Динамика полета и управление МКТС и ВКА в космосе

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДИНАМИКА ПОЛЁТА И УПРАВЛЕНИЕ МКТС И ВКА В КОСМОСЕ



Введение

В работе решаются задачи управления угловыми и поступательными движениями МКТС и ВКА на примере соответствующих модельных систем. Как сказано во введении, модельная система - это система дифференциальных уравнений, полученная в результате упрощений полной математической модели и допускающая получение для неё строгих аналитических решений. Одно из применений решений модельных задач состоит в получении оценок для основных проектных параметров создаваемых ракетно-космических объектов, к которым относятся габаритные, моментные и центровочные характеристики самого изделия и характеристики рулевых органов. Для рулевых ракетных двигателей (РРД) такими характеристиками являются эффективность управления (максимальная величина силы тяги, диапазон регулирования силы тяги, значения постоянных времени при пуске и останове двигателя) и количество топлива для выполнения того или иного процесса. Для определённых случаев вращательного и поступательного движений решения задач управления получены с учётом запаздываний нарастания тяги при пуске и спада тяги при останове ракетного двигателя, которые описываются экспоненциальными зависимостями с соответствующими постоянными времени. Полученные результаты позволяют получить уточнённые оценки по выбору основных проектных параметров МКТС и ВКА.

Полная математическая модель (ПММ) состоит из дифференциальных уравнений, максимально точно описывающих определённый физический процесс для МКТС или ВКА, и используется для комплексного моделирования процессов. Поскольку описываемый физический процесс состоит не только из динамики полёта и управления МКТС и ВКА, но и из динамики и управления различных систем, входящих в состав проектируемого ракетно-космического объекта, порядок системы дифференциальных уравнений ПММ может очень высоким. Поэтому приближённое численное решение системы дифференциальных уравнений не может быть гарантировано от ошибок, которые трудно выявляются и могут долгое время влиять на получаемые решения. Решения же модельных систем визуально просматриваются и легко выявляются. Поэтому совпадение решений модельных систем с тестовыми решениями ПММ для таких же задач является дополнительным подтверждением достоверности ПММ.

Поскольку ПММ описывает управляемые процессы МКТС и ВКА, то она содержит уравнения, из которых определяются законы управления. Если закон управления программный, то он выражает зависимость текущего управляющего воздействия в функции времени. Если закон синтезирован, то он выражает зависимость управляющего воздействия в функции текущих измеряемых параметров углового и/или поступательного движений по обратной связи. Особое место в данной классификации представляют рассматриваемые в монографии многошаговые [15,91-94,96,98] и разрывные управления [76,77,78].

Решения модельных систем, полученные в главах 2, 3, 5 и 6, предполагаются для применения в многошаговых терминальных управлениях (МТУ), а разрывные управления в системах с переменной структурой и их применения описаны в главе 6.

Закон управления в методе МТУ задаётся структурой управления, которая состоит из постоянной величины силы тяги ракетного двигателя вместе с моментами времени, определяющими включение - выключение ракетного двигателя и называемыми управляющими параметрами.

Аналитические решения дифференциальных уравнений модельной системы, в которую входят управляющие параметры закона управления, приводят к системе нелинейных алгебраических уравнений относительно искомых управляющих параметров, количество которых выбирается так, чтобы система была совместной. Во многих случаях значения управляющих параметров определяются простыми формульными зависимостями, в других случаях - методами приближённого численного решения, например, половинного деления или итерационного приближения [14]. За счёт простоты вычислений управляющих воздействий длину шага, в течение которого они происходят, можно сделать достаточно малой, чтобы воздействие неопределённых внешних и параметрических возмущений в течение текущего шага компенсировалось небольшим увеличением или уменьшением управляющего воздействия в начале следующего временного шага. космос ракетный двигатель программный

Теперь моделирование динамики и управления МКТС и ВКА можно проводить на ранних этапах проектирования с помощью модельной системы, в которой учитываются воздействия неопределённых внешних и параметрических возмущений, получать более строгие оценки по основным проектным параметрам и определять более полные тестовые решения для обоснования достоверности ПММ как на ранних этапах проектирования, так и при комплексном моделировании проектируемого изделия.



1. Управление угловым движением МТКС и ВКА в космосе

После выхода на орбиту МКС на высоте около 400 км над Землёй МТКС выполняет ряд операций, связанных с обеспечением угловых и поступательных движений: сближение и стыковка с МКС, разгрузка ПН и загрузка возвращаемых грузов, коррекция высоты орбиты МКС, отделение от МКС, ориентация и вырабатывание тормозного импульса, стабилизация движения в направлении атмосферы.

Угловое движение МКТС в космосе осуществляется с помощью рулевых ракетных двигателей, сопла которых определённым образом расположены на поверхности корпуса, для выполнения самостоятельных угловых разворотов, а также для стабилизации угловых ориентаций и программных траекторий поступательного движения. Включение рулевых ракетных двигателей проводится в соответствии с законами программного управления, определяемыми по одному из критериев: минимального времени разворота, минимального расхода топлива, назначенного времени и др. В приближённой постановке решаемых задач угловое движение по одному из углов Эйлера обычно описывается дифференциальным уравнением второго порядка:

,(1)

где - угол тангажа; - относительное угловое ускорение, т.е. отношение управляющего момента, создаваемого силой тяги ракетного двигателя вокруг центра масс, к моменту инерции относительно той из осей связанной системы координат, вокруг которой происходит разворот. Для уравнения (1) заданы начальные условия:



, , .(2)

Общая задача разворота состоит в переходе к новой угловой ориентации:

, , .(3)

Расчёты необходимого запаса топлива на выполнение угловых разворотов проводятся на ранних этапах проектирования и от их достоверности зависят лётно-эксплуатационные характеристики и эффективность всей ракетно-космической системы. Обычно в структуре закона управления принимается идеальная зависимость тяги во времени: мгновенно возникает угловое ускорение, которое действует до образования определённой угловой скорости, после которой угловое ускорение переключается на противоположное по направлению для выполнения соответствующего торможения, как показано на рис.1. Отметим, что оптимальность принятой структуры управления по критерию минимального времени разворота доказана в теории оптимальных процессов [12].



На рис.2 показано изменение угловой скорости при отрицательной начальной скорости . На рис.3 изображена траектория изменения угла тангажа при положительном начальном угле .

Дважды интегрируя уравнение (1) последовательно сначала на полуинтервале с начальными условиями (2), а затем на отрезке , принимая за начальные условия конечные параметры разворота в момент , получим 4 выражения для угловых скоростей и углов в моменты и .

Решение задачи разворота состоит в определении закона управления, т.е. в установлении функции изменения углового ускорения (или моментов включения и выключения РД, если известная постоянная) в зависимости от времени. В каждой конкретной задаче устанавливается структура закона управления, и выделяются управляющие параметры в виде характерных моментов, часть из которых известная, а часть подлежит определению.

В задаче оптимального управления по критерию минимальной продолжительности, требуется определить закон управления, структуру которого составляет импульс тяги одного из двух РД, направленный на увеличение угловой скорости, т.е. разгон с максимальным угловым ускорением при положительном знаке в уравнении (1) в течение полуинтервала , и импульс тяги другого РД, направленный на уменьшение угловой скорости, т.е. торможение с максимальным значением при отрицательном знаке в уравнении (1) в течение отрезка . Переключение с одного ракетного двигателя на другой осуществляется в момент . Для определения закона управления необходимо вычислить значения момента переключения и момента окончания разворота . Структура закона управления показана на рис.1.

Поскольку значения и известны, то приходим к системе двух уравнений с двумя неизвестными , , решая которую, получаем формулы для вычисления момента переключения:

,(4)

,(5)



где минимальное время полного разворота определяется из равенства: .

Таким образом, получен закон управления угловым разворотом за минимальное время, который состоит в том, чтобы в момент включается РД, тяга которого создаёт положительное угловое ускорение , действующее в течение времени , где значение вычислено по формуле (4). В момент первый двигатель отключается и включается второй РД, тяга которого создаёт отрицательное угловое ускорение , действующее до момента его отключения , вычисленного по формуле (5).

1.1 Оптимальное управление угловыми разворотами с помощью реальных ракетных двигателей

В действительности ракетный двигатель на жидких компонентах топлива обладает заметной инерционностью при выходе тяги на установившийся режим и при её отключении, которая достаточно строго описывается экспоненциальными зависимостями с постоянной времени при пуске и постоянной времени при останове [3]. Структура такого закона управления показана на рис.4:

Рис. 4. Структура закона управления с реальными ракетными двигателями



Полуинтервалы времени и характеризуют продолжительность выхода тяги и соответствующего углового ускорения на установившийся режим при пуске, , , их продолжительность принимается равной: . Полуинтервалы времени и , характеризуют продолжительность спада тяги и углового ускорения до нуля при останове, , их продолжительность принимается равной: . Величины и известны из огневых испытаний двигателей и содержатся в паспортных данных, они считаются одинаковыми для обоих двигателей, участвующих в управлении угловым разворотом. Здесь в соответствии с работой [3] под постоянной времени двигателя при пуске и останове понимается треть проекции на горизонтальную ось касательной в точке начала кривой изменения силы тяги при пуске или останове и конец которой фиксируется по достижению модулем экспоненты соответственно значения и .

Закон управления однозначно устанавливается, если определены моменты окончания установившейся работы первого и второго двигателей. Получим формулы для их вычисления методом аналитического конструирования траектории углового движения из последовательности типовых промежутков: отрезков, интервалов и полуинтервалов. В данном случае вся траектория составлена из 5 полуинтервалов и одного, последнего, отрезка. Типовыми промежутки называются потому, что на каждом из них дифференциальные уравнения углового движения решаются аналитически. При этом согласно методу припасовывания [12], полученные параметры углового движения в конце предыдущего промежутка принимаются за начальные условия дифференциальных уравнений движения на последующем промежутке [11,].

Первый полуинтервал, . Происходит пуск первого двигателя, сила тяги выходит на установившийся режим, угловое движение описывается уравнением второй степени:

,(6)

с начальными условиями (2). Интегрирование уравнения (6) с использованием интегралов с переменным верхним пределом даёт следующее выражение для текущей угловой скорости:

.(7)

В конце первого полуинтервала, , угловая скорость достигает величины, определяемой выражением:

.(8)

Интегрирование уравнения (7) даёт выражение для текущего угла разворота:

.(9)

В конце первого полуинтервала величина угла определяется выражением:



. (10)

Последнее выражение представим в виде:

.

С учётом (8) получаем зависимость для угла разворота, выраженную через угловую скорость в момент :

.(11)

В общем случае в конце первого полуинтервала при параметры углового движения , будут отличаться от расчётных величин при . Поэтому в выражениях (8) и (11) перейдём к несобственным интегралам. Выражение (8) представим в виде:

.

В конце нарастания тяги получаем уравнение с двумя неизвестными и :

.(12)



Выражение (10) с несобственным интегралом принимает вид:

.

Из выражения для угла получаем второе уравнение с неизвестными и :

.

С учётом соотношения приходим к выражению:

,(13)

определяющему угол разворота в конце первого промежутка составной траектории разворота по углу тангажа.

Второй полуинтервал, . Первый двигатель работает в установившемся режиме, действует постоянное угловое ускорение, движение описывается уравнением:

(14)

с начальными условиями (12), (13). Интегрирование уравнения (14) даёт выражение для текущей угловой скорости:



.

Интегрирование последнего уравнения даёт выражение для определения текущего угла разворота:

.

В конце второго полуинтервала, , выражения для параметров углового движения принимают вид:

,

.15)

В соотношения (15) подставим начальные условия (12) и (13). Для угловой скорости получаем выражение:

.(16)

Подстановка соотношений (12), (13) во второе уравнения (15) даёт выражение для угла:

.

Группируем слагаемые с одинаковыми сомножителями и после несложных преобразований приходим к уравнению:

.(17)

Два алгебраических уравнения (16) и (17) образуют систему с тремя неизвестными: , , . Чтобы получить совместную систему, продолжим последовательное решение уравнений движения на последующих промежутках.

Третий полуинтервал, . Происходит останов первого двигателя, спад тяги проходит по экспоненциальному закону, движение описывается следующим дифференциальным уравнением второго порядка:

,(18)

с начальными условиями (16), (17). Интегрирование (18) даёт зависимость для текущей скорости убывания угловой скорости:

.(19)

Интегрирование уравнения (19) приводит к зависимости:

.(20)

В конце третьего полуинтервала при в показателе экспоненты получаем выражения для угловой скорости:



,(21)

и угла:

.(22)

Подстановка начальной скорости (16) в (21) даёт выражение для определения угловой скорости:

.(23)

Подстановка начальных условий (16) и (17) в соотношение (22) даёт выражение для угла:

.

С учётом соотношений , , , приходим к выражению для угла разворота на третьем полуинтервале:

.(24)

Получили уравнение (24) с двумя неизвестными и . Вместе с уравнением (23) опять имеем систему из двух алгебраических уравнений с тремя неизвестными , , .

Четвёртый полуинтервал, . Происходит пуск второго двигателя, угловое движение описывается уравнением, в котором нарастающее по абсолютной величине угловое ускорение имеет противоположный знак:

,

с начальными условиями (23), (24). Интегрируем последнее уравнение и получаем выражение для текущей угловой скорости:

.(25)

Интегрирование уравнения (25) даёт выражение для определения текущего угла разворота:

.(26)

В конце четвёртого полуинтервала угловая скорость определяется выражением:

.(27)



Для угла тангажа в конце этого полуинтервала получаем выражение:

.(28)

С начальными условиями (23) и с учётом соотношения получаем выражение для угловой скорости в конце полуинтервала:

.(29)

После подстановки начальных условий (23) и (24) в соотношение (28) и преобразований приходим к выражению для определения угла разворота:

(30)

Пятый полуинтервал, . Тяга второго двигателя вышла на установившийся режим, угловое движение описывается уравнением с постоянным угловым ускорением:

,(31)

с начальными условиями (29), (30). Интегрированием получаем выражения для текущих параметров углового движения:

,.



В конце пятого полуинтервала параметры разворота определяются выражениями:

,.

С начальными условиями (29) получаем следующее выражение для конечной угловой скорости:

.(32)

С учётом начальных условий (29), (30) и подстановки соотношения выражение для угла тангажа в конце данного полуинтервала принимает вид:

.(33)

Получили одно уравнение (33) с двумя искомыми неизвестными и .

Отрезок, шестой промежуток, . Останов второго двигателя, угловое движение определяется убыванием силы и описывается уравнением:

,(34)



с начальными условиями (32) и (33). Интегрирование уравнения (34) даёт выражение для текущей величины угловой скорости:

.(35)

Интегрирование уравнения (35) даёт выражение для текущего угла:

.(36)

В конце разворота угловая скорость определяется выражением:

.

С начальными условиями (32) получаем выражение для угловой скорости:

,(37)

из которого следует уравнение:

,(38)

откуда выражаем второе неизвестное через первое :

.(39)



В конце разворота получаем выражение заданного угла разворота:

.

При в показателе экспоненты получаем выражение:

.

Подстановка начальных условий (32) и (33) приводит к выражению:

.(40)

Подстановка соотношения и преобразования дают алгебраическое уравнение с двумя неизвестными:

.(41)

(42)



Подстановка (39) и (42) в уравнение (41) даёт квадратное уравнение относительно первого управляющего параметра:

.(43)

Решение уравнения (43) имеет вид:

.(44)

Вычислим квадрат выражения:

.

Подстановка полученного выражения в решение (44) даёт формулу для вычисления значения первого управляющего параметра:



. (45)

Из выражения (39) следует формула для вычисления значения второго искомого управляющего параметра:

. (46)

Момент окончания разворота вычисляется с помощью соотношения (39) либо по вычисленному моменту (45):

,

либо по вычисленному моменту (46):

.

Таким образом, получено решение задачи разворота КА за минимальное время с помощью реальных ракетных двигателей, у которых нарастание тяги при пуске с постоянной времени и её убывание при останове с постоянной времени происходит по соответствующим экспоненциальным зависимостям. Оно состоит в построении закона управления, определяемого двумя моментами и . При заданном моменте пуска первого двигателя, создающего угловое ускорение одного направления, его останов происходит в момент , вычисляемый по формуле (45), а останов второго двигателя, создающего угловое ускорение противоположного направления, происходит в момент , вычисляемый по формуле (46). При заданном угле минимальная продолжительность полного разворота на угол составляет . Решение задачи разворота выражено простыми формулами (45) и (46), удобными для получения оценок на ранних этапах проектирования.

Учёт переходных режимов тяги РРД при пуске и останове в структуре закона управления угловыми разворотами позволяет провести более достоверный расчёт запасов топлива на ранних этапах проектирования, а также формировать программные траектории углового движения, более приближённые к реальным условиям. Раньше угловые ускорения на переходных режимах работы ракетных двигателей представляли собой неопределённые возмущения, воздействия от которых компенсировались алгоритмом стабилизации. При больших значениях постоянных времени переходные процессы при стабилизации углового движения могли занимать продолжительное время и иметь плохие показатели. По этой причине применяли «хорошие» ракетные двигатели, у которых постоянные времени при пуске и останове имели малые значения. Но такие двигатели дороги в изготовлении. Теперь же построение законов программного управления для ракетных двигателей с большими значениями постоянных времени может существенно улучшить качество переходных процессов при включении и выключении двигателей.

Применение ракетных двигателей с большими, но известными значениями постоянных времени позволит снизить стоимость изготовления, повысить надёжность их применения и поднять проектирование перспективных многоразовых космических транспортных систем на более высокий уровень. Полученные результаты применимы в проектировании перспективных космических систем и ступеней разведения баллистических ракет, а также в разработке бортовых алгоритмов их систем управления.

Построение закона программного управления проведено методом аналитического конструирования траектории углового разворота из типовых временных промежутков (полуинтервалов и отрезка), на которых решения дифференциальных уравнений углового движения по одному из трёх углов Эйлера получены аналитически. В данной монографии метод аналитического конструирования программных траекторий применяется для решения и других задач управления угловым и поступательным движениями.

1. Угловые развороты за назначенное время

Угловые развороты КА за назначенное время находят широкое применение в решении различных задач гражданского и военного назначения. В некоторых случаях, например, аварийных, необходимость такого разворота может возникнуть при сближении МКТС с МКС. Угловой разворот за назначенное время может потребоваться при сближении и стыковке МКТС с измерительной аппаратурой на борту с вращающимся астероидом, чтобы выбрать более подходящую его поверхность для установки аппаратуры. Наконец решение задачи перехвата подвижной цели космическим перехватчиком, роль которого может выполнять МКТС, при ориентации двигателя поперечного ускорения в заданное направление для создания повышенной поперечной перегрузки при завершающем сближении перехватчика с целью также основано на построении закона управления угловым разворотом за назначенное время [6].

Обычно расчёт законов управления угловыми разворотами за назначенное время ведётся в предположении идеального срабатывания двигателя, когда тяга мгновенно выходит на установившийся режим при пуске и мгновенно исчезает при останове. Теперь построение закона управления проведено с учётом реальных характеристик ракетных двигателей, как это сделано в разделе 1.1, к которым относятся экспоненциальное нарастание тяги при пуске с постоянной времени и экспоненциальный спад тяги при останове с постоянной времени [8].

Задача разворота состоит в том, чтобы из начального углового положения по углу тангажа:

, , ,(47)

МКТС перешёл в заданное угловое положение:

, ,

за назначенное время с помощью двух ракетных двигателей, первый из которых в установившемся режиме создаёт положительное приведённое угловое ускорение , действующее на разгон, а второй - отрицательное приведённое угловое ускорение , действующее на торможение.

Одна из возможных структур закона управления включением и выключением двух двигателей при развороте за назначенное время, представляет собой два импульса тяги - положительный и отрицательный, разделённые паузой, как показано на рис.5.

Рис.5. Структура закона управление разворотом за назначенное время с помощью двух ракетных двигателей



Полуинтервалы времени и характеризуют продолжительность выхода силы тяги и соответствующего углового ускорения на установившийся режим при пуске, их продолжительности принимаются равными: . Полуинтервал и отрезок , , характеризуют продолжительность спада силы тяги и углового ускорения до нуля при останове, их продолжительности принимаются равными: . Полуинтервалы времени и характеризуются установившейся работой двигателей, выбором их продолжительностей обеспечивается решение поставленной задачи. На полуинтервале угловое ускорение отсутствует, , при заданном моменте изменение его длительности позволяет регулировать продолжительности управляющих полуинтервалов и .

Закон управления считается однозначно установленным, если определены момент начала останова первого двигателя и момент пуска второго двигателя . Получим формулы для их вычисления методом аналитического конструирования траектории углового движения из типовых промежутков: шести полуинтервалов и одного отрезка. Кинематические параметры углового движения получим последовательным интегрированием соответствующих уравнений на каждом промежутке, принимая параметры углового движения в конце предыдущего отрезка за начальные условия дифференциальных уравнений движения на последующем промежутке.

Поскольку первый импульс тяги ракетного двигателя на рис.5 ничем не отличается от первого импульса тяги на рис.4, решение задачи разворота за назначенное время начнём с четвёртого полуинтервала, принимая в качестве начальных условий величины скорости (23) и угла (24).

Четвёртый полуинтервал, . Оба двигателя выключены, угловое ускорение отсутствует, угловое движение описывается уравнением с начальными условиями (23) и (24). Интегрирование последнего уравнения определяет величину постоянной угловой скорости:

, ,(48)

откуда следует выражение для текущего угла разворота:

,

величина которого в конце четвёртого полуинтервала определяется выражением:

.(49)

С учётом соотношения (23) получаем выражение для угловой скорости в конце полуинтервала:

.(50)

Подставляя выражения (23) и (24) в соотношение (49) с учётом соотношений , , приходим к следующему выражению для угла разворота в конце четвёртого полуинтервала:

. (51)

Пятый полуинтервал, . Происходит пуск второго двигателя, угловое движение описывается уравнением:



,

с начальными условиями (50) и (51). Интегрируя это уравнение, получаем выражение для текущей угловой скорости:

.(52)

Интегрируя уравнение (52), получаем выражение для текущего угла разворота на пятом полуинтервале:

.(53)

В конце пятого полуинтервала угловая скорость определяется выражением:

.(54)

Подстановка выражения для начальной угловой скорости (50) с учётом даёт:

.(55)

В конце пятого полуинтервала угол разворота определяется выражением:



.(56)

После подстановки начальных условий по скорости (50) и углу (51) с учётом соотношений , , и после предельного перехода в показателе экспоненты получаем выражение:

.(57)

Шестой полуинтервал, . Действует установившаяся сила тяги второго двигателя, угловое движение на полуинтервале описывается уравнением с постоянным ускорением, направленным противоположно ускорению от первого двигателя: , с начальными условиями (55) и (57). Интегрированием последнего уравнения при получаем выражения для параметров углового движения в конце шестого полуинтервала:

,.(58)

С учётом выражения (55) и соотношений для первого выражения системы (58) получаем:

.(59)

Подстановка выражений для начальных величин скорости (55) и угла (57) во второе уравнение системы (58) с учётом даёт:

. (60)

Отрезок, седьмой промежуток, . Происходит останов второго двигателя, угловое движение на отрезке определяется убыванием силы тяги при останове второго двигателя и описывается уравнением:

,

с начальными условиями (59) и (60). Интегрирование последнего уравнения даёт выражение для текущей величины угловой скорости:

.

В конце седьмого промежутка угловая скорость с учётом формулы для угловой скорости (59) определяется выражением:

.(61)

Интегрирование уравнения для скорости даёт выражение для текущего угла разворота:

.



В конце полного разворота с учётом соотношения и предельного перехода получаем выражение для угла:

.(62)

Подстановка выражений (59) и (60) в выражение (62) даёт:

.(63)

Система из двух уравнений (61) и (63) связывает две искомые неизвестные и . По условию , тогда из уравнения (61) выразим искомый момент времени через другой искомый момент времени :

.(64)

Подставим выражение (64) в уравнение (63):

(65)

При нулевом начальном значении времени , как это принято на практике, последнее уравнение принимает вид:



.

После возведения в квадрат второй скобки и преобразований с учётом задаваемой величины угла разворота приходим к квадратному уравнению относительно неизвестного :

,(66)

решение которого имеет вид:

.(67)

Формулу для вычисления второго управляющего параметра получим, используя выражение (64):

. (68)



Таким образом, установление закона управления реальными ракетными двигателями при выполнении заданного углового разворота за назначенное время состоит в вычислениях момента начала останова первого двигателя по формуле (67) и момента выхода на установившийся режим второго двигателя по формуле (68).

Пример 1. Рассчитаем управляющие параметры закона управления разворотом на угол рад за время 3 с при нулевых начальных значениях , , с помощью двух ракетных двигателей, создающих угловое ускорение 1 рад/с, постоянные времени у которых равны 0,1 с, 0,2 с.

Решение. По формуле (67) с минусом перед радикалом вычисляем момент начала останова первого двигателя:

с.

По формуле (68) с плюсом перед радикалом вычисляем момент пуска второго двигателя:

с.

Через 0,3 с после пуска первый двигатель выходит на установившийся режим, который продолжается 0,09 с. Второй двигатель в установившемся режиме также работает 0,09 с. Пауза при одновременном отключении двигателей составляет с.



2. Управление поступательным движением ВКА и МКТС в космосе

Недавнее обнаружение испанскими учёными астероида 2012 DA 14 и неожиданный пролет и взрыв Челябинского метеорита в феврале 2013 года говорят о возможности существования и других неизвестных астероидов и небесных объектов, потенциально опасных при столкновении с Землёй. Поэтому реальной становится разработка программы защиты землян от угроз из космоса, одной из составляющих которой является установка зондирующей аппаратуры на астероиде для оперативного и точного прогнозирования параметров его движения, которое затрудняется по мере приближения к Земле. Сближение с астероидом МКТС осуществляет с помощью своих МРД, которые в реальных условиях при пуске и останове обладают инерционностью.

В данном разделе рассматриваются три задачи причаливания МКТС с зондирующей аппаратурой к астероиду, в различной степени учитывающие условия полёта и управления. Решение задачи причаливания определяет выбор проектных параметров МКТС. Предполагается, что МКТС выводится на околоземную орбиту разгонной ступенью, после чего она с помощью своих маршевых РД выходит на орбиту астероида, сравнивая свою скорость со скоростью астероида. Для сближения с астероидом ракета производит разгон, получая некоторое ускорение за счёт срабатывания МРД, а затем торможение, в результате которого ракета при контакте с астероидом имеет нулевую относительную скорость.

Для торможения МКТС проводит угловой разворот на 180^° вокруг одной из поперечных осей связанной системы координат с началом в центре масс с помощью собственных рулевых РД, используемых для управления угловым движением. Для расчёта углового разворота и получения оценок по эффективности управляющих РД и запасам топлива используются результаты программирования угловых разворотов разделов 1.1 и 1.

Решение задачи причаливания состоит в построении закона программного управления поступательным движением в результате включения и выключения одного или нескольких МРД. Результаты используются для определения проектных параметров перспективных МКТС, устанавливающих зондирующую аппаратуру на астероиде и возвращающихся на Землю или промежуточную базу.

1. Причаливание МКТС с учётом динамики переходных режимов ракетного двигателя

Поступательное движение МКТС в условиях отсутствия аэродинамического сопротивления и гравитационного притяжения астероида описывается следующими дифференциальными уравнениями:

,,(69)

где - относительная поступательная скорость ракеты; - расстояние между ракетой и астероидом; - масса ракеты (корпус, двигатель, топливо, аппаратура или заряд); - максимальная сила тяги маршевого двигателя, принимаемая в установившихся режимах со знаком «+» при разгоне и со знаком «-» при торможении и заменяемая на переменные неотрицательные экспоненциальные функции и в переходных режимах пуска и останова на разгоне и торможении, с начальными условиями:

, , .(70)

Задача причаливания 1. Необходимо установить закон управления включением - выключением маршевого ракетного двигателя такой, чтобы МКТС из начального состояния (70) перешла в заданное конечное состояние:



, , ,(71)

за назначенное время , когда при пуске двигателя в момент нарастание силы тяги происходит по экспоненциальному закону [3]:

,(72)

где - постоянная времени двигателя при пуске, до выхода на установившийся режим через интервал времени, равный . Установившийся режим работы двигателя сохраняется до момента , после чего начинается останов двигателя, при котором сила тяги убывает до момента по соответствующему экспоненциальному закону [3]:

,(73)

где - постоянная времени двигателя при останове, , как показано на рис.6.

Структура закона управления причаливанием определяется разгоном в течение промежутка , составленного из трёх полуинтервалов , , , и торможением в течение промежутка , составленного из полуинтервалов ,, и отрезка . Промежутки и разделены паузой , в течение которой двигатель выключен. Разгон и торможение МКТС выполняется одними и теми же маршевыми ракетными двигателями, для чего после разгона МКТС разворачивается в направление противоположного действия силы тяги в течение располагаемой паузы перед торможением. Пуск двигателя для разгона и торможения сопровождается переходными режимами на временных полуинтервалах и , а останов двигателя сопровождается переходными режимами на временных полуинтервале и отрезке .

Рис.6. Структура закона управления силой тяги ракетного двигателя

Решение задачи причаливания. Траектория причаливания ракеты к астероиду состоит из 6 типовых полуинтервалов и одного отрезка, на каждом из которых дифференциальные уравнения движения решаются аналитически, когда в качестве начальных условий на каждом промежутке принимаются значения параметров движения в конце предыдущего промежутка, как это сделано в предыдущих разделах данной главы согласно методу припасовывания [8,12,13]. Построение закона управления заключается в определении двух управляющих параметров: момента окончания установившейся работы двигателя при разгоне и момента начала установившейся работы двигателя при торможении . Для их определения получим два нелинейных алгебраических уравнения в результате последовательного решения дифференциальных уравнений для скорости и расстояния на каждом из 7 типовых промежутков.

На первом промежутке, , происходит пуск двигателя, и поступательное движение описывается уравнениями:



,,(74)

где - линейное ускорение, создаваемое силой тяги двигателя в установившемся режиме; , с начальными условиями (70).

Интегрирование первого уравнения (74) даёт зависимость изменения текущей скорости от времени:

.(75)

В конце первого полуинтервала завершается пуск двигателя, и скорость определяется выражением:

.

Строго говоря, по окончании переходного процесса пуска двигателя значение экспоненты должно быть равно нулю, но это возможно только при . Поэтому принимая длительность пуска двигателя равной , в экспоненте сделаем предельный переход , в результате чего приходим к выражению:

.

С учётом соотношения величина скорости разгона определяется соотношением:



.(76)

Второе уравнение системы (74) с учётом (75) принимает вид:

.

Интегрирование последнего уравнения даёт выражение для текущего расстояния между ракетой и астероидом:

.

В конце первого полуинтервала расстояние определяется выражением:

(77)

С учётом предельного перехода в экспоненте приходим к выражению:

.(78)

На втором полуинтервале, , двигатель работает в установившемся режиме разгона поступательной скорости. Движение ракеты описывается уравнениями:



,,(79)

с начальными условиями (76), (78). Интегрирование уравнений (79) и преобразования в порядке, показанном для первого отрезка, дают выражение для скорости:

.(80)

и расстояния:

,(81)

в конце второго отрезка семисоставной траектории сближения.

Продолжая последовательное интегрирование соответствующих уравнений движения на оставшихся пяти отрезках, приходим к следующему выражению для скорости поступательного движения в конце траектории причаливания:

.

Учитывая, что , , и проведя предельный переход, приходим к уравнению с двумя искомыми неизвестными величинами , :

,



откуда выразим вторую неизвестную через первую:

.(82)

Для расстояния с учётом соотношения (82) получаем уравнение:

.

После преобразований приходим к квадратному уравнению относительно неизвестной :

.

Решение последнего уравнения даёт формулу для вычисления первого управляющего параметра:

.(83)

Для вычисления второго управляющего параметра из соотношения (82) получаем формулу:

.(84)



Ограничение на применимость формул (83) и (84) следует из условия положительности подкоренного выражения:

.

Пример Пусть МКТС при работе двигателя в установившемся режиме получает ускорение 1 м/с Причаливание начинается с расстояния 100 м с нулевой начальной скоростью . Двигатель имеет постоянные времени: с, с. Из последней формулы следует, что время причаливания должно быть больше:

20,5 с.

Составим закон управления силой тяги, при котором причаливание ракеты к астероиду произойдёт через 22 с. Закон управления считается установленным, если определены моменты времени и . По формуле (83) получаем:

с.

Из физических соображений следует, что при вычислении момента необходимо выбрать знак минус. Тогда значение первого управляющего параметра равно с. При вычислении момента по формуле (84) знак принимается положительным: . Легко вычисляются остальные моменты времени в законе управления:

с,

с.



Пауза между разгоном и торможением равна: с. Максимальная скорость достигается в момент и равна:

6,805 м/с.

Постоянные времени характеризуют неуправляемые отрезки полёта ракеты. Поэтому лучшими двигателями считались такие, у которых постоянные времени меньше. Решение задачи 1 представляет собой методику формирования закона управления причаливанием ракеты с учётом динамики переходных процессов в РД. Теперь двигатель не обязательно должен обладать малыми постоянными времени, что позволяет упростить разработку зондирующей ракеты, в качестве которой используется МКТС. Больше того, если большие величины постоянных времени имеют меньшие значениях случайных разбросов, то применение менее динамичных двигателей может повысить точность исполнения законов управления.

Причаливание МКТС с учётом расхода топлива

Поступательное движение ракеты в условиях отсутствия аэродинамического сопротивления и гравитационного притяжения астероида описывается следующими дифференциальными уравнениями:

,,(85)

где - относительная поступательная скорость ракеты; - расстояние между ракетой и астероидом; - масса ракеты (корпус, двигатель, топливо, аппаратура); - сила тяги маршевого двигателя входит в уравнение:



,(86)

где - массовый секундный расход топлива; - удельная тяга; м/сІ. Знак плюс в уравнении (85) принимается при разгоне, знак минус при торможении. Предполагается, что расход топлива двигателем осуществляется по равномерному закону [9]:

,(87)

Для уравнений (85), (87) заданы начальные условия:

; ; ; .(88)

Задача Требуется установить закон управления работой двигателя, структура которого выражается в моменте переключения поступательного ускорения с разгона на торможение и моменте выключения двигателя , когда ракета, имея начальное состояние (20), переходит в заданное конечное состояние:

; ;;,(89)

где - неизвестное конечное время; величина не задана.

Решение задачи Решение задачи причаливания проведём методом аналитического конструирования траектории поступательного движения ракеты из двух типовых промежутков: полуинтервала разгона и отрезка торможения, разделённых моментом переключения. Разгон скорости на полуинтервале, , описывается уравнением:



,(90)

с начальными условиями (88). После разделения переменных интегрированием получаем выражение для текущей скорости разгона:

.(91)

В конце разгона выражение для скорости имеет вид:

,(92)

где - удельный массовый секундный расход топлива в двигателе.

Решение второго уравнения системы (85) с учётом зависимости (91) и введённого обозначения приводит к вычислению интеграла:

.

Для его вычисления введём новую переменную: , , 0, для которой справедливы соотношения:

; ;.



С новой переменной последнее уравнение принимает вид:

.

Вычисляя интеграл по частям, получаем зависимость текущего расстояния между МКТС и астероидом от времени при разгоне:

.

В конце полуинтервала двухсоставной траектории поступательного движения расстояние вычисляется по формуле:

.

С нулевыми начальными условиями по скорости и времени получаем выражение для высоты переключения тяги в противоположное направление:

.(93)

На отрезке составной траектории сближения, , поступательное движение представляет собой торможение и описывается уравнением:



,(94)

с начальными условиями (92), (93). Разделяя переменные и учитывая зависимость (87) для отрезка, интегрированием уравнения (94) получаем зависимость для текущей скорости торможения от времени:

.

С учётом соотношения и обозначения после преобразований приходим к алгебраическому уравнению:

,(95)

из которого получаем соотношение:

.(96)

Из решения второго уравнения (85) приходим к выражению:

,(97)

означающее контакт МКТС с астероидом.

На практике справедливо условие, что сближение с астероидом происходит при достаточно малой тяговооружённости МКТС, определяемой как отношение силы тяги двигателя к весу ракеты, которая равна примерно единице:

.

Для современных ЖРД величина удельной тяги достигает значений 300 - 400 с, и в этом случае удельный массовый секундный расход топлива составляет 0,0025 - 0,0033 1/с. Кроме того, считаем, что сближение с астероидом происходит достаточно быстро за время, не превышающее нескольких десятков секунд. Тогда с большой степенью точности логарифмические функции в уравнении (97) можно представить рядами Тейлора с одним членом разложения: .

Уравнение (97) принимает вид:

.

После несложных преобразований с учётом соотношения (96) приходим к уравнению четвёртой степени относительно искомого управляющего параметра :

,(98)



которое решается одним из приближённых численных методов.

После вычисления момента переключения время сближения вычисляется по формуле (96). Эти два момента полностью определяют закон управления наискорейшим причаливанием ракеты к астероиду с учётом расхода топлива в ракетном двигателе.

Пример 3. Пусть ЖРД имеет характеристики: 1/с, 300 с. Тогда при м уравнение (98) принимает вид:

.

Из четырёх найденных подходящий корень имеет значение с. По формуле (96) вычисляем продолжительность сближения:

с.

Пусть МКТС перед причаливанием имеет массу кг. По формуле определяем величину массового секундного расхода топлива 2 кг/с. Вычислим необходимую величину силы тяги:

Н.

Необходимая масса топлива определяется продолжительностью сближения:

кг.

Максимальная скорость при сближении достигается в момент переключения, т.е. в конце разгона и составляет величину:



120,14 м/с.

3. Причаливание МКТС за назначенное время

Как правило, астероиды в своём орбитальном движении совершают вращения. В этом смысле становится не безразличной сторона астероида, к которой МКТС причаливает для установки зондирующей аппаратуры. Возникает задача сближения за назначенное время.

Задача 3. Требуется установить закон управления разгоном - торможением поступательного движения ракеты из начального состояния:

;;;,(99)

в заданное конечное:

;;;,(100)

за назначенное время , где величина не задана.

Решение задачи 3. При решении задачи 2 закон управления определялся двумя моментами времени: моментом переключения и моментом сближения. Поскольку в задаче 3 момент сближения уже задан, необходимо иметь дополнительный управляющий параметр. Он появляется благодаря введению паузы в работе маршевого двигателя между разгоном и торможением, протяжённость которой определяется моментами окончания разгона и началом торможения . Траектория причаливания формируется из трёх типовых промежутков: полуинтервала разгона , полуинтервала паузы и отрезка торможения .

На первом полуинтервале движение совпадает с разгоном, рассмотренным в задаче 2, и для него справедливы выражение для скорости:



,(101)

и выражение для расстояния:

.(102)

Во время паузы, , движение описывается уравнениями:

, ,(103)

с начальными условиями (101), (102). Интегрируя уравнения (103), получаем выражения для скорости:

,(104)

и расстояния:

.(105)

в конце паузы .

На отрезке происходит торможение, описываемое соответствующими дифференциальными уравнениями с начальными условиями (104), (105). Интегрирование уравнений (85) со знаком минус в правой части и последующие преобразования дают выражение для скорости:



,

из которого с учётом конечной скорости получаем выражение для определения оставшейся массы МКТС:

.

Масса МКТС на втором полуинтервале трёхсоставной траектории не изменяется и на его конце равна массе ракеты в конце первого полуинтервала:

.

Подстановка последнего соотношения в предпоследнее даёт выражение:

.(106)

После несложных преобразований получаем зависимость между всеми тремя моментами времени, определяющими искомый закон управления:

.(107)

Интегрирование второго уравнения на отрезке торможения даёт следующее выражение для расстояния:



.

После замены логарифмических функций рядами с одним членом разложения и преобразований приходим к уравнению:

,

где - заданное время сближения. Из соотношения (107) выразим величину и подставим её выражение в последнее уравнение. Получаем формулу для вычисления момента отключения двигателя после разгона:

.(108)

Формулу для вычисления момента включения двигателя после паузы получим, подставив выражение (108) в соотношение (107):

.(109)

Формулы (108), (109) определяют моменты времени и , устанавливающие структуру закона управления причаливанием МКТС к астероиду за назначенное время с учётом расхода топлива на установившихся режимах работы МРД.

Пример 4. Пусть для условий примера 3 продолжительность сближения задана равной 22 с. Тогда по формуле (108) вычислим первый управляющий параметр:

9,825 с,

по которому происходит выключение силы тяги МРД, а по формуле (109) вычислим второй управляющий параметр искомого закона управления:

12,561 с,

указывающий момент включения МРД, сила тяги которого направлена на торможение. Продолжительность паузы составляет 2,7 с. В течение этой паузы необходимо провести угловой разворот МКТС так, чтобы для торможения использовать тягу одного и того же маршевого двигателя.

Таким образом, методом аналитического конструирования траекторий причаливания МКТС к астероиду из типовых промежутков (полуинтервалов и отрезков), для дифференциальных уравнения поступательного движения на которых получены аналитические решения, рассмотрены и решены три задачи причаливания: 1) наискорейшее причаливание с учётом динамики переходных процессов нарастания и спада тяги в МРД, 2) наискорейшее причаливание с учётом расхода топлива в РД, 3) причаливание за назначенное время с учётом расхода топлива в РД. Решение каждой из трёх задач причаливания состоит в определении управляющих параметров в соответствующей структуре закона управления по несложным формулам, удобным в проектных расчётах. Приближённая программная траектория, получаемая из решение первой задачи, применима в синтезе закона управления по обратной связи и строгом математическом моделировании ПММ при формировании требований к бортовой системе управления и определении других проектных параметров МКТС.

В данной главе представлены результаты, полученные методом аналитического конструирования составной программной траектории из типовых промежутков при решении задач управления как угловым, так и поступательным движением МКТС в космосе при использовании ракетных двигателей, в которых учитывается экспоненциальное нарастание тяги при включении и экспоненциальный спад тяги РД при останове.



Библиографический список

1. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем I, II // Автоматика и телемеханика. - 1974. - № 7. - С.33-47. - 1974. - № 8. - С.39-61.

2. Мещанов А.С. Cинтез многоуровневых векторных управлений для скользящих режимов заданного порядка // Вестник КГТУ им.А.Н. Туполева. - 2007. - № 4. - С.47-51.

3. Лукьянов А.Г. Уткин В.И. Методы сведения уравнения динамических систем к регулярной форме // Автоматика и телемеханика. - 1981. - № 4. - С.5-13.

4. V.A. Afanasyev, G.L. Degtyarev, A.S. Meshchanov, T.K. Sirazetdinov. Stability and synthesis problems for nonlinear systems under uncertainty with application to spacecrafts // International IFNA-ANS scientific Journal "Problems of nonlinear analysis in engineering systems". - 2(34) - v.16. - 2010. - Pp.47-66.

5. Мещанов А.С. Анализ устойчивости и синтез систем управления с нелинейными нестационарными объектами при неопределенных возмущениях // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. - 2010. - № 2. - С.110-117.

6. Мещанов А.С. Идентификация и компенсация возмущений в управлении нелинейными объектами // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. - 2010. - № 3. - С.164-173.

7. Мещанов А.С., Севрюгин С.Ю. Многошаговый скользящий режим в воспроизведении модельных движений в системах с линейным стационарным объектом при неопределенных возмущениях и погрешностях измерений // Вестник КГТУ. - 2011. - № 2. - С.141-151.

8. Мещанов А.С., Севрюгин С.Ю. Стабилизация оборотов ротора турбореактивного двигателя в скользящем режиме с учетом неопределенных возмущений и погрешностей измерений // Изв. вузов. Авиационная техника. - 2011. - № 3. - С.17-22.

9. Мещанов А.С Синтез многообразия скольжения и управления с идентификатором состояния при неопределенности // Вестник КГТУ им.А.Н. Туполева. - 2008. - № 3. - С.92-97.

10. Мещанов А.С. Приведение линейных нестационарных объектов с идентификатором состояния к модельному движению при неопределенности // Вестник КГТУ. - 2008. - № 4. - С.127-134.

11. Мещанов А.С. Управление нелинейными нестационарными объектами на скользящих режимах при неопределенности и неполной информации о состоянии // Вестник КГТУ. - 2012. - № 1. - С.146-156.

12. Афанасьев В.А., Мещанов А.С. Декомпозиция уравнений скользящего режима с применением к задаче инвариантности по части координат // Межвуз.сб. “Устойчивость и управление”. - Казань. - 1985. - С.30-37.

13. Мещанов А.С. Метод эквивалентных преобразований для управления спутником наблюдения инерционными приводами при неопределенности // Изв. вузов. Авиационная техника. - 2008. - № 3. - С.24-30.

14. Мещанов А.С., Севрюгин С.Ю. Метод управления с гарантированной терминальной инвариантностью к неопределенным и номинальным возмущениям // Вестник КГТУ. - 2010. - № 3. - С.196-203.

15. Мещанов А.С., Севрюгин С.Ю. Управление с терминальной инвариантностью к возмущениям и минимальными энергетическими затратами, стабилизация КЛА в атмосфере // Вестник КГТУ. - 2010. - № 4. - С.183-191.

16. Мещанов А.С. Перевод на программные траектории и стабилизация линейных нестационарных объектов в скользящем режиме при возмущениях // Вестник КГТУ. - 2011. - № 3. - С.106-114.

17. Мещанов А.С. Скользящий режим в переводе нелинейных объектов на программные траектории и их стабилизации при возмущениях // Вестник КГТУ. - 2011. - № 4. - С.168-179.

18. Афанасьев В.А., Мещанов А.С. Метод функций Ляпунова в формировании скользящих режимов заданного порядка // В кн. Теория и проектирование систем автоматического управления и их элементов: Межвузовский научный сборник. - Уфа: изд. Уфимского ордена Ленина авиационного института им. Серго Орджоникидзе. - 1984. - 195 с.

19. Мещанов А.С. Cинтез многоуровневых векторных управлений для скользящего режима заданного порядка // Вестник КГТУ им.А.Н. Туполева. - 2007. - № 4. - С.47-51.

...