Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВПО «СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет механической технологии древесины

Кафедра станков и инструментов

Исследование объектов с использованием полных факторных планов

Проверил: А.А. Воробьев

Выполнил: студент группы 44-7

А.Н. Юносов



Реферат

В данной расчетно-графической работе приведены расчеты зависимости шероховатости от скорости подачи и глубины фрезерования.

Расчетно-графическая работа содержит 17 страниц печатного текста, 4 таблиц, 3 рисунок.



Оглавление

Реферат

1. Построение полного факторного плана для двух факторов ПФП 22

2.1 Обработка результатов эксперимента

2.1.1 Вычисление средних арифметических выходных для каждой серии опытов по формуле

2.1.2 Вычисление коэффициентов уравнения регрессии

2.1.3 Вычисление значений выходной величины по уравнению регрессии

2.1.5 Проверка однородности дисперсий опытов по критерию Кохрена

2.1.6 Вычисление дисперсий воспроизводимости

2.1.7 Вычислении е дисперсий коэффициентов регрессии

2.1.8 Оценка значимости коэффициентов регрессии

3. Проверка адекватности математической модели

3.1 Вычисляется сумма квадратов, характеризующих адекватность модели Sад по формуле

3.2 Вычисляем число степеней свободы, связанное с дисперсией адекватности

3.3 Вычисляется дисперсия адекватности

3.4 Проверяется однородность дисперсий адекватности и воспроизводимости с помощью F - критерия Фишера

3.5 Получение новой регрессионной модели

4. Интерпретация математической модели объекта

5. Геометрическая интерпретация опытов

5.1 Построение графиков зависимости . Значения фактора Х2 фиксируем на 3-х уровнях: нижнем, основном и верхнем

5.2 Построение графиков зависимости

6. Получение математической модели в натуральных обозначениях факторов

фишер кохрен дисперсия факторный



1. Построение полного факторного плана для двух факторов ПФП 2

Требуется провести эксперимент по исследованию зависимости шероховатости обработанной поверхности (R_m) от скорости подачи (V_s) и глубины фрезерования (t).

Предполагается, что эта зависимости имеет линейный характер. Поэтому целесообразно реализовать эксперимент по полному факторному плану ПФП 2² (табл.1).

Скорость подачи (V_s) принимается за фактор Х₁. Значения этого фактора варьируются в диапазоне:

2 м/мин ? Х₁ ? 6 м/мин

Глубина фрезерования (t) принимается за фактор Х₂. Диапазон варьирования этого фактора.

0,1мм ? Х₂ ? 2мм

Таким образом, Х_1min = 2 мм, Х_1max =6 мм. Середину диапазона варьирования называют основным уровнем и определяют по формуле.

Интервал варьирования определяется как разность

Для фактора

Полный факторный план для указанных значений Х₁ и Х₂ будет иметь вид ( см. табл.2).

Таблица 2

ПФП 2²

№ оп	Значения факторов	Значения YjL, Вm
	Х1 =В, мм	Х2 =Т, мм
1 2 3 4	2 6 2 6	0,1 0,1 2 2	47,53,51,50,36 94,88,97,72,83 74,73,84,64,75 116,154,148,161,157

Значения Y_jL получены в результате проведения опытов (j = 1…N, N = 4, L = 1…n), где N - число опытов, n - число повторов в каждом опыте.

Для удобства обработки результатов экспериментов, получения и анализа математической модели переводят натуральные значения факторов (Х₁, Х₂) в нормализованные (Х₁, Х₂) по формуле

(1)

Фактор

Х₁ = V_s

Фактор

Х₂ = t

Полный факторный план для факторов в нормализованных обозначениях приведен в таблице 3.

Таблица 3

ПФП 2² в для факторов в нормализованных обозначениях и результаты вычислений

№ оп	Х1	Х2
1	2	3	4	5	6
1 2 3 4	-1 +1 -1 +1	-1 -1 +1 +1	47,4 86,8 74 147,2	38,95 95,25 82,45 138,75	45,3 97,7 50,5 326,7

Для наглядности целесообразно полному факторному плану дать геометрическое толкование. Для двухфакторного плана рассматривается координатная (факторная) плоскость, по оси абсцисс откладываются значения Х₁, а по оси ординат-фактора Х₂ (рис.1). Построим на этой плоскости точки, координаты которых соответствуют нормализованным значениям факторов в опытах 1-4 ПФП 2² (табл.2). Точки этого плана образуют вершины квадрата, центр которого совпадает с началом координат.

Внутренность квадрата является областью варьирования нормализованных факторов. На факторной плоскости (рис. 1б.) представлены точки этого же плана в натуральных обозначениях факторов.

Размещено на http://www.allbest.ru/



2.1 Обработка результатов эксперимента

Для приведенного примера, когда каждый опыт дублируется одинаковое число раз (n), результаты эксперимента обрабатываются в такой последовательности:

2.1.1 Вычисление средних арифметических выходных для каждой серии опытов по формуле

где l=1…n (в примере n=5).

Результаты вычислений заносят в таблицу 3.

2.1.2 Вычисление коэффициентов уравнения регрессии

Уравнение, в виде которого представлена математическая модель, называется уравнением регрессии. По результатам ПФП 2² можно построить линейную модель объекта.

(2)

Уравнение записано в нормализованных обозначениях факторов. С помощью замены по формуле (1) легко перейти к натуральным обозначениям факторов.

Коэффициенты в_j, j=0; 1…к (в примере к=2) отыскиваются по результатам эксперимента с помощью формул:

(3)

(4)

Используя данные таблицы 3 и формулы (3), (4), находим:

Таким образом, искомое уравнение регрессии имеет вид:

(5)



2.1.3 Вычисление значений выходной величины по уравнению регрессии

В найденное уравнение регрессии (5) подставляем значения факторов Х₁, Х₂, соответствующие условиям 1-го, 2-го … N-го опытов из таблицы 3.

Результаты вычислений записываем в соответствующий столбец таблицы 3.

2.1.4 Вычисление оценок дисперсии . Для каждой серии дублированных опытов вычисляем значения оценок дисперсий по формуле

Результаты вычислений записываем в соответствующий столбец таблицы 5.

2.1.5 Проверка однородности дисперсий опытов по критерию Кохрена

Расчетное значение критерия Кохрена вычисляется по формуле

где - наибольшая из найденных оценок дисперсии опытов.

N - число опытов.

Для проверки однородности дисперсий необходимо сравнить расчетное значение критерия с табличным (приложение 1).

Для заданного уровня значимости , числу степеней свободы и числу выборок находим табличное значение критерия Кохрена .

Видим, что<.

Это говорит о том, что дисперсии однородны.

2.1.6 Вычисление дисперсий воспроизводимости

Дисперсия воспроизводимости характеризует ошибку эксперимента и вычисляется как среднее арифметическое дисперсий опытов.

.

Число степеней свободы дисперсии воспроизводимости для N опытов и n - дублирований каждого опыта.

2.1.7 Вычислении е дисперсий коэффициентов регрессии

Дисперсии коэффициентов регрессии характеризуют точность, с которой они найдены.

Для ПФП дисперсии всех коэффициентов равны и определяются по формуле:

Также равны и средние квадратичные отклонения.

2.1.8 Оценка значимости коэффициентов регрессии

Проводится с помощью t - критерия Стьюдента по формуле:

Для полученных значений коэффициентов (5).

Для коэффициента :

Табличное значение t - критерия находим по приложению 2. Для заданного уровня значимости q =0,05 и степени свободы f_у=16 получаем t_табл=2,12.

Сравнивая расчетные и табличные значения t - критериев, видим, что для всех коэффициентов регрессии.

t_расч>t_табл.

Это говорит о том, что все коэффициенты значимы.



3. Проверка адекватности математической модели

Результаты этой проверки позволяют ответить на вопрос: пригодна ли полученная модель (5) для описания объекта?

3.1 Вычисляется сумма квадратов, характеризующих адекватность модели Sад по формуле

где - среднее арифметическое результатов j - й серии дублированных опытов (табл. 3);

- значение выходной величины в j-м опыте;

Найденное по уравнению регрессии (табл. 3);

n - число дублированных опытов в каждой серии (в примере n=5);

3.2 Вычисляем число степеней свободы, связанное с дисперсией адекватности

(6)

где N - число опытов плана (N=4);

P - число значимых коэффициентов (P=3)

3.3 Вычисляется дисперсия адекватности

3.4 Проверяется однородность дисперсий адекватности и воспроизводимости с помощью F - критерия Фишера

Табличное значение F - критерия в рассматриваемом примере для заданного уровня значимости q=0,05, числа степеней свободы дисперсии адекватности и числа степеней свободы дисперсии воспроизводимости =16 из приложения 3 равно:F_табл=4,49.

Очевидно, что > F_табл, т.е. дисперсии неоднородны, найденную модель нельзя считать адекватной и необходимо продолжить поиск модели,, с достаточной точностью описывающей объект.

Если же < F_табл,, то полученная модель адекватна и необходимо продолжить ее анализ согласно пунктам 4, 5, 6.



3.5 Получение новой регрессионной модели

Для получения более точной регрессионной модели в таблицу 3 (ПФП 2²) включается столбец взаимодействия факторов (табл.4.)

Таблица 4

ПФП 2² с учетом взаимодействия факторов

№ опыта	Х1	Х2	Х1Х2
1 2 3 4	-1 +1 -1 +1	-1 -1 +1 +1	+1 -1 -1 +1	47,4 86,8 74 147,2	47,4 86,8 74 147,2

Вычисляется коэффициент парного взаимодействия между факторами Х₁ и Х₂ по формуле.

Подставим в нее значения факторов для каждого опыта и получим:

Проверить адекватность регрессионной модели (7) с помошью F - критерия Фишера нет возможности, т.к. степень свободы дисперсии адекватности, определяется по формуле (6) для четырех коэффициентов, равна нулю.

Сравнивая значения и (табл.4), видим, что они совпадают. Это говорит о том, что уравнение регрессии (7) очень точно описывает исследуемый объект и может быть принято в качестве его математической модели.



4. Интерпретация математической модели объекта

Все коэффициенты математической модели имеют определенный физический смысл. Так, коэффициент равен значению выходной функции, если все факторы находятся в середине диапазона варьирования. Знак коэффициента свидетельствует о характере влияния соответствующего фактора на выходную величину ( если >0, то с ростом значений фактора Х_j выходная величина растет, а если <0 - уменьшается).

Чем больше величина, коэффициента, тем сильнее влияет этот фактор.

Положительный знак при коэффициенте парного взаимодействия означает, что возрастание фактора Х₁ приводит к усилению влияния фактора Х₂ на выходную величину и наоборот.

Анализируя математическую модель (7), видим, что в центре области варьирования факторов Х₁ и Х₂ значение выходной величины . С ростом значений факторов Х₁ и Х₂ значений увеличивается, т.к. >0 и >0.

Фактор Х₂ в большей степени влияет на выходную величину, т.к. >.

Поскольку знак при коэффициенте парного взаимодействия положительный (+24,9), при увеличении фактора Х₁ влияние фактора Х₂ на выходную величину усиливается. Аналогично при увеличении фактора Х₂.



5. Геометрическая интерпретация опытов

Для большей наглядности рассмотренных закономерностей (пункт 4) построим график зависимости выходной величины последовательно от каждого фактора.

5.1 Построение графиков зависимости

Значения фактора Х2 фиксируем на 3-х уровнях: нижнем, основном и верхнем.

При Х₂=-1 уравнение регрессии (7) принимает вид.

После приведения подобных членов получаем:

(8)

Это уравнение прямой, для построения которой на координатной плоскости достаточно знать координаты двух точек, лежащих на этой прямой.

Находим их : при Х₁=-1 при Х₁=+1

Наносим эти точки на координатную плоскость (рис.2.) и провидим через них прямую, соответствующую уравнению (8).

При Х₂=0 получаем уравнение:

(8)

Координаты двух точек: при Х₁=-1 при Х₁=+1

Проводим аналогично предыдущему через эти точки прямую (9).

При Х₂=+1 уравнение (7) имеет вид.

(10)

Находим точки для построения прямой (10)

Х₁=-1 Х₁=+1

Строим по двум точкам прямую (10) на координатной плоскости (рис.2.).

5.2 Построение графиков зависимости

Порядок рассуждений и действий такой же, как в пункте 5.2.

При Х₁=-1 уравнение регрессии (7) приобретает вид:

(11)

Координаты точек: при Х₂=-1 ,0 при Х₂=+1

Строим прямую (11) по найденным координатам (рис. 3).

При Х₁=0 получаем уравнение:

(12)

Координаты точек:

Х₂=-1 Х₂=+1

Наносим эти точки на координатную плоскость и проводим прямую (12)

При Х₁=+1 уравнение (7) имеет вид:

Координаты точек:

Х₂=-1 Х₂=+1

Проводим на координатной плоскости (рис. 3) через эти точки прямую (13).



6. Получение математической модели в натуральных обозначениях факторов

Для получения математической модели в натуральных координатах воспользуемся формулой (1), подставим в уравнение регрессии (7) зависимости: и получим:

(13)

Проверка: подставляем в уравнение (14) натуральные значения факторов для первого опыта (табл. 2) Х₁ = 2, Х₂ = 0,1 и в случае правильно сделанных преобразований уравнений (7) должны получить =38,95 (табл.3).

*2+2,37* 0,1+2,11 *2 *0,1=38,56.

Таким образом, преобразования сделаны верно, и можем записать окончательный вид математической модели объекта.

(15)

Полученная математическая модель с достаточной точностью описывает исследуемый объект: зависимость шероховатость обработанной поверхности (R_m) от скорости подачи (V_s) и глубины фрезерования.

Размещено на Allbest.ru

...