Метод явного рахунку розв’язання рівняння конвективної дифузії для задач динамічної метеорології

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

УДК 519.62

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Спеціальність 01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні методи

Метод явного рахунку розв'язання рівняння конвективної дифузії для задач динамічної метеорології

Гук Леся Миколаївна

Київ - 2010

Дисертація є рукописом

Робота виконана у відділі фізики атмосфери Українського науково-дослідного гідрометеорологічного інституту НАН України та Міністерства України з питань надзвичайних ситуацій та у справах захисту населення від наслідків Чорнобильської катастрофи.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Прусов Віталій Арсенійович, Український науково-дослідний гідрометеорологічний інститут, головний науковий співробітник відділу фізики атмосфери

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Грищенко Олександр Юхимович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри обчислювальної математики факультету кібернетики кандидат фізико-математичних наук, доцент Москальков Михайло Миколайович, Національний авіаційний університет, доцент кафедри прикладної математики

Захист відбудеться 25 лютого 2010 р. о 14 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.35 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: Україна, 03680, м. Київ, просп. академіка Глушкова, 2, корпус 6, факультет кібернетики, ауд. 24.

З дисертацією можна ознайомитися у науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано 22 січня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д 26.001.35 П.М. Зінько

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми дисертаційного дослідження, безпосередньо пов'язана з актуальністю проблеми чисельного прогнозу стану атмосфери. Надійне прогнозування змін реальних фізичних процесів в атмосфері є надзвичайно актуальним завданням сучасної метеорологічної науки, яке покликано сприяти не лише удосконаленню якісного й кількісного аналізу фізичних явищ, що досліджуються, а й впровадженню в оперативну практику метеорологічних моделей прогнозу погоди.

Фізичні, математичні й чисельні аспекти цього комплексного явища вивчалися багатьма дослідниками (Феррель, Бьеркнес, Річардсон, Фрідман, Росбі, Чарні, Кібель, Марчук, Булєєв, Блінова та ін.), проте ця проблема не втратила своєї актуальності й до тепер.

Актуальність дисертаційної роботи підтверджується тим, що математичні методи прогнозування погоди усе ще не викристалізувалися в деякий завершений стан і залишаються далекими від нього.

Удосконалення фізичних і математичних моделей, пошук більш ефективних методів їхнього чисельного розв'язання, розвиток обчислювальної техніки - все ще триває і, напевне, продовжуватиметься не одне десятиліття.

Більше того, багато проблем фундаментального наукового значення залишаються невирішеними.

Наприклад, дуже мало зроблено щодо поширення методів динамічної метеорології на проблему довгострокового прогнозування погоди.

Особливо актуальною дана робота видається для України. В нашій державі проблема зменшення затрат машинного часу при розв'язанні задач динамічної метеорології стоїть особливо гостро в зв'язку з відсутністю потужної обчислювальної техніки, яку використовують у світових і національних метеорологічних центрах розвинутих держав.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Наукові результати, що наведені у дисертації, отримані в межах проведення досліджень за двома темами:

„Комплексне дослідження механізмів утворення та еволюції мезомасштабних осередків сильних опадів та інших небезпечних явищ погоди над рівнинними та гірськими територіями України, а також розробка параметризації процесів підсіткового масштабу (радіаційний теплообмін в атмосфері з урахуванням впливу хмар, моделювання турбулентних пограничних шарів) для чисельних регіональних моделей атмосфери” (замовлення НАНУ для Українського науково-дослідного гідрометеорологічного інституту на 2006-2010 рр.; № ДР 0106U004750), і «Розробка та впровадження нових математичних моделей, чисельних методів і програмних засобів для ефективного розв'язання задачі моделювання і прогнозування метеорологічних процесів та явищ в Україні» (для Інституту програмних систем НАНУ на 2005-2008 рр.; № ДР 0108U007073).

Мета і задачі дослідження.

Основною метою проведених досліджень було: розробити новий ефективний скінченно-різницевий метод розв'язання одновимірного рівняння конвективної дифузії, що є основою системи рівнянь гідродинаміки та тепло-, масо переносу, які використовуються в математичних моделях циркуляції атмосфери.

Новий метод має враховувати особливості, що пов'язанні з реалізацією задач динамічної метеорології і зменшити час їх розв'язання.

Для досягнення поставленої мети необхідно було вирішити наступні задачі:

провести аналіз особливостей, пов'язаних з реалізацією метеорологічних моделей;

проаналізувати існуючі методи розв'язання рівняння конвективної дифузії, визначити їх переваги і недоліки;

запропонувати різницеву схему, що поєднувала б переваги існуючих методів, відповідала б вимогам, що ставляться при реалізації метеорологічних моделей, економила машинний час розв'язання задачі прогнозу погоди;

провести теоретичне дослідження запропонованої схеми, визначити умови апроксимації, стійкості та збіжності;

провести чисельний експеримент та проаналізувати його результати;

на основі теоретичних та чисельних результатів розробити рекомендації щодо можливості використання схеми для розв'язання задачі прогнозу погоди.

Об'єкт дослідження. Скінченно-різницеві методи розв'язання рівнянь гідродинаміки.

Предмет дослідження. Новий ефективний чисельний метод розв'язання одновимірного рівняння конвективної дифузії.

Методи дослідження:

теоретичний аналіз та порівняння методів розв'язання рівнянь конвективної дифузії, що моделюють процеси динаміки атмосфери;

теоретичне дослідження скінченно-різницевої схеми;

проведення чисельних експериментів та аналіз їхніх результатів.

Наукова новизна одержаних результатів. При проведенні наукових досліджень по темі дисертації одержані наступні результати:

розроблено новий метод розв'язання одновимірного рівняння конвективної дифузії, що поєднує у собі переваги явних і неявних різницевих схем. Існуючі скінченно-різницеві методи можна поділити на явні та неявні. Перевагою явних схем є простота організації обчислення і малі затрати машинного часу на розв'язання задачі. Недоліками - є умовна стійкість, що накладає жорстке обмеження на часовий крок. Неявні схеми вільні від цього недоліку, їх безумовна стійкість дозволяє вибирати часовий крок розрахунку не залежно від просторового. Проте на реалізацію неявних методів необхідно витратити значно більше часу, ніж у випадку явних;

вперше проведено теоретичне дослідження основних властивостей запропонованого методу і обґрунтовано доцільність його використання при розв'язанні задач динамічної метеорології. Проведено дослідження апроксимації, стійкості та збіжності схеми. В ході дослідження доведені відповідні твердження та теореми. Встановлена умова монотонності методу, його дисперсійні та дисипативні властивості. Проведено аналіз особливостей розв'язання одновимірного рівняння конвективної дифузії у випадку математичного моделювання циркуляції атмосфери. Визначено вимоги, що ставляться до методів реалізації метеорологічних моделей. Встановлена відповідність запропонованого методу поставленим вимогам.

вперше проведено експериментальне дослідження схеми явного рахунку, аналіз його результатів. Тестування проводилось на лінійних та нелінійних задачах, які мають аналітичні розв'язки, проведене порівняння з іншими відомими явними та неявними схемами. Розв'язана спрощена задача динамічної метеорології, проведено аналіз отриманих результатів та їх порівняння з прогнозом німецької метеорологічної служби Offenbach.

Практичне значення одержаних результатів:

· скінченно-різницевий метод явного рахунку розроблено для розв'язання задачі прогнозу погоди на основі реалізації математичних моделей, що описують циркуляційні процеси в атмосфері. Схема призначена для розв'язання послідовності одновимірних задач конвективної дифузії, що отримується розщепленням за напрямками трьохвимірних рівнянь, з яких складаються метеорологічні моделі;

· запропонований метод може використовуватися для розв'язання задач, основу яких складає рівняння конвективної дифузії. Найбільш ефективним метод явного рахунку є для задач з обмеженням на час розв'язання, що не вимагають високої точності наближеного розв'язку;

Особистий внесок здобувача. Постановка наукових задач дослідження розроблена здобувачем спільно з науковим керівником. Науковому керівнику належать загальні ідеї вирішення поставлених наукових задач. Особистий внесок здобувача полягає в:

обґрунтуванні вимог, що ставляться до методу розв'язання рівняння конвективної дифузії для задач динамічної метеорології;

розробці нового ефективного чисельного методу явного рахунку, для розв'язання одновимірних задач конвективної дифузії математичної фізики;

проведенні теоретичного дослідження методу явного рахунку, доведенні математичних тверджень та теорем, що визначають основні властивості методу;

проведені чисельних експериментів та аналізі їхніх результатів.

Апробація результатів дисертації.

Основні результати роботи доповідалися на науковому семінарі Інституту математики НАНУ, вченій раді Українського науково-дослідного гідрометеорологічного інституту, науковому семінарі на кафедрі обчислювальної математики факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка, а також на конференціях:

ІІ Міжнародній конференції „Теоретичні та прикладні аспекти побудови програмних систем (TAAPSD'2005)” (Київ, 2005 р.);

ІІІ Міжнародній конференції „Теоретичні та прикладні аспекти побудови програмних систем (TAAPSD'2006)” (Київ, 2006 р.);

ІІІ Всероссийской конференции, посвященной памяти академика А. Ф. Сидорова. „Актуальные проблемы прикладной математики и механики” (Російська Федерація, Абрау-Дюрсо, 2006 р.);

Міжнародній конференції “Моделювання та дослідження стійкості динамічних систем”, (Київ, 2009 р.);

Публікації. За результатами дисертаційного дослідження опубліковано 8 наукових праць загальним обсягом 2,72 д. а. (2,14 д. а. належать автору особисто). Серед них 4 статті у фахових виданнях ВАК (2,31 д. а.): 2 одноосібні та 2 у співавторстві. Також є 4 публікації у збірниках тез та матеріалів наукових конференцій (1 одноосібна).

Структура і об'єм дисертації.

Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків і двох додатків, містить 10 рисунків і 8 таблиць. Повний обсяг дисертації становить 157 сторінок, в тому числі 133 сторінки основного тексту, двох додатків на 11 сторінках, списку використаних джерел (123 найменування на 13 сторінках).

Основний зміст роботи

У Вступі обґрунтовується актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовані її мета і завдання, вказуються основні методи дослідження, наукова новизна і практичне значення. Також відмічено особистий внесок здобувача і наведено список конференцій та семінарів, де було апробовано результати роботи.

У першому розділі проводиться постановка задачі динамічної метеорології. Наводяться рівняння, на основі яких моделюється загальна циркуляція атмосфери, способи задання початкових та крайових умов, системи координат, в яких проводиться постановка задач динамічної метеорології.

Проводиться огляд існуючих методів розв'язання гідродинамічних систем. Серед методів, що використовуються у сучасній практиці, виділяються спектральні та скінченно-різницеві методи. Наводяться їх переваги та недоліки. Основна увага приділяється методу розщеплення за напрямками, як найбільш відомому і використовуваному при розв'язанні трьохвимірних математичних рівнянь. Описується принцип розщеплення за напрямками і зведення трьохвимірної задачі до послідовності трьох задач типу що пов'язані початковими даними.

Рівняння називається одновимірним рівнянням конвективної дифузії і включає в себе члени, що описують ті ж фізичні процеси, що й члени, які входять до рівняння гідромеханіки, а саме:

- нестаціонарний член, що описує швидкість зміни величини за часом;

- конвективний член, що описує конвекцію величини обумовлену рухом оточуючого середовища зі швидкістю;

- дифузійний (чи дисипативний) член, що описує дифузію величини;

- щільність внутрішніх джерел в точці в момент часу.

Описуються особливості, що пов'язані з розв'язанням одновимірного рівняння конвективної дифузії в задачах динамічної метеорології, а саме:

- в природі не існує чисто ламінарних процесів. Очевидно, що формування процесів і явищ в атмосфері в кожній конкретній області відбувається не лише під впливом конвекції, а й турбулентної дифузії. Проте значимість кожної з них в різних умовах буде неоднаковою. Параболічні нестаціонарні рівняння Навьє-Стокса переходять в гіперболічні нестаціонарні рівняння Ейлера при прямуванні коефіцієнта дифузії до нуля, що характерне для вільної атмосфери. Виродження рівняння може призвести до некоректності в постановці задачі і до обчислювальних проблем при розв'язанні. Спрощення вихідної системи рівнянь шляхом нехтування конвективним чи дифузійним членами, що входять до рівняння, є фізично невиправданим. Процеси в атмосфері є неконтрольованими і пов'язаними між собою таким чином, що мала зміна однієї величини може спричинити значу зміну іншої;

- неконтрольована зміна всіх метеорологічних величин у просторі із часом, і неодноразова зміна знаку швидкості конвекції в межах розрахункової області створюють додаткові труднощі при розв'язанні задачі;

- також значним ускладненням при реалізації метеорологічних моделей є нелінійність, що присутня у задачах динамічної метеорології, коли функції і залежать від шуканої величини;

- при розв'язанні задач динамічної метеорології треба враховувати проблему економічності методу. Оскільки загальна модель циркуляції атмосфери складається з п'ятнадцятьох трьохвимірних рівнянь, які шляхом розщеплення за напрямками утворюють складну систему, розв'язання якої потребує значних часових затрат і машинних ресурсів. Тому методи, які дають високу точність, але потребують значних затрат часу на реалізацію, не використовують для розв'язання задач прогнозу погоди. Хоча не можна нехтувати також і точністю методу;

- вхідні дані, що задаються при розв'язанні задачі прогнозу погоди на основі спостережень за допомогою приладів, містять у собі суттєву неусувну похибку. Це також підтверджує недоцільність застосування методів підвищеної точності, що, як вже зазначалося, потребують значних витрат машинного часу.

Описуються існуючі скінченно-різницеві методи розв'язання одновимірного рівняння конвективної дифузії. Їх можна умовно поділити на явні та неявні методи. Згідно такого поділу, наводяться переваги та недоліки методів стосовно зазначених особливостей розв'язання задач динамічної метеорології, а саме:

- перевагами явних методів є простота алгоритму застосування і малі затрати часу на реалізацію.

Але серед існуючих двошарових явних схем розв'язання задачі (1), (2) стійкими є тільки схеми, що апроксимують конвективний член різницями проти потоку. Умовна стійкість таких схем накладає на часовий крок обмеження. При ці схеми вносять штучне затухання, тобто схема з різницями проти потоку має штучну схемну в'язкість, величина котрої рівна. Ця додаткова дисипація пригнічує осциляції, що характерні для схеми з центральними різницями. Явні схеми (з обмеженням на крок ) неправильно моделюють фізичні особливості рівнянь в частинних похідних параболічного типу, оскільки розв'язок в деякій внутрішній точці , розташованій на характеристиці, не залежить від граничних умов. Тому для розв'язання рівнянь параболічного типу краще використовувати неявні методи, так як вони враховують всю інформацію, відому на момент часу. При цьому неявні схеми є переважно абсолютно стійкими, а це значить, що часовий і просторовий кроки можна вибирати незалежно один від одного.

Як основні недоліки існуючих двошарових неявних схем можна відмітити наступне:

- реалізувати неявні різницеві схеми, що зводяться до системи алгебраїчних рівнянь, значно складніше, ніж явні схеми, що зводяться до рекурентного рівняння;

- у випадку реалізації нелінійних рівнянь за допомогою неявних схем, коли коефіцієнти при похідних беруться на верхньому шарі, виникає необхідність застосування ітерацій, що призводить до збільшення машинного часу розв'язання задачі.

Окрім цього, якщо при моделюванні атмосфери відбудеться виродження типу рівняння з параболічного на гіперболічний, то застосування неявних схем може призвести до якісно невірного розв'язку. Для того, щоб моделювати правильну поведінку розв'язку рівняння (1) іноді для конвективного члена застосовують явну схему, а для дифузійного члена - неявну. Проте такий підхід не спрощує алгоритму реалізації методу.

Вищесказане обґрунтовує необхідність побудови різницевої схеми, яка б поєднувала в собі переваги явних та неявних схем і враховувала особливості задач динамічної метеорології. Саме цьому питанню присвячується наступний розділ дисертації.

У другому розділі проводиться дискретизація області розрахунку, а також аналіз фізичних властивостей рівняння конвективної дифузії та проблем, що пов'язані з його чисельним розв'язанням. Розглянуто особливості, що виникають при реалізації рівняння (1) та пов'язані окремо з кожним його членом.

На основі проведеного аналізу проблем апроксимації рівняння конвективної дифузії та із врахуванням особливостей моделювання циркуляції атмосфери формулюються вимоги до різницевого методу розв'язання рівняння (1) для задач динамічної метеорології, а саме:

- метод має бути вільним від жорсткого обмеження на часовий крок;

- паразитні хвилі не повинні спотворювати чисельний розв'язок;

- метод має розв'язувати також і нелінійні рівняння;

- метод має бути нечутливим до зміни типу рівняння (1) в межах розрахункової області;

- метод має бути нечутливий до зміни знаку швидкості конвекції в межах розрахункової області;

- повинні забезпечуватися малі затрати машинного часу при реалізації;

- метод має давати задовільну точність.

Описано побудову нової скінченно-різницевої схеми. Її особливість полягає у рознесенні різниць за і проти потоку на різні часові шари як в апроксимації конвективного члена, так і в апроксимації дифузійного члена. Рознесення відбувається таким чином, що різниці проти потоку виносяться на верхній шар, а за потоком - залишаються на нижньому. Завдяки цьому збурення не можуть розповсюджуватися у напрямку, що протилежний фізичній конвекції. Відповідно, хвилі нефізичної природи не повинні викривляти чисельного розв'язку.

Розрахунок за наведеною схемою дозволяє послідовно будувати розв'язок для точок сітки в порядку зростання індексу при, або спадання індексу при за алгоритмом реалізації явних схем. Така організація розрахунків дозволяє мінімізувати витрати машинного часу на розв'язання задачі. На основі цього запропоновану схему було названо схемою явного рахунку розв'язання одновимірної задачі конвективної дифузії.

У випадку зміни знаку швидкості конвекції в області розв'язання задачі з „-” на „+” обидва різницеві рівняння та пов'язані із однаковими точками на верхньому шарі, наприклад, із та. В результаті чого маємо замкнену систему двох рівнянь з двома невідомими і.

У випадку крайової умови третього роду на лівій границі значення, що необхідне для початку розрахунку за схемою, знаходиться за формулою:

У випадку крайової умови третього роду на правій границі значення, що необхідне для початку розрахунку за схемою , знаходиться за формулою:

Алгоритм проведення розрахунку значень

,

для задачі (1), (2) за схемою явного рахунку (3), (4) наступний:

Крок 0: перевіряємо чи є граничні умови умовами першого роду; якщо це так - знаходимо „стартові” значення за формулами (3) або (4); інакше за формулами (7) або (8).

Крок 1: визначаємо всі точки зміни знаку швидкості конвекції, тобто знаходимо множину

.

Крок 2: для всіх

таких, що за формулами (5), (6) знаходимо значення .

Крок 3: для всіх точок , виконуємо наступну послідовність дій:

1) перевіряємо знак

- якщо , то проводимо розрахунок за схемою (3) до наступної точки зміни знаку використовуючи , або обчислене на кроці 2 , як граничну умову;

- якщо , то від наступної точки зміни знаку (використовуючи отримані на кроці 2 значення функції на -ому шарі як граничні), або від правої граничної умови проводимо розрахунок за схемою (4) до точки ;

2) переходимо до наступного значення , аж поки не вичерпаємо всю множину.

У третьому розділі проводиться теоретичне дослідження схеми явного рахунку, що включає у себе дослідження апроксимації, стійкості, збіжності та монотонності, а також обчислювальної складності, дисперсійних та дисипативних властивостей. Дослідження приводиться для випадку, коли швидкість конвекції невід'ємна (схема (3)), оскільки для схеми (4) результати дослідження аналогічні.

Як результат дослідження апроксимації отримано, що схема явного рахунку (3) апроксимує задачу (1), (2) з порядком

за умови, що при .

Дослідження стійкості та збіжності схеми (3) проводилось для випадку сталих коефіцієнтів. Результат дослідження міститься у наступних теоремах:

Теорема 1. Для схеми (3) апроксимації задачі (1),(2) (для випадку сталих коефіцієнтів) має місце оцінка, тобто схема рівномірно стійка за початковими даними в сітковій нормі.

Теорема 2. Для схеми (3) апроксимації задачі (1),(2) (для випадку сталих коефіцієнтів) має місце оцінка.

Тобто схема явного рахунку стійка за початковими даними і правою частиною в неперервній нормі.

Результатом дослідження збіжності схеми стала

Теорема 3. Для похибки, де - розв'язок задачі - розв'язок різницевої задачі (випадок сталих коефіцієнтів) виконується наступна оцінка:

Теорема 3 показує, що має місце збіжність чисельного розв'язку задачі до розв'язку задачі зі швидкістю в нормі за умов .

Також була досліджена збіжність схеми, що побудована за допомогою адитивно-усередненого розщеплення та схеми явного рахунку, та апроксимує трьохвимірну задачу

де - просторова область визначення задачі, - границя області , - невідома функція, - вільний член рівняння, - просторовий диференціальний оператор, що подається через суму простіших операторів, , - const, .

Для схеми (10) має місце умовна сумарна апроксимація з порядком, де; умова апроксимації має вигляд при .

Стійкість та збіжність схеми доводять наступні теореми.

Теорема4. Для схеми виконується апріорна оцінка тобто схема стійка за початковими даними та правою.

Теорема 5. Для похибки, де - розв'язок задачі, а - розв'язок різницевої задачі виконується наступна оцінк.

В ході дослідження монотонності схеми явного рахунку (для сталих коефіцієнтів) було показано, що схема умовно монотонна; умова монотонності має вигляд:.

При дослідженні дисипативних та дисперсійних властивостей схеми явного рахунку (для сталих коефіцієнтів) було встановлено, що схема (3) є дисипативною, порядок дисипативності - другий; точність передачі зміни модуля в точці має порядок . В схемі присутня чисельна дисперсія. Порядок дисперсійності схеми явного рахунку - другий. Рівність порядку дисипації та дисперсійності досліджуваної схеми забезпечує її більш якісну роботу.

Щоб оцінити ефективність методу явного рахунку було проведене дослідження обчислювальної складності схеми і порівняння з обчислювальною складністю явної схеми Лакса-Вендрофа та неявної схеми Кранка-Ніколсона. Кількість операцій, що необхідні для переходу на наступний часовий шар методом явного рахунку, дорівнює

де - кількість випадків зміни знаку швидкості конвекції , - кількість випадків зміни знаку з «-» на «+». Для порівняння: кількість операцій методами Лакса-Вендрофа і Кранка-Ніколсона дорівнює і відповідно.

Як ми можемо бачити, схема (3) потребує майже стільки ж операцій при переході на наступний часовий шар, як і явна схема. Проте вона є безумовно стійкою та обмеження на часовий крок значно слабше, ніж для явних схем. Якщо врахувати, що розв'язання задачі обмежене в часі, то перевага схеми (3) перед явною і неявною схемами стає очевидною. Також зрозуміло, що розв'язання методом явного рахунку нелінійних багатовимірних рівнянь гідротермодинаміки потребує менших затрат машинного часу в порівнянні з відомими неявними методами.

У четвертому розділі представлені результати експериментального дослідження методу явного рахунку на тестових задачах. Тестування було проведено для підтвердження отриманих у розділі 3 теоретичних результатів та перевірки якості роботи методу явного рахунку.

Представлене тестування методу на лінійних та нелінійних задачах, що мають аналітичні розв'язки. Результати розрахунків подано у таблицях та частково ілюстровано рисунками. Відстань між чисельним та точним розв'язками визначалась через максимальне відхилення, де - точний розв'язок в точці в момент часу, - чисельний розв'язок тестової задачі в точці та в момент часу, - час розрахунку, - номер вузла сітки, в якому отримано максимальне відхилення чисельного розв'язку від точного.

Для кращої оцінки точності схеми явного рахунку, наведено порівняння отриманих нею розв'язків із розв'язками, що одержано за допомогою інших відомих методів, наприклад, схеми Кранка-Ніколсона, монотонної схеми Самарського, лінійного модифікованого методу характеристик. конвективна дифузія динамічна метеорологія

Навіть найпростіші метеорологічні моделі не мають аналітичного розв'язку, тому було проведено тестування методу також на задачі гідродинаміки, яка ґрунтується на тих самих фізичних законах, що й динамічна метеорологія.

Постановка задачі: розглянуто процес впливу твердої горизонтальної стінки на набігаючий однорідний ламінарний потік в'язкої нестисливої рідини. Задача обмежується плоским випадком, коли складові швидкості течії не залежать від координат та в напрямках, паралельних стінці. Вздовж стінки відбувається відсмоктування потоку зі сталою швидкістю.

Поставлена задача має самостійне важливе прикладне значення, оскільки відсмоктування пограничного шару дозволяє зберегти в ньому ламінарну форму течії і, тим самим, зменшити опір пластини.

Розв'язок задачі, отриманий за допомогою методу явного рахунку, а також за допомогою методів Кранка-Ніколсона, монотонної схеми Самарського, лінійного модифікованого методу характеристик для різних значень числа Куранта представлено у таблиці і частково ілюстровано на рисунку. Із аналізу отриманих результатів випливає, що розв'язок, що отриманий схемою явного рахунку (3), співпадає із розв'язком за схемою Кранка-Ніколсона та є найточнішим серед розглянутих схем. Як наслідок такого висновку, проведено тестування вказаних методів за швидкістю розв'язку поставленої задачі, результати тестування представлені в таблиці. З них очевидно, що схема потребує менших затрат машинного часу (більш ніж у 2 рази) в порівнянні з наведеними схемами. Отримані результати підтверджують ефективність та хорошу точність методу явного рахунку.

Для більш повного дослідження якості схеми явного рахунку і обґрунтування доцільності її використання для задач динамічної метеорології проведено розв'язання спрощених диференціальних рівнянь моделі циркуляції атмосфери. І хоча висновки, що ґрунтуються на аналізі розв'язків спрощених рівнянь мають обмежений характер, вони є корисними для аналізу властивостей розв'язків більш повних рівнянь моделі циркуляції атмосфери.

Прийнято наступні спрощення: атмосферу вважаємо вертикально-однорідним нестисливим середовищем, у якому траєкторії частинок лежать у горизонтальних площинах. Для цього розглянуто нестаціонарний рух повітря у горизонтальній площині на такій висоті, де впливом неоднорідності підстильної поверхні на атмосферний рух можна знехтувати (для даного експерименту було взято ізобаричну поверхню 500 гПа). Знехтуваний також вплив усіх зовнішніх чинників, окрім турбулентності. Оскільки , то модель загальної циркуляції атмосфери можна записати у наступному вигляді.

У рівняннях (19)-(22) введені позначення: [с] - час; [рад] - довгота; [рад] - широта; [1/с] - кутова швидкість обертання Землі; [гПа] - тиск, [м/с] - складові швидкості вітру по довготі і широті відповідно; [кг/м³] - густина повітря; [К] - температура потенційного потоку; [кг/кг] - вологість, [м²/с] - коефіцієнт горизонтального турбулентного обміну.

Коефіцієнт горизонтального турбулентного обміну знаходимо за формулою Смагоринського. Якщо тиск вважати заданим, то наведена система рівнянь є замкнутою.

Чисельні експерименти прогнозування полів метеорологічних величин на 500-мілібаровій поверхні були проведені для території Європи. Вихідною інформацією для завдання поля тиску та нестаціонарних граничних умов для інших змінних скористалися даними об'єктивного аналізу та прогнозу, що отримувалися по каналах INTERNET з німецької національної служби Offenbach для території (0^o - 90^o N, 0^o - 90^o E) у вузлах регулярної широтно-довготної сітки з кроком 1,5^o.

Реалізацію побудованої моделі було проведено за допомогою адитивно-усередненого розщеплення та методу явного рахунку. Було отримано короткостроковий прогноз погоди на 12 годин, оскільки через значні спрощення моделі циркуляції не можна отримати достатньо адекватні дані на довший період. Результати розрахунків проведених з часовими кроками 60, 120, 300, 600, 1800 та 3600 с, наведені у таблиці та ілюстровано на рисунках. Результати представлені через максимальне відхилення отриманого розв'язку від прогнозу служби DWD Offenbach, та середньоквадратичне відхилення.

З отриманих результатів видно, що при малих часових кроках прогноз значень метеорологічних величин, що отримано за допомогою методу явного рахунку не значно відрізняється від прогнозу служби DWD Offenbach. Зі збільшенням часового кроку похибка зростає, що є логічним наслідком умовної збіжності методу явного рахунку. Із рисунків видно, що поле вітру описується задовільно навіть при найбільшому часовому кроці, тобто завдяки стійкості методу якісна картинка прогнозу отримана вірно, хоча величини модулів відрізняються.

Таким чином, можна стверджувати, що отриманий розв'язок задовільно описує якісну і кількісну картину розподілу полів метеорологічних величин, що цілком достатньо в умовах спрощеної моделі.

Висновки

Складність реалізації математичних моделей циркуляції атмосфери та значні витрати машинного часу на розв'язання задач динамічної метеорології обумовили необхідність створення нового ефективного скінченно-різницевого методу розв'язання одновимірного рівняння конвективної дифузії, що є основою системи рівнянь гідродинаміки та тепло-, масопереносу. Новий метод враховує особливості, що пов'язанні з реалізацією задач динамічної метеорології і оптимізує час їхнього розв'язання. Основні результати, отримані в ході дослідження можна висвітлити наступними тезами:

1. Проведено теоретичний аналіз та порівняння відомих методів розв'язання рівнянь конвективної дифузії, що моделюють процеси динаміки атмосфери. Проведений аналіз дозволив сформулювати відповідні вимоги до методу розв'язання одновимірної задачі конвективної дифузії, яка отримується при розщепленні гідродинамічних рівнянь:

- Ефективність методу - час, що витрачає один процесор на розв'язання задачі на одну прогностичну годину. Чим менший цей час, тим ефективнішим є метод.

- Відповідність методу фізичним властивостям вихідних рівнянь, що запобігає утворенню паразитних хвиль і зменшує ймовірність накопичення похибки.

- Нечутливість методу до зміни типу рівняння і знаку швидкості конвекції в межах розрахункової області.

- Придатність методу до розв'язання нелінійних рівнянь.

- Прийнятна точність методу.

2. Запропоновано метод розв'язання одновимірного рівняння конвективної дифузії, що відповідає поставленим вимогам. Суть побудови методу полягає у рознесенні на різні часові шари різниць за і проти потоку в апроксимаціях не лише першої, а й другої просторових похідних. Таким чином, по суті, неявна схема обчислюється послідовно крок за кроком, так званим явним рахунком. При цьому різниці проти потоку на верхньому часовому шарі не дають паразитним хвилям викривляти чисельний розв'язок.

Структурна особливість методу робить його нечутливим до зміни типу рівняння під час розв'язання задачі. Побудовано алгоритм реалізації методу у випадку зміни знаку швидкості конвекції всередині розрахункової області.

3. Проведено теоретичне дослідження запропонованої скінченно-різницевої схеми.

В ході дослідження були отримані наступні результати:

- схема має в рівномірній нормі порядок апроксимації

.

Тобто, схема (3), (4) апроксимує вихідну задачу (1) - (2) при умові при ;

- схема є безумовно стійкою і має місце збіжність чисельного розв'язку за схемою явного рахунку до розв'язку задачі конвективної дифузії (випадок сталих коефіцієнтів) зі швидкістю

- в нормі за умов

, де - рівномірна норма.

Таким чином, розрахунок за схемою явного рахунку можна вести із кроком за часом , де - деяке мале число. Зрозуміло, що таке обмеження на часовий крок краще, ніж умова Куранта для явних методів.

В роботі показано, що кількість операцій необхідних для отримання розв'язку на наступному часовому кроці за схемою явного рахунку, майже така, як і для явних методів. Враховуючи можливість використання часового кроку порядку можна зробити висновок, що схема є ефективною.

4. Проведені чисельні експерименти та аналіз їхніх результатів. Результати дослідження показали, що:

- точність методу в основному залежить від величини часового кроку. Тобто помилка скінченнорізницевого представлення просторових похідних значно менша, ніж помилка апроксимації похідної за часом;

- розв'язання задач методом явного рахунку займає значно менше часу, ніж розв'язання іншими методами, що дають добрі результати при .

- метод явного рахунку успішно працює при розв'язанні задач із змінними коефіцієнтами, а також на нелінійних задачах.

На основі теоретичних та чисельних результатів дослідження запропонованої схеми можна стверджувати, що схема явного рахунку розв'язання рівняння конвективної дифузії відповідає поставленим вимогам і підходить для розв'язання задач динамічної метеорології. Використання цієї схеми при розв'язанні задач прогнозу погоди дозволить зменшити витрати машинного часу на розв'язання.

Список опублікованих праць за темою дисертації

Статті:

1. Эффективная разностная схема численного решения задачи конвективной диффузии / [Прусов В.А., Дорошенко А.Е., Черныш Р.И., Гук Л.Н.] // Кибернетика и системный анализ. - 2007. - №3. - С. 64 - 74 (здобувачу належить виконання поставлених задач, проведення розрахунків та спільний аналіз отриманих результатів).

2. Теоретическое исследование одного численного метода решения задачи конвективной диффузии / Прусов В.А., Дорошенко А.Е., Черныш Р.И., Гук Л.Н. // Кибернетика и системный анализ. - 2008. - №2. - С. 161 - 170 (здобувачу належить виконання поставлених задач та спільний аналіз отриманих результатів).

3. Гук. Л. М. Стійкість та збіжність економічного методу розв'язання одновимірної задачі конвективної дифузії / Леся Миколаївна Гук // Вісник Київського університету, серія: фізико-математичні науки. - 2008. - №4. - С. 115 - 118.

4. Гук. Л. М. Експериментальне дослідження методу розв'язання одновимірної задачі конвективної дифузії / Леся Миколаївна Гук // Вісник Київського університету, серія: фізико-математичні науки. - 2009. - №1. - С. 98-101

Тези і матеріали конференцій:

5. Гук Л.М. Економічний метод чисельного розв'язання диференціального рівняння конвективної дифузії/ Гук Л.М., Черниш Р.І. // Міжнародна конференція „Теоретичні та прикладні аспекти побудови програмних систем” (TAAPSD'2005) : тези доповідей (Київ, 7-9 грудня 2005 р.). Національний університет „Києво-Могилянська Академія”, Київський Національний університет імені Тараса Шевченка, Інститут програмних систем НАН України. - К.: Університетське видавництво ПУЛЬСАРИ, 2005. - 163 с.

6. Гук Л.М. Теоретичний та чисельний аналіз методів розв'язання рівняння конвективної дифузії/ Гук Л.М., Черниш Р.І. // Міжнародна конференція „Теоретичні та прикладні аспекти побудови програмних систем” (TAAPSD'2006) : тези доповідей (Київ, 5-8 грудня 2006 р.). Національний університет „Києво-Могилянська Академія”, Київський Національний університет імені Тараса Шевченка, Інститут програмних систем НАН України. - К.: Університетське видавництво ПУЛЬСАРИ, 2006. - 288 с.

7. Черныш Р.И. Схема «бегущего счета» для решения одномерной задачи конвективной-диффузии / Черныш Р.И., Гук Л.Н. // Актуальные проблемы прикладной математики и механики : тезисы докладов ІІІ Всеросийской конференции, посвященной памяти академика А. Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 4-10 сентября 2006 г.). ИММ УрО РАН (Екатеринбург), ИМП им. М. В. Келдіша РАН (Москва), ЮГИНФО РГУ (Ростов-на-Дону). - Екатеринбург: УрО РАН, 2006. 120 с. (здобувачу належить виконання поставлених задач, проведення розрахунків та спільний аналіз отриманих результатів).

8. Гук Л.М. Модель загальної циркуляції атмосфери та метод її реалізації/ Гук Л.М. // International Conference “Dynamical system modelling and stability investigation” : thesis of conference reports (Kyiv, May 27-29, 2009). National Committee of Ukraine by Theoretical and Applied Mechanics, Kiev University named after Taras Shevchenko [and others]. - К.: ДП „Інформаційно-аналітичне агентство”, 2009. - 351 с.

Анотація

Гук Л.М. Метод явного рахунку розв'язання рівняння конвективної дифузії для задач динамічної метеорології. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 математичне моделювання та обчислювальні методи. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2010.

Дисертацію присвячено обчислювальним методам реалізації математичної моделі загальної циркуляції атмосфери. Основна увага зосереджена на проблемі оптимізації машинного часу реалізації моделі.

У роботі запропоновано нову безумовно стійку скінченно-різницеву схему розв'язання одновимірної задачі конвективної дифузії. Суть побудови методу полягає у рознесенні на різні часові шари різниць за і проти потоку в апроксимаціях не лише першої, а й другої просторових похідних. Таким чином, по суті, неявна схема обчислюється послідовно крок за кроком, так званим явним рахунком. Це дає можливість зменшити час розв'язання задач динамічної метеорології, не втрачаючи при цьому необхідної точності. Результати теоретичного дослідження та тестування схеми підтверджують її ефективність та доцільність її використання при розв'язанні задач динамічної метеорології.

Ключові слова: математична модель, рівняння конвективної дифузії, скінченно-різницева схема, ефективність, задача динамічної метеорології.

Аннотация

Гук Л.Н. Метод явного счета решения уравнения конвективной диффузии для задач динамической метеорологии. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 математическое моделирование и вычислительные методы. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченка, Киев, 2010.

В диссертации рассматриваются вычислительные методы реализации математической модели общей циркуляции атмосферы, основу которой составляют уравнения движения, сохранения массы, тепла и энергии, фазовых переходов и другие. Так как, в основном, это нелинейные трехмерные уравнения конвективной диффузии, то реализация такой системы чрезвычайно сложная задача. При ее решении необходимо учитывать, как требование к точности решения, так и ограничение на время его получения. Именно проблеме оптимизации машинного времени реализации модели уделяется основное внимание.

В работе предложена новая безусловно устойчивая конечно-разностная схема решения одномерной задачи конвективной диффузии.

Суть построения метода состоит в разнесении на разные временные слои разностей «по» потоку и «против» него в аппроксимациях не только первой, но и второй пространственных производных. Таким образом, по сути, неявная схема вычисляется последовательно шаг за шагом, так называемым „явным счетом”. При этом разности против потока на верхнем временном слое не дають паразитным волнам искривлять численное решение. Структурная особенность метода делает его нечуствительным к изменениям типа уравнения во время решения задачи. Построен алгоритм реализации метода в случае перемены знака скорости конвекции внутри расчетной области.

Предложенный метод дает возможность уменьшить время решения задач динамической метеорологии, не теряя при этом необходимой точности.

Проведено теоретическое исследование схемы явного счета, включающее исследование аппроксимации, устойчивости, сходимости, монотонности, диссипативных и дисперсионных свойств, оценку вычислительной сложности метода. Представлены результаты тестирования схемы. Реализацией упрощенной модели циркуляции атмосферы с помощью метода явного счета получен прогноз метеорологических величин на 12 часов.

Теоретическое и экспериментальное исследование предложенной схемы показало, что схема явного счета решения уравнения конвективной диффузии подходит для решения задач динамической метеорологии. Прежде всего, это обусловлено ее экономичностью и достаточно хорошей точностью.

Ключевые слова: математическая модель, уравнение конвективной диффузии, конечно-разностная схема, эффективность, задача динамической метеорологии.

Abstract

Huk L.M. Method of explicit counting for solving convective diffusion equation for problems of dynamic meteorology. - Manuscript.

The thesis is for a scientific degree of a candidate of physics and mathematics sciences in the speciality 01.05.02 - mathematical modeling and numerical analysis. - Kiyiv national Taras Shevchenko University, Kiyiv, 2010.

The thesis deals with numerical methods of implementation of a mathematical model of general atmospheric circulation. Special attention is paid to the question of optimization of computing time needed for realization of the model.

A new unconditionally stable finite-difference scheme for solving a one-dimensional convective diffusion problem is proposed in the thesis. The method is based on putting onto different time layers the on-stream and upstream differences used in approximation of the first and the second space derivatives. In this way an implicit scheme is counted step by step using a so called explicit counting. This approach provides a possibility to decrease the time needed for solving the dynamic meteorology problem, but at the same time not to lose in accuracy. The results of theoretical study and testing of the scheme prove its efficiency and expediency of its utilization for dynamic meteorology problem solving.

Key words: mathematical model, convective diffusion equation, finite-difference scheme, efficiency, dynamic meteorology problem.

Размещено на Allbest.ru

...