Удосконалення розрахунку напружено-деформованого стану мостових конструкцій з урахуванням динамічного впливу вантажних поїздів

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. Штучні споруди є невід'ємною та важливою складовою транспортної системи країни, однак до цього часу в Україні відсутні рекомендації з визначення швидкісних режимів руху поїздів мостами. Більш ніж 10 % залізничних мостів в Україні внаслідок наявності дефектів є «бар'єрними» об'єктами, що призводить до необхідності введення відповідних обмежень швидкості руху й зниження обсягів вантажних та пасажирських перевезень. Особливо гострою є ця проблема для середніх та великих мостів.

Водночас в Україні діє ціла низка державних програм і проектів, спрямованих на підвищення швидкості руху поїздів. Так, відповідно до Концепції Державної цільової програми впровадження на залізницях швидкісного руху пасажирських поїздів на 2005-2015 роки, Програми розвитку національної мережі міжнародних транспортних коридорів, Розпорядження Кабінету Міністрів України «Про схвалення транспортної стратегії України на період до 2020 року», планується створити мережу швидкісних залізничних магістралей для з'єднання обласних центрів країни з великими торговельними й промисловими центрами країн СНД та Європи. Реалізація цих програм передбачає реконструкцію і будівництво нових мостових переходів з урахуванням високих швидкостей руху поїздів, близьких до світових аналогів.

Ефективність вирішення питань, пов'язаних з організацією швидкісного руху поїздів на мостах, значною мірою залежить від розвитку методів розрахунку будівельних конструкцій. Численні дослідження в галузі динаміки стержневих та балкових систем вказують на те, що традиційний «квазідинамічний» розрахунок з використанням нормативних динамічних коефіцієнтів потребує суттєвого перегляду, а визначення параметрів напружено-деформованого стану мостової конструкції необхідно проводити з урахуванням не тільки її жорсткісних, інерційних, дисипативних характеристик, а також і стану залізничної колії на штучній споруді та підходах до неї, швидкості руху пасажирських і вантажних поїздів. Сьогодні під час проектування мостових конструкцій вплив кожного з перелічених факторів враховується різною мірою в окремих методах будівельної механіки та механіки абсолютно твердого тіла. У зв'язку з цим, подальше вдосконалення розрахункових моделей «прогонова будова - рухоме навантаження» із застосуванням комплексних підходів, які базуються, зокрема, на синтезі методу скінченних елементів і нелінійних рівнянь динаміки твердого тіла, набуває значної актуальності.

Проектування мостів на швидкісних залізничних магістралях пов'язане з низкою специфічних труднощів. Так, однією з проблем є відсутність в інженерному програмному забезпеченні профільної системи автоматизованого проектування, здатної виконати комплексний динамічний розрахунок мостової конструкції з урахуванням швидкості руху навантаження та його характерних особливостей. Створення розрахункового комплексу такого класу надасть можливість використати комп'ютерне моделювання для розв'язання важливих задач взаємодії мостів і швидкісних залізничних екіпажів, а також інших задач динаміки стержневих систем.

Мета роботи - удосконалення методів аналізу напружено-деформованого стану балкових залізничних мостів з урахуванням динамічного впливу поїздів.

Основні завдання дослідження:

_ провести системний аналіз існуючих методів динамічного розрахунку балкових прогонових будов мостів;

_ розробити математичну модель взаємодії прогонової будови моста і залізничного рухомого складу з урахуванням швидкості руху навантаження, демпфірування, нерівностей колії;

_ розробити програмний комплекс для аналізу напружено-деформованого стану мостових конструкцій з урахуванням рухомих навантажень;

_ виконати аналіз напружено-деформованого стану залізобетонної прогонової будови моста з урахуванням швидкості руху поїзда, стану опорних частин, сил сухого тертя, попереднього напружування арматури, ексцентриситету рейкової колії;

_ провести оцінку динамічних процесів взаємодії вантажних поїздів з металевими прогоновими будовами із суцільною стінкою і наскрізними фермами.

1. Огляд наукової літератури в контексті дослідження проблем і перспектив розвитку динаміки балкових мостів

Виконано систематизацію методів розрахунку напружено-деформованого стану мостових конструкцій, позначено питання удосконалення існуючих методів динамічного аналізу мостів.

У питаннях теоретичного дослідження динамічної роботи мостових конструкцій значних успіхів досягли вчені США, Франції, Китаю, Японії. Якісно нові результати як теоретичного, так і експериментального характеру в галузі взаємодії мостів зі швидкісним рухомим складом нещодавно надала група вчених із Сінгапуру під керівництвом Y. B. Yang. У багатьох країнах Європи сьогодні діє низка єдиних нормативних документів з проектування та розрахунку будівельних конструкцій, будівель та споруд, у тому числі залізничних мостів (Єврокоди), положення яких регламентують виконання для мостів відповідних динамічних розрахунків.

Загальний аналіз сучасної літератури з динаміки мостів у країнах СНД демонструє переважання традиційних підходів до моделювання процесів коливань мостових конструкцій. У більшості випадків основним видом аналізу є частотний, а система «міст-поїзд» реалізується у вигляді плоскої розрахункової схеми. У свою чергу, сучасні персональні комп'ютери потребують програмного забезпечення для розрахунку мостів на основі принципово нових алгоритмів. У зв'язку з цим удосконалення методів розрахунку напружено-деформованого стану мостових конструкцій з урахуванням таких динамічних факторів, як швидкість рухомого складу, дисипативні властивості прогонових будов і опорних частин моста, його просторова робота, нерівності рейкової колії в плані та профілі, наявність у конструкції попередньо напружуваних елементів є актуальним науковим завданням.

2. Математична модель просторових коливань мостової конструкції з урахуванням швидкості руху навантаження, в'язкого та сухого опору, нерівностей колії та інших факторів

Для опису динамічного процесу взаємодії балкової прогонової будови моста і залізничного рухомого складу застосовано методи прямого інтегрування рівнянь руху у формі Ньютона-Ейлера, які є більш ефективними і універсальними для розрахунків напружено-деформованого стану стержневої системи порівняно з методами розкладення за власними формами. Так, для вузла конструкції система рівнянь руху має вигляд:

(1)

де - лінійні швидкості вузла (індекс опущений); - те саме, кутові; - лінійні переміщення вузла; - те саме, кутові; - проекції рівнодіючої зовнішніх зусиль і реакцій в'язей, прикладених до вузла; - те саме, моментів; - маса, зосереджена у вузлі; - головні моменти інерції маси вузла; - час.

Загальний алгоритм розрахунку полягає у визначенні початкових і граничних умов дискретної стержневої системи (рис. 1), виборі кроку інтегрування, проведенні серії статичних і динамічних числових розрахунків. Система рівнянь руху вузла конструкції (1) надалі інтегрується за методом Рунге-Кутта четвертого порядку точності:

(2)

де - дискретний момент часу, який характеризує початок ділянки пошуку розв'язку на числовій осі; - крок інтегрування; - початкове значення рішення системи; - коефіцієнти, які містять результат апроксимації похідних правих частин системи в матричній формі.

Рис. 1. Стержнева модель прогонової будови моста: а - орієнтація стержнів; б - системи координат

З метою врахування просторового обертання вузла конструкції в математичну модель введені нелінійні динамічні рівняння Ейлера. У загальному випадку стержнева модель, що складається з n вузлів, має 12n диференціальних рівнянь руху. Параметри напружено-деформованого стану та реакції в опорних перерізах прогонової будови визначаються за допомогою методу скінченних елементів. Використовуються балкові елементи, які працюють на згин у двох взаємно перпендикулярних площинах, розтяг-стиск, кручення. Довільна просторова орієнтація скінченних елементів ураховується в моделі за допомогою ізометричних матриць повороту.

Застосування апарату комп'ютерної алгебри дозволило вирішити проблему врахування невузлового навантаження і значно підвищити швидкість динамічного розрахунку. Відповідно до запропонованої методики, стержнева модель прогонової будови не потребує додаткової дискретизації та введення нових вузлів у місцях прикладення зосереджених сил, що забезпечує цілісність матриць жорсткості й піддатливості протягом усього розрахунку, а вплив кожної компоненти зовнішнього навантаження враховується вузловими реакціями скінченного елемента. Швидкості та ефективності розрахунку досягнуто безпосередньо застосуванням спеціальних матриць, складених для різних граничних умов балкового скінченного елемента, які визначають функціональну залежність його реакцій від навантаження загального виду.

Вплив на мостову конструкцію залізничного рухомого складу моделюється за допомогою групи рухомих силових факторів, які зосереджені в місцях контакту колеса та рейки. Компоненти контактного зусилля, що сприймається прогоновою будовою, визначені з урахуванням експериментальних даних, отриманих під час руху поїзда по прямолінійній ділянці колії із заданою швидкістю. Як приклад визначені поздовжні контактні зусилля від впливу локомотиву ВЛ8 (рис. 2). Для наближеного врахування впливу швидкості рухомого складу на динаміку балкових прогонових будов запропоновано використовувати відповідні коефіцієнти.

Рис. 2. Модель одиночного локомотива

У загальному випадку динамічний вплив на мостову конструкцію одиночного локомотива з урахуванням можливих нерівностей колії моделюється за допомогою таких рівнянь:

(3)

де - умова забезпечення нормального руху локомотива в режимі тяги без буксування коліс, параметри якого визначаються тяговим розрахунком локомотива залежно від швидкості його руху; - горизонтальне зусилля, яке визначається як частка вертикального тиску на колісну пару локомотива; - частоти відповідно горизонтальних і вертикальних коливань локомотива, отримані експериментальним шляхом; - амплітудні коефіцієнти відповідно першої і другої гармонік вертикальних коливань локомотива; - компоненти ексцентриситету зосередженого зусилля, прикладеного до стержневої моделі прогонової будови моста; - час.

Дисипація енергії коливань прогонової будови моста за рахунок в'язкого опору в матеріалі конструкції та сухого тертя в опорних частинах моделюється за допомогою відповідних груп зусиль. Так, для вузла:

(4)

де - коефіцієнти в'язкого тертя; - швидкості руху вузла; - коефіцієнти сухого тертя; - компоненти узагальненої нормальної реакції поверхні у вузлі, на який накладено кінематичне закріплення.

На основі викладеного алгоритму розроблено програмний комплекс, який дозволяє виконати аналіз напружено-деформованого стану мостової конструкції з урахуванням вказаних факторів та одночасно візуалізувати динамічний процес у тривимірному просторі.

3. Параметри напружено-деформованого стану залізобетонних балкових прогонових будов довжиною до 30 м для різної швидкості руху поїздів

Розглянуто стержневі моделі з різною кількістю зосереджених мас. На основі аналізу вільних коливань моделей цієї групи встановлено, що раціональними параметрами за співвідношенням «точність - швидкість розрахунку» для балкових прогонових будов слід вважати моделі з кількістю мас від 5 до 11, з кроком інтегрування від 0,0001 с (мости довжиною до 20 м) до 0,001 с (понад 20 м, рис. 3). Кількість контактних сил, що моделюють силовий вплив навантаження від рухомого складу на конструкцію прогонової будови, має складати не менше половини від загальної кількості колісних пар відповідної одиниці рухомого складу. Показано, що розрахункова величина тимчасового еквівалентного навантаження від рухомого складу викликає прогини конструкції, які перевищують дійсні не менше ніж у 1,5 разу. У цілому, збільшення швидкості руху навантаження в розглянутих моделях супроводжується зниженням характеристик напружено-деформованого стану конструкції. Однак, в абсолютній більшості розрахунків незначне збільшення динамічних напружень у перерізах балкової прогонової будови моста було виявлено під час руху поїзда зі швидкістю близько 200 км/год, яку в рамках прийнятих припущень для даного класу конструкцій можна вважати критичною.

Під впливом рухомого навантаження залізобетонна балкова прогонова будова здійснює просторові коливання, у яких домінує вертикальна складова. Після сходу навантаження з моста проявляються поздовжні, а також поперечні горизонтальні коливання. Амплітуда поперечних коливань на один-два порядки нижча за амплітуду поздовжніх. Критична швидкість руху поїзда по балковій прогоновій будові складає близько 200 км/год, вертикальне прискорення середини прогонової будови не перевищує значення 0,03g. Доведено, що ступінь рухливості опорних частин суттєво не впливає на характер вертикальних згинальних коливань.

Подальше вдосконалення динамічної моделі надало можливість визначити параметри напружено-деформованого стану мостової конструкції з урахуванням попереднього напружування арматури, сил сухого опору в опорних частинах конструкції, нерівностей рейкової колії. Виявлено, що застосування попереднього напружування арматури є ефективним способом регулювання внутрішніх зусиль у залізобетонних прогонових будовах внаслідок компенсації контактних тягових та інших поздовжніх зусиль, які виникають під час взаємодії моста і поїзда.

Рис. 3. Вільні коливання залізобетонної прогонової будови: а - графіки коливань; б - графіки залежностей часу розрахунку та кроку інтегрування від кількості мас

Урахування сил сухого тертя в опорних частинах дозволило уточнити результати розрахунку поздовжньої динаміки залізобетонної прогонової будови. Згідно з отриманими даними, амплітуда поздовжніх коливань конструкції без урахування сил сухого опору в окремих випадках може бути завищена більше, ніж у два рази (рис. 4).

Рис. 4. Максимальні лінійні прискорення в середині прогонової будови

Для урахування горизонтального зміщення рейкошпальної решітки на залізобетонній прогоновій будові розроблено її просторову динамічну модель, яка містить 13 стержнів, 10 вузлів, має 42 степені вільності та 120 диференціальних рівнянь руху. Величина ексцентриситету в розрахунках приймається рівною 0; 10; 50; 100 мм. Для різної швидкості руху поїзда побудовано графіки залежностей максимальних вертикальних (рис. 5, а) та горизонтальних (рис. 5, б) переміщень прогонової будови в часі.

Рис. 5. Екстремуми вертикальних (а) і горизонтальних (б) переміщень прогонової будови

4. Алгоритм розрахунку застосовано до визначення напружено-деформованого стану металевих прогонових будов із суцільною стінкою довжиною до 34 м та наскрізними фермами довжиною до 110 м, які складають близько 20 % від загальної кількості прогонових будов на залізничних мостах України

Досліджується динамічна поведінка стержневої моделі моста в часовій області під впливом одиночного локомотива та вантажного потяга.

Розрахункова стержнева модель металевої прогонової будови довжиною 33,6 м містить 5 зосереджених вузлових мас, які дозволяють оцінити лінійні переміщення конструкції у вертикальній площині з урахуванням інерції обертання. Модель має 21 степінь вільності, 252 диференціальних рівняння руху. У результаті динамічного розрахунку встановлено, що динамічні процеси взаємодії рухомого складу й балкової прогонової будови моста, як залізобетонної, так і металевої із суцільною стінкою, мають аналогічний характер. Найбільш стійкий процес коливань металевої прогонової будови із суцільною стінкою спостерігається під час руху по ній однотипних вантажних вагонів. Дані фазового портрета свідчать про те, що положення центру стійкості вертикальних коливань конструкції практично не залежить від швидкості руху поїзда. Для такого типу мостової конструкції проведено порівняння результатів числового розрахунку вертикальних переміщень з даними натурного експерименту, отримано задовільні збіжності (середня похибка не перевищує 2 %).

Розрахункова модель металевої прогонової будови з наскрізними фермами довжиною 110,0 м складається з 155 стержневих елементів, 62 вузлів, має 354 степені вільності та 744 диференціальних рівняння руху. Під час аналізу процесів вертикальних, горизонтальних, поздовжніх та крутильних коливань конструкції встановлено, що елементи нижнього пояса головних ферм прогонової будови є більш чутливими до зміни швидкості руху навантаження, ніж елементи верхнього. Для елементів нижнього пояса характерна динамічна робота в знакозмінній зоні зусиль та напружень; в елементах верхнього пояса переважають напруження одного знаку. Величина динамічних напружень, як розтягальних, так і стискальних, в елементах обох поясів не досягає значень, небезпечних з позицій міцності конструкції для всього діапазону швидкостей руху поїзда. Максимальні напруження розтягу, які виникають в перерізах похилих елементів ферм, а також у поперечних балках прогонової будови, мають однаковий порядок зі стискальними. У поздовжніх балках під час проходження рухомого навантаження переважають зусилля розтягу.

Характерною особливістю просторової роботи металевих прогонових будов з наскрізними фермами є зменшення напружень в елементах поздовжніх балок, які безпосередньо навантажені поперечними контактними зусиллями (від ефекту «виляння» візків рухомого складу). Вертикальні прискорення у вузлах решітчастої прогонової будови суттєво вищі за аналогічні показники простої балкової системи. Так, максимальні прискорення на рівні проїжджої частини спостерігаються у вузлах, які наближені до опорних частин споруди (до 4,0g). У вузлах верхнього пояса максимальні вертикальні прискорення складають близько 0,6g. Також визначено співвідношення між динамічними зусиллями та напруженнями, які виникають в елементах конструкції типових прогонових будов з наскрізними фермами різної довжини, та відповідні критичні швидкості руху навантаження (рис. 6).

Рис. 6. Коливання зусиль в елементах поперечних балок: а - центральний елемент, б - крайній елемент

Висновки

мостовий демпфірування деформований залізничний

У дисертаційній роботі запропоновано ефективний алгоритм розрахунку напружено-деформованого стану мостової конструкції, який базується на методі прямого інтегрування нелінійних рівнянь Ньютона-Ейлера в поєднанні з методом скінченних елементів. Розроблена математична модель дозволяє врахувати взаємний вплив різних видів коливань мостової конструкції, швидкість руху поїзда, сили сухого тертя в опорних частинах та інші фактори. Алгоритм розрахунку реалізований у спеціалізованому програмному комплексі для статичного й динамічного аналізу стержневих та балкових конструкцій.

Основні наукові й практичні результати дисертаційної роботи полягають у таких положеннях:

1. Огляд наукової літератури, що містить результати теоретичних та експериментальних досліджень у галузі динаміки мостів, свідчить про те, що питання удосконалення та уточнення моделей, які застосовуються для аналізу напружено-деформованого стану мостових конструкцій, є актуальними. Це пов'язано, насамперед, з переходом до більш складних просторових розрахункових схем; моделюванням сил сухого тертя та попереднього напружування арматури в залізобетонних конструкціях; врахуванням швидкості руху поїздів. Основними факторами, які визначають актуальність цієї тематики в Україні, є планова реалізація низки державних програм зі створення мережі швидкісних залізниць, інтеграція вітчизняних норм проектування з європейськими стандартами (Єврокодами), а також розробка сучасних спеціалізованих систем автоматизованого проектування та динамічного розрахунку мостових конструкцій.

2. Доведено, що для розрахунку напружено-деформованого стану мостової конструкції з урахуванням динамічного впливу залізничного рухомого складу методи прямого інтегрування (розрахунок у часовій області) мають суттєві переваги порівняно з методами розкладення за власними формами коливань. Удосконалений алгоритм чисельного розрахунку прогонової будови моста полягає в застосуванні нелінійних динамічних рівнянь Ейлера, які дозволяють врахувати повний тензор інерції обертання елементів конструкції, їх кутові швидкості та прискорення під час складного просторового руху. У роботі розглянуто нелінійності двох типів: нелінійності в динамічних рівняннях Ейлера, які обумовлені добутком відповідних компонент кутової швидкості вузла, та нелінійності, що обумовлені функціями опису динамічного впливу рухомого складу. Вказані нелінійності дозволяють врахувати взаємний вплив різних видів коливань на загальну динаміку несиметричної стержневої конструкції або конструкції, яка працює в умовах несиметричного навантаження елементів, що актуально як для залізничних, так і автодорожніх мостових переходів.

3. Для визначення параметрів напружено-деформованого стану прогонової будови застосовується метод скінченних елементів. З метою підвищення швидкості розрахунку розроблено ефективні алгоритми, які дозволяють оптимізувати операції формування матриць жорсткості й піддатливості системи з урахуванням їх багаторазового використання в динамічному розрахунку, а також операції з визначення узагальнених реакцій в опорних вузлах скінченного елемента з урахуванням його граничних умов. Ця методика реалізована в програмному комплексі, який являє собою систему автоматизованого проектування й розрахунку балкових мостів з одночасною візуалізацією динамічного процесу в тривимірному просторі.

4. Доведено, що перехід від нормативного рівномірно розподіленого навантаження до серії рухомих зосереджених сил, що моделюють вплив залізничного рухомого складу, уточнює параметри змушених коливань балкових мостів. Компоненти контактного зусилля, що сприймається прогоновою будовою, визначено з урахуванням експериментальних даних про частоти й амплітуди коливань рухомого складу, отриманих під час його руху по прямолінійній ділянці колії із заданою швидкістю. Встановлено, що якщо кількість контактних сил менше половини загальної кількості колісних пар, то в розрахунках з'являються суттєві похибки.

5. У вдосконалених динамічних моделях величина кроку інтегрування і загальна швидкість розрахунку практично не залежать від кількості врахованих контактних сил. Стійкість розв'язку системи диференціальних рівнянь руху балкової прогонової будови довжиною понад 20 м забезпечується при величині кроку інтегрування 0,001 с. Для прогонових будов меншої довжини, а також у моделях з кількістю зосереджених мас більше п'яти крок інтегрування може становити 0,0001 с.

6. Установлено, що збільшення швидкості руху поїзда по балковому мосту, у цілому, приводить до зниження амплітуди вертикальних згинальних коливань прогонової будови і збільшення амплітуди поздовжніх, які на момент закінчення процесу взаємодії стають домінуючими. При цьому вертикальні прискорення в середині прогонової будови не перебільшують граничного значення 0,05g, що свідчить про комфортне для пасажирів пересування поїзда. Доведено, що ступінь рухомості елементів опорних частин суттєво не впливає на характер вертикальних згинальних коливань споруди. У цілому, збільшення швидкості руху по балковій прогоновій будові моста приводить до зниження характеристик напружено-деформованого стану конструкції.

7. Залізобетонні прогонові будови з попередньо напружуваною арматурою мають вищі показники ефективності динамічної роботи на мостах із швидкісних рухом, ніж аналогічні конструкції зі звичайного залізобетону. Встановлено, що впливом контактних тягових зусиль рухомого складу на поздовжню динаміку попередньо напружуваних прогонових будов можна знехтувати. Застосування динамічних моделей, які враховують вплив сил сухого тертя в опорних частинах, дає можливість суттєво уточнити параметри поздовжньої динаміки конструкції.

8. Доведено, що розглянуті динамічні моделі є ефективними для опису процесів взаємодії швидкісних поїздів з решітчастими металевими прогоновими будовами, які являють собою просторові стержневі системи. Для просторової та плоскої розрахункових схем алгоритми формування рівнянь руху не мають принципових відмінностей, однак у випадку плоскої розрахункової схеми блоки рівнянь, які враховують взаємний вплив різних видів коливань, протягом усього розрахунку містять нульові елементи. Таким чином, максимальна ефективність удосконалених моделей із застосуванням методів прямого інтегрування та комп'ютерного аналізу досягається з переходом від плоских розрахункових схем до просторових.

Література

1. Артемов В.Е. Гармонический анализ изгибных колебаний неразрезных пролетных строений мостов / В.Е. Артемов, И.Г. Мудрая // Вiсн. Днiпропетр. нац. ун-ту залізн. трансп. iм. акад. В. Лазаряна. - 2010. - Вип. 31. _ С. 157-160.

2. Артемов В.Е. Применение дифференциальных уравнений Эйлера к динамическому расчету пространственных стержневых систем / В.Е. Артемов // Вiсн. Днiпропетр. нац. ун-ту залізн. трансп. iм. акад. В. Лазаряна. - 2010. - Вип. 34. - С. 123-126.

3. Артьомов В.Є. Стержневі будівельні конструкції: основні типи, класифікація, навантаження / В.Є. Артьомов // Діагностика, довговiчнiсть та реконструкція мостів i будівельних конструкцій: зб. наук. пр. фіз.-мех. ін-ту ім. Г.В. Карпенка НАН України. - Л.: Каменяр, 2009. - Вип. 11. - С. 7-12.

4. Распопов А.С. Алгоритм расчета колебаний стержневых конструкций на основе общего уравнения динамики и метода конечных элементов / А.С. Распопов, В.Е. Артемов, С.П. Русу // Дороги i мости: зб. наук. пр. -К.: ДерждорНДІ, 2009. - Вип. 11. - С. 256-263.

5. Распопов А.С. Воздействие подвижных нагрузок на балочный мост, моделируемый системой дискретных элементов / А.С. Распопов, В.Е. Артемов, С.П. Русу // Строительство, материаловедение, машиностроение: сб. научн. тр. Приднепр. гос. акад. стр-ва и арх-ры. - 2008. - Вып. 47. - С. 493-501.

6. Распопов А.С. К вопросу компьютерного моделирования движения поезда по мосту / А.С. Распопов, С.П. Русу, В.Е. Артемов // Методи розв'язування прикладних задач механіки деформівного твердого тіла: зб. наук. пр. Днiпропетр. нац. ун-ту. - 2007. - Вип. 8. - С. 133-139.

Размещено на Allbest.ru