Закон распределения

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Обработка результатов равноточных многократных измерений

Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического X, среднеквадратичного отклонения Sx, и определением суммарной погрешности измерения в виде доверительного интервала - ±УДРд.

Исходные данные

Цена деления прибора С, мм 0,010

Результаты измерений, мм

1	102,090	11	102,090	21	101,970	31	102,090	41	102,030	51	102,130
2	102,120	12	102,090	22	102,130	32	102,110	42	102,150	52	102,070
3	102,090	13	102,150	23	102,090	33	102,070	43	102,190
4	102,130	14	102,070	24	102,010	34	102,230	44	102,070
5	102,050	15	102,110	25	102,070	35	102,090	45	102,110
6	102,050	16	102,130	26	102,110	36	102,130	46	102,110
7	101,990	17	102,130	27	102,160	37	102,050	47	102,070
8	102,110	18	102,090	28	102,040	38	102,170	48	102,130
9	102,090	19	102,110	29	102,130	39	102,110	49	102,070
10	102,170	20	102,090	30	102,100	40	102,030	50	102,150

Доверительная вероятность Рд = 0,89 - показывает вероятность нахождения истинного значения в рассчитанном интервале.

Уровень значимости q = 0,05 - показывающий, что принятый закон рассеивания размеров не будет соответствовать реальному закону.

Сортируем значения по возрастанию:

1	101,97	11	102,07	21	102,09	31	102,11	41	102,11	51	102,21
2	101,99	12	102,07	22	102,09	32	102,11	42	102,13	52	102,23
3	102,01	13	102,07	23	102,09	33	102,11	43	102,13
4	102,03	14	102,07	24	102,09	34	102,11	44	102,15
5	102,03	15	102,07	25	102,09	35	102,12	45	102,15
6	102,04	16	102,07	26	102,1	36	102,13	46	102,15
7	102,05	17	102,09	27	102,11	37	102,13	47	102,16
8	102,05	18	102,09	28	102,11	38	102,13	48	102,17
9	102,05	19	102,09	29	102,11	39	102,13	49	102,17
10	102,07	20	102,09	30	102,11	40	102,13	50	102,19

1. Построение гистограммы

Определяем величину размаха R (поле рассеяния):

R = Xmax - Xmin=102,23-101,97=0,26

Xmax = 102,23 - наибольшее из измеренных значений

Xmin = 101,97 - наименьшее из измеренных значений

R = Xmax - Xmin = 0,26 (мм).

Определяем число интервалов разбиения n

Вв соответствии с рекомендациями(ближайшее нечетное число)

n ===7,2?7.

Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным.

Принимаем n = 7.

Определяем ширину интервала h:

h ===0,037

Определяем границы интервалов Xmin - Xmax

1 интервал: Xmin1 - Xmax1

Xmin1 = Xmin=101,97 мм

Xmax1 = Xmin1 + h = 101,97+0,037=102,007 мм

2 интервал: Xmin2 - Xmax2

Xmin2 = Xmax1 = 102,007 (мм)

Xmax2 = Xmin2 + h = 102,007+0,037=102,044 (мм)

3 интервал: Xmin3 - Х max3

Xmin3 = Xmax2 = 102,044 (мм)

Xmax3 = Xmin3 + h = 102,044+0,037=102,081 (мм)

4 интервал: Xmin4 - Xmax4

Xmin4 = Xmax3 = 102,081 (мм)

Xmax4 = Xmin4 + h = 102,081+0,037=102,118 (мм)

5 интервал: Xmin5 - Xmax5

Xmin5 = Xmax4 = 102,118 (мм)

Xmax5 = Xmin5 + h = 102,118+0,037?102,155(мм)

6 интервал: Xmin6 - Xmax6

Xmin6 = Xmax5 = 102,155 (мм)

Xmax6 = Xmin6 + h = 102,155+0,037?102,192 (мм)

7 интервал: Xmin7 - Xmax7102,

Xmin7 = Xmax6 = 102,192 (мм)

Xmax7 = Xmin7 + h = 102,192+0,037=102,229?102,23 (мм)

Определяем середины интервалов Xoi

1 интервал:

Xo1 = Xmin1 + =101,97 +=101,9885 (мм)

2 интервал:

Xo2 = Xmin2 + = 102,007+=102,0255 (мм)

3 интервал:

Xo3 = Xmin3 + = 102,044+= 102,0625 (мм)

4 интервал:

Xo4 = Xmin4 + = 102,081+= 102,0995 (мм)

5 интервал:

Xo5 = Xmin5 + = 102,118+=102,1365 (мм)

6 интервал:

Xo6 = Xmin6 + = 102,155+= 102,1735 (мм)

7 интервал:

Xo7 = Xmin7 + = 102,192+= 102,2105 (мм)

Определение количества размеров попадающих в каждый интервал mi

Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси).

Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу:

Номер интервала	Границы интервала	Середина интервала Xoi (ММ)	Число размеров в интервале, mi
	Xmin (мм)	Xmax (мм)
1	101,97	102,007	101,9885	3	0,057
2	102,007	102,044	102,0255	3	0,057
3	102,044	102,081	102,0625	10	0,192
4	102,081	102,118	102,0995	18	0,346
5	102,118	102,155	102,1365	12	0,230
6	102,155	102,192	102,1735	4	0,076
7	102,192	102,23	102,2105	2	0,038

Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:

Рис. 1

Рис. 2

2. Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения

При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:

,

где Noi - теоретическая частота попадания в интервал.

Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:

ц(z) - плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;

уx - среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.

Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (уx ? Sx) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:

В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:

После подстановки 102,1 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:

Sx=0,050152 ? 0,05 мм

Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал Noi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.

Эту величину можно определить по формуле:

Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле:

Для 1 интервала:

Zo1 = -2,23 ,

что соответствует величине ц(z) = 0,033194

Для 2 интервала:

Zo2 = -1,49

что соответствует величине ц(z) = 0,131468

Для 3 интервала:

Zo3 = -0,75,

что соответствует величине ц(z) = 0,301137

Для 4 интервала:

Zo4 = -0,0096 ? -0,01 ,

что соответствует величине ц(z) = 0,398922

Для 5 интервала:

Zo5 = 0,7019?0,7 ,

что соответствует величине ц(z) = 0,305627

Для 6 интервала:

Zo6 = 1,47,

что соответствует величине ц(z) = 0,135418

Для 7 интервала:

Zo7 = 2,21,

что соответствует величине ц(z) = 0,034701

Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала Noi.



Для 1 интервала:

No1 =1,277

Для 2 интервала:

No2 = 5,059

Для 3 интервала:

No3 =11,58

Для 4 интервала:

No4 =15,351

Для 5 интервала:

No5 = 11,76

Для 6 интервала:

No6 = 5,211

Для 7 интервала:

No7 = 1,33

На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:

№ интервала	Фактическая чистота	Теоретическая чистота
1	0,057	0,025
2	0,057	0,097
3	0,192	0,222
4	0,346	0,295
5	0,230	0,226
6	0,076	0,100
7	0,038	0,025



Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра хи-квадрат:

№ интервала	Фактическая чистота	Теоретич. Чистота
1	0,057	0,025	0,025	0,00063	0,025
2	0,057	0,098	0,098	0,00960	0,098
3	0,192	0,22	0,227	0,05153	0,234
4	0,346	0,295	0,295	0,08703	0,295
5	0,230	0,226	0,217	0,04709	0,208
6	0,076	0,100	0,109	0,01188	0,118
7	0,038	0,025	0,031	0,00097	0,038

Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие:

где - теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания к контрольной работе).

Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами:

- уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут (q = 0,05)

- числом степеней свободы , которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r.

Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами - СКО и МО (математическим ожиданием). Число степеней свободы определяется по формуле:

Таким образом, табличное значение .

3. Определение доверительного интервала рассеивания случайных погрешностей вокруг среднего значения

В доверительном интервале, который предстоит найти с вероятностью Рд, должно находится истинное значение измеряемой величины.

Доверительные границы случайной погрешности находятся по формуле:

где - оценка СКО среднего арифметического значения, которая определяется по формуле:

Если условие выполняется, то гипотеза о совпадении экспериментального и выбранного теоретического (нормального) распределения принимается (она не противоречит данным).

Так как по условию Рд = 0,89, то значение функции Лапласа:

F(Zp) = 0,89

Из таблицы определяем величину нормированного параметра Zp, которая соответствует данному значению функции Лапласа

Zp = 1,6

Таким образом, доверительный интервал случайной ошибки:

Перед определением суммарной погрешности определим ее постоянные неисключенные составляющие.

Постоянные неисключенные составляющие:

- погрешность снятия показаний со шкалы (принимается равной цене деления шкалы прибора):

мм,

где С = 0,010 мм - цена деления шкалы прибора;

- систематическая неисключенная погрешность округления результата:

- неисключенная погрешность прибора (условно принимается равной цене деления шкалы прибора:

Суммирование частных постоянных погрешностей измерения производится по двум формулам:

распределение закон погрешность измерение

где k - поправочный коэффициент, зависящий от числа слагаемых погрешностей и доверительной вероятности. В нашем случае k = 0,99

Тогда

Для дальнейшего расчета принимаем (выбирается наибольшее значение).

В качестве общей случайной погрешности принимаем величину доверительного интервала, полученную из экспериментов по замерам параметра:

Определение суммарной погрешности измерения:

В качестве окончательного результата принимаем большее значение.

Результат в общем виде: 102,1±0,025

Размещено на Allbest.ru

...