Точкова оцінка математичного сподівання та перевірка гіпотез

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Оцінювання параметрів і перевірка статистичних гіпотез у випадку вибірок малого об'єму

З метою порівняння кількісних і якісних показників двох однотипних виробничих процесів А і В проведені вибірки (х₁, х₂, …, x_n) i (y₁, y₂, …, y_n) об'ємів n_x і n_y відповідно.

Необхідно:

1. Для кожної вибірки оцінити математичне сподівання а і дисперсію ?² шляхом:

а) обчислення вибіркових середніх і та виправлених вибіркових дисперсій і ;

б) побудови довірчих інтервалів для математичних сподівань а_x і а_y та дисперсій і з надійністю ?=0,95.

2. Допускаючи, що вибірки (х₁, х₂, …, x_n) i (y₁, y₂, …, y_n) здійснені з нормально розподілених генеральних сукупностей X і Y з параметрами (а_x,) і (а_y, ) відповідно при рівні значущості =0,05:

а) перевірити гіпотезу = , користуючись критерієм Фішера, і встановити, чи є один із виробничих процесів ефективнішим за інший;

б) перевірити гіпотезу а_x = а_y, користуючись критерієм Стьюдента, і встановити, чи можна вважати розбіжність між середніми і випадковою, чи вона є суттєвою і пов'язана з відмінністю виробничих процесів.

3. За допомогою критерію згоди Фішера (для малих вибірок) перевірити гіпотези про нормальний розподіл генеральних сукупностей X і Y.

У таблиці 1.11 наведені показники середньої заробітної плати на двох однотипних підприємствах (підприємство А і підприємство В).

Таблиця 1.11 - витрати бензину на 1000 км пробигу,л.

статистичний математичний сподівання дисперсія гіпотеза сукупність

Оцінювання невідомих математичних сподівань та дисперсій

Точковою оцінкою математичного сподівання а генеральної сукупності є вибіркове середнє. Вибіркові середні і обчислюються за формулами:

, (1.1)

Часто зручно користуватися формулами:

Маємо

,

.

Незсуненою оцінкою дисперсії генеральної сукупності є виправлена вибіркова дисперсія . Значення і обчислюються за формулами:

, . (1.2)

Оскільки при зменшенні всіх даних вибірки на одне й те ж саме число значення дисперсії не змінюється, то, зменшуючи дані першої вибірки на 5902, а другої вибірки на 6088, знаходимо:

Вибіркове середнє квадратне відхилення дорівнює квадратному кореню з відповідної вибіркової дисперсії. Тому:

, .

Для знаходження довірчого інтервалу математичного сподівання а у вигляді

, (1.3)

де - точкова оцінка а (середнє вибірки); ? - точність оцінки. Якщо вибірка малого об'єму n, то точність оцінки ? визначається за формулою

. (1.4)

Тут s - вибіркове середнє квадратичне відхилення; - квантиль розподілу Стьюдента (Додаток А), обчислений при рівні значущості і степенях вільності.

Для магазину А маємо:

= 64,25 , n_x = 8,

t_0,975 = 2,365 (? = 0,05, k = 7),

Для магазину B маємо:

= 63,125, , n_y = 8,

t_0,975 = 2,365 (? = 0,05, k = 7),

Отже, з надійністю ? = 0,95: а_x = 64,25 ±0,741, а_y =42,33±1,373,

довірчі інтервали для невідомих математичних сподівань мають вигляд

а_x = , а_у = . Знайдемо тепер довірчі інтервали для генеральних дисперсій і . Для дисперсії генеральної сукупності довірчий інтервал має вигляд

. (1.5)

Тут n - об'єм вибірки; - оцінка дисперсії (виправлена вибіркова дисперсія); і - квантилі розподілу Пірсона (Додаток Б), обчислені при рівні значущості і числі степенів вільності .

Для магазину А:

n_x = 8, =0,785, = 14,06, = 2,17 (? = 0,05, k = 7)

,

Для магазину В:

n_у = 8, =2,696, = 14,06, = 2,17 (? = 0,05, k = 7)

, .

Як бачимо, довірчі інтервали для генеральних дисперсій і перетинаються. Тому з надійність 95%, у нас немає підстав відхилити гіпотезу про рівність дисперсій. Це означає, що величина витрат бензину на 1000км пробігу,л. виторгу А не впливає на зміну величини витрат В.

2. Перевірка статистичних гіпотез про рівність математичних сподівань та дисперсій

Ефективність виробничого процесу залежить від породжуваної ним дисперсії, що характеризує розкид даних. Отже, для визначення ефективності роботи магазину, пов'язаного з збільшенням добового виторгу, необхідно порівняти генеральні дисперсії і за даними вибірок продуктивності праці.

При порівнянні двох дисперсій і висувають нульову гіпотезу Н₀: = , при конкуруючій Н₁: . Якщо за змістом завдання більшій вибірковій дисперсії ( > ) наперед не може відповідати менша генеральна дисперсія (тобто нерівність < наперед неможлива), то конкуруюча гіпотеза набуває вигляду Н₀: > . У цьому випадку для перевірки альтернативної гіпотези Н₁ використовується односторонній критерій Фішера

. (1.6)

Тут - критичне значення розподілу Фішера (Додаток В), обчислене при рівні значущості і числах степенів вільності і . Якщо нерівність (1.6) виконується, то ми схиляємося на користь гіпотези Н₁: > ; у протилежному разі у нас не має підстав відхилити нульову гіпотезу Н₀: = .

У даному випадку =12804,790, =2266,164

З Додатку В при = 0,05, , знаходимо = 4,21. Оскільки 5,65 > 4,21, то ми можемо відхилити нульову гіпотезу і вважаємо не рівними генеральні дисперсії і . Це означає, що вдосконалення роботи магазинів є ефективним.

При порівнянні двох математичних сподівань а_x і а_y висувають нульову гіпотезу Н₀: а_x = а_y при конкуруючій гіпотезі Н₁: а_x а_y. Методика перевірки альтернативної гіпотези Н₁ залежить від співвідношення генеральних дисперсій і .

Раніше при порівнянні двох дисперсій і нами було встановлено, що = =. У цьому випадку оцінкою дисперсії є середньозважена вибіркова дисперсія

Якщо заздалегідь відомо, що більшому вибірковому середньому (>) не може відповідати менше математичне сподівання (а_y а_x), то альтернативна гіпотеза набуває вигляду Н₁: а_у > а_х. У цьому випадку для перевірки альтернативної гіпотези Н₁ використовується односторонній критерій Стьюдента

. (1.7)

Тут - критичне значення розподілу Стьюдента (Додаток А), обчислене при рівні значущості і числі степенів вільності . Якщо нерівність (1.7) виконується, то гіпотеза Н₁: а_у > а_х правильна, у протилежному разі ми визнаємо справедливість нульової гіпотези Н₀: а_x = а_y.

У даному випадку -= 63,125-64,25= -1,125. З Додатку А при = 0,05 і знаходимо =2,145 тоді

Оскільки 99,11<99,65, то ми схиляємося на користь нульової гіпотези Н₀: а_x = а_y . Отже, розбіжність між вибірковими середніми і випадкова, і при рівні значущості 5% вона є не суттєвою і не приводить до значущого підвищення добового виторгу магазинів після вдосконалення ефективності роботи магазину.

Відзначимо, що коли при порівнянні двох дисперсій і була встановлена нерівність > ( > ), то для перевірки гіпотези Н₁: а_у > а_х слід використовувати односторонній критерій Стьюдента вигляду

(1.8)

де , , t₁ і t₂ - квантилі розподілу Стьюдента (Додаток А), обчислені при рівні значущості ? і числах степенів вільності і відповідно.

3. Перевірка гіпотези про нормальний закон розподілу генеральної сукупності у випадку вибірки малого об'єму

В основу критеріїв згоди, за допомогою яких перевіряється гіпотеза про нормальний розподіл генеральної сукупності, покладено порівняння асиметрії та ексцесу нормального закону з їхніми оцінками, отриманими за даними вибірки.

Відомо, що у випадку нормального розподілу генеральної сукупності асиметрія А та ексцес Е дорівнюють нулю, а відповідні вибіркові коефіцієнти асиметрії та ексцесу дорівнюють

(1.9)

де - це центральний момент вибірки порядку k, що обчислюється за формулою

. (1.10)

При невеликому об'ємі вибірки Фішер рекомендує як оцінки асиметрії та ексцесу розглядати величини:

(1.11)

.

Очевидно, при невеликих значеннях n оцінки і будуть суттєво відрізнятися від вибіркових і . Виявляється, що у випадку нормального розподілу оцінки і мають із великою точністю нормальні вибіркові розподіли, причому їхні математичні сподівання дорівнюють нулю, а дисперсії визначаються співвідношенням:

 (1.12)

Отже, завдання полягає у відповіді на питання: чи суттєво оцінки і відрізняються від своїх математичних сподівань, тобто від нуля?

Фішер пропонує користуватися таким наближеним критерієм згоди:

, (1.13)

Для обчислення оцінок і асиметрії А і ексцесу Е скористаємося даними двох заданих вибірок об'ємів n_x = 8 і n_y = 7. Допоміжні обчислення вибіркових центральних моментів наведені в табл. 1.12 і 1.13.

Таблиця 1.12 - Обчислення центральних моментів першої вибірки

За даними таблиці 1.12. для першої вибірки одержуємо:

,

Бачимо, що критерій згоди (1.13) виконується.

Для другої вибірки знаходимо:

,

Тут також критерій згоди виконується (1.13) виконується.

Отже, дані вибірок погоджуються з нормальним розподілом генеральних сукупностей. Це означає, що проведені раніше процедури оцінювання математичних сподівань та дисперсій, а також перевірки статистичних гіпотез про рівність математичних сподівань та дисперсій двох генеральних сукупностей виправдні.

Размещено на Allbest.ru