте на нисходящей и восходящей траекториях: . По достижении высоты, заданной своей плотностью , угол разворота вектора скорости по пути определяется соотношением:



.(142)

При развороте по углу пути на восходящей траектории плотность атмосферы убывает, её нельзя использовать как переменную интегрирования. Величина угла пути возрастает при левом развороте, , . Используя величину в качестве переменной интегрирования, получим такое же выражение (142) для вычисления значения угла пути в конце типового плоского разворота. При правом развороте на восходящей траектории величина угла пути изменяется в отрицательном направлении, т.е. убывает, и ни одну из переменных нельзя использовать в качестве переменной интегрирования. Следует прибегнуть к обратному интегрированию, т.е. к интегрированию на отрезке . В результате приходим к формуле (142), для которой на нисходящей траектории имеем: , , и угол . На восходящей траектории справедливо: , , и . Формула (142) всегда даёт отрицательный угол пути при правом развороте.

Боковая координата плоского разворота. Из последнего уравнения системы (138) запишем дифференциальное уравнение для боковой координаты:

.(143)



С учётом зависимости (141) приходим к уравнению:

.(144)

Сделаем положительным аргумент у , , имея в виду, что при правом развороте угол пути отрицателен , а боковая координата положительная как на восходящей, так и нисходящей траектории: . Отметим, что получается при и отрицательном знаке выражения в квадратных скобках на нисходящей траектории и за счёт и положительного знака выражения в скобках на восходящей траектории. Введём новую переменную, положительную, , при правом развороте: .

Обозначим выражение: .

Выразим плотность через новую переменную: ,

а затем получим дифференциал плотности: .

Уравнение для боковой координаты разворота принимает вид:



.(145)

Учитывая формулу синуса разности двух аргументов, получим: .

Вычисление интегралов даёт зависимость текущей боковой координаты через интегральные функции синуса и косинуса:

.(146)

По окончании разворота величина боковой координаты равна:

.(147)

Преобразуем выражение (147), используя свойство аддитивности определённого интеграла:

.

Запишем последнее выражение, используя определения интегрального синуса: и интегрального косинуса при , значения которых определены специальными таблицами:



,

где - постоянная Эйлера - Маскерони [84]. Получаем:

(148)

Возвращаясь к исходной переменной, приходим к выражению для боковой координаты по окончании разворота:

.(149)

С новой переменной выражение для текущего угла пути (142) принимают вид:

,(150)

его конечная величина определяется равенством:

,(151)

весьма удобным при численных расчётах. Дальность плоского разворота. Определим величину продольной координаты , называемой дальностью выполнения разворота. Для этого преобразуем четвёртое уравнение системы (138) к виду:

.(152)

С учётом выражения (141) получаем: .

Перепишем последнее уравнение, делая положительным второе слагаемое в квадратных скобках:

.(153)

С учётом введённых переменной , обозначения , выражения для плотности и дифференциала плотности , как это сделано для уравнения боковой координаты (145), приходим к уравнению дальности с разделёнными переменными: .

Раскроем косинус разности двух аргументов: .

Выражение для дальности записывается через интегральные функции синуса и косинуса: .

По окончании разворота получаем выражение для дальности: .

Перепишем последнее выражение, используя свойства определённого интеграла: .

Приходим к интегральным функциям синуса и косинуса:

,(154)

где ; . Окончательное выражение для полной дальности разворота в функции начального и конечного значений плотности атмосферы имеет вид:

, (155)

где и - интегральные функции синуса и косинуса.

Скорость плоского разворота. Получим выражение для определения скорости при проведении плоского разворота. Для этого разделим первое уравнение системы (138) на второе:

.(156)



После разделения переменных приходим к уравнению: , справедливое на отрезке разворота , правого при , и левого при . При правом развороте убывает и скорость, и угол пути. Чтобы решить это уравнение, применим метод обратного интегрирования на отрезке , противоположном отрезку разворота: .

После вычисления интегралов получаем:

.(157)

По окончании интегрирования имеем: . Из последнего соотношения выразим скорость и подставим её выражение в формулу (157):

.(158)

Получили выражение для определения текущей скорости при плоском развороте. В конце разворота скорость определяется выражением:

.(159)



Отметим, что формулы (158), (159) справедливы только для плоского разворота, при котором и скоростной угол крена может принимать только два значения: при и при .

Высота траектории плоского разворота. Из второго уравнения системы (138) выразим дифференциал времени:

,(160)

выражение которого подставим в четвёртое уравнение системы (138): . С учётом уравнения (74) приходим к уравнению с разделёнными переменными и :

.(161)

Рассмотрим решение этого уравнения на нисходящей траектории, когда плотность монотонно возрастает и её величина принимается за переменную интегрирования: .

Вычисление интегралов даёт выражение для определения текущей плотности атмосферы при плоском развороте:

.(162)



По окончании разворота плотность равна:

.(163)

Соответствующая высота вычисляется из дифференциального уравнения (74), интегрирование которого даёт выражение: .

Подстановка (162) даёт выражение для определения текущей высоты плоского разворота:

.(164)

В конце разворота высота равна:

.(165)

Отметим, что формулы (162) - (165) справедливы только при , когда на нисходящей траектории выполняется правый разворот и , и при , когда на нисходящей траектории выполняется левый разворот и . Полученные формулы справедливы для определения высоты и на восходящей траектории.

Продолжительность плоского разворота. В уравнение (160) подставим выражения для скорости (158) и плотности (162):



.(166)

Введём новую переменную: ; .

Выразим старую переменную через новую: .

Выразим экспоненту в соотношении (166) через новую переменную:

,(167)

где ; .

Представим решение уравнения (167) через интеграл с переменным верхним пределом:

,(168)

где на нисходящей траектории, , и на восходящей траектории, . Уравнение (168) справедливо при двух значениях угла скоростного крена: и . Решение уравнения (168) даёт текущую продолжительность плоского разворота при положительном коэффициенте :

,,(169)

и отрицательном коэффициенте :

,.(170)

Продолжительность плоского разворота определяется углом пути по соответствующим формулам при положительном :

, ,(171)

и отрицательном :

, ,(172)

где ; .

Получили аналитические выражения для расчёта параметров плоского разворота, включая продолжительность его проведения. Они используются для конструирования пространственных траекторий полёта ЛА в атмосфере, например, при построении закона управления переходом в новую вертикальную плоскость полёта. Пример 4. Оценим дальность окончания плоского разворота МКТС, имеющего 20, 0,5·10^-4 м²/кг, который начинается на высоте 8 км, где атмосфера имеет плотность 0,5258 кг/м³, со скоростью 3000 м/с под углом -45є. Примем константу 7623 м. Предположим, что плоский разворот заканчивается на высоте 7 км (0,5900 кг/м³). Вычислим начальное и конечное значения новой переменной: 8,016 8,9951.

По таблицам интегральных функций [84] находим: 1,57419, 1,66504, 0,1245, 0,0548.

По формуле (154) получаем значение дальности разворота: м.

По формуле (148) получаем значение боковой координаты разворота: м.

По формуле (151) получаем угол пути по окончании плоского разворота: (-56,081°).

Оценим потерю скорости за время разворота по формуле (159): 2898,0 м/с.

Оценим изменение высоты: 7127,4 м. Таким образом, разворот завершился на высоте 7,1 км, где плотность стандартной атмосферы 0,5833 кг/м³, т.е. высота окончания плоского разворота предсказана почти точно (7 км). Если такая точность расчётов считается неудовлетворительной, то следует задать следующее приближение для высоты окончания разворота. Продолжая итерационный вычислительный процесс, можно получить результаты с заранее заданной точностью. Кинематика плоского разворота. Геометрическая интерпретация плоского правого разворота в примере 4 показана на рис.7. Под действием угла скоростного крена ВКА развернулся по углу пути в точке «1». Дальнейшее движение ВКА происходит с углом крена или и продолжается вдоль линии «1-k». Из геометрических построений имеем соотношение: . Выразим боковую координату через координату дальности : .(173) Зададим 5 км, по формуле (173) получаем: 6704,4 м.

В продольной плоскости справедливо соотношение:

.

Высота окончания разворота рассчитывается по формуле: . Результаты показывают, что плоский разворот вектора скорости на угол пути происходит достаточно быстро и с малой потерей скорости, что позволяет выполнять его, не обращая внимания на управление в продольной плоскости. Такой подход существенно упрощает конструирование пространственной программной траектории и последующее формирование закона управления на составной траектории. Плоский разворот представляет собой дополнительный типовой отрезок, на котором решаются собственные задачи.



Введение плоского разворота при выполнении пространственных движений ВКА в атмосфере упрощает формирование закона программного управления. Иногда оказывается более выгодным использовать закон управления с плоскими разворотами, чем тратить усилия, теряя надёжность, на формирование более строгих законов пространственного управления. В этом случае заведомо вносимые ошибки, определяемые разностью между программными движениями с плоскими и строгими разворотами, представляют предмет отработки системой стабилизации.

8. Уточнение выражений для параметров продольного движения

Аналитические выражения для параметров движения на рассмотренных типовых траекториях получены в предположении подавляющего превосходства составляющих вектора аэродинамической силы над составляющими вектора гравитационной силы притяжения. При сходе с околоземной орбиты такие условия полёта выполняются при рассмотрении многих практических терминальных задач, решением которых являются законы программного управления.

Отличие модельных условий формирования законов управления от реальных условий полёта приводит к тому, что работа алгоритмов угловой стабилизации, с помощью которых обеспечивается приближение реального движения к движению программному, будет происходить в более жёстких условиях. В этих условиях алгоритмы стабилизации вынуждены вырабатывать более значительные по величине сигналы управления угловым движением и с худшими переходными процессами, чем они могут быть при более точных аналитических решениях дифференциальных уравнений. По результатам численного моделирования разработанных алгоритмов всегда можно установить их пригодность для практического применения. В любом случае они представляют начальную базу, относительно которой следует оценивать совершенство других алгоритмов синтеза законов управления. Уточнение скорости кабрирования. Из второго уравнения (78) при с учётом формулы для скорости (83) выразим дифференциал времени:

.(174)

Запишем первое уравнение системы (73) в виде: .

Подставим в него выражения дифференциала времени (174), плотности (84) и скорости (85). После преобразования получаем уравнение:

.

Переменные и убывают при кабрировании, поэтому за переменную интегрирования принимаем угол , поскольку его величина на траектории кабрирования монотонно возрастает:



.

Вычисление интегралов даёт уточнённое выражение для текущей скорости:

.(175)

По окончании кабрирования уточнённая скорость вычисляется по формуле:

.(176)

Без второго слагаемого полученные выражения (175) и (176) совпадают с исходными выражениями (87), (88). Второе слагаемое отражает разгоняющее действие гравитационной силы при кабрировании на нисходящей траектории и тормозящее действие при кабрировании на восходящей траектории. Пример 5. Оценим второе слагаемое при восходящем кабрировании до угла 30є, когда изменение высоты до 10,0 км (0,4135 кг/м³) произошло при скорости 3,0 км/с. По формуле (176) получаем: км²/с².

После извлечения квадратного корня получаем уточнённое значение скорости: м/с, которое на 0,1% меньше значения 2847 м/с, полученного по формуле (88).

Однако с уменьшением скорости полёта уточнение происходит на большее значение. Пусть, например, по окончании кабрирования скорость ВКА по формуле (88) составила 1000 м/с. Вычисления по формуле (176) дают:

Уточнение скорости составило более 6%. Уточнение скорости пикирования. Из второго уравнения системы (78) выразим дифференциал времени при :

,

который вместе с выражениями для скорости (124) и плотности (122) подставим в первое уравнение системы (73):

.

Вычисление интегралов даёт выражение для квадрата текущей уточненной скорости пикирования:

.(177)



Уточнённая скорость пикирования вычисляется из соотношения:

.(178)

Без вторых слагаемых формулы (177), (178) совпадают с формулами (124), (125), полученными в системе (78) без учёта воздействия гравитационного ускорения.

9. Расчёт параметров свободного движения

Траектория свободного движения образуется при отсутствии подъёмной силы и является типовой при управлении ВКА и МКТС, у которых рулевые органы позволяют создавать управляющий момент, равный по величине и противоположно направленный аэродинамическому моменту. Это требует высокой тщательности проектирования, поскольку при одинаковой величине подъёмной силы аэродинамические моменты у различных аэродинамических конфигураций могут существенно отличаться из-за большой величины плеча подъёмной силы относительно центра масс. В условиях большой нестационарности условий полёта в атмосфере, особенно после входа в атмосферу с околокруговой скоростью, величина плеча подъёмной силы на ВКА с обычными аэродинамическими конфигурациями может изменяться в широком диапазоне. Поэтому чтобы выполнить свободное движение, необходима реализация законов управления с другими структурами управляющих параметров, в частности, с постоянной величиной аэродинамического качества. Наибольшее внимание уделяется синтезу законов управления ВКА с нерегулируемой большой и известной величиной аэродинамического качества , что существенно упрощает его проектирование, хотя и предъявляет более жёсткие требования к синтезу законов управления. При моделировании уравнения свободного движения для имеют вид: , ,(179) , с начальными условиями: ;; ;.(180)

Скорость свободного движения. Из первого уравнения системы (179) с учётом второго уравнения получаем:

.

С учётом (74) получаем уравнение с разделёнными переменными:

.(181)

На нисходящей траектории плотность монотонно убывает, её величину принимаем за переменную и интегрирование на отрезке даёт следующее выражение для текущей величины скорости свободного движения:

.(182)

В конце свободного движения скорость определяется формулой:

.(183)

На восходящей траектории в уравнении (181) убывают обе переменные. Поэтому оно решается на отрезке интегрирования, противоположном отрезку движения. В результате для скорости свободного движения на восходящей траектории получаем такие же выражения (182) и (183).

Высота свободного движения. Деление второго уравнения системы (179) на первое даёт уравнение:

.

Из соотношения (181) определим дифференциал скорости:

,

выражение которого подставим в последнее уравнение:

.

На траектории восходящего свободного движения переменная убывает, а переменная возрастает. На траектории нисходящего свободного движения наоборот: переменная возрастает, а переменная убывает. Поэтому решение данного уравнения на обеих траекториях свободного движения получаем на отрезке интегрирования, совпадающем с отрезком движения. Величина текущей высоты траектории свободного движения связана с плотностью соотношением:

.(184)



Высота окончания свободного движения определяется по формуле:

.(185)

Выражения (184) и (185) можно получить, используя уравнение (74). Здесь они получены исходя из соответствующей модельной системы (179).

Дальность свободного движения. Третье уравнение системы (179) поделим на второе уравнение: . Дальность монотонно возрастает как на восходящей, так и на нисходящей траектории, используем её в качестве переменной интегрирования. Получаем формулу для вычисления дальности траектории свободного движения:

.(186)

Полная дальность свободного движения определяется формулой:

.(187)

Подставив выражения (184) и (185) в формулы (186) и (187), получим аналитические зависимости текущей дальности в функции плотности атмосферы:

,(188)



и полной дальности свободного полёта:

,(189)

Длительность свободного движения. Из первого уравнения системы (179) запишем дифференциал времени:

.

Подставив соотношения (181) и (182), получим уравнение с разделёнными переменными:

.(190)

С обозначениями приходим к уравнению:

,(191)

где , .

Решение уравнения (191) даёт выражение для определения текущего времени свободного полёта:



, ,(192)

и выражение для определения продолжительности свободного полёта:

, .(193)

Выражения (192) и (193) справедливы при , т.е. на нисходящей траектории, когда и .

Выражение для определения текущего времени свободного движения на восходящей траектории имеет вид:

, .(194)

Продолжительность свободного движения на восходящей траектории, , определяется из выражения:

, .(195)

Таким образом, получены строгие аналитические решения для параметров свободного движения, включая продолжительность траектории свободного движения, которая выражена в виде бесконечного функционального ряда, число членов которого на практике ограничивается числом 4 или 5.

10. Обсуждение результатов раздела 3

В данном разделе представлены основные положения теории аналитического конструирования составных траекторий полёта ВКА и МКТС в атмосфере в виде аналитических зависимостей параметров движения на типовых промежутках, полученных в результате строгих решений модельных дифференциальных уравнений движения.

1. Для аналитического конструирования составных траекторий предлагается использовать четыре типовых промежутка: кабрирование, пикирование, свободное движение и плоский разворот. Для уравнений движения на них получены строгие решения, включая продолжительность для плоского разворота и свободного движения. Аналитические соотношения для дальности и боковой координаты плоского разворота выражены через интегральные функции синуса и косинуса. Для определения продолжительности движения на промежуточных траекториях кабрирования и пикирования получены приближённые аналитические выражения, точность расчёта по которым тем выше, чем больше величина аэродинамического качества.

2. Показано более удобное получение аналитических выражений для кинематических параметров движения на основе решения дифференциальных уравнений с независимой переменной в виде плотности атмосферы.

Предложен метод обратного интегрирования: когда новая переменная убывает на типовом промежутке движения, тогда отрезок интегрирования принимается противоположным промежутку движения.

4. Показано, как на основе строгих решений модельных уравнений методом Пикара получают приближённые аналитические выражения для параметров движения на типовых промежуточных траекториях, тем самым обоснована применимость полученных результатов к аналитическому конструированию составных траекторий ВКА как с большой скоростью полёта в атмосфере, так и с меньшей скоростью.

5. Проведёно исследование динамики свободного движения ВКА в атмосфере, т.е. без воздействия подъёмной аэродинамической силы, и получены строгие аналитические выражения для кинематических параметров движения, используемые в синтезе законов управления, в структуру которых входит промежуточная траектория свободного движения.

6. Полученные результаты представляют собой исходное математическое обеспечение для последующего синтеза законов программного управления ВКА и МКТСА при решении терминальных задач полёта в атмосфере, включая терминальные задачи с подвижной конечной точкой.

7. Математическое обеспечение предназначено для синтеза универсальных законов управления, используемых сначала при проектировании перспективных ВКА, а затем при эксплуатации готовых изделий МКТС.



4. Терминальные задачи управления в атмосфере

Современные и перспективные МКТС и ВКА при возвращении из космоса выполняют сложные движения в атмосфере, направленные на выход в заданный район для приземления ВКА гражданского назначения, или поражения цели, если ВКА имеет военное назначение. Для выполнения поставленного перед ним полётного задания разрабатывается закон программного управления, составляющий основу не только будущих бортовых алгоритмов управления, но также алгоритмов для применения в проектировании ВКА.

4.1 Терминальные задачи продольного движения в однородной атмосфере

Введение векторного управления в виде TT позволяет на начальных этапах проектирования уделить внимание его нахождению для текущего проектирования ВКА с последующим нахождением законов управления для рулевых органов. Срабатывание последних приводит к отклонению корпуса на угол атаки , т.е. к появлению аэродинамического качества , и вращению подъёмной силы вокруг вектора скорости с углом скоростного крена . Полёт ВКА в атмосфере происходит по сложным траекториям, но и самые сложные движения можно представить в виде последовательного исполнения простых движений. В любом случае движение ВКА направлено в определённую терминальную точку фазового пространства со всеми или некоторыми заданными координатами [80]. Четырёхкоординатная терминальная задача. Построим закон управления, обеспечивающий выход ВКА в горизонтальной полёт на заданной высоте с заданной скоростью при заданной дальности: ;



; ; ; ,(196)

где время выхода в заданную терминальную точку (205) не задано.

После схода с околоземной орбиты полёт ВКА в атмосфере осуществляется с почти круговой скоростью и с малым наклоном траектории к плоскости горизонта. В этом случае скорость полёта ВКА в атмосфере достаточно велика, чтобы считать аэродинамическую силу преобладающей над силой притяжения. В общем случае движение ВКА описывается системой (73). Рассмотрим полёт КА в вертикальной плоскости большого круга, который описывается модельной системой дифференциальных уравнений (78).

Решение. Метод построения управлений основан на выборе структуры закона управления с управляющими параметрами, сохраняющими постоянные значения в полёте по типовой траектории (пикирования, кабрирования или прямолинейная). При этом число неизвестных управляющих параметров равно числу заданных терминальных координат (196). В качестве управляющих параметров примем величины аэродинамического качества и угла скоростного крена , а также моменты переключения этих величин с одного значения на другое. В случае полёт ВКА проходит по прямолинейной траектории. Траектория полёта ВКА в атмосфере разделяется на два участка: пикирование и кабрирование, на которых полёт происходит с постоянными значениями управляющих параметров. Для них находятся аналитические решения в виде математических зависимостей кинематических параметров , , от независимого параметра. Вычисленные при этом конечные значения параметров движения на траектории пикирования представляют начальные условия для решения дифференциальных уравнений движения на траектории кабрирования. Структуру закона управления для решения поставленной четырёхкоординатной терминальной задачи представим в виде двух постоянных величин аэродинамического качества: первый режим полёта при направлен на пикирование, а второй - при направлен на кабрирование. Так называемые управляющие импульсы и разделены точкой переключения, одной из координат которой является угол .

Таким образом, для регулирования четырёх терминальных координат выделены три искомых управляющих параметра , , и независимая переменная - время , относительно которой решаются дифференциальные уравнения и по которой фиксируется четвёртая терминальная координата . Физическое управление полётом состоит в обеспечении режима пикирования , который при переключается на режим кабрирования .

Наглядность и эффективность предлагаемого метода продемонстрируем для условий однородной атмосферы с постоянной плотностью . Несмотря на особенность такого допущения, результаты решения поставленной задачи не только облегчают интерпретацию и помогают отлаживать программы моделирования движений КА в более точных и сложных математических моделях. Они также имеют самостоятельное значение при не слишком больших (в пределах от 1 км до 2 км) перепадах высот, например, в многошаговых алгоритмах управления, когда в полёте происходит достаточно частое изменение и уточнение законов управления.

Пикирование. Решения дифференциальных уравнений движения на траектории пикирования получены в разделе 6 в виде алгебраических выражений для скорости(125), угла наклона траектории (123), дальности (128) или (129) при заданной высоте (или плотности ). Допущение о постоянстве плотности атмосферы позволяет получить более простые решения для угла и дальности с аэродинамическим качеством при угле скоростного крена , . Для этого во второе уравнения системы (78):

(197)

подставим выражение скорости (124), в результате приходим к уравнению:

.(198)

Разделение переменных и вычисление соответствующих интегралов даёт выражение для определения текущего угла наклона траектории от времени:

.(199)

Момент переключения управления с пикирования на кабрирования определяется следующей величиной угла наклона траектории:

,(200)



откуда имеем выражение для определения продолжительности пикирования:

.(201)

Деление уравнения (197) на четвёртое уравнение системы (78) приводит к дифференциальному уравнению: , решение которого даёт выражение для определения высоты:

,(202)

из которого следует выражение для высоты, на которой происходит переключение управления:

.(203)

Деление уравнения (197) на четвёртое уравнение системы (78) приводит к уравнению: , его решение определяет выражение для текущей дальности пикирования:

,(204)



из которого имеем значение дальности при переключении управления

.(205)

Таким образом, момент переключения управления с пикирования на кабрирование определён одним из следующих параметров движения: время из (201), скорость из (125), угол наклона траектории из (200), высота (203) и дальность из (205). Кабрирование. Момент переключения определяет начало кабрирования с аэродинамическим качеством при угле скоростного крена . Кабрирующий полёт описывается системой (78) при с начальными условиями: ; ; ; ; . Второе уравнения системы (78) при принимает вид: .

Используя описанную схему решения дифференциальных уравнений на траектории пикирования, для траектории кабрирования получаем следующие выражения текущих кинематических параметров движения:

;; ;.(206)

По достижении заданной точки пространства с учётом имеем систему алгебраических уравнений:



;; ;,(207)

где , , - заданные координаты терминальной точки при . Подставив выражения для (125), (203), (205) и (201) в систему (207), получим систему из 4 алгебраических нелинейных уравнений относительно искомых неизвестных: , , , :

,

,

,(208)

.

Система (208) решается одним из приближённых численных методов для нахождения управляющих параметров , , , а также полного времени полёта КА () до . Пример 6. Пусть ВКА с баллистическим параметром м²/кг при спуске в атмосфере достиг высоты 20 км со скоростью 7,0 км/с под углом -20°. Необходимо рассчитать закон программного управления , , при котором горизонтальный полёт ВКА начнётся на высоте 10 км со скоростью 5,5 км/с при дальности 20 км.

Плотность атмосферы примем как среднее арифметическое от значений плотности стандартной атмосферы на начальной и конечной высотах: 0,2512 кг/м Решение системы (208) даёт следующие значения управляющих параметров: 11,397; 4,390; -0,861 (-49,332°) и 3,721 с. Закон управления полётом определяет следующие действия: пикирование, , с аэродинамическим качеством 11,397 продолжается до момента, когда угол наклона траектории составит -49,332°. После этого полёт переходит в режим кабрирования, , с 4,390, который продолжается до момента , когда дальность достигает 20 км, а скорость падает до 5,5 км/с.

Закон программного управления, полученный в условиях однородной атмосферы, представляет собой первое приближение для построения закона программного управления в четырёхкоординатной терминальной задаче. Трёхкоординатная терминальная задача. Рассмотрим случай, когда пикирование и кабрирование проводятся с одинаковым аэродинамическим качеством: . В этом случае число управляющих параметров сокращается на единицу, что делает необходимым такое же уменьшение порядка решаемой задачи. Пусть не регулируется конечная скорость, тогда физическая задача состоит в том, чтобы получить закон управления полёт ВКА в атмосфере, при котором выход в горизонтальный полёт происходит на заданной высоте при заданной дальности. Для решения трёхкоординатной терминальной задачи имеем три алгебраических нелинейных уравнения:

, ,(209)



, относительно двух управляющих параметров и и времени управляемого полёта . Из третьего соотношения выразим : .

Запишем выражение для косинуса угла переключения:

и подставим его во второе уравнение системы (209), после чего имеем:

.(210)

После несложных преобразований приходим к квадратному уравнению относительно аэродинамического качества :

,(211)

где величина определяет квадрат расстояния между начальной и терминальной точками. Решение уравнения (211) имеет вид:

,(212)

где .

Таким образом, через управляющие параметры - аэродинамическое качество (212) и момент его переключения - определён закон управления в трёхкоординатной терминальной задаче. Соответствующие значения высоты и дальности точки переключения управления вычисляются по второй и третьей формулам системы (209). Время управляемого полёта определяется по формуле, следующей из первого уравнения системы (209):

.(213)

Нерегулируемая величина терминальной скорости вычисляется по формуле:

.(214)

Пример 7. В условиях примера 6 построим закон программного управления , , при котором горизонтальный полёт КА начнётся на высоте 10 км при дальности 20 км, а терминальная скорость в отличие от примера 6 не задаётся. Вычисляем: 500·10⁶ м², ==-12557 м. Вычисления по формуле (221) дают 4,35. Из выражения для получаем 0,7174 (-45,8°). Переключение управления происходит на высоте км на дальности км. Полное время полёта составляет 4,199 с, а скорость уменьшается до 5250,6 м/с.

Итак, в условиях однородной атмосферы продемонстрировано действие метода построения закона управления полётом ВКА в атмосфере на основе аналитических решений дифференциальных уравнений движения в четырёхкоординатной терминальной задаче. Построение управления доведено до численного решения приближённым методом системы из 4 алгебраических нелинейных уравнений относительно трёх управляющих параметров. Это величины аэродинамического качества с пикирующим и кабрирующим действиями подъёмной силы и угла наклона траектории, при котором первое действие переключается на второе действие. В решении трёхкоординатной терминальной задачи, когда число управляющих параметров уменьшено на единицу, синтез закона управления доведён до явных выражений для вычисления управляющих параметров, определяющих величины аэродинамического качества, одинаковые при пикировании и кабрировании, и момента переключения.

Вычисленные управляющие параметры являются хорошим приближением для приближённого вычисления управляющих параметров закона управления в терминальных задачах с экспоненциальной атмосферой. Кроме того, законы управления, формируемые по разработанным формульным соотношениям, имеют самостоятельное значение для синтеза бортовых алгоритмов управления ЛА при частом и быстром изменении условий полёта.

4.2 Терминальные задачи продольного движения МКТС и ВКА в экспоненциальной атмосфере

Сложные траектории полёта ВКА в атмосфере в вертикальной продольной плоскости можно представить в виде последовательности типовых траекторий: кабрирование, когда подъёмная сила направлена вверх, пикирование, когда подъёмная сила направлена вниз, и свободного полёта, когда подъёмная сила отсутствует. Подъёмная сила образуется в результате отклонения корпуса ВКА от вектора скорости различными способами: с помощью рулевых устройств, например, аэродинамических рулей или малых ракетных двигателей, аэродинамической асимметрии корпуса, например, за счёт отклонённого наконечника или скошенной кормовой части, и совместного использования обоих принципов. При этом управление полётом происходит в результате регулирования вектора подъёмной силы по величине за счёт изменения угла атаки и по направлению за счёт изменения угла скоростного крена.

Структура закона управления состоит из управляющих параметров, которыми являются величины подъёмной силы (аэродинамического качества) и угла скоростного крена, сохраняющиеся постоянными до точек переключения, в которых аэродинамическое качество и угол крена меняют величину и направление. На каждом типовом промежутке траектории находятся аналитические решения дифференциальных уравнений движения в виде математических зависимостей кинематических параметров от времени или другого кинематического параметра. Параметры движения в конце промежутка становятся начальными условиями для интегрирования дифференциальных уравнений на следующем промежутке траектории.

При решении терминальной задачи параметры движения в конце последнего отрезка заданы. Приходим к нескольким (по числу промежутков траектории) системам нелинейных алгебраических уравнений относительно управляющих параметров и промежуточных параметров движения в точках переключения. Число неизвестных определяется выбираемой структурой закона управления, и задача синтеза закона управления сводится к численному решению системы алгебраических уравнений одним из приближённых методов. На практике порядок системы понижается до 2 - 3, даже когда траектория состоит из четырёх и более типовых промежутков (полуинтервалов, отрезков) [80-83,85]. Двухкоординатная терминальная задача. Предположим, что ВКА выполняет в атмосфере манёвр в продольной вертикальной плоскости, состоящий в выходе в горизонтальный полёт на заданной высоте в момент времени , который не задан. В этой задаче не заданы также скорость и дальность в начале горизонтального полёта. Из пяти возможных терминальных параметров, включая время, заданы два и .

Движение ВКА описывается модельной системой (78), в которой плотность атмосферы изменяется по экспоненциальному закону:

,(215)

где , значение которой выбирается из условия максимального приближения вычисляемого значения плотности к значению плотности стандартной атмосферы, индекс «» относит параметры к началу некоторого слоя атмосферы, относительно которого ведётся отсчёт плотности. При отсчёте от поверхности Земли имеем: и 1,225 кг/м При малых изменениях высоты полёта модель (215) является вполне строгим представлением плотности атмосфере.

Система (78) решается с начальными условиями:

; ; ; ; ,(216)

где начальная скорость не может быть нулевой, , и имеет достаточно большую величину 5 км/с, которая позволяет считать систему (78) достоверной, несмотря на отсутствия в первых двух уравнениях гравитационных составляющих ускорения притяжения Земли. Кроме того, будем считать, что полёт направлен к поверхности: , и абсолютное значение угла наклона траектории не превышает нескольких десятков градусов: 20 - 30°. Начало управления определим высотой 20 - 30 км, имея в виду, что на больших высотах скоростной напор имеет малую величину и подъёмную силу можно не учитывать.

...