Имитационное моделирование

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

Понятие и признаки имитационного моделирования

Особенности имитационного моделирования

Основные методы имитационного моделирования

Заключение

Практическая часть

Вопросы

Задачи

Список используемой литературы



Введение

Под термином «имитационное моделирование» обычно подразумевают, вычисление значений некоторых характеристик развивающегося во времени процесса путем воспроизведения течения этого процесса на компьютере с помощью его математической модели, причем получить требуемые результаты другими способами или невозможно, или крайне затруднительно. Воспроизведение течения процесса на компьютере с помощью математической модели принято называть имитационным экспериментом. Широкое использование имитационного моделирования стало возможным на определенном этапе развития информационных технологий, т. е. средств и инструментов сбора передачи, обработки, хранения информации. Здесь имеются в виду не только компьютеры, но и средства вычислительной математики, многоуровневые инструменты программирования, системы управления банками данных. Имитационные модели относятся к классу моделей, которые являются системой соотношений между характеристиками описываемого процесса. Эти характеристики разделяют на внутренние («эндогенные», «фазовые переменные») и внешние («экзогенные», «параметры»).

Имитационное моделирование применяется к процессам, в ход которых может время от времени вмешиваться человеческая воля. Человек, руководящий операцией, может в зависимости от сложившейся обстановки, принимать те или другие решения, подобно тому, как шахматист, глядя на доску, выбирает свой очередной ход. Затем приводится в действие математическая модель, которая показывает, какое ожидается изменение обстановки в ответ на это решение и к каким последствиям оно приведет спустя некоторое время. Следующее «текущее решение» принимается уже с учетом реальной новой обстановки и т.д. В результате многократного повторения такой процедуры руководитель как бы «набирает опыт», учится на своих и чужих ошибках и постепенно выучивается принимать правильные решения - если не оптимальные, то почти оптимальные.



Понятие и признаки имитационного моделирования

имитационный моделирование прибыль

В целом, компьютерное моделирование как новый метод научных исследований основывается на: построении математических моделей для описания изучаемых процессов и использовании новейших вычислительных машин, обладающих высоким быстродействием.

Суть компьютерного моделирования состоит в следующем: на основе математической модели с помощью ЭВМ проводится серия вычислительных экспериментов, т.е. исследуются свойства объектов или процессов, находятся их оптимальные параметры и режимы работы, уточняется модель. Например, располагая уравнением, описывающим протекание того или иного процесса, можно изменяя его коэффициенты, начальные и граничные условия, исследовать, как при этом будет вести себя объект.

Имитационная модель -- это формальное (то есть выполненное на некотором формальном языке) описание логики функционирования исследуемой системы и взаимодействия отдельных ее элементов во времени, учитывающее наиболее существенные причинно-следственные связи, присущие системе, и обеспечивающее проведение статистических экспериментов.

Иными словами, имитационное моделирование представляет собой численный метод проведения на ЭВМ вычислительных экспериментов с математическими моделями, имитирующими поведение реальных объектов, процессов и систем во времени в течении заданного периода. При этом функционирование реальных процессов и систем разбивается на элементарные явления, подсистемы и модули. Функционирование этих элементарных явлений, подсистем и модулей описывается набором алгоритмов, которые имитируют элементарные явления с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. «Имитационное моделирование» -- это двойной термин. «Имитация» и «моделирование» -- это синонимы. Фактически все области науки и техники являются моделями реальных процессов. Чтобы отличить математические модели друг от друга, исследователи стали давать им дополнительные названия. Термин «имитационное моделирование» означает, что мы имеем дело с такими математическими моделями, с помощью которых нельзя заранее вычислить или предсказать поведение системы, а для предсказания поведения системы необходим вычислительный эксперимент (имитация) на математической модели при заданных исходных данных.

В зависимости от этапа и назначения проводимых исследований, применяется один из трех наиболее распространенных видов имитационных экспериментов:

- исследование относительного влияния различных факторов на значения выходных характеристик системы;

- нахождение аналитической зависимости между интересующими исследователя выходными характеристиками и факторами;

- отыскание оптимальных значений параметров системы (так называемый «экстремальный эксперимент»).

Вид эксперимента влияет не только на выбор схемы его формализации, но также на построение плана эксперимента и выбор метода обработки его результатов.

С точки зрения организации взаимодействия исследователя с моделью, в ходе эксперимента имитационные модели делятся на автоматические и диалоговые.

- Автоматическими называются ИМ, взаимодействие пользователя с которыми сводится только к вводу исходной информации и управлению началом и окончанием работы моделей.

- Диалоговыми называются ИМ, позволяющие исследователю активно управлять ходом моделирования: приостанавливать сеанс моделирования/изменять значения параметров модели, корректировать перечень регистрируемых данных и т.д.

Наиболее важный признак имитационного моделирования -- способ представления в модели динамики или движения системы. Она может быть описана посредством событий, работ (активностей), процессов и транзакций.

Событие -- это мгновенное изменение некоторого элемента системы или состояния системы в целом. Событие характеризуется:

- условиями (или законом) возникновения;

- типом, который определяет порядок обработки (дисциплину обслуживания) данного события; нулевой длительностью.

Обычно события подразделяют на две категории:

- события следования, которые управляют инициализацией процессов (или отдельных работ внутри процесса);

- события изменения состояний (элементов системы или системы в целом).

В том случае, если модель строится с целью изучения причинно- следственных связей, присущих системе, то описание ее поведения в терминах событий является «самодостаточным». Примером такой задачи является проектирование пользовательского интерфейса программного продукта, когда разработчику необходимо оценить взаимную согласованность элементов интерфейса (кнопок, флажков, переключателей, диалоговых окон и т. д.).

Если же исследователя интересует не только логика смены состояний моделируемой системы, но и временные параметры ее работы, механизм событий служит основой для представления в модели работ, процессов и транзактов.

Работа (активность) -- это единичное действие системы по обработке (преобразованию) входных данных.

В зависимости от природы моделируемой системы, под входными данными могут решаться задачи по оценке качества распределения ресурсов системы, ее производительности, надежности и т. д.

При моделировании сложных систем весьма часто имеют место ситуации, когда некоторые работы образуют устойчивую последовательность. В таких случаях бывает удобнее перейти к описанию модели на основе процессов. Под процессом понимают логически связанный набор работ. Некоторые процессы могут рассматриваться, в свою очередь, как работы в процессе более высокого уровня. И, наоборот, при повышении степени детализации описания системы некоторая работа может быть разделена на более мелкие составляющие и, таким образом, «превратиться» в процесс.

Любой процесс характеризуется совокупностью статических и динамических характеристик. К статическим характеристикам процесса относятся: результат, потребляемые ресурсы, условия запуска (активизации), условия останова (прерывания). В общем случае статические характеристики процесса не изменяются в ходе его реализации, однако при необходимости любая из них может быть представлена в модели как случайная величина, распределенная по заданному закону. Динамической характеристикой процесса является его состояние (активен или находится в состоянии ожидания).

Моделирование в терминах процессов производится в тех же случаях, что и в терминах работ (то есть когда система оценивается по каким-либо временным показателям, либо с точки зрения потребляемых ресурсов). Например, при оценке производительности вычислительной сети обработка заданий может быть представлена в модели как совокупность соответствующих процессов, использующих ресурсы сети (оперативную память, пространство на жестких дисках, процессорное время, принтеры и т. д.).

Другой важный признак имитационного моделирования -- способ изменения модельного времени. По этому признаку различают моделирование с постоянным шагом и моделирование по особым состояниям. Все эти понятия являются основополагающими в теории имитационного моделирования.



Особенности имитационного моделирования

При имитационном моделировании структура системы отображается в модели, а процессы ее функционирования проигрываются (имитируются) на построенной модели. Выделяют статическое описание структуры системы, для чего нужно выполнять структурный анализ процессов, и описание динамики взаимодействий элементов системы, для чего нужно построить функциональную модель динамических процессов.

При программной реализации имитационного моделирования элементам системы ставятся в соответствие некоторые программные компоненты, а состояние этих элементов описывается с помощью переменных. Моделирующий алгоритм имитирует функционирование отдельных элементов, которые взаимодействуют или обмениваются информацией. Есть алгоритм изменения переменных, описывающий состояния системы. Динамика реализуется с помощью механизма течения модельного времени. Чтобы создать имитационную модель надо представить реальную систему (процесс), как совокупность взаимодействующих элементов, и алгоритмически описать функционирование отдельных элементов. После этого надо описать процесс взаимодействия разных элементов между собой и с внешней средой.

Ключевым моментом в имитационном моделировании является выделение и описание состояний системы набором переменных состояний, каждая комбинация которых описывает конкретное состояние. Изменяя значения этих переменных, можно имитировать переход системы из одного состояния в другой. Таким образом, имитационное моделирование - это представление динамического поведения системы с помощью ее перехода от одного состояния к другому в соответствии с определенными операционными правилами. Эти изменения состояний могут происходить или непрерывно, или в дискретные моменты времени. Отдельные элементы, процессы могут описываться в имитационной модели интегральными, дифференциальными и другими уравнениями и реализовываться с помощью традиционных вычислительных процедур. Имитационное моделирование включает в себя идеи и приемы статистического моделирования на компьютере, исследования стохастических систем и случайных процессов. На входе используются переменные, которые задаются известными законами распределения. Можно реализовать вероятностное развитие ситуаций, описывать случайные процессы, проводить вероятностное оценивание характеристик модели на выходе.

Для имитации параллельных событий, вводят глобальную переменную названную модельным (или системным) временем. Она обеспечивает синхронизацию всех событий в системе. Существуют два основных способа изменения модельного времени: пошаговый - с фиксированными интервалами его изменения, и событийный, при котором величина шага измеряется переменным интервалом до последующего события.

Пошаговое продвижение времени применяется, если закон изменения переменных во времени описывается интегро-дифференциальными уравнениями, которые решаются численными методами. При этом динамика модели является дискретным приближением реальных непрерывных процессов.

Событийный метод применяется, когда события распределены неравномерно на часовой оси и появляются через значительные интервалы времени, когда изменяется состояние системы. Модельное время изменяется от текущего до ближайшего момента наступления последующего события. На практике этот метод получил наибольшее распространение. Различают непрерывные, дискретные и непрерывно-дискретные виды имитационных моделей. В непрерывных имитационных моделях состояние системы меняется как непрерывная функция времени и, как правило, это изменение описывается системами дифференциальных уравнений. Соответственно продвижение модельного времени зависит от численных методов решения дифференциальных уравнений. В дискретных моделях переменные изменяются в моменты наступления событий. В непрерывно-дискретных моделях объединяются механизмы продвижения времени, характерные для обоих видов моделей. Для того чтобы логико-математические модели, используемые в имитационном моделировании сложной системы, могли быть реализованы на компьютере, строится моделирующий алгоритм, который описывает структуру и логику взаимодействия элементов в системе. Программная реализация моделирующего алгоритма и является имитационной моделью. Она составляется с применением средств автоматизации моделирования. Эксперимент на имитационной модели по исследованию бизнес- системы проводится для того, чтобы получить информацию о ее функционировании, которая необходима для принятия решения.

Имитационные модели -- это модели прогонного типа, у которых есть вход и выход. Если подать на ее вход определенные значения параметров, то можно получить соответствующий им результат. Для новых значений параметров или взаимосвязей имитационная программа должна быть запущена снова, т.е. имитационные модели не решаются, а прогоняются. Они не формируют свое собственное решение, как это имеет место в аналитических моделях, а служат средством для анализа поведения системы в условиях, определяемых системным аналитиком.

Особенностью моделирования стохастических систем, динамика которых зависит от случайных факторов, а входные и исходные переменные описываются как случайные величины, функции, процессы, последовательности, является то, что искомые величины при исследовании процессов определяют как средние значения относительно большого количества данных реализации процесса. Поэтому эксперимент на модели содержит несколько реализаций, прогонок и допускает оценивание по данным совокупности (выборки). При этом по закону больших чисел, чем большее число реализаций, тем получаемые оценки все более приобретают статистическую стабильность. Одной прогонки по определенным операционным правилам и конкретному набору параметров достаточно только для детерминированного моделирования.

Если целями моделирования являются исследование системы при разных условиях, оценка альтернатив, поиск зависимости выхода модели от ряда параметров и, в конечном итоге, поиск некоторого оптимального варианта, то аналитик, изменяя значения параметров на входе модели, должен выполнить многочисленные машинные прогонки имитационной модели. Это необходимо для сбора, накопления и последующей обработки данных о функционировании системы. При этом возникают проблемы: как собирать эти данные, как проводить серию прогонов и как организовать целенаправленный эксперимент. Так как выходных данных, полученных в результате эксперимента, может оказаться много, то возникает проблема их обработки, более сложная, чем задача статистической оценки. При организации и планировании имитационного эксперимента аналитик должен выбрать метод сбора информации для достижения поставленной цели исследования, и определить ее объем, стремясь при этом уменьшить расходы времени на эксплуатацию модели за счет минимизации количества имитационных прогонов. При стратегическом планировании выясняется взаимосвязь между управляемыми переменными или ищется комбинация значений управляемых переменных, дающая наилучший результат. Тактическое планирование связано с определением способов проведения намеченных имитационных прогонов. Здесь решаются задачи определения длительности прогонов, оценки точности результатов моделирования и др.

Основные методы имитационного моделирования

Основными методами имитационного моделирования являются: аналитический метод, метод статического моделирования и комбинированный метод (аналитико-статистический) метод.

Аналитический метод применяется для имитации процессов в основном для малых и простых систем, где отсутствует фактор случайности. Например, когда процесс их функционирования описан дифференциальными или интегро-дифференциальными уравнениями. Метод назван условно, так как он объединяет возможности имитации процесса, модель которого получена в виде аналитически замкнутого решения, или решения полученного методами вычислительной математики.

Метод статистического моделирования первоначально развивался как метод статистических испытаний (Монте-Карло). Это - численный метод, состоящий в получении оценок вероятностных характеристик, совпадающих с решением аналитических задач (например, с решением уравнений и вычислением определенного интеграла). Впоследствии этот метод стал применяться для имитации процессов, происходящих в системах, внутри которых есть источник случайности или которые подвержены случайным воздействиям. Он получил название метода статистического моделирования.

Комбинированный метод (аналитико-статистический) позволяет объединить достоинства аналитического и статистического методов моделирования. Он применяется в случае разработки модели, состоящей из различных модулей, представляющих набор как статистических, так и аналитических моделей, которые взаимодействуют как единое целое. Причем в набор модулей могут входить не только модули соответствующие динамическим моделям, но и модули соответствующие статическим математическим моделям.



Заключение

Применение имитационных моделей дает множество преимуществ по сравнению с выполнением экспериментов над реальной системой и использованием других методов.

Стоимость. Допустим, компания уволила часть сотрудников, что в дальнейшем привело к снижению качества обслуживания и потери части клиентов. Принять обоснованное решение помогла бы имитационная модель, затраты на применение которой состоят лишь из цены программного обеспечения и стоимости консалтинговых услуг.

Время. В реальности оценить эффективность, например, новой сети распространения продукции или измененной структуры склада можно лишь через месяцы или даже годы. Имитационная модель позволяет определить оптимальность таких изменений за считанные минуты, необходимые для проведения эксперимента.

Повторяемость. Современная жизнь требует от организаций быстрой реакции на изменение ситуации на рынке. Например, прогноз объемов спроса продукции должен быть составлен в срок, и его изменения критичны. С помощью имитационной модели можно провести неограниченное количество экспериментов с разными параметрами, чтобы определить наилучший вариант.

Точность. Традиционные расчетные математические методы требуют применения высокой степени абстракции и не учитывают важные детали. Имитационное моделирование позволяет описать структуру системы и её процессы в естественном виде, не прибегая к использованию формул и строгих математических зависимостей.

Наглядность. Имитационная модель обладает возможностями визуализации процесса работы системы во времени, схематичного задания её структуры и выдачи результатов в графическом виде. Это позволяет наглядно представить полученное решение и донести заложенные в него идеи до клиента и коллег.

Универсальность. Имитационное моделирование позволяет решать задачи из любых областей: производства, логистики, финансов, здравоохранения и многих других. В каждом случае модель имитирует, воспроизводит, реальную жизнь и позволяет проводить широкий набор экспериментов без влияния на реальные объекты.



Практическая часть

Вопросы

Вопрос 1.

Что обычно подразумевают под термином «имитационное моделирование»?

Вопрос 2.

В чем состоит суть компьютерного моделирования?

Вопрос 3.

Что такое имитационная модель?

Вопрос 4.

В зависимости от этапа и назначения проводимых исследований, применяется один из трех наиболее распространенных видов имитационных экспериментов. Какие это эксперименты?

Вопрос 5.

Наиболее важный признак имитационного моделирования? Вопрос 6.

Что такое событие и как оно характеризуется?

Вопрос 7.

На какие категории обычно подразделяются события?

Вопрос 8.

Назовите другой важный признак имитационного моделирования?

Вопрос 9.

Существуют два основных способа изменения модельного времени. Какие?

Вопрос 10.

Какие методы имитационного моделирования являются основными?



Задачи

Задача 1.

Торговая фирма для продажи товара трех видов использует ресурсы: время и площадь торговых залов. Затраты ресурсов на продажу одной партии товаров каждого вида даны в таблице. Прибыль, получаемая от реализации одной парии товаров 1 вида - 5 у.е. 2 вида - 8 у.е.

Ресурсы	Вид товара	Объем ресурсов
	1	2
Время	0,5	0,7	370
Площадь	0,1	0,3	90

Определить оптимальную структуру товарооборота, обеспечивающую фирме максимальную прибыль.

Решение задачи.

Математическая модель прямой задачи

Max Z= 5x₁+8x₂

0,5 x₁+0,7x₂ 370

0,1 x₁+0,3x₂ 90

x_1,2 0

Математическая модель двойственной задачи

Min Z'= 370y₁+90y₂

0,5y₁+0,1y₂ 5

0,7у₁+0,3у₂ 8

y₁,₂ 0



Разберем экономический смысл переменных, входящих в модели и ограничений, составленных на основе условия задачи.

x₁- количество товара первого вида, которое необходимо продавать согласно оптимальному плану.

х₂- количество товара второго вида, которое необходимо продавать согласно оптимальному плану.

0,5 x₁+0,7x₂- это условие показывает, сколько времени всего будет потрачено на продажу товаров первого и второго вида.

0,1 x₁+0,3x₂- это условие показывает, сколько площади будет потрачено на продажу товаров первого и второго вида.

5x₁+8x₂- выручка, полученная при продаже оптимального количества товаров первого и второго вида.

у₁- цена одной единицы первого ресурса (1 часа работы продавца)

у₂- цена одной единицы второго ресурса (1 м²площади торгового зала).

0,5y₁+0,1y₂- это условие показывает, сколько всего денежных единиц будет потрачено на продажу изделий первого вида.

0,7у₁+0,3у₂это условие показывает, сколько всего денежных единиц будет потрачено на продажу изделий второго вида.

370y₁+90y₂- это условие показывает, сколько всего денежных единиц будет потрачено на продажу изделий первого и второго вида.

Непосредственное решение состоит из построения нескольких прямых на плоскости XOY. Построение неравенств на плоскости состоит из построения соответствующих прямых и выбора нужной полуплоскости. Для выбора полуплоскости необходимо подставить какую-нибудь точку плоскости (чаще всего точку (0,0)) в соответствующее неравенство и о выполнении или невыполнении этого неравенства сделать вывод о том, какая именно полуплоскость соответствует неравенству.

Для построения прямых достаточно взять две точки.

Целевая функция приравнивается к 0 для возможности ее построения. Потом с помощью параллельного переноса функция цели двигается так, чтобы из положения секущей она стала касательной. В точке, где целевая функция становится касательной области допустимых значений и будет точка оптимального решения.

Построение системы ограничений для данной задачи дает следующую область ограничений.

Темным цветом показана область допустимых значений. Теперь, если построить целевую функцию на этом же графике, то видно, что при параллельном переносе из точки (0,0) она становится касательной в точке (600,100).



Аналитически найдем координаты точки пересечения двух прямых системы ограничений.

Решая эту систему, получаем, что для получения максимальной прибыли необходимо продавать 600 единиц товара первого вида и 100 товара второго вида. При этом максимальная выручка от продажи составит 600*5+100*8=3800 ден. ед.

Задача 2.

Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Нормы расхода сырья каждого вида на изготовление единицы продукции данного вида приведены в Таблице 2.1. В ней же указаны прибыль от реализации одного изделия каждого вида и общее количество сырья данного вида, которое может быть использовано предприятием.

Таблица 2.1

Виды сырья	Нормы расхода сырья (кг) на одно изделие	Общее количество сырья (кг)
	А	В
1	12	4	300
2	4	4	120
3	3	12	252
Прибыль одного изделия от реализации (руб.)	30	40

Учитывая, что изделия А и В могут производиться в любых соотношениях (сбыт обеспечен), требуется составить такой план их выпуска, при котором прибыль предприятия от реализации всех изделий является максимальной.

Решение:

х1 - выпуск изделий вида А

х2 - выпуск изделий вида В

Тогда ограничения задачи:

Общая прибыль от реализации изделий вида А и В составит:

F = 30х₁ + 40x₂

Найдем решение задачи, используя ее геометрическую интерпретацию.

Для этого в неравенствах системы ограничений перейдем к равенствам и построим соответствующие прямые:

Найдем координаты точки В - пересечения прямых:

Решив эту систему уравнений, получим: x₁ = 12; x₂ = 18

Следовательно, если предприятие изготовит 12 изделий вида А и 18 изделий вида В, то оно получит максимальную прибыль, равную

F_max = 30·12+40·18 = 1080 руб.



Список используемой литературы

1. Строгалев В. П., Толкачева И. О. Имитационное моделирование. -- МГТУ им. Баумана, 2008. -- 737 с.

2. Павловский Ю.Н. Имитационное моделирование: учебное пособие для студентов высших учебных заведений / Павловский Ю.Н., Белов Н.В., Бродский Ю.Н. -- М.: Издательский цент «Академия», 2008. -- 236 с.

3. Федосеева В.В. «Экономико-математические методы и прикладные модели». --М.: «Юнити», 2001. -- 391 с.

Размещено на Allbest.ru

...