Классификация состояний равновесия динамических систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

РЕФЕРАТ

По дисциплине: «Моделирование экономической динамики»

Тема: «Классификация состояний равновесия динамических систем»



ВВЕДЕНИЕ

К числу заметных научных достижений последней трети ХХ века относится возникновение и интенсивное развитие нового самостоятельного раздела нелинейной теории колебаний, получившего название стохастической динамики. Основным содержанием этого раздела, называемого также теорией динамического хаоса и сформировавшегося благодаря усилиям специалистов различных областей знания, является рассмотрение стохастических (хаотических) движений (колебаний) детерминированных динамических систем.

Эффект хаотизации движений, наблюдаемый при определенных условиях в неавтономных системах 2-го и более высоких порядков и в автономных системах не ниже 3-го порядка, представляется ныне научно обоснованным явлением, хотя в свое время такое казалось невероятным. Установление самой возможности подобных явлений - скачок в понимании временной и пространственной эволюции динамических систем, сравнимый по значимости с открытием регулярных автоколебаний.

Общий междисциплинарный характер эффекта хаотизации движений детерминированных систем и широкий спектр приложений теории динамического хаоса - две главные, хотя и не единственные, причины, по которым современным специалистам-физикам нужно владеть понятиями и методами стохастической динамики.

Данное пособие носит вводный характер и посвящено в первую очередь тем вопросам анализа нелинейных систем, знание которых необходимо для понимания основных проблем теории динамического хаоса. Рассматриваются также наиболее простые с точки зрения изложения примеры хаотизации движений конкретных динамических систем.



1. ОСНОВЫ АНАЛИЗА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

1.1 Динамическая система. Исходные определения

Понятие динамической системы возникло как обобщение понятия механической системы, движение которой описывается дифференциальными уравнениями Ньютона. В настоящее время понятие динамической системы является весьма широким. Оно охватывает системы любой природы: физической, химической, биологической, экономической и др.

Под динамической системой следует понимать любой объект, состояние которого может с течением времени изменяться.

При теоретическом исследовании реальных динамических систем прибегают к их приближенному описанию при помощи так называемых математических моделей. В зависимости от степени приближения одной и той же реальной системе могут быть поставлены в соответствие различные математические модели.

Исходными пунктами построения математической модели обычно являются выбор некоторой совокупности переменных величин, посредством которой определяется состояние динамической системы в данный момент времени, и задание оператора, при помощи которого может быть описана эволюция состояния во времени.

Предположим, что x1,x2,…,xn - скалярные величины, однозначно определяющие состояние динамической системы. Их часто называют переменными состояния. Они же могут быть выбраны в качестве координат N-мерного фазового пространства динамической системы (пространства состояний). При использовании матричной (векторной) записи вводится в рассмотрение N -мерный вектор состояния динамической системы

.



Задание оператора, определяющего изменение состояния динамической системы во времени, означает указание процедуры, выполняя которую, можно по значению в момент времени t0 найти значение в некоторый момент времени t.

Изменение состояния динамической системы во времени называется движением. Движению динамической системы отвечает перемещение соответствующей ее состоянию точки фазового пространства, описывающей при этом кривую, именуемую фазовой траекторией. Такую точку обычно называют изображающей.

Подход к анализу динамических систем, используемый ниже, предполагает, что математическую модель динамической системы составляют ее фазовое пространство и оператор эволюции состояния. Исследование поведения динамической системы сводится при этом к изучению разбиения ее фазового пространства на области, различающиеся характером траекторий, и к выяснению зависимости структуры такого разбиения от значений параметров системы.

Преобладающая часть последующего материала относится к динамическим системам, моделируемым конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть переменные состояния x1,x2,…,xn выбраны таким образом, что уравнения движения имеют вид

(1)

в случае автономной системы и

(2)

в случае неавтономной системы, или в матричной (векторной) записи соответственно

(1а)

. (2а)

Правая часть любого из двух последних уравнений

трактуется как вектор скорости перемещения изображающей точки по фазовой траектории и называется вектором фазовой скорости.

Характер движения динамической системы при начальном значении определяется зависимостями , находимыми в результате решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений (1) или (2). Набором N функций xs(t) задается в параметрической форме фазовая траектория.

Заметим, что среди точек фазового пространства динамической системы имеются так называемые особые точки. У автономных систем, которыми мы пока ограничимся, через любую неособую (обыкновенную, регулярную) точку фазового пространства всегда проходит одна траектория, отвечающая какому-нибудь движению. Через особую точку либо не проходит ни одной такой фазовой траектории, либо, наоборот, проходит более, чем одна, траектория.

1.2 Состояние равновесия, периодические и квазипериодические движения динамических систем

В данном пункте речь пойдет о некоторых возможных частных разновидностях решений уравнений движения динамической системы. Для каждой из таких разновидностей характерны свои особенности поведения фазовых траекторий в соответствующих областях фазового пространства.

Обратившись к уравнению (1а), потребуем сначала, чтобы координаты фазового пространства не изменялись с течением времени

.

В результате из (1а) получим уравнение

, (3)

при помощи которого отыскиваются решения уравнения (1а), соответствующие состояниям равновесия (покоя) динамической системы. Им обычно отвечают особые точки фазового пространства.

Для любого из решений уравнения (3), если таковые имеются, важно знать условия его устойчивости. По большей части интересуются прежде всего устойчивостью по отношению к малым возмущениям (устойчивостью в малом). Если равновесное решение оказалось неустойчивым (в малом), то динамическая система не может оставаться в соответствующем состоянии равновесия. Она неизбежно выйдет из него под действием какого-нибудь малого толчка, которое реально всегда есть, и в последующем либо окажется в постоянном движении, не ограниченном малой окрестностью состояния равновесия, либо перейдет в другое (устойчивое) состояние равновесия.

Среди устойчивых состояний равновесия имеются такие, для которых выполнены условия асимптотической устойчивости. В фазовом пространстве динамической системы им соответствуют особые точки, в которые входит бесконечное множество фазовых траекторий, причем в ближайшей окрестности каждой такой точки движение по всем фазовым траекториям происходит так, что при t>? изображающие точки стремятся к этой особой точке. Таким образом, асимптотически устойчивая особая точка как бы притягивает к себе точки, движущиеся по близлежащим фазовым траекториям, и по этой причине называется аттрактором. Ниже рассматриваются также и другие разновидности аттракторов (притягивающие фазовые траектории и более сложные образования).

Перейдем к рассмотрению периодических решений уравнения (1а).

Допустим, что, по крайней мере, одно такое решение имеется, т.е. существует отличная от постоянной удовлетворяющая уравнению (1а) функция , для которой равенство

(4)

справедливо при всех t . Величина T в этом случае называется периодом.

Выполнение условия (4) означает периодическое движение динамической системы, которому в фазовом пространстве соответствует замкнутая фазовая траектория.

Обратимся к конкретному примеру двумерной (N = 2) динамической системы, процессы в которой описываются следующими нелинейными уравнениями, связывающими скалярные величины x, y и их первые производные по времени

. (5)

В качестве фазового пространства в данном случае естественно выбрать плоскость x, y.

Переходя к полярным координатам R, ? и учитывая их связь с декартовыми:

x = Rcos?, y = Rsin? ,

запишем вместо (5) равносильную ей систему уравнений

. (6)

Из последнего уравнения непосредственно вытекает, что фаза

?(t) = t + ?(0),

где ?(0) может быть выражено через начальные значения переменных x и y.

Легко также видеть, что уравнение для полярного радиуса удовлетворяется, в частности, при R = R0 = 1, чему соответствует решение системы (5) в виде периодических функций периода 2?:

x0 (t) = cos (t + ?(0)),

y0 (t) = sin(t + ?(0)).

Рис. 1.1

На фазовой плоскости этому решению отвечает замкнутая траектория в виде окружности единичного радиуса с центром в начале координат (рис.1.1.). Другие решения системы (5) или равносильной ей системы (6) таковы, что при t>? полярный радиус стремится к единице, а значит, упомянутая замкнутая фазовая траектория, представляющая собой устойчивый предельный цикл, является притягивающей траекторией, т.е. разновидностью аттрактора. Следующий пример относится к трехмерной системе, у которой одно из решений имеет вид:

x = x 0 (t) = (2 + cos ? t) cos ? t, y = y 0 (t) = (2 + cos ? t) sin ? t,

z = z 0 (t) = sin ? t, (7)

а остальные решения стремятся к нему при t>?. Фазовая траектория, соответствующая (7), лежит на торе (тороидальной поверхности), показанном на рис.1.2.

Рис. 1.2.

Сечение тора плоскостью z = 0 представляет собой две концентрические окружности (сплошные линии на рис.1.3). Штриховой линией на рис.1.3 отмечено геометрическое место центров окружностей единичного радиуса, образующихся в сечениях тора плоскостями, проходящими через ось z (рис.1.4).

Рис. 1.3



Рис. 1.4

В случае решения (7) изображающая точка при перемещении по траектории в трехмерном фазовом пространстве совершает сложное движение, в котором вращение вокруг оси z (угловая скорость ?) сочетается с вращением в поперечном направлении (угловая скорость ?). Если ? и ? находятся в рациональном отношении (соизмеримы), решение (7) - периодическое, в противном случае - почти периодическое, соответствующее квазипериодическому движению рассматриваемой трехмерной системы.

В первом случае фазовая траектория, отвечающая решению (7), замкнута и представляет собой лежащий на торе устойчивый предельный цикл, во втором - мы имеем дело с незамкнутой траекторией, которая с течением времени покрывает собой всю двумерную тороидальную поверхность. Остальные фазовые траектории при t>? стягиваются, как изнутри, так и снаружи) к тору, который при несоизмеримых ? и ? сам по себе является аттрактором. Размерность такого притягивающего образования равна двум в отличие от устойчивого предельного цикла (одномерный аттрактор) и асимптотически устойчивого состояния равновесия (аттрактор нулевой размерности).

Отметим, что в общем случае среди N-мерных динамических систем (N=3,4,...) могут быть такие, в фазовом портрете которых содержатся аттракторы в виде торов размерности, достигающей значения N-1. В последующем будут рассмотрены также динамические системы (автономные не ниже третьего порядка и неавтономные - не ниже второго), у которых аттракторами являются более сложные геометрические образования, чем точка, замкнутая линия или тороидальная поверхность.

1.3 Эволюция объема элемента фазового пространства при движении вдоль траекторий

Воспользуемся подходом, согласно которому движение изображающих точек в фазовом пространстве интерпретируется как стационарное течение жидкости (гидродинамическая аналогия). Для этого в фазовом пространстве динамической системы, описываемой уравнениями (1) либо равносильным им уравнением (1а), выделим некоторый достаточно малый элемент объема

Внутри выделенного элемента расположены изображающие точки, относящиеся к отрезкам некоторых фазовых траекторий динамической системы. Движение изображающих точек по фазовым траекториям может приводить к изменению ?V во времени. Введем в рассмотрение нормированную скорость этого изменения

. (8)

Заменяя в (8) для каждой переменной xi производную приращения ?xi приращением производной и учитывая (1), имеем

Полагая приращения ?xi бесконечно малыми и переходя к пределу, получим следующую оценку для нормированной скорости изменения элементарного объема:

(9)

Введенная величина ? позволяет установить характерное свойство консервативных систем (т.е. систем, у которых запасенная энергия остается неизменной во времени), заключающееся в неизменности элементарного объема. В механике для консервативных систем используется наименование «гамильтоновы», а уравнения движения могут быть записаны при помощи гамильтониана H(,), являющегося функцией обобщенных координат qi и обобщенных импульсов pi

(10)

Здесь n - число степеней свободы, .

Из сравнения (10) с (1) и (1а) вытекает возможность следующего представления вектор столбцов и

,

где

.

Тогда, учитывая (9), имеем

,



т.е. для гамильтоновой системы с изменением времени элементарный объем остается неизменным. Таким образом, если воспользоваться гидродинамической аналогией, то из полученного результата следует вывод, что для консервативной системы движение изображающих точек в фазовом пространстве интерпретируется как стационарное течение несжимаемой жидкости.

В неконсервативной системе отлична от нуля. В случае, когда отрицательна, с ростом времени происходит сжатие фазового объема, что соответствует диссипативной системе. Равенство нулю и отрицательность могут служить критериями соответственно консервативности и диссипативности динамической системы.

Обратимся к конкретным примерам. Сначала запишем уравнение маятника?

,

которое, если ввести угловую скорость ? = , можно заменить системой двух уравнений первого порядка

.

В данном случае

,

и при ? = 0 (маятник без потерь) мы имеем дело с консервативной системой, при ? >0 - с диссипативной.

Другой пример - система Э. Лоренца

, (11)

где p, r, b - положительные параметры. Для нее

,

и согласно принятому критерию система Э.Лоренца относится к числу диссипативных.



2. КЛАССИФИКАЦИЯ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ И КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

2.1 Вводные замечания

Приводимая ниже классификация относится к неконсервативным системам. В основе ее лежит анализ поведения фазовых траекторий в той области фазового пространства динамической системы, в которой содержится либо особая точка, соответствующая состоянию равновесия, либо фазовая траектория, отвечающая периодическому или квазипериодическому движению. Из фазовых траекторий, поведение которых анализируется, интерес представляют прежде всего те траектории, по которым изображающие точки при t >+? (1-й вариант), либо при t >?? (2-й вариант) стремятся к особой точке или выделенной фазовой траектории, соответствующей периодическому или квазипериодическому движению. Множество всех фазовых траекторий, относящихся к 1-му варианту движения изображающей точки, образуют устойчивое интегральное многообразие Ws , а множество всех фазовых траекторий, относящихся ко 2-му варианту движения, - неустойчивое интегральное многообразие Wu.

В последнее множество включают также и те траектории, расстояние от которых до выделенной фазовой траектории с течением времени остается ограниченным, но не стремится к нулю. Сюда следует отнести и саму выделенную фазовую траекторию.

Как будет видно из последующего рассмотрения, возможны ситуации, когда устойчивое (или неустойчивое) интегральное многообразие состоит из конечного числа траекторий (см., например, рис.2.5, 2.8, 2.9), что соответствует размерности многообразия, равной единице. Может оказаться, что фазовые траектории некоторого многообразия лежат на участке двумерной поверхности, причем через каждую точку участка поверхности проходит какая-либо траектория данного многообразия, размерность которого считается в этом случае равной двум. Случай, когда фазовые траектории, относящиеся к многообразию, целиком заполняют какую-нибудь область трехмерного пространства, соответствует многообразию размерности три, и т.д.

Классификация, речь о которой пойдет далее, опирается на значения размерностей устойчивого и неустойчивого многообразий: dimWs и dimWu.

Для устойчивого многообразия может, кроме того, применяться обозначение Sp+ , где p = dimWs , а для неустойчивого - Sq? , где q = dimWu . Соответственно особая точка с интегральными многообразиями Sp+ и Sq? обозначается в последующем как Op,q. Классификация состояний равновесия нелинейных систем проводится ниже в предположении, что необходимые сведения об особенностях поведения фазовых траекторий в окрестностях особых точек могут быть получены в результате анализа линеаризованных систем, хотя это допущение справедливо, строго говоря, не всегда.

2.2 Классификация состояний равновесия (особых точек) двумерных динамических систем

Будем исходить из следующей формы записи дифференциальных уравнений, которыми описываются процессы в автономной нелинейной системе 2-го порядка (N = 2):

. (12)

Равновесные значения x0 , y0 являются решениями уравнений

P(x0, y0)= 0, Q(x0, y0)= 0. (13)

Воспользуемся процедурой линеаризации для исследования устойчивости (в малом) какого-либо равновесного решения (x0, y0) и соответствующей ему особой точки фазового пространства динамической системы. Полагая в (12)

x = x0 + ? , y = y0 + ?,

учитывая (13) и малость возмущений ? и ?, получим линейные уравнения 1-го приближения

,

где частные производные по x и y определяются в точке (x0, y0).

Характеристическим уравнением линеаризованной системы является квадратное уравнение:

?2 + 2?? + ? = 0 (14)

где

Характер поведения траекторий на фазовой плоскости в окрестности особой точки (x0, y0) определяется корнями ?1, ?2, уравнения (14) и, в частности, знаками их вещественных частей. Содержащие точку (x0, y0) фрагменты возможных фазовых портретов представлены на рис. 2.1-2.5.

Рис. 2.1



Рис. 2.2

Рис.2.1, 2.2 соответствуют случаям, когда как у ?1 , так и у ?2 вещественные части отрицательны и изображающие точки по всем траекториям в окрестности особой точки с ростом t стремятся к ней. Эти фазовые траектории образуют двумерные устойчивые интегральные многообразия Ws точки (x0, y0), размерности же неустойчивых многообразий Wu , очевидно, равны нулю.

Рис. 2.3

Рис. 2.4.

Особые точки на рис. 2.1, 2.2 относятся к типу O2,0 и называются устойчивыми (первая из них - устойчивый фокус, вторая - устойчивый узел).

Особые точки на рис. 2.3, 2.4 относятся к типу O0,2 и называются неустойчивыми (неустойчивый фокус и узел соответственно).

Для них

Рис. 2.5

В случае, когда характеристическое уравнение (14) имеет два вещественных корня разных знаков, картина фазовых траекторий в окрестности особой точки выглядит так, как показано на рис. 2.5. Имеется две траектории, по которым изображающая точка стремится к (x0, y0) при t>? и которые образуют одномерное интегральное многообразие Ws. Точно так же имеются две фазовые траектории, выходящие из точки (x0, y0), по которым изображающая точка стремится к ней при t>?? (dimWu = 1). Особая точка на рис. 2.5 относится к типу O1,1 и называется седловой (седлом).

2.3 Классификация состояний равновесия (особых точек) трехмерных динамических систем

Исследование устойчивости в малом состояния равновесия нелинейной системы 3-го порядка (N = 3) приводит к кубическому характеристическому уравнению линеаризованной системы:



?3 + a?2 + b? + c = 0.

Как и в случае двумерной системы, тип особой точки определяется положением корней характеристического уравнения на комплексной плоскости ? (? = ?? + j???). Некоторые варианты взаимного расположения корней и соответствующие им трехмерные фазовые портреты в окрестности особой точки с указанием ее типа приведены на рис. 2.6 - 2.9.

Рис. 2.6

Особые точки типа O3,0 называются устойчивыми, типа O0,3 - неустойчивыми, типов O2,1 , O1,2 - седловыми.



Рис. 2.7

Рис. 2.8



Рис. 2.9

2.4 Классификация состояний равновесия (особых точек) N - мерных динамических систем

Рассматривая для линеаризованной системы характеристическое уравнение N-й степени и полагая, что p его корней имеют отрицательную вещественную часть, а q корней - положительную, причем p + q = N , можно показать, что размерности интегральных многообразий особой точки в общем случае определяются равенствами

dimWs = p, dimWu = q.

Таким образом, используя введенное выше для особой точки обозначение Op,q, определим точку ON,0 как устойчивую, а точку O0,N - как неустойчивую. Ситуация, когда и p, и q отличны от нуля, соответствует седловой особой точке.



2.5 Классификация периодических и квазипериодических движений динамических систем

Периодические движения, представляемые в фазовом пространстве замкнутыми траекториями, классифицируются и обозначаются с учетом классификации и обозначений соответствующих им неподвижных точек сечений Пуанкаре, поскольку последовательные точки отображения лежат на кривых (см. пунктирные линии на рис. 2.10, 2.11), подобных фазовым траекториям в окрестности состояния равновесия. В этом смысле неподвижная точка отображения Пуанкаре - аналог состояния равновесия, и для нее применимы определения и обозначения, введенные выше для особой точки.

Рис. 2.10

Рис. 2.11

Пусть для неподвижной точки dimWs = p , dimWu = q и используется обозначение Op,q. Тогда для соответствующей ей замкнутой траектории dimWs = p + 1, dimWu = q + 1, а сама траектория обозначается как ?p+1,q+1. Таково правило, справедливое при произвольной размерности N фазового пространства. В данном случае N = p + q + 1, поскольку размерность секущей гиперповерхности, совпадающая с суммой p + q , должна равняться N ? 1.

Кроме того, принятый для неподвижной точки символ Op,q означает, что из всех значимых с точки зрения исследования устойчивости периодического движения N-мерной автономной системы мультипликаторов ?1, ?2,…, ?N-1 ? число тех, что лежит внутри круга единичного радиуса (|?i|<1), равно p, а число мультипликаторов, модуль которых превышает единицу, равно q. Напомним, что в данном случае мультипликатор ?N равен единице. Сформулированное правило наглядно иллюстрируется приведенными на рис. 2.10, 2.11 примерами, относящимися к трехмерным системам (N=3). На рис. 2.10 показан устойчивый предельный цикл (толстая сплошная линия), к которому все близко расположенные фазовые траектории стремятся при t>?. В секущей плоскости этот цикл дает неподвижную точку типа O2,0 (в данном случае - это устойчивый узел). Сам устойчивый цикл обозначается как ?3,1. На рис. 2.11 показаны седловой цикл ?2,2 и соответствующая ему седловая неподвижная точка O1,1. На рис. 2.12 приводятся также примеры циклов на фазовой плоскости (N=2).

Рис. 2.12



В общем случае циклы ?N,1 являются устойчивыми, циклы ?1,N - неустойчивыми, остальные - седловыми.

Рассмотрим теперь для N=3 более сложный пример. Пусть в некотором сечении картина кривых, на которых помещаются последовательные точки отображения, подобна фазовому портрету, приведенному на рис. 2.12,а. В этом случае (рис. 2.13,а) под O0,2 следует понимать неподвижную точку, образованную пересечением неустойчивого цикла ?1,3 с секущей плоскостью, а под циклом ?2,1 - множество точек пересечения с секущей плоскостью не замыкающейся на себя обмотки тора, соответствующей устойчивому квазипериодическому движению и обозначаемой ?3,2 (рис. 2.13,б). Все прочие траектории, по крайней мере, те, что находятся в ближайшей окрестности тороидальной поверхности, с течением времени стремятся к расположенной на этой поверхности квазипериодической траектории ?3,2. На рис. 2.14 для сравнения показан устойчивый предельный цикл ?3,1, неподвижной точкой для которого является устойчивый фокус.

Рис. 2.13



Рис. 2.14

Согласно общему правилу, расположенной на секущей гиперповерхности замкнутой траектории (циклу) ?p+1,q+1 соответствует тороидальное интегральное многообразие ?p+2,q+2, т.е. для квазипериодического движения, представляемого не замыкающейся на себя обмоткой тора ?p+2,q+2, размерности устойчивого и неустойчивого интегральных многообразий определяются следующими формулами:

dimWs = p + 2, dimWu = q + 2.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выше затронуты лишь некоторые из широкого круга проблем теории динамического хаоса. Целый ряд вопросов сознательно опущен. К ним, в частности, относятся статистические (вероятностные) характеристики стохастических автоколебаний, возникающих в результате перехода к хаосу.

Отдельного внимания заслуживает стохастическая динамика распределенных систем. Хаотические движения сред или полей очень распространены в природе. Издавна известным примером такого движения является случайное, запутанное течение жидкости, наблюдаемое при достаточно больших скоростях в отсутствие случайных внешних сил или полей и именуемое гидродинамической турбулентностью. В общем случае под турбулентностью понимают стохастические автоколебания в распределенной системе, т.е. случайное движение нелинейной диссипативной среды или поля, совершающееся под действием неслучайных источников энергии.

Анализ стохастизации движений распределенных систем во многом (хотя и не во всем) подобен исследованию механизмов перехода к хаосу в дискретных системах, причем некоторые задачи могут рассматриваться при помощи конечномерных моделей. Отметим только, что в случае сплошных сред и полей имеются в виду хаотические изменения как во времени, так и в пространстве.

Наряду с переходом к хаосу возможно и в определенном смысле противоположное направление развития динамических систем, получившее название самоорганизации. Оно заключается в образовании структур (в том числе упорядоченных), которые устойчивы по отношению к изменениям внешних условий, и структур, способных к росту и распространению. Проблемы самоорганизации составляют основное содержание научной дисциплины, называемой синергетикой.

Порядок и хаос - две основные общие тенденции в эволюции динамических систем. Следует, однако, иметь в виду, что разделение движений детерминированных динамических систем на регулярные и хаотические в условиях, когда возможны промежуточные случаи, носит условный характер. Всякое хаотическое движение в той или иной мере наделено некоторой регулярностью, некоторыми временными закономерностями и пространственной структурой.

Задача исследования хаотических движений - это, в первую очередь, обнаружение и описание их временных и пространственных закономерностей, носящих в одних своих частях детерминированный характер, а в других - случайный. Хаотические движения несут в себе черты как регулярности, так и стохастичности.

трехмерный равновесие квазипериодический траектория



ЛИТЕРАТУРА

1. Ott T., Spano M. Controlling chaos. - Physics today. May 1995. P.34.

2. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. - М.: Наука, 1990. - 312 с.

3. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. - М.: Мир, 1991. - 368 с.

4. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1987. - 384 с.

5. Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. Часть 1. - М.: Мир, 1990. - 349 с.

6. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. - М.: Наука, 1967. - 472 с.

7. Дмитриев А.С, Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. - М.: Наука, 1989. - 280 с.

8. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. - М.: Мир, 1984. - 528 с.

9. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. - М.-Л.: Гостехиздат, 1950. - 472 с.

10. Мун Ф. Хаотические колебания. - М.: Мир, 1990. - 312 с.

11. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. - М.: Наука, 1987. - 424 с.

12. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1965. - 332 с.

13. Пригожин И.М. От существующего к возникающему. - М.: Наука, 1977. - 325 с.

14. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: ОГИЗ, 1947. - 392 с.

Размещено на Allbest.ur

...