Применение матричных методов для анализа установившихся режимов электрических систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Белорусский национальный технический университет

Энергетический факультет

Кафедра: «Электрические системы»

Курсовая работа

по дисциплине «Математическое моделирование в энергетике»

Тема проекта: Применение матричных методов для анализа установившихся режимов электрических систем

Выполнил:

студент гр. 106218

Деревяго В. В.

Принял:

ст. преподаватель

Волков А.А.

Минск 2012

Содержание

Введение

1. Формирование узловых и контурных уравнений установившихся режимов электрической сети

1.1 Составление схемы замещения электрической сети, определение её параметров и нагрузок в узлах

1.2 Составление элементарных матриц параметров режима сети и матриц соединений

1.3 Расчет матрицы узловых проводимостей и матрицы контурных сопротивлений

1.4 Составление узловых уравнений установившегося режима электрической сети в матричной форме и в аналитическом виде при задании нагрузок в токах и в мощностях

1.5 Составление контурных уравнений установившегося режима электрической сети на основе 2-го закона Кирхгофа в матричной форме и в аналитическом виде при задании нагрузок в токах и в мощностях

2. Расчет режима электрической сети по нелинейным узловым и контурным уравнениям при задании нагрузок в токах

2.1 Расчет режима электрической сети по узловым уравнениям

2.2 Расчет режима электрической сети по контурным уравнениям

2.3 Расчет режима электрической сети с использованием матрицы коэффициентов распределения

2.4 Анализ результатов расчета режима. Определение потоков и потерь мощности

3. Расчет режима электрической сети по нелинейным узловым уравнениям при задании нагрузок в мощностях с использованием итерационных методов

3.1 Расчет режима электрической сети методом простой итерации

3.2 Расчет режима электрической сети методом ускоренной итерации

3.3 Расчет режима электрической сети методом Ньютона

3.4 Анализ сходимости итерационных методов

4. Расчет утяжеленного режима электрической сети

Заключение

Список использованной литературы

Приложение №1

Введение

В данной курсовой работе рассматриваются матричные методы для анализа установившихся режимов электрических систем. С течением времени возникает необходимость объемных расчетов параметров различных режимов электрических систем и сетей. Все расчеты проводятся на ЭВМ.

Расчет установившегося режима является наиболее часто встречающейся самостоятельной задачей в области анализа электрических систем в практике проектирования и эксплуатации, поэтому этой задаче уделяется большое внимание. Электрической системой называется совокупность машин и аппаратов, предназначенных для реализации процессов производства, передачи, распределения и потребления электроэнергии. Режим системы - это её состояние в любой момент времени. Рассчитать режим системы - это значит, при известных нагрузках подстанций и известном напряжении минимум в одной точке системы определить путём решения каких-либо уравнений состояния напряжения во всех остальных точках сети, а также токи и потоки мощности по линиям и трансформаторам сети. Параметры системы могут зависеть от изменений ее режима. Тогда система называется нелинейной. Параметры всех электрических систем в той или иной мере нелинейные. При расчете режима электрической сети можно использовать матричные и итерационные методы.

Дисциплина «Математическое моделирование в энергетике» является одной из основных, в которой закладываются фундаментальные знания специальной подготовки инженера-энергетика. Цели изучения - связать математику как общетеоретическую дисциплину с практическим её применением в области анализа электрических систем, обеспечение при их проектировании и эксплуатации экономичности, надежности, а также качество электроэнергии [1].

1. Формирование узловых и контурных уравнений установившихся режимов электрической сети

1.1 Составление схемы замещения электрической сети, определение ее параметров и нагрузок в узлах.

Определим параметры сети, согласно заданному варианту для Деревяго Василия Викторовича, 6-го в списке группы.

1. Схема сети рис.1. Балансирующий узел размещен в точке А

2. Нагрузки в узлах Б,В,Е. Генерирующий источник в узле Г.

Рис. 2 Схема включения нагрузок, генерации

3. Базовая длина участка:

Li = 5X = 40 км

Po = 21 МВт

Uбу = 121кВ.

4. Длины линий и нагрузки в узлах сети:

L1= 52 км

L2= 40 км

L3= 40 км

L4= 40 км

L5= 40 км

L6= 40 км

L7= 40 км

L8= 28 км.

Нагрузки узловых точек:

P0 = -28.35 МВт (узел 1);

P1 = -35.7 МВт (узел 2);

P2 = 43.05 МВт (узел 3);

P3 = -50.4 МВт (узел 4);

P4 = 0 (узел 5).

В результате получим вектор-столбец задающих мощностей в узлах сети:

5. Рассчитаем сопротивления участков схемы, по заданному удельному сопротивлению и длине линии:

Ri =X0 · Li

R1 =0,4·52=20,8 Ом;

R2 = 0,4·40=16 Ом;

R3 = 0,4·40=16 Ом;

R4 = 0,4·40=16 Ом;

R5 = 0,4·40=16 Ом;

R6 = 0,4·40=16 Ом;

R7 = 0,4·40=16 Ом;

R8 = 0,4·28=11,2 Ом.

1.2 Составление элементарных матриц параметров режима сети и матриц соединений

Составим квадратную диагональную матрицу [dZв ] по уже известным сопротивлениям, а также квадратную матрицу узловых проводимостей []:

Первая матрица инциденций:

где [] - матрица соединений для ветвей дерева;

[] - матрица соединений для хорд.

Вторая матрица инциденций:

1.3 Расчет матрицы узловых проводимостей и матрицы контурных сопротивлений

Найдем матрицу узловых проводимостей [] (без учета балансирующего узла) по формуле:

Матрица узловых проводимостей [] (с учетом балансирующего узла) определяется по формуле:

Матрица является вырожденной матрицей, т.е. нахождение для неё обратной не представляется возможным. Это подтверждается тем, что при суммировании элементов строк Y получается нулевая строка, и, следовательно, определитель этой матрицы, вычисленный по теореме разложения определителя по элементам строки (столбца ), обращается в 0, т. е. det . Матрица контурных сопротивлений находится из выражения:



Получили симметричную матрицу 3-го порядка.

1.4 Составление узловых уравнений установившегося режима электрической сети в матричной форме и в аналитическом виде при задании нагрузок в токах

1. Матричная форма записи:

Запишем первый закон Кирхгофа в матричной форме:

,

где - вектор-столбец искомых токов ветвей;

- - вектор-столбец задающих токов узлов.

Токи ветвей можно найти как:

где -матрица падений напряжений в ветвях,

-матрица узловых проводимостей.

где - матрица падений напряжения в узлах относительно БУ.

Полученные уравнения подставим в первый закон Кирхгофа:



Обозначив ,

где матрица собственных и взаимных узловых проводимостей, получим:

- система узловых уравнений в матричной форме.

2. Аналитическая форма записи.

,

где -собственные проводимости узлов,

-взаимные проводимости узлов.

-ток нагрузки узла,

- напряжение балансирующего узла.

В результате записи уравнений для всех узлов, получим аналитическую форму записи:

Решив полученную систему относительно U получим значения напряжений в узлах сети.

1.5 Ссоставление контурных уравнений установившегося режима электрической сети на основе 2-го закона кирхгофа в матричной форме и в аналитическом виде при задании нагрузок в токах

1. Матричная форма записи:

Запишем первый закон Кирхгофа в матричной форме:

,

Матрицу M, I представим в виде двух матриц:

Запишем второй закон Кирхгофа в матричной форме:

Из первого и второго закона получим:

- контурное уравнение в матричной форме.

2. Аналитическая форма записи.



2. Расчет режима электрической сети при задании нагрузок в токах

2.1 Расчет режима электрической сети по узловым уравнениям

Найдем матрицу задающих токов, по известным нагрузкам в узлах сети:

где [n] - единичная матрица.

Найдем падение напряжения в узлах схемы относительно балансирующего узла:



где [] - обратная матрица узловых проводимостей.

Напряжение в узлах схемы:

где - напряжение балансирующего узла, равное 121 к В.

Падение напряжения в ветвях схемы: Найдем токи в ветвях схемы:

Проверим, удовлетворяют ли полученные результаты условию:



Токи в ветвях найдены верно.

Найдем потокораспределение в ветвях схемы:

Представим матрицу Мт в виде двух составляющих матриц (М 1 и М 2) - для подтекающих и оттекающих ветвей.

2.2 Расчет режима электрической сети по контурным уравнениям

Контурные уравнения в матричной форме записываются так:

Обозначим матрицу через К. Эта матрица имеет следующий вид:

Вычислим левую часть уравнения, обозначив ее за Т:

Решим получившуюся систему, получим матрицу [Ik]:

[Ib] = [IК ],

где [Ib] - матрица токов в хордах схемы.

Определим токи в ветвях дерева:

Полная матрица токов ветвей будет выглядеть следующим образом:

Падения напряжения в ветвях схемы найдем по следующей формуле:

где [Ua] -- матрица падений напряжений на ветвях дерева схемы:

Найдем падения напряжения в узлах относительно балансирующего узла:

Найдем напряжения в узлах схемы:

где [] - напряжение балансирующего узла, равное 121 кВ.



где [dUy] - диагональная матрица напряжений в узлах сети.

Определим расчетные токи в узлах сети:

Таким образом, найденные значения токов в узлах сети методом контурных уравнений совпали со значениями узловых токов, найденных методом узловых уравнений. Значит расчеты проведены верно.

2.3 Расчет режима электрической сети с использованием матрицы коэффициентов распределения

Матрица коэффициентов распределения С позволяет найти токораспределение в схеме при известных задающих токах в узлах.

Тогда остальные параметры режима определяются по известным формулам:

Падение напряжения в узлах сети относительно балансирующего:

Напряжения в узлах схемы:

Рассчитаем токи в узлах:

2.4 Анализ результатов расчета режима. Определение потоков и потерь мощности

Анализ условия работы электрической системы требует расчета ее установившихся режимов, целью которого является определение таких параметров режима, как напряжений в узлах сети, токов и мощностей, протекающих по ее основным элементам. Для выполнения таких расчетов, реальной системе ставится в соответствие так называемая схема замещения, представляющая собой совокупность схем замещения ее отдельных элементов, соединенных между собой в той же последовательности, что и в реальной схеме. То есть, схема замещения электрической системы, используемая для расчетов установившихся режимов, представляет собой математическую модель электрической цепи.

Таким образом, представив схему электрической сети через схему замещения на основе законов Кирхгофа, получаем узловые и контурные уравнения установившегося режима электрической сети, по которым проводим расчеты и находим параметры этого режима.

Расчет режимов электрической сети представляет собой достаточно сложный и трудоемкий процесс, однако применение матричных методов значительно упрощает расчеты.

При расчете основных параметров электрической сети различают два вида задания нагрузок:

при задании нагрузок в токах;

при задании нагрузок в мощностях с использованием итерационных методов.

Средние значения потоков мощности в ветвях без учета потерь:

Потери мощности в ветвях вычислим следующим образом:



Или

Итак, в результате расчетов получили следующие результаты:



Проведем анализ режима:

1) Самая загруженная линия - линия №4. Величина тока в данной линии составляет 0,283 кА. Поток мощности в начале линии составляет 34,254 МВт, в конце линии - 32,972 МВт.

2) Найдем отклонения напряжений в узлах от номинального напряжения:

3) Балансирующий узел выдает мощность, величина ее составляет: 78,54 МВт.

Определим, сколько составляет в процентах от нагрузки мощность БУ, мощность генерации, суммарные потери мощности:

3. Расчет режима электрической сети по нелинейным узловым уравнениям при задании нагрузок в мощностях с использованием итерационных методов

Итерационный процесс будем вести до тех пор, пока не выполнится условие:

Примем:

3.1 Расчет режима электрической сети методом простой итерации

Матрицу, обратную YУ обозначим через Z. Она называется матрицей взаимных сопротивлений.

Найдем напряжения из выражения:

В общем виде можно записать:

Первая итерация:

Точность не удовлетворяет заданной, продолжаем итерационный процесс:

Вторая итерация:

Точность не удовлетворяет заданной, продолжаем итерационный процесс:

Третья итерация:

Точность не удовлетворяет заданной, продолжаем итерационный процесс:

Четвертая итерация:

Точность удовлетворяет заданной, заканчиваем итерационный процесс.

3.2 Расчет режима электрической сети методом ускоренной итерации

Первая итерация:

Точность не удовлетворяет заданной, продолжаем итерационный процесс:

Вторая итерация:

Точность не удовлетворяет заданной, продолжаем итерационный процесс:

Третья итерация:



Точность не удовлетворяет заданной, продолжаем итерационный процесс:

Четвертая итерация:

Точность удовлетворяет заданной, заканчиваем итерационный процесс.

3.3 Расчет режима электрической сети методом ньютона

Запишем вектор-функцию небаланса токов в узлах:

Запишем матрицу Якоби:



Итерационная формула метода Ньютона запишется в виде:

Условие точности имеет следующий вид:

Первая итерация

Точность не удовлетворяет заданной, продолжаем итерационный процесс:

Вторая итерация



Точность не удовлетворяет заданной, продолжаем итерационный процесс:

Третья итерация

Точность удовлетворяет заданной. Итерационный процесс закончен. Как видим расчет методом Ньютона удался. Обеспечена сходимость итерации. Всеми итерационными методами получены идентичные значения узловых напряжений, значит расчеты проведены верно.



Как видим итерация, проведенная нами сходится. Из этого можно заключить, что все проделано верно.

3.4 Анализ сходимости итерационных методов

Расчет режима электрической сети при задании нагрузок в мощностях проводится тремя итерационными методами: метод простой итерации, метод ускоренной итерации, метод Ньютона.

Метод ускоренной итерации и метод Ньютона имеют значительно лучшую сходимость, но расчет методом ускоренной итерации проводить значительно легче, чем методом Ньютона, который является довольно трудоемким. Режим сошелся за 4 итерации по методу простой итерации; за 4 итерации - по методу ускоренной итерации; за 3 итерации - по методу Ньютона. Несмотря на то, что число итераций в методе простой итерации и в методе ускоренной итерации получилось равным, в методе ускоренной итерации удалось добиться более точных результатов.

Метод простых итераций не представляет особой сложности расчета, однако даже при задании начального значения близкого к решению и довольно большой точности, метод требует проведения относительно большого (по сравнению с методами ускоренной итерации и Ньютона) числа итераций, что довольно трудоемко.

Наиболее быстро достигается нужная точность при расчёте по методу Ньютона.

По всем методам результаты оказались очень близки, что говорит о высокой точности расчета. Поэтому анализ расчета проведем для одного метода, например для метода ускоренной итерации.

Падение напряжения в узлах относительно балансирующего:

Определяем расчетные токи ветвей:

Определяем падение напряжения в ветвях схемы:

Определяем потоки мощности в ветвях схемы:

Потери мощности в ветвях вычислим следующим образом:

Определяем расчетные токи узлов: Определяем расчетные мощности в узлах:

кА

Определим мощность в начале и в конце ветвей:

Определяем небаланс мощности:

4. Расчет утяжеленного режима электрической сети

Утяжелим нагрузку на 30%, имеем:

Зададим начальное приближение напряжений узлов:

Первая итерация:

Напряжение в узлах сети:



Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Вторая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Третья итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Четвертая итерация:

Точность удовлетворяет условию, итерационный процесс заканчиваем.

Увеличим нагрузку в 7 раз, имеем:

Зададим начальное приближение напряжений узлов:

Первая итерация:

Напряжение в узлах сети:



Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Вторая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Третья итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Четвертая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Пятая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Шестая итерация:



Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Седьмая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Восьмая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Девятая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Десятая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Одиннадцатая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Двенадцатая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Тринадцатая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Четырнадцатая итерация:



Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Пятнадцатая итерация:

Точность не удовлетворяет условию.

Как видим, при К=7 итерация расходится.

Уменьшим коэффициент К. Посчитаем режим при К=6.

Зададим начальное приближение напряжений узлов:

Первая итерация:

Напряжение в узлах сети:



Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Вторая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Третья итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Четвертая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Пятая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Шестая итерация:



Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Седьмая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Восьмая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Девятая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Десятая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Одиннадцатая итерация:



Точность удовлетворяет условию. Итерационный процесс заканчиваем.

Проведем расчет режима при увеличении нагрузки в 6 раз.

Токи в ветвях схемы:

Определяем падения напряжения на ветвях схемы:

Определяем потоки мощности в ветвях:

Потери мощности в ветвях:

Суммарные потери мощности в сети:

Определим расчетные токи узлов:

Определим расчетные мощности узлов:

Определим небаланс мощности в узлах:

Как видим в утяжеленном режиме при увеличении узловых мощностей в 6 раз (данный режим является предельным), небаланс мощностей очень мал. Потери увеличились в значительной степени и составили 236,704 МВт. Как уже было сказано, данный режим является предельным для нормальной работы электрической сети. В случае превышения данной предельной нагрузки, электрическая сеть станет не устойчивой. О том, что данный режим является устойчивым, но предельным мы можем судить по графику сходимости итерационного процесса при коэффициенте K=6, а также по тому, что итерационный процесс расходится при увеличении данного коэффициента К до 7. Можно сделать вывод, что изначально наша сеть недогружена.

Также найдены основные параметры данного режима, которые нанесены на следующих схемах:



Заключение

В данной курсовой работе мной была проведена работа по расчету установившегося режима электрической сети. Для анализа установившихся режимов были применены матричные методы. Расчеты были проведены различными способами: расчет режима электрической сети по узловым уравнениям, расчет режима по контурным уравнениям, расчет режима с использованием матрицы коэффициентов распределения, причем результаты расчетов совпали. Также был произведен расчет режима итерационными методами, результаты которых получились практически одинаковыми: результаты расчета методом Ньютона незначительно отличаются от других. Был произведен расчет утяжеленного режима, благодаря которому можно судить, при каких нагрузках электрическая сеть будет устойчивой, а при каких нет. Здесь мной установлено, что изначально сеть работает в недогруженном режиме, и на сколько нужно увеличить нагрузки, чтобы она работала в предельном режиме. Таким образом, мной был проведен полный анализ режимов работы электрической сети.

Список использованной литературы

1. Шиманская Т. А. Методическое пособие по выполнению курсовой работы по дисциплине «Математические модели в энергетике» для студентов специальности 1-43 01 02 «Электроэнергетические системы и сети». - Мн.: БНТУ, 2010.

Приложение 1

Расчет режима электрической сети по контурным уравнениям при задании нагрузок в мощностях

Запишем исходные данные.

Матрица сопротивлений ветвей:

Матрица нагрузок в узлах:

Матрицы начальных приближений токов и напряжений:

Расчет будем проводить итерационным методом.

Составим контурные уравнения.

Первая итерация

Найдем контурные токи:

Токи в ветвях найдем с учетом первоначально заданного направления их протекания:

Далее уточним значения напряжений в узлах:

Вторая итерация

Найдем контурные токи:

Токи в ветвях найдем с учетом первоначально заданного направления их протекания:

Далее уточним значения напряжений в узлах:

Третья итерация

Найдем контурные токи:

Токи в ветвях найдем с учетом первоначально заданного направления их протекания:

Далее уточним значения напряжений в узлах:

На этом итерационный процесс заканчиваем. Нужная точность достигнута.

Отразим поведение напряжения в узлах на следующем графике:



Выполним дальнейший расчет режима при:

Определим падения напряжения на ветвях схемы:

Определим потоки мощности ветвях:



Определим потери мощности в ветвях:

Определим суммарные потери мощности в сети:

Определим расчетные токи узлов: Расчетные мощности узлов:

Нанесем на схемы найденные параметры режима:

электрический сеть итерационный



Таким образом, при расчете основных параметров электрической сети различают два вида задания нагрузок:

В токах

В мощностях.

В дополнительном задании мною был проведен расчет режима электрической сети при задании нагрузок в мощностях. Как видим результаты практически совпали с результатами, полученными ранее, при задании нагрузок в токах. Значит можно сделать вывод о том, что все проделано верно.

Размещено на Allbest.ru

...