Исследование систем управления запасами в системе компьютерной математики Maple

Размещено на http://www.allbest.ru

“Знание - сила”

Исследование систем управления запасами в системе компьютерной математики Maple

Харьков 2004

1. Общая характеристика систем управления запасами

Развитие специализации производства, многократное увеличение отраслей производства и номенклатуры изделий чрезвычайно усложнили задачу снабжения предприятий сырьем, полуфабрикатами, инструментом и др., что привело к превращению материально-технического снабжения в особую полупроизводительную отрасль , которая имеет свои кадры, органы планирования и управления, свою производственную базу и систему экономических показателей.

В настоящее время, резко возрастает объем деятельности снабженческо-сбытовых организаций. Товарооборот органов материально-технического снабжения достиг значительных объемов.

Эффективное функционирование системы материально-технического снабжения в условиях рыночных отношениях определяет рациональное использование материальных ресурсов, повышение производительности труда, рентабельности производства и качества готовой продукции.

Система материально-технического снабжения должна наиболее рациональным способом создавать условия для развития производства, своевременно учитывать меняющуюся хозяйственную обстановку, маневрировать материальными ресурсами, умело связывать производство с возрастающими потребностями и платежеспособным спросом населения, быстро внедрять новые достижения науки и техники и в конкретных экономических условиях находить наиболее правильные решения хозяйственных задач.

Развитие существующих отраслей народного хозяйства, рождение новых отраслей выдвигают требование при некотором достаточно оптимальном темпе производства необходимых ресурсов достичь максимального роста производства товаров широкого потребления. Эта актуальная задача акцентирует наше внимание на решении задач управления запасами и, в частности, задач распределения ресурсов, регулирования процессов реализации товаров и т. д.

Для успешного решения задач управления запасами обоснованным является расширение деятельности организаций, занимающихся распределением среди потребителей товарных потомков, поступающих от поставщиков-изготовителей товаров. Используется ряд форм снабжения: поставка транзитом, поставка по прямым связям, складское снабжение, оптовая торговля. В настоящее время, когда бурный рост производства товаров выдвигает требование бесперебойного снабжения предприятий сырьем, инструментом, различными полуфабрикатами по всему потребному ассортименту, все резче проявляется положительная роль оптовых баз материально-технического снабжения, в функции которых входит роль посредника между поставщиками-изготовителями и различными потребителями товаров. Организация снабжения через оптовые базы позволяет понизить общие материальные запасы. Концентрация запасов на базах позволяет ускорить оборачиваемость материальных ресурсов и существенно повысить надежность снабжения. Опыт показал, что издержки обращения при содержании запасов на оптовых базах понижаются в 2--3 раза .

Склады и базы -- низовые звенья системы материально-технического снабжения --являются исполнителями, реализующими планы снабжения в их материально-вещественной форме. На них возложено непосредственное обеспечение материальными ресурсами каждого конкретного предприятия, освоение и умелое использование передовых методов организации снабжения, оптимальное распределение и доставка материальных ресурсов к местам потребления, выявление и мобилизация материальных резервов.

Реализация этих целей и задач должна:

1) увеличить оперативность при удовлетворении заказов потребителей по всему потребному ассортименту;

2) снизить уровни запасов товаров, хранящихся на складах баз;
3) улучшить технологическую и финансовую дисциплину;

4) улучшить технико-экономические показатели работы складов и баз.

В связи с развитием прямых связей предприятий розничной торговли, заводов и фабрик -- изготовителей предметов народного потребления -- многие стороны деятельности торговых предприятий адекватны характерным сторонам оптовых баз и складов. Поэтому многие задачи, возникающие при управлении деятельностью складов и оптовых баз, тесно примыкают к задачам, возникающим в сфере розничной торговли товарами широкого потребления.

Для торговой сферы характерны массовость операций, крупные масштабы работы. Например, в течение года торговые предприятия обслуживают свыше 8 млрд покупателей, а ежегодный товаропоток через торговую сеть составляет порядка 200 млн тонн товарных масс. Кроме того, с каждым годом наблюдается постоянный рост объема товарооборота. В торговле выделяются три сферы управления :

1. Управление процессами движения товаров и запасами.

2. Управление процессами обслуживания покупателей.

3. Организация труда работников торговли.

Разные сферы управления выдвигают и различные задачи. Управление процессами движения товаров предполагает решение следующих задач: определение оптимальных размеров партий при заказе, управление операциями закупки товаров у промышленности, учет поступления товаров, оценка оптимальных уровней запасов товаров на складах торгующих организаций, оптимизация работ по транспортировке грузов, оценка прибыльности реализации того или иного товара.

Процессы, происходящие в сфере материально-технического снабжения и в сфере торговли, имеют определенные количественные соотношения, что позволяет применять в управлении снабжением и торговлей, в планировании товарооборота математические методы и широко использовать электронно-вычислительную технику.

Поскольку многие функции автоматизированных систем управления запасами на складах и торговых предприятиях качественно аналогичны, то дальнейшее рассмотрение будет относиться к автоматизированным системам управления торгово-складскими предприятиями.

Автоматизированные системы управления следует рассматривать как совокупность наиболее совершенных методов и современных технических средств управления, использование которых дает возможность оперативно, с минимальными затратами получить практическую реализацию оптимальных решений по управлению системами баз и складов торговых предприятий.

Автоматизированная система управления призвана, используя современные математические методы, методы моделирования и новейшие вычислительные средства, управлять технологическим, циклом обработки грузов (приемка и отгрузка, внутри-складские перемещения грузов, комплектация отгрузочных партий и др.), транспортными операциями по доставке грузов потребителям (централизованная доставка), вырабатывать управляющие решения по оценке уровней запасов товаров, хранящихся на складах, выписывать заказы поставщикам-изготовителям на поставку товаров, анализировать статистические данные о спросе. АСУ должна осуществлять оперативный и бухгалтерский учет, решать задачи составления планов постам вок товаров на склад и планов отгрузки товаров потребителям, составления статистической и аналитической отчетности.

Рассмотрим теперь общую ситуацию, сопутствующую созданию единой централизованной системы управления запасами. Представим себе, что имеется достаточно длинный список поставщиков и приблизительно столь же длинный список потребителей, а список номенклатуры производимых и требуемых материалов весьма велик.

В общей постановке задача заключается в увязке возможностей поставщиков и потребителей во времени при многочисленных ограничениях, например, ограничениях транспортного (коммуникационного) типа. Сложность решения данной задачи вызывает к жизни принятие такого решения, как создание централизованной базы и методов управления объектами подобного рода.

Рассмотрим многономенклатурный склад, для которого известен ежедневный спрос по каждой номенклатуре W1, W2,..., Wp. Обозначим Q -- объем склада, Q1 -- объем ежедневно завозимых материалов.

Будем считать, что Wi = 1, 2,.,.., р, приведены к одной единице измерения --весу или объему (в дальнейшем будем говорить об объеме, подразумевая под этим некую общую единицу измерений).Поставим перед собой первоначальную задачу организации процедуры завоза материалов на склад с тем, чтобы спрос по каждой номенклатуре удовлетворялся при минимальном полезном объеме склада. Напрашивается следующее правило управления: ежедневно завозить материалы по всем номенклатурам, причем по номенклатуре в отдельности в количестве, равном спросу, т. е. Wi. Тогда Q1 = У Wi а полезный объем склада практически равен нулю и база превращается в перевалочный пункт.

При больших значениях р этот способ управления практически не реализуем, поскольку существуют некоторые ограничения на минимальный объем поставки (эти минимальные объемы, как правило, выше ежедневного спроса), а ежедневный ввоз на; базу Qi ограничен сверху пропускной способностью коммуникаций и технологической приемки. Последнее и ряд других обстоятельств делает невозможным одноразовый завоз всей номенклатуры- Следовательно, на базу должно завозиться число номенклатур n<р.

Мы будем считать, что ограничения, вызванные специфическими особенностями изучаемого объекта, нам известны и могут быть записаны аналитически или еще каким-либо способом, т. е. будем считать, что нам известна та область действие-тельных целых чисел, в которой изменяется п. Обозначим эту допустимую область-через V, и тот факт, чтоп может изменяться лишь в области V, запишем как n Є V.

Дальнейшие наши усилия будут направлены в основном на то, чтобы найти такое п Є V, которое оптимизирует деятельность нашего объекта.

Предположим, что система управления запасами спроектирована таким образом, что ежедневно завозится п номенклатур. Одна из задач управления, в частности, может состоять в том, чтобы завозить номенклатуру в такой очередности и в таком количестве, чтобы по любой номенклатуре спрос всегда удовлетворялся и средний уровень Qcd хранимых на складе материалов был минимальным.

Задача особенно усложняется в случае, если значения W1, W2,..., Wp -- суть функции времени t и являются, помимо этого, случайными величинами.

Совокупность математических методов для решения задач оптимизации процессов функционирования торгово-складских предприятий и составляет теорию управления запасами- В настоящее время этой теории посвящено большое количество работ зарубежных ученых и, к сожалению, сравнительно небольшое число отечественных публикаций.

Необходимо отметить, что в экономической теории почти совершенно отсутствуют анализ как процессов создания запасов готовой продукции, сырья для промышленного производства и товарных масс, так и самих причин, вызывающих необходимость создания запасов. Изучение экономических регуляторов, которые воздействуют на механизм рационального планирования запасов, значительно обогатило бы как теорию, так и практику научного управления запасами. Поэтому необходим глубокий экономический анализ процессов функционирования систем снабжения и факторов, влияющих на эти процессы.

2. Статические модели управления запасами

торговля поставка запас

В системах со статическим управлением запасов процесс организации запаса выступает как разовый факт. Примером может служит выбор оптимального ЗИПа (запасные изделия и приборы) для уникальной технической системы.

Пусть убытки от отсутствия запасной детали ЛБ201 составляют 20000 грн. Сюда входит возможная организация производства этой детали, а также стоимость доставки скоростным транспортом, возможно даже самолетом. Стоимость детали ЛБ201на этапе производства технической системы составляет 2000 грн. Из опыта эксплуатации аналогичного оборудования известно, что вероятность однократного отказа детали за период эксплуатации системы равна 0,1; вероятность двукратного отказа детали за период эксплуатации системы равна 0,04. Необходимо выбрать оптимальное количество деталей ЛБ201, которые войдут в ЗИП системы.

Разработчики системы при организации ЗИП могут придерживаться одной из трех стратегий, относительно количества деталей ЛБ201

В ЗИПе не предусмотрены детали ЛБ201, по принципу “авось обойдется”.

В ЗИП закладывается одна запасная деталь ЛБ201.

В ЗИП закладываются две запасные детали ЛБ201.

В качестве критерия эффективности выбора количества деталей ЛБ201 в ЗИПе возьмем математическое ожидание суммарных потерь и затрат.

Первой стратегии соответствует следующая таблица суммарных потерь и их вероятностей

Количество отказов	0	1	2
Потери	0	20000 грн.	40000 грн.
Вероятность	0,86	0,1	0,04

Математическое ожидание суммарных потерь при первой стратегии равно:

Z1 = 0?0,86 + 20000?0,1 + 40000?0,04 = 3600 грн.

Затраты и возможные потери при второй стратегии складываются из стоимости запасной детали и возможных потерь за период эксплуатации. Математическое ожидание суммарных потерь и затрат при этой стратегии равно:

Z2 = 2000 + 20000?0,04 = 2800 грн.

При третьей стратегии возможны только затраты, состоящие из стоимости двух запасных деталей. Они составляют

Z3 = 4000 грн.

Сравнивая между собой значения критерия Zi при различных стратегиях, приходим к выводу, что оптимальной является стратегия, при которой в ЗИП закладывается одна деталь ЛБ201. Аналогичные расчеты выполняются и по остальным деталям.

Задача имеет много модификаций, когда вводятся ограничения на вес всего ЗИП, на его стоимость. В общем случае подобные задачи решаются методами математического программирования.

3. Простейшая динамическая модель управления запасами

Большинство систем управления запасами работают циклически. В системе организуется определенный запас, который расходуется на нужды производства. По достижению определенного уровня или по графику производится заказ очередной партии запаса, которая в идеальном случае поступает к моменту полного исчерпания запаса. Запас пополняется и цикл работы системы повторяется. Циклограмма пополнения и расхода запаса при идеальной организации функционирования системы изображена на рис.1.

Необходимо рассчитать оптимальный объем поставляемой партии товаров и период между поступлениями двух последовательных партий товаров. При расчетах учитываются следующие факторы:

Накладные расходы, связанные с поставкой партии товаров постоянны и равны с. В них включаются транспортные расходы, расходы на командировку сотрудников за товаром.

Стоимость хранения одной единицы партии товаров в единицу времени постоянна и равна s.

Запас расходуется с постоянной скоростью v, то есть запас убывает по линейному закону.

Время разгрузки прибывшей партии запасов близко к нулю и не оказывает заметного влияния на функционирование системы.

В качестве критерия эффективности возьмем средние суммарные расходы, приходящиеся на единицу партии товаров за цикл пополнения запасов T.

Накладные расходы, приходящиеся на единицу партии товаров, равны

.

Минимальное время хранения единицы партии товаров равно нулю, максимальное время хранения единицы партии товаров равно T, тогда среднее время хранения единицы партии равно 0,5 T. Средние затраты на хранение единицы партии товаров равны . Тогда средние суммарные расходы, приходящиеся на единицу партии товаров за цикл пополнения запасов T определяются выражением

 .

Совместные графики , построенные в системе Maple посредством следующей команды

> plot([20000/Q,0.5*Q*1/60,20000/Q+0.5*Q*1/60],Q=2..4000,Z=0..60,

color=black, thickness=[0,2,3],legend=[Zн,Zхр,Z]);

представлены на рис. *.2.

Как видно из рисунка, функция Z имеет минимум. Для нахождения минимум функции Z продифференцируем функцию Z по Q, приравняем получившееся выражение к нулю и, решив получившееся уравнение относительно Q, найдем Q*, при котором функция Z достигает минимума.

Умножив обе чисти уравнения (*.2) на Q, после преобразований получаем

или ,

то есть функция Z(Q) достигаем минимума при равенстве накладных расходов на единицу партии товаров и средних расходов на хранение единицы партии товаров за период поставки. Из (2) следует

Выражение (*.3) называется формулой Уинстона, который впервые исследовал эту систему. Деля на скорость расхода запаса v, получим оптимальное значение периода пополнения запаса : . Также можно найти минимальное значение Z :

Определим, насколько чувствительно значение к параметрам, от которых оно зависит, например от с. Для этого найдем эластичность функции по с.



То есть при изменении параметра с на один процент, значение изменится на пол процента, то есть оптимальное значение Q устойчиво к небольшим изменениям с . То же самое относится и к остальным параметрам.

Перепишем выражение (4) следующим образом:

Эластичность по равна единице. Таким образом при ошибке в определении оптимального объема партии заказа на один процент, показатель эффективности увеличится по сравнению с минимальным также на один процент.

3. Динамическая модель управления запасами со страховым запасом

В реальных экономических системах возможны задержки в поступлении очередной партии товаров, то есть в общем случае время поступления случайно. Циклограмма поступления и расходования запасов товаров будет иметь вид (рис. 3).

Компенсировать отклонения от графика поставки можно, введя страховой запас, объемом , что позволяет организовать устойчивую работу экономической системы.

Циклограмма поступления и расходования запасов товаров для системы со страховым запасом будет иметь вид (рис. 4 ).

Исследуем, как повлияло введение страхового запаса на оптимальные параметры системы.

Затраты, приходящиеся на единицу партии товаров при использовании страхового запаса, имеют вид

Окончательно

.

Продифференцировав (5) по Q и приравняв получившиеся выражение нулю, найдем оптимальное значение Q, при котором затраты, приходящиеся на единицу партии товаров, имеют минимальное значение.

Выражение (5) полностью совпадает с аналогичным выражение для оптимального объема партии товаров при простейшей динамической детерминированной модели Уилсона. Рассчитаем основные оптимальные параметры системы.

Оптимальный период заказа партии товаров T

.

Минимальные затраты, приходящиеся на единицу партии товаров при использовании страхового запаса, имеют вид



По сравнению с минимальными затратами для простейшей динамической детерминированной модели Уилсона, в исследуемой модели затраты возросли на величину, пропорциональную времени расхода страхового запаса.

Рассчитаем величину страхового запаса . Время поступления очередной партии товаров в общем случае случайное. В общем случае оно лежит в интервале , описывается функцией распределения с математическим ожиданием m и среднеквадратическим отклонением . Эти характеристики можно получить путем статистической обработки массива времен поступления партий товаров, сформированного по замерам времен поступления партий товаров.

Если , то будет простой производственной системы, которую обслуживает система управления запасами. Вероятность этого

По аналогии с математической статистикой, будем называть величину уровнем значимости. События и - противоположны, поэтому вероятность

Не теряя общности можно записать

Но это функция распределения, то есть

Обычно за планируемое время поставки выбирают среднее время поставки m. За время m будет расходовано mv единиц запаса. Следовательно . Подставив в (*.10) получим

.

Подставляя в (11) выражения для конкретных функций распределения, можно получить конкретные уравнения для определения .

Пусть время поступления распределено по экспоненциальному закону с функцией распределения

,

математическим ожиданием m и среднеквадратическим отклонением также равным m .

Подставив в (12) аргумент функции, стоящей в левой части выражения (*.11), получим

Логарифмируя обе части последнего выражения, получим

откуда получим окончательное выражение для :

В выражении (13) в правой части стоит знак “минус”. Но так как вероятность выбирается достаточно малой (порядка 0,05), то и общее выражение будет иметь положительный знак.

Так как мы исследуем модель, то целесообразно определить границы применимости этой модели.

Выражение должно быть меньше нуля. Чтоб было отрицательным, необходимо что бы . То есть максимальное значение равно 1/e = 0,368. При этом условии страховой запас равен нулю и примерно 37% поставок будут выполняться с запаздывание, что естественно неприемлемо.

Рассчитаем уровень запаса, при котором осуществляется заказ следующей партии товара .

Исследуем случай, когда время поступления очередной партии товаров распределено равномерно в диапазоне . Среднее значение времени поступления очередной партии товаров определяется выражением , среднеквадратическое отклонение этого времени . Плотность распределения -

Так как плотность распределения и, соответственно, функция распределения для равномерного закона являются кусочными функциями, выражение (11) целесообразно записать через интеграл от плотности распределения.

Естественно, . После преобразований получим ограничения для

.

После интегрирования выражения (15), получим

После преобразований окончательно получим

.

Если выбирать в соответствии с выражение (17), то ограничение (16) будет автоматически выполняться.

Область применимости этой модели - .

Если по результатам статистической обработки массива времен поступления партий товаров, сформированного по замерам времен поступления партий товаров, выяснилось, что распределение времени поступления равномерное с математическим ожиданием m и среднеквадратическим отклонением у, то параметры и можно определить из решения системы уравнений

,

откуда

.

Рассчитаем уровень запаса, при котором осуществляется заказ следующей партии товара .

И, наконец, исследуем случай, когда время поступления очередной партии товаров распределено по нормальному закону с плотность распределения

,

средним временем поступления очередной партии товаров и среднеквадратическим отклонением этого времени . График функции изображен на рис.5.

Время, отмеченное на графике, как равно времени расхода страхового запаса плюс планируемое время поставки партии товара - , площадь заштрихованной области равна вероятности простоя экономической системы из-за отсутствия запаса.

Так как нормальное распределение описывает случайные величины, лежащие в диапазоне от до , то целесообразно для расчета страхового запаса воспользоваться формулой (*.9), которую можно переписать в виде

,

Для нормального закона вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (a, b) задается выражением

где - функция Лапласа, значения которой табулированы для различных t, m - математическое ожидание , у - среднеквадратическое отклонение.

С учетом этого выражение (19) примет вид

.

,

где - функция обратная .

Уровень запаса, при котором осуществляется заказ следующей партии товара определяется выражением.



В качестве примера рассмотрим расчет системы управления запасами со страховым запасом с применением системы компьютерной математики Maple по данным замера времен поступления партий деталей в часах, представленных следующим статистическим рядом:

3.48, 4.34, 8.99, 4.86, 2.55, 9.53, 6.42, 1.55, 8.56, 6.81, 9.63, 8.74, 9.06, 5.50, 0.841, 0.671, 6.22, 2.24, 2.74, 4.10, 6.60, 8.88, 2.34, 6.06, 0.705, 3.22, 6.12, 6.98, 7.89, 5.68, 9.85, 8.11, 6.51, 2.24, 0.597, 8.86, 2.09, 8.63, 1.35, 8.97, 8.25, 9.08, 8.52, 4.25, 9.48, 3.51, 8.72, 0.252, 1.95, 5.49, 5.59, 3.31, 2.57, 6.78, 3.26, 7.37, 5.21, 8.36, 3.73, 3.24, 5.33, 3.33, 7.77, 2.97, 0.351, 0.324, 0.413, 4.65, 6.63, 0.527, 3.64, 8.27, 4.78, 2.22, 1.69, 6.21, 8.53, 6.31, 6.03, 5.64, 2.49, 0.548, 3.29, 7.84, 4.23, 7.45, 6.94, 6.33, 0.871, 9.96, 1.87, 4.69, 0.933, 8.33, 8.77, 2.61, 0.658, 3.17, 9.40, 5.84

Рабочий лист Maple, реализующим все расчеты, может быть следующим:

Сброс системы и установка вывода на экран трех значащих цифр

> restart:Digits:=3:

Вызов пакета статистических расчетов и средств построения графиков в нем

> with (stats):with(stats[statplots]):

Ввод исходных данных

>X1:=[3.48,4.34,8.99,4.86,2.55,9.53,6.42,1.55,8.56,6.81,9.63,8.74,9.06,5.50,0.841,0.671,6.22,2.24,2.74,4.10,6.60,8.88,2.34,6.06,0.705,3.22,6.12,6.98, 7.89, 5.68, 9.85, 8.11, 6.51, 2.24, 0.597, 8.86, 2.09, 8.63, 1.35, 8.97, 8.25, 9.08, 8.52, 4.25, 9.48, 3.51, 8.72, 0.252, 1.95, 5.49, 5.59, 3.31, 2.57, 6.78, 3.26, 7.37, 5.21, 8.36, 3.73, 3.24, 5.33, 3.33, 7.77, 2.97, 0.351, 0.324, 0.413, 4.65, 6.63, 0.527, 3.64, 8.27, 4.78, 2.22, 1.69, 6.21, 8.53, 6.31, 6.03, 5.64, 2.49, 0.548, 3.29, 7.84, 4.23, 7.45, 6.94, 6.33, 0.871,9.96, 1.87, 4.69, 0.933, 8.33, 8.77, 2.61, 0.658, 3.17, 9.40, 5.84]:

Строим гистограмму относительных частот

> histogram[count](X1);

Распределение близко к равномерному с плотностью распределения

математическим ожиданием , и среднеквадратическим отклонением

.

Находим оценку для математического ожидания и среднеквадратического отклонения времени поставки партии товара по данным массива X1.

> m:=describe[mean](X1);

m := 5.10

> sigma:=describe[standarddeviation](X1);

у := 2.92

Для нахождения значений и воспользуемся формулами (18)

,

Рассчитаем объем страхового запаса при уровне значимости

Аналогично для уровней значимости

Рассчитываем оптимальный объём партии заказа

Строим график суммарных затрат на хранение одной детали в зависимости от объема партии, задаваемых выражением

при уровне значимости 0,01

> plot(20000/Q+0.5*Q*1/60+298/60,Q=100..6000,z=0..100);

Строим совместный график объема страхового запаса и уровня запаса, при котором осуществляется заказ следующей партии, в зависимости от уровня значимости

Как видно из рисунка, зависимость объема страхового запаса от уровня значимости имеет линейный характер и с ростом уровня значимости расчетный объем страхового запаса уменьшается.

Литература

1. Голенко Д.И., Дакелин А.И., Лившиц С.Е. Моделирование в технико-экономических системах (управление запасами). Ленинград, изд-во Ленинградского университета, 1975. -197 с.

2. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. Пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 2002. - 391 с.

Размещено на Allbest.ru

...