Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

УДК 539.3

агрегатний багаторівневий метод розв'язування скінченноелементних задач будівельної механіки

05.23.17 -- Будівельна механіка

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

ФІАЛКО Сергій Юрійович

Київ 2004

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Київському національному університеті будівництва і архітектури Міністерства освіти і науки України

Науковий консультант доктор технічних наук, професор Заруцький Володимир Олександрович, Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України, завідувач відділу будівельної механіки тонкостінних конструкцій.

Офіційні опоненти: академік НАН України, доктор технічних наук, професор Григоренко Ярослав Михайлович, Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України, завідувач відділу обчислювальних методів

доктор технічних наук, професор Сахаров Олександр Сергійович, Національний технічний університет України „КПІ”, професор кафедри хімічного, полімерного та силікатного машинобудування

доктор технічних наук, професор Піскунов Вадим Георгійович, Національний транспортний університет, завідувач кафедри опору матеріалів та машинознавства

Провідна установа Харківський державний технічний університет будівництва та архітектури, кафедра будівельної механіки, Міністерство освіти і науки України, м. Харків

Захист відбудеться 28 квітня 2004 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.056.04 Київського національного університету будівництва і архітектури за адресою: 03 037 Київ-37, Повітрофлотський проспект, 31.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Київського національного університету будівництва і архітектури за адресою: 03 037 Київ-37, Повітрофлотський проспект, 31.

Автореферат розісланий 25 березня 2004 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради

кандидат технічних наук,

старший науковий співробітник В.Г. Кобієв

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. В останні роки відбувається значне зростання розмірів скінченноелементних моделей, які застосовують до розрахунків на міцність, стійкість та коливання будинків і споруд.

Якщо у 1995 році великим розміром для комп'ютерів класу ПК (ПК - персональний комп'ютер) вважалась задача, яка містила 40 000 - 50 000 рівнянь, у 2000 році -- 80 000 - 150 000 рівнянь, то сьогодні розмір середньої задачі розрахунку на міцність 24 - 30 поверхового будинку складає 250 000 - 350 000 рівнянь, а велика задача містить 500 000 - 1 500 000 рівнянь.

Крім того, застосування ефективних методів МСЕ аналізу (МСЕ - метод скінченних елементів) підвищує достовірність результатів, тому що дозволяє працювати на значно густіших сітках у порівнянні до традиційних методів.

Таким чином, розробка сімейства стійких до поганої обумовленості ітераційних методів розв'язання задач будівельної механіки великої розмірності (статика і вільні коливання), до яких призводить застосування МСЕ, є актуальною проблемою, яка має велике теоретичне й практичне значення. Успішне вирішення цієї проблеми істотно скорочує тривалість розрахунків на міцність та на власні коливання, підвищує якість проекту й достовірність результатів, а в багатьох випадках дозволяє отримати результати на комп'ютерах класу ПК, не переходячи на коштовні технології паралельних обчислень.

Звязок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у відповідності з темами НДР (1999 - 2003 рр.):

· “Розвиток теоретичних основ і методів дослідження статичних та динамічних процесів деформування нелінійних систем при взаємодії з детермінованими і стохастичними енергетичними полями різної природи”, ДР. №0199V002034, Київський державний технічний університет будівництва і архітектури.

· “Створення фундаментальних основ сучасних комп'ютерних технологій визначення ресурсу та підвищення надійності і довговічності деформівних систем та елементів двигунів і енергетичних установок теплової та атомної енергетики України”, ДР. №0101V003404, Київський національний університет будівництва і архітектури.

· “Моделювання техногенно - природних процесів і явищ для забезпечення екологічної безпеки обєктів і територій України”, ДР. №0103V006719, Український інститут досліджень навколишнього середовища і ресурсів.

Автору, який був виконавцем цих тем, належить розробка методів ефективного розвязування систем рівнянь високого порядку, які виникають при застосуванні МСЕ до задач будівельної механіки.

Мета і задачі дослідження. Мета дисертаційної роботи полягає в розробці сімейства стійких до поганої обумовленості ітераційних методів розвязування систем рівнянь (статика та вільні коливання), які виникають при застосуванні МСЕ до задач будівельної механіки. Ці методи повинні діяти для усіх типів скінченних елементів (стержнів, пластин, оболонок, обємних тіл та ін.), які зустрічаються у бібліотеках скінченних елементів розповсюджених МСЕ програм. Стійкість методів до поганої обумовленості повинна бути настільки високою, щоб їх можна було застосовувати для масових обчислень МСЕ моделей будівельних конструкцій.

Для досягнення цієї мети планується розвязати такі задачі:

· Для методу спряжених градієнтів розробити агрегатне багаторівневе передобумовлення на основі підходу „елемент - по - елементу” для формування матриці жорсткості моделі грубого рівня й технології розріджених матриць для її факторизації і прямих - зворотних підстановок. Це дає можливість поєднати переваги методу спряжених градієнтів і багаторівневих методів для підвищення стійкості до поганої обумовленості, а також забезпечити високу універсальність (у сенсі типів скінченних елементів) завдяки агрегатному підходу.

· Для задач вільних коливань узагальнити метод спряжених градієнтів на випадок упровадження зсувів у агрегатне багаторівневе передобумовлення, спрямоване на прискорення збіжності й подолання ефекту її замикання, яким часто страждає класичний метод спряжених градієнтів із передобумовленням для проблеми власних значень.

· На основі агрегатного багаторівневого передобумовлення розробити Рітц - градієнт метод, який дозволяє аналізувати нижню границю спектра власних частот і форм коливань МСЕ моделей великої розмірності, не вимагаючи факторизації матриці жорсткості.

Обєктом дослідження в дисертаційній роботі є розрахункові моделі жилих та цивільних будинків, інженерних споруд, а також інших тривимірних конструкцій складної форми, які приводять до систем МСЕ рівнянь високого порядку.

Предметом дослідження є агрегатне багаторівневе передобумовлення як спосіб боротьби з поганою обумовленістю і вільною збіжністю ітераційних методів при розвязуванні задач статики та вільних коливань вказаних обєктів; вплив зсувів на збіжність методу спряжених градієнтів з передобумовленням при розвязуванні узагальненої проблеми власних значень, а також побудова векторів Рітца на основі градієнтного метода з агрегатним багаторівневим передобумовленням до визначення частот і форм власних коливань, який не вимагає факторизації матриці жорсткості високого порядку. багаторівневий передобумовлення матриця вгрегатний

Методом дослідження задач статики і власних коливань є метод спряжених градієнтів з агрегатним багаторівневим передобумовленням, а також розроблений автором Рітц-градієнт метод визначення частот і форм власних коливань.

Наукова новизна одержаних результатів:

· Розроблено агрегатне багаторівневе передобумовлення, в якому вперше застосований поелементний метод до зборки матриці жорсткості моделі грубого рівня і розроблений автором на основі технологій розріджених матриць багатофронтальний метод, який забезпечує швидку факторизацію та прямі - зворотні підстановки. Запропонований метод відрізняється від відомого раніше агрегатного методу В.Є. Булгакова тим, що завдяки поелементному формуванню матриці жорсткості моделі грубого рівня і багатофронтальному методу вдається утримати високий порядок моделі грубого рівня (20 000 - 300 000 рівнянь), що забезпечує добре передбачення вільно збіжних нижніх мод розвязання і високу стійкість до поганої обумовленості. Як наслідок, розроблений в дисертаційній роботі метод дозволив масово й ефективно розвязувати навіть такі погано обумовлені задачі, якими є розрахункові МСЕ моделі багатоповерхових будинків.

· Уперше проведено узагальнення методу спряжених градієнтів для визначення частот і форм власних коливань при застосовуванні зсувів в агрегатному багаторівневому передобумовленні. Наведено математичне обгрунтування і підтверджено великою кількістю прикладів, що відповідний вибір величини зсуву покращує спектральні властивості передобумовлення і прискорює збіжність, а в ряді випадків дозволяє уникнути замикання збіжності, характерного для класичного методу спряжених градієнтів із передобумовленням.

· На основі агрегатного багаторівневого передобумовлення вперше розроблено Рітц-градієнт метод для наближеного визначення частот і форм власних коливань. Наведено математичне обгрунтування і підтверджено великою кількістю прикладів, що чим краще модель грубого рівня апроксимує нижні власні форми коливань, тим ближче базисні вектори МСЕ моделі до відповідних векторів Ланцоша і тим краще вектори Рітца апроксимують нижні форми коливань МСЕ моделі. У граничному випадку, коли агрегатна модель тотожна МСЕ моделі, Рітц - градієнт метод перетворюється у метод Ланцоша з повною реортогоналізацією.

Достовірність результатів обгрунтовується досягненням збіжності розвязання із заданою точністю в кожному конкретному випадку. Для Рітц-градієнт методу достовірність результатів обгрунтовується порівнянням на великій кількості задач із результатами методу Ланцоша, які при строгому контролюванні норми вектора відхилу можна вважати практично точними в межах поданої дискретної моделі. Представлені методи дозволяють отримувати результати на значно густіших сітках в порівнянні до класичних методів, що значно підвищує точність і достовірність результатів.

Практичне значення отриманих результатів. Представлені в дисертаційній роботі методи доведені до такого рівня надійності, який дав можливість застосувати їх для розрахунку моделей різноманітних будівельних конструкцій та тіл складної форми у програмних комплексах масового використання Robot 97, Robot Millennium (інформатична фірма RoboBAT), SCAD (Сертификат соответствия № РОСС RU.СП11.Н0083, ГОССТРОЙ РОССИИ №0178628, орган по сертификации РОСС RU.9001.11СП11 ФГУП ЦПС - Орган по сертификации программной продукции массового применения в строительстве ОС ППМПС), виробник -- компанія по розробці програмного забезпечення у будівництві ООО СКАД СОФТ. Цей сертифікат чинний на території України. Таким чином, розроблені в дисертаційній роботі методи, алгоритми і програми використовуються як на Україні, так і за її межами (Франція, США, Велика Британія, Польща, Росія, країни Близького Сходу) протягом 6 років.

Особистий внесок здобувача складається в розробці агрегатного багаторівневого передобумовлення на підставі поелементного підходу до зборки матриці жорсткості агрегатної моделі, в розробці багатофронтального методу її факторизації, в створенні узагальненого методу спряжених градієнтів із зсувами у агрегатному багаторівневому передобумовленні та обгрунтуванні його збіжності, в створенні та обгрунтуванні Рітц-градієнт методу, в розробці блокового методу Ланцоша із зсувами та у комп'ютерній реалізації усіх зазначених розробок.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації та її складові частини доповідались на 6-й Міжнародній конференції “Shell Structures, Theory and Applications”, Gdansk - Jurata (Poland), October 12-14, 1998, на конференції XIV Polish Conference on Computer Methods in Mechanics, 26-28 May 1999, Rzeszow, Poland, на Європейській конференції “2-nd European conference on computational mechanics”, Cracow, Poland, June 26-29, 2001, на Міжнародній конференції “Fourth international conference on parallel processing and applied mathematics”, Naleczow, Poland, September 9-12, 2001, на 15-й Міжнародній конференції “15th international conference on computer methods in mechanics CMM-2003”, June 3-6, 2003, Gliwice/Silesian Beskid, Poland, 2003, на Міжнародній науково - технічній конференції “Автоматизация проектирования в строительстве и гидротехнике”, 14-16 травня 2003, Одеса, на одинадцятому українсько-польському семінарі “Теоретические основы строительства”, 23 - 27 червня 2003, Дніпропетровск, на 20-й Міжнародній конференції “Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов”, 24 - 26 вересня, 2003., Санкт-Петербург, на науково - технічній конференції Київського національного університету будівництва і архітектури (Київ, 2003). Дисертаційна робота в повному обсязі обговорювалась на семінарі з напрямку „Механіка оболонкових систем” Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (Київ, 2003, керівник семінару - академік НАН України Я.М.Григоренко), на спеціалізованому семінарі з будівельної механіки при Київському національному університеті будівництва і архітектури (Київ, 2003).

Публикації. Основний зміст дисертації викладено у 24 публікаціях.

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, шести розділів, висновків і додатку. Обсяг дисертації - 293 стор., обсяг ілюстрацій, таблиць, списку використаних джерел та додатків - 46 стор. Дисертація містить 72 ілюстрації, 46 таблиць та 167 найменувань використаних джерел.

Автор висловлює глибоку вдячність д.т.н., професору В.А.Баженову за змістовні поради протягом підготовки дисертації.

Основний зміст

У вступі викладена актуальність проблеми, подана загальна характеристика роботи, її мета, показана наукова новизна та практичне значення результатів.

У першому розділі поданий аналіз існуючих методів розв'язування систем рівнянь задач статики та вільних коливань високого порядку, які виникають при застосуванні МСЕ до задач будівельної механіки. Наведені причини неухильного зростання розмірності розрахункових МСЕ моделей та причини поганої обумовленості.

Перш за все це стосується розрахункових моделей багатоповерхових будинків, кількість поверхів яких весь час неухильно зростає.

Застосовування об'єктно - орієнтованих препроцесорів для створення розрахункової МСЕ моделі, генератори сіток яких наносять сітку разом на укрупнені об'єкти, такі як "стіна", "перекриття", "поверх" та на інші континууми розрахункової моделі, теж приводить до зростання розмірності МСЕ моделі внаслідок вимоги узгодженості сіток на лініях перетину площин та поверхонь, а також унаслідок необхідності поступового переходу від зон густої сітки біля концентраторів напружень до рідкої сітки, особливо для складних контурів, які мають багато отворів, вирізів та тонких смуг.

До такого ж ефекту приводить спряження стержнів із пластинами та оболонками (наприклад, спряження колони з перекриттям), тому що у місті перетину континууму з віссю стержня генератор сітки повинен не тільки згенерувати вузол, але і виконати згущення сітки.

Сучасні технології створення розрахункових МСЕ моделей і стислі терміни проектування не дають змоги наносити сітку ручним способом, тобто контур за контуром. Крім того, у випадку великого об'єкту ручний спосіб приводить до важко відшукуваних помилок моделювання, зв'язаних із неузгодженістю сіток.

Існуючі на сьогодні методи розвязування великих систем рівнянь, до яких приводить застосування МСЕ до задач статики в будівельній механіці, можна поділити на дві великі групи: прямі методи та ітераційні.

Прямі методи до останнього часу були практично єдиним інструментом масового розвязування задач будівельної механіки. Наприкінці ХХ століття інтенсивно розвивалися прямі методи для розріджених матриць, які істотно підвищили швидкість розвязання і розширили можливості МСЕ програм для ПК.

Найбільше розповсюдження у МСЕ програмах масового використання отримали різноманітні реалізації багатофронтального методу. Але часто серед задач, які повстають перед проектувальником, з'являються такі, коли прямі методи стають дуже коштовними навіть при відносно невеликій кількості рівнянь (150 000 - 250 000). Це відбувається тоді, коли відношення ширини до глубини структури рівнів графа суміжності з коренем у псевдопериферійному вузлі відносно невелике. До таких задач звичайно приводять розрахункові моделі реакторних цехів атомних електростанцій та інших споруд, які мають велику кількість несучих стін та перекриттів, що перетинаються, а також розрахункові моделі, в яких вивчаються особливості взаємодії будинку з грунтом, велика кількість тривимірних обєктів та інші.

Крім того, при подальшому зростанні розмірності МСЕ моделей (500 000 рівнянь і більше) тривалість розвязування задач прямими методами починає катастрофічно зростати, і часто відбувається така ситуація, при якій застосування ітераційного методу стає єдино можливим засобом отримати результат на комп'ютері даної конфігурації. Цей факт відображений на рис. 1.

Результати, отримані для квадратної пластини при згущенні сітки, мають загальне значення. Залежність часу розвязування задачі від кількості невідомих для прямих методів носить квадратичний характер. Відомо, що для методу спряжених градієнтів ця залежність лінійна. Але при застосуванні передобумовлення практично неможливо забезпечити однакові спектральні властивості для різних сіток, тому на наведеному графіку ця залежність (крива 3) трохи відрізняється від лінійної. З цього виникає, що для кожної задачі, починаючи з певної кількості рівнянь, ітераційний метод стає більш економічним, ніж прямий.

Задачі будівельної механіки, особливо розрахункові моделі багатоповерхових будинків, часто погано обумовлені внаслідок великої різниці жорсткості різних частин конструкції, наявності тонкостінних елементів (балок, пластин, оболонок) з істотною різницею жорсткості на розтягнення - стискання і на згин, складної геометричної форми перекриттів і стін із великими та малими отворами, на яких навіть сучасні генератори сіток часто не в змозі витримати оптимальні співвідношення поміж довжиною сторін скінченних елементів, величинами кутів та з інших причин. Тому часто на таких задачах традиційні ітераційні методи збігаються поволі чи взагалі не збігаються.

В останні роки інтенсивно розвивалися багатосіточні ітераційні методи. Для задач механіки деформівного твердого тіла застосування цих методів звичайно призводить до істотного зменшення часу обчислень. Але для задач будівельної механіки, обумовленість яких як правило значно гірша, багатосіточні методи не завжди дозволяють отримати стабільну збіжність. Крім того, присутність стержнів у розрахунковій моделі значно ускладнює їх застосування. Тому більшість розробників комп'ютерних МСЕ програм масового використання пішли в напрямку застосування методу спряжених градієнтів із передобумовленням. Серед великої кількості різноманітних ідей утворення передобумовлення найбільш розповсюдженими стали методи неповної факторизації Холецького та алгебраїчні багаторівневі методи.

Вагомий внесок у розвиток прямих методів для розріджених матриць зробили B. Irons, J.A.George, J.W.Liu, I.S. Duff, J.K.Reid, J.A.Scott, P.Gend, J.T.Oden, van der Geijn R.A., A.Pothen та інші. В дисертаційній роботі представлено багатофронтальний метод для розріджених матриць, розроблений автором і впроваджений у МСЕ програми Robot Millennium і SCAD.

Багатосіточні ітераційні методи розвивалися в роботах A.Brandt, W.Hackbush, T.Hwang, ID.Parsons. В окрему групу методів ми виділяємо метод спряжених градієнтів із передобумовленням (PCG), значний внесок у розвиток якого внесли А.А.Самарський та C. Lanczos. По типу передобумовлення PCG методи розподіляють на алгебраїчні, багаторівневі алгебраїчні (O.Axelsson, P.Vassilevski, R.Glowinski, G.H.Golub, J. Saad, Xu J.), багаторівневі геометричні, багаторівневий агрегатний метод (В.Є.Булгаков, М.Е.Белый, J. Fish, автор). У свою чергу алгебраїчні методи ділять на методи передобумовлення елемент - по - елементу (EBE preconditioning -- T.J.R. Hughes, J.Winget, M.Ferencz, J.Hallquist) та методи типу неповної факторизації Холецького (ICCG - incomplete Cholesky conjugate gradient method -- A.Jennings, D.J.Evans,T.Manteuffel, J.Maijerink, van der Vorst).

Хоча в окремих випадках застосування багаторівневого передобумовлення істотно прискорило збіжність ітераційних методів, одержати стабільну збіжність настільки, щоб можна було масово застосовувати ітераційні методи до аналізу різноманітних розрахункових моделей, які виникають при застосуванні МСЕ до задач будівельної механіки (наприклад, до конструкцій багатоповерхових будинків), не удалося.

Ще гірше виглядають справи з розвязуванням задач вільних коливань систем великого розміру. На сьогоднішній день у програмах МСЕ масового використання найбільш широко застосовуються методи редукції (редукція Гайана, редукція базису - R.W. Clough, E.С.Дехтярюк, В.Н.Кислоокий, А.Д.Легостаєв, автор), метод блокової ітерації в підпросторі (E.Wilson, K.Bathe) і блоковий метод Ланцоша (T. Ericsson, A. Ruhe, R. Grimes, J. Levis, H. Simon, C. Paige, G. Golub, R.Underwood, B. Parlett, автор). Ці методи вимагають факторизації матриці жорсткості. Якщо розмірність задачі дуже велика (500 000 рівнянь і більше) чи структура рівнів графа суміжності з коренем у псевдопериферійному вузлі є досить широкою, факторизація матриці жорсткості стає коштовною в часі і вимагає значних ресурсів комп'ютера, а іноді й просто неможлива на сучасних комп'ютерах класу ПК.

Серед методів, які не вимагають факторизації матриці жорсткості, застосовують метод Давідсона (Y.Feng) та метод агрегатної багаторівневої ітерації у підпросторі (В.Є. Булгаков, М.Е. Бєлий). Найбільш розповсюдженим є метод спряжених градієнтів, в якому найчастіше передобумовлення приймається в формі тої чи іншої реалізації неповної факторизації Холецького (M. Papadrakakis, S. Bitzarakis, G.Gambolati, G. Pini, F. Sartoretto, Young Cho, Yook-Kong Yong).

Але для більшості задач будівельної механіки ці методи часто приводять до замикання збіжності. Про невирішеність цієї проблеми свідчить той факт, що навіть у таких відомих МСЕ програмах масового використання, як ADYNA, ANSYS, NASTRAN, COSMOS ітераційні методи застосовуються тільки для задач статики, а для аналізу задач власних коливань пропонуються методи, засновані на факторизації матриці жорсткості. Власне тому ця дисертаційна робота присвячується розробці сімейства ітераційних методів розв'язування задач статики та вільних коливань високої розмірності, стійких до поганої обумовленості.

У розділі 2 представлені типи розрахункових моделей та типи скінченних елементів, які використовуються у даній роботі. Розглядаються тільки ті типи розрахункових моделей і ті типи скінченних елементів, для яких розроблені тут методи пройшли тестування численними користувачами з різних країн світу протягом останніх 6 років.

Головним об'єктом уваги є просторові розрахункові моделі, що мають 6 ступенів свободи у вузлі: 3 переміщення і 3 кути повороту. Представлені тут методи успішно працюють і на плоских розрахункових моделях, що мають 3 ступені свободи у вузлі: 2 переміщення й один кут повороту. Однак плоскі розрахункові моделі рідко приводять до систем рівнянь високого порядку, які вимагають застосування ітераційних методів.

Представлені тут методи працюють практично з усіма типами скінченних елементів, використовуваними в промислових МСЕ програмах. Це двовузлові скінченні елементи просторової рами і ферми, трьох, чотирьох, шести й восьми вузлові оболонкові скінченні елементи, побудовані на теорії згину як Кірхгофа - Лява, так і Мідліна - Рейсснера, як плоскі, так і ізопараметричні, що мають 5 і 6 ступенів свободи у вузлі. Розглядаються також об'ємні чотирьох, шести й восьми вузлові скінченні елементи, засновані на співвідношеннях лінійної теорії пружності, а також специфічні скінченні елементи: пружні опори, сумісні вузли (compatible nodes), тверді в'язі (rigid links), зсуви (offsets) та інші.

Можливо також вкладення в 3-D модель трьох, чотирьох, шести і восьми вузлових скінченних елементів плоского напруженого стану і згину пластин, однак у сучасних розрахункових моделях останні застосовуються рідко через неповний набір змінних у вузлі, що породжує проблеми при їх сполученні зі скінченними елементами інших типів.

Розділ 3 присвячений агрегатному багаторівневому передобумовленню. Застосування МСЕ до задач статики та вільних коливань приводить відповідно до наступних систем рівнянь де - симетрична позитивно визначена матриця жорсткості, - симетрична позитивно визначена чи напіввизначена зосереджена чи консистентна матриця мас, - вектор вузлових переміщень і вектор вузлових навантажень, - власна пара.

Потужним методом боротьби з поганою обумовленістю є передобумовлення, яке полягає в переході від вихідних систем рівнянь (1), (2) до інших задач при застосуванні матриці - оператора передобумовлення . Якщо - позитивно визначений оператор, система рівнянь яка має таку саму розмірність, що й (1), внаслідок специфічної конструкції оператора дозволяє значно швидше розв'язувати (5), ніж (1), та число обумовленості , то задачі (3), (4) збігаються швидше, ніж (1), (2). Тут - наближення вектору розв'язання на -му кроку ітераційного процесу, а - вектор відхилу.

Таким чином, наше завдання - так сконструювати передобумовлення , щоб задовольнити усім наведеним вище умовам і намагатись, щоб . Якщо останнє вдається виконати, то стійкість до поганої обумовленості буде забезпечена і метод буде швидко збігатися.

З теорії ітераційних методів відомо, що високомодальні компоненти вектора розв'язання збігаються добре, а низькомодальні - погано. Звідси випливає, що причина поганої збіжності полягає в повільній збіжності низькомодальних компонент. Чим гірше обумовленість задачі, тим повільніше збіжність.

Даний метод є методом спряжених градієнтів з багаторівневим передобумовленням, тим самим поєднуючи достоїнства багаторівневого підходу й методу спряжених градієнтів. Цим досягається висока стійкість до поганої обумовленості.

Для передбачення нижніх мод, що погано збігаються, створюється так звана модель грубого рівня, розмірність якої істотно менша за розмірність вихідної МСЕ моделі, а збіжність по високих модах забезпечується протягом так званої процедури згладжування. Відповідність векторів змінних поміж моделлю грубого рівня та вихідною МСЕ моделлю встановлюється за допомогою операцій звуження - пролонгування (від англійського restriction - prolongation). Надалі створюється матриця жорсткості моделі грубого рівня де - прямокутна матриця, - розмірність МСЕ моделі (кількість рівнянь), - розмірність моделі грубого рівня, (має бути настільки малою, щоб допустити ефективне застосування прямого методу). Матриця жорсткості моделі грубого рівня факторизується . Далі на кожному кроці ітерацій методу спряжених градієнтів замість явного розв'язування системи рівнянь (5) відносно передобумовлення застосовуємо наступну процедуру:

Звуження вектора відхилу на модель грубого рівня , де індекси означають відповідно належність змінної до рівня МСЕ моделі (fine level) та до рівня грубої моделі (coarse level). Номер ітерації тут і надалі опущений.

Розв'язування задачі для моделі грубого рівня за допомогою прямої та зворотної підстановок.

Пролонгування вектора на рівень вихідної МСЕ моделі . Відомо, що ця операція породжує швидкоосцилюючі високомодальні компоненти вектора розв'язання, яких би насправді не було б, якщо би задача розв'язувалася на рівні МСЕ моделі.

Згладжування швидкоосцилюючих високомодальних компонент , де - згладжений вектор.

В дисертаційній роботі для створення моделі грубого рівня застосовується агрегатний підхід. Суть його полягає в тому, що на суміжні вузли вихідної МСЕ моделі накладають жорсткі в'язі, які утворюють локальні тверді диски. Таким чином, МСЕ модель перетворюється на систему локальних твердих тіл - агрегат, зв'язаних поміж собою тим, що залишилося від скінченних елементів по їх накладанню. Цей процес зв'язування називається агрегацією. Кожний вузол МСЕ моделі обов'язково повинен бути включений у склад тої чи іншої агрегати. Мінімальна агрегата складається з одного вузла. Для запобігання утворення твердого тіла, яке перекрило би всю розрахункову ділянку і заблокувало би збіжність, неможливо включення кожного вузла більш ніж в одну з агрегат.

Розроблений у дисертаційній роботі алгоритм автоматичної агрегації виконується у циклі „елемент - по - елементу”, чим істотно відрізняється від алгоритму, запропонованого В.Є.Булгаковим, який виконується по схемі „вузол за вузлом”. Це істотно скорочує термін утворення агрегатної моделі.

Продемонструємо утворення агрегатної моделі на прикладі квадратної плити із сіткою 4Ч4 (рис. 2). У циклі по скінченних елементах системи беремо перший скінченний елемент і зв'язуємо його вузли у агрегати. Помічаємо ці вузли як зв'язані для того, щоб уникнути їх включення у наступні агрегати. Переходимо до другого елементу і зв'язуємо його вузли, що залишилися, у нову агрегату. Знову помічаємо їх, як включені. І так далі. Таким чином одержуємо агрегатну модель першого рівня агрегації. Повторюємо цей процес, розглядаючи кожну агрегату з попереднього рівня як узагальнений вузол. Одержуємо агрегатну модель другого рівня агрегації. І так далі. У процесі агрегації агрегати укрупнюються, а їх кількість зменшується. Але локальний характер агрегат зберігається. Процес агрегації продовжується аж поки розмірність моделі найгрубішого рівня (надалі будемо уживати термін „агрегатна модель”) не стане досить малою для ефективного застосування прямого методу.

На відміну від багатосіточних методів агрегатний підхід можна застосовувати не тільки для континуальних систем, але і для стержневих систем, а також для будь-яких комбінацій скінченних елементів пластин, оболонок, об'ємних тіл, стержнів та специфічних елементів. Це робить його особливо привабливим для застосування у МСЕ програмах масового користування.

Центральними моментами багаторівневого агрегатного передобумовлення, які відрізняють представлений у дисертаційній роботі метод від будь-якого іншого агрегатного підходу, являючись одночасно предметами наукової новизни, є поелементний метод зборки матриці жорсткості агрегатної моделі і багатофронтальний метод її факторизації, розроблений на основі технології розріджених матриць.

Наприклад, для задачі, яка містить близько 500 000 рівнянь, множення матриці жорсткості на вектор на комп'ютері ПК із процесором Pentium 1000 МГц триває приблизно 1 с (матриця жорсткості розташована у оперативній пам'яті у компактному форматі -- без жодного нуля, що забезпечує максимальну швидкість цієї операції). Припустимо надалі, що розмірність агрегатної моделі складає 20 000 рівнянь. Тоді для визначення матриці жорсткості агрегатної моделі згідно з (6) необхідно 20 000 разів виконати множення матриці на вектор, що на даному комп'ютері складе близько 20 000 с =5 г 33 хв. Цей час значно перевищує тривалість ітерацій, яка в залежності від задачі звичайно триває 3 -- 20 хвилин. Таким чином, для того, щоб агрегатний багаторівневий метод мав право на існування, в даній роботі створено поелементний метод де сума охоплює усі скінченні елементи системи, - кількість скінченних елементів, - матриця жорсткості -го скінченного елемента, - матриця перетворення, яка виникає внаслідок накладених жорстких в'язів при агрегації. Тривалість створення матриці при такому підході практично не залежить від кількості рівнянь агрегатної моделі, і для задач, розмірність МСЕ моделей яких досягає 500 000 -- 1 200 000 рівнянь, а розмірність агрегатних моделей -- 200 000 рівнянь, лежить у границі 3 - 8 хвилин для вказаного вище типу комп'ютера.

Не знижуючи загальності методу, покажемо його застосування на прикладі 4 - вузлового оболонкового скінченного елемента, у якого вузли внаслідок агрегації потрапили до агрегат (рис. 3). Повна потенціальна енергія скінченного елемента , - множина вузлів скінченного елемента , означає, що підсумовування ведеться тільки по тих вузлах, які включає елемент -- вектори вузлових переміщень та реакцій скінченного елемента, - підматриця жорсткості елемента , віднесена до відповідних вузлів .

Накладення жорстких в'язів приводить до того, що кожний вузол належить до будь-якої агрегати. Отже, на підставі відомих теорем кінематики твердого тіла переміщення кожного вузла можна визначити через переміщення центру приведення відповідної жорсткої агрегати, до якої той вузол належить.

Розкладаючи компоненти векторів переміщень на складові поступального (індекс tran) та обертового (індекс rot) рухів, одержуємо де -- радіус-вектор, який з'єднує вузол з центром приведення агрегати.

У (12) -- координати центру приведення агрегати, а -- координати вузла. Підставивши (9) у (8), одержуємо.

Умова стаціонарності функціоналу (13) відповідає стану рівноваги скінченного елемента з накладеними в'язями.

Підставивши (13) у (14), одержуємо рівняння рівноваги скінченного елемента з накладеними в'язями.

Для розглянутого прикладу матриця трансформації має вигляд:

Вираз має простий фізичний зміст -- це внесок вузлових реакцій елемента , прикладених у вузлах агрегати, у результуючу узагальнену силу, прикладену у центрі приведення цієї агрегати.

Процедура пролонгування заснована на теоремах кінематики твердого тіла і випливає з (9) - (12).

Для чого виконується 3 - 4 кроки внутрішнього ітераційного циклу за методом найскорішого спуску. Саме тут використовується властивість ітераційних методів швидко зменшувати високомодальні компоненти вектора відхилу. Для підсилення ефекту згладжування у внутрішньому ітераційному циклі теж застосовується симетричне передобумовлення Гаусса - Зейделя чи неповна факторизація Холецького .

Другий вирішальний момент, який забезпечує ефективність представленого у дисертаційній роботі агрегатного багаторівневого передобумовлення, -- розробка багатофронтального методу на підставі технологій розріджених матриць та його застосування до факторизації матриці жорсткості . Особливостями цього методу, які відрізняють його від інших багатофронтальних методів, є те, що упорядкування виконується над вузлами МСЕ моделі, а не над елементами. Це дає можливість застосовувати добре апробовані алгоритми упорядкування. На підставі алгоритму швидкої символічної факторизації провадиться автоматичний вибір найбільш ефективного для даної задачі методу упорядкування - методу вкладених перетинів чи алгоритму мінімальної степені. Таким чином, встановлюється послідовність виключення вузлів (точніше кажучи, груп рівнянь, зв'язаних із вузлами), на підставі якої визначається послідовність подачі на зборку скінченних елементів. Ефективність та надійність цього методу, розробленого автором і впровадженого у МСЕ програми масового використання Robot Millennium та SCAD як прямого методу до факторизації матриці жорсткості МСЕ моделі , підтверджені численними користувачами цих програмних комплексів.

У розділі 4 ефективність представленого у дисертаційній роботі агрегатного багаторівневого методу обґрунтовується на підставі порівняння часу розв'язання та кількості ітерацій з іншими методами.

Перш за все порівняння виконується на модельній задачі із монографії: Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа. К.: “Сталь”, 2001. -- 597 с. Розглядається консольна балка довжиною 10000 м із параметрами Е = 2.110¹¹ Н/м², I = 4.76210^-3 м⁴, навантажена на вільному кінці силою Р = 3 Н. Балка поділена на 10 000 скінченних елементів (30000 рівнянь). Ця задача настільки погано обумовлена, що при розв'язанні її прямим методом похибка визначення прогину на вільному кінці складає 2.44%. При застосуванні агрегатного багаторівневого методу AMIS (aggregation multilevel iterative solver) точність розв'язання приймається як . Тому при аналізі реальних задач у роботі приймається . Але при обґрунтуванні стійкості методу до поганої обумовленості границя точності приймається значно вищою. Для даної задачі вона задається на границі розрядної сітки комп'ютера. Результати наведені у таб. 1.

Нульовий рівень агрегації відповідає прямому розв'язанню з ітераційним уточненням. При зростанні кількості рівнів агрегації розмірність агрегатної моделі зменшується, передбачення нижніх мод, що погано збігаються, погіршується, тому зростає кількість ітерацій. Але навіть для чотирьох рівнів агрегації вдається досягти встановленої точності. Спроба розв'язати цю задачу методом спряжених градієнтів із передобумовленням типу неповної факторизації Холецького не призвела до успіху -- за 30 000 ітерацій, що дорівнює розмірності задачі, ітераційний процес навіть не почав збігатися.

Наступне порівняння виконується для відносно простої задачі -- моделі багатоповерхового будинку (214 620 рівнянь, рис. 4), яку можна повторити у препроцесорі будь-якої МСЕ програми. Порівняння проводиться з ітераційними методами (метод спряжених градієнтів із передобумовленням) іменитих МСЕ програм масового використання -- MSC NASTRAN 4.0 та ANSYS 6.0. За проханням автора власники ліцензій цих програм виконали відповідні розрахунки, після чого на тих самих комп'ютерах була розв'язана ця задача по програмі SOLVER, розробленої автором.

Порівняння із MSC NASTRAN 4.0 виконувалися на комп'ютері P-III (процесор Intel 600 МГц) при точності розв'язання , а порівняння із ANSYS 6.0 -- на комп'ютері P-III (процесор Intel 1000 МГц) при точності розв'язання .

Виявилося, що запропонований агрегатний багаторівневий метод AMIS вимагає значно менше ітерацій і часу обчислень, ніж ітераційні методи MSC NASTRAN 4.0 та ANSYS 6.0 (таб. 2). Велика кількість ітерацій традиційного методу спряжених градієнтів із передобумовленням типу неповної факторизації Холецького ICCG (3 665 ітерацій, тривалість - 31 хв 52 с при ) свідчить про те, що ця задача погано обумовлена.

Для задачі (рис. 5) проводиться порівняння з агрегатним методом, запропонованим В.Є.Булгаковим (Bulgakov V.E. The use of the multi-level iterative aggregation method in 3-D finite element analysis of solid, truss, frame and shell structures// Computers & Structures. -- 1997, V. 63, No 5. P. - 927 -- 938.).

МСЕ модель містить 54 000 рівнянь, границя точності -- . У роботі В.Є.Булгакова задача розв'язувалась на комп'ютері SiliconGraphics IRIS Indigo/R4000, а в даній роботі -- на комп'ютері Pentium-III (CPU Intel 600 МГц). Для приведення тривалості обчислень до швидкодії одного комп'ютера використовувались дані про тривалість обчислення цієї ж задачі методом ICCG. У роботі В.Є.Булгакова було здійснено 5 779 ітерацій (5 800 с), а аналогічним методом із розробленого автором пакета SOLVER -- 4 653 ітерації (426 с). Таким чином, співвідношення швидкодії центральних процесорів SiliconGraphics IRIS Indigo/R4000 та Pentium-III складає 0.09. У роботі В.Є.Булгакова агрегатна модель містить 4 рівня агрегації (1 686 рівнянь), а у даній роботі -- 1 рівень агрегації (27000 рівнянь). Оцінний час розв'язання цієї задачі методом В.Є.Булгакова на комп'ютері Pentium-III складає 31 секунду (48 ітерацій), а методом AMIS -- 12 с (21 ітерація). Таким чином, для розглянутої задачі метод AMIS, розроблений автором на підставі поелементного підходу формування агрегатної моделі та технології розріджених матриць, виявився більш ніж у 2 рази швидший ніж агрегатний метод В.Є.Булгакова, та виконав меншу кількість ітерацій для того, щоб отримати розв'язок з тією ж самою точністю.

Для зіставлення досліджень на реальних задачах, узятих із колекції RoboBAT та SCAD Soft, вибрані такі методи: профільний метод з упорядкуванням по зворотному алгоритму Катхілла - Макки (RCM - reverse Cuthill - McKee algorithm), метод спряжених градієнтів із передобумовленням типу неповної факторизації Холецького ICCG, багатофронтальний метод MFM (multifrontal method), розроблений автором, та агрегатний багаторівневий метод спряжених градієнтів AMIS, представлений у даній роботі. Перші два методи широко застосовуються у МСЕ програмах масового використання, і тому ми вважаємо їх традиційними.

Останні два - прямий та ітераційний - розроблені на основі сучасних технологій обчислень. Усі ці методи реалізовані автором у програмі SOLVER. Крім того, ICCG, MFM та AMIS методи впроваджені автором у програму Robot Millennium, а MFM та AMIS методи - у програму SCAD, де вони пройшли верифікацію та тестування протягом 6 років на багатьох задачах численних користувачів. Ефективність профільного методу порівнювалася з профільними методами програм Robot Millennium та SCAD. Розбіжність у їхній продуктивності лежить у межах 15 %. Представлений у роботі метод ICCG порівнювався з аналогічним методом програми ANSYS 6.0 на декількох простих за геометричною формою прикладах і показав практично ті ж результати, що і метод ANSYS 6.0. Таким чином, можна вважати ці методи досить випробуваними і використовувати їх для порівняння ефективності і загальних висновків.

Наведена на рис. 6 розрахункова модель багатоповерхового будинку містить 195 585 вузлів, 204 067 скінченних елементів та 1 171 104 рівнянь. Розглядаються 3 навантаження. Комп'ютер -- Pentium IV, CPU Intel 2 800 МГц, оперативна пам'ять -- 1024 Мб (Мбайт). Границя точності -- . Порівняння ефективності різних методів наведено у таб. 3.

При спробі розв'язати цю задачу профільним методом виявилося, що розмір факторизованої матриці жорсткості перевищив 21 Гб (Гбайт). Оскільки на даному комп'ютері не удалося виділити необхідного дискового простору на одній партиції, то визначено тільки орієнтовний час розв'язання задачі по факторизації декількох блоків матриці. Цей час складає більше ніж дві доби. Агрегатний багаторівневий метод дозволив скоротити тривалість розв'язання в 7 разів у порівнянні з багатофронтальним і в 4.2 рази в порівнянні з ICCG методом. Застосування поелементного методу для формування матриці жорсткості агрегатної моделі та технології розріджених матриць для її факторизації дозволили прийняти 2 рівня агрегації (187 746 рівнянь для прямого розв'язування), що забезпечило добре передбачення нижніх мод, що повільно збігаються, і як наслідок, швидку збіжність.

Створення агрегатної моделі разом із зборкою та факторизацією матриці жорсткості тривала 8 хв 30 с. На згладжуванні виконувалося 4 внутрішні ітерації. Тривалість ітерацій для кожного навантаження складає приблизно 3.5 хв.

На рис. 7 наведено порівняння характеру збіжності методів AMIS та ICCG для першого навантаження. Для інших навантажень графіки носять аналогічний характер. Майже рівномірна швидка збіжність агрегатного багаторівневого методу обумовлена корекцією моделі грубого рівня і складає головну привабливість цього методу.

У дисертаційній роботі на багатьох реальних прикладах демонструється висока ефективність агрегатного багаторівневого методу, причому розглядаються не тільки МСЕ моделі будівельних конструкцій, а й тіла складної форми, які мають отвори, змінну товщину, нерегулярну сітку та інші особливості, що погіршують обумовленість задачі. Розглядаються також задачі статики оболонок, підкріплених високими та масивними ребрами. Для дослідження крайового ефекту, який виникає у зоні сполучення ребра з обшивкою, навіть при застосуванні нерегулярних сіток доводиться розв'язувати системи рівнянь високого порядку, тому вживання запропонованого методу дозволяє підвищити достовірність результатів.

У розділі 5 розроблене агрегатне багаторівневе передобумовлення застосовується до прискорення збіжності методу спряжених градієнтів для узагальненої проблеми власних значень. Для підвищення стабільності методу та для подолання ефекту замикання збіжності, яким страждає традиційний метод спряжених градієнтів із передобумовлюванням, в агрегатне багаторівневе передобумовлення впровадиться зсув.

Вплив зсуву на збіжність методів, заснованих на ітерації зворотною матрицею, добре відомий. Але вплив зсуву, впровадженого у передобумовлення, на збіжність градієнтних методів, досліджено недостатньо. Тому у дисертаційній роботі формулюються та доводяться дві властивості, які обґрунтовують доцільність застосування техніки зсувів у передобумовлюванні градієнтних методів.

Основна операція градієнтних методів для проблеми власних значень -- то процедура лінійного пошуку, яка при наявності передобумовлення приводиться до вигляду де - параметр оптимізації, який визначається на кожному ітераційному кроці на підставі мінімізації частки Релея, - вектор градієнту, - апроксимація власної пари на кроці .

Повне доведення цих властивостей наведено у тексті дисертації й опубліковано у [5, 12]. Відмітимо, що властивість 1 встановлює зв'язок градієнтного методу із зсувом у передобумовленні з методом ітерації зворотною матрицею із зсувом, а властивість 2 підказує, у якому вигляді треба шукати ефективне передобумовлення.

На підставі цих властивостей розроблено узагальнений метод спряжених градієнтів із зсувами у агрегатному багаторівневому передобумовленні. Суть узагальнення складається з:

У передобумовлення впровадимо зсув де - агрегатне багаторівневе передобумовлення.

Ми намагаємося поєднати переваги методу спряжених градієнтів із технікою зсувів. Оскільки кожна модифікація зсуву руйнує накопичені спряжені напрямки, то її не слід виконувати занадто часто. Таким чином, модифікація зсуву , де -- значення власного числа на останньому кроці ітерації, виконується тільки тоді, коли збіжність не досягнута за встановлену кількість ітерацій . В залежності від задачі . Якщо , узагальнений метод спряжених градієнтів із зсувами у передобумовленні переходить у традиційний метод спряжених градієнтів із передобумовленням.

Вираз (25) ніколи не обчислюється явно, замість того уживається неявна ітераційна процедура.

Докладний опис алгоритму узагальненого методу наведено у дисертації.

На рис. 8 зображена МСЕ модель колеса (96 451 вузлів, 94 032 скінченних елементів, 285 894 рівнянь). Знаходиться 6 власних пар із точністю, яка визначається як де . Дослідження проведені на комп'ютері PC Pentium III (CPU Intel 1000 MГц). На рис. 9 показано, що традиційний метод спряжених градієнтів приводить до замикання збіжності на другій моді (крива 2).

Застосування узагальненого методу спряжених градієнтів із зсувом у передобумовленні (, крива 1) дозволило подолати цей негативний ефект. На рисунку видно, як змінився характер збіжності при активізації зсуву (150-й крок). Задача була успішно розв'язана за 3 г 43 хв 23 с, тоді як традиційним методом розв'язок взагалі не вдалося отримати. Час розв'язання порівнювався з блоковим методом Ланцоша із зсувами (цей метод розроблено автором і впроваджено у програму SCAD), який використовує багатофронтальний метод факторизації матриці , де -- зсув, який прогнозується й задається алгоритмом у процесі розв'язування. У дисертації наведено порівняння продуктивності блокового методу Ланцоша з зсувами із звичайним методом Ланцоша, із методами блокової та звичайної ітерації у підпросторі. Показано, що продуктивність блокового методу Ланцоша із зсувами значно перевищує продуктивність усіх інших розглянутих методів, які засновані на факторизації матриці жорсткості. Саме тому цей метод вибраний для порівняння. Розглянута задача була розв'язана блоковим методом Ланцоша із зсувами за 17 г 33 хв. Таким чином, застосування методу спряжених градієнтів із зсувами у агрегатному багаторівневому передобумовленні знизило час аналізу цієї задачі у 4.5 рази в порівнянні із блоковим методом Ланцоша.

Розглянута задача вільних коливань будинку, який взаємодіє з пружною основою (рис. 10). МСЕ модель містить 104 048 вузлів, 111 269 скінченних елементів та 319 133 рівняння. Грунт моделюється об'ємними скінченними елементами. Застосовується нерівномірна сітка, що згущається до фундаменту будинку.

Дослідження виконані на комп'ютері PC Pentium III (CPU Intel 1000 MГц, 512 Мб оперативної пам'яті). Особливість цієї задачі полягає у тому, що структура рівнів графа суміжності є досить широкою. Як наслідок, не вдалося факторизувати матрицю жорсткості ні багатофронтальним методом, який вимагає 1 292 Мб оперативної пам'яті для розміщення максимального фронту (що більш ніж у двічі перевищує можливості нашого комп'ютера), ні профільним методом, для якого розмір факторизованої матриці перевищує 20 Гб. Таким чином, на даному комп'ютері не вдається розв'язати цю задачу ні методом Ланцоша, ні будь-яким іншим методом, що вимагає факторизації матриці жорсткості. А застосування методу спряжених градієнтів із зсувом в агрегатному багаторівневому передобумовленні () дозволило отримати розв'язання за 3 г 26 хв 05 с, причому було знайдено перших 10 власних пар із точністю не гірше, ніж . Уся задача вмістилася в оперативну пам'ять комп'ютера (285 Мб), загальна кількість ітерацій -- 667. Для порівняння наведемо дані для традиційного методу спряжених градієнтів із передобумовленням типу неповної факторизації Холецького: тривалість розв'язання -- 5 г 20 хв 06 с, загальна кількість ітерацій -- 6 204.

Розглянута задача вільних коливань багатоповерхового будинку (рис. 6.), розрахункова модель якого містить 195 585 вузлів, 204 067 скінченних елементів та 1 171 104 рівнянь. Визначаються 5 частот та форм власних коливань із точністю . Комп'ютер -- Pentium IV (CPU Intel 2 800 МГц, оперативна пам'ять -- 1024 Мб). Порівнювалися три методи: блоковий метод Ланцоша на основі багатофронтального методу BL_MFM, традиційний метод спряжених градієнтів із передобумовленням типу неповної факторизації Холецького PCG_ICCG та узагальнений метод спряжених градієнтів із зсувами у агрегатному багаторівневому передобумовленні GPCG_AMIS. Результати наведені у таб. 4. Факторизація матриці жорсткості багатофронтальним методом тривала 2 г 19 хв, а знаходження власних пар блоковим методом Ланцоша -- 1 г 42 хв. Методом PCG_ICCG одержати розв'язок не вдалося -- протягом 18 годин обчислень було зроблено 78 304 ітерації, а збіжність для першої пари навіть не почалася. Агрегатний багаторівневий метод GPCG_AMIS продемонстрував стійку збіжність для кожної моди (рис. 11) і у п'ять разів скоротив час аналізу в порівнянні із блоковим методом Ланцоша.