Основы математического моделирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Моделирование. математические модели

В тех случаях, когда объект исследования труднодоступен или его непосредственное изучение невозможно, экономически невыгодно или по другим причинам применяют метод моделирования, основанный на принципе подобия. Моделирование - изучение объекта-оригинала путем создания его копии-модели, заменяющей оригинал с определенных сторон, интересующих исследователя.

С моделированием тесно связана процедура идеализации, представляющая мысленно сконструированное понятие о таких объектах, процессах и явлениях, существующих в образах. Идеальные объекты, в отличие от реальных, характеризуются определенным числом свойств. Например, прообразом материальной точки может служить маленькое тело, а ее свойствами являются масса и возможность находиться в пространстве и времени. математический моделирование компьютерный

Модель нужна для того, чтобы понять, как устроен объект, научиться управлять им и прогнозировать последствия воздействия на него. Она может иметь различную природу, однако всегда соответствует объекту в изучаемых свойствах, но может отличаться по ряду других признаков, что делает ее удобной для исследования. Моделью могут служить подопытные животные, макеты строений и машин, выкройки, манекены, чертежи, математические символы. Полное совпадение свойств модели и оригинала недостижимо. Н. Винер шутил по этому поводу, что лучшей моделью кошки будет другая кошка, однако предпочтительнее, чтобы это была та же самая кошка. При выборе модели необходимо учитывать тот факт, что полученные при ее изучении результаты будут перенесены по особым правилам на сам объект.

Все модели, применяемые в познании, делят на два больших класса: материальные (природные объекты) и идеальные (зафиксированные в знаковой форме).

По применяемым моделям различают виды моделирования.

Таблица 1. Виды моделирования

Для применения математического аппарата необходимо построить соответствующие им математические модели - системы математических соотношений, описывающих изучаемый процесс или явление с помощью математических символов. Для их составления используют разнообразные средства: уравнения, таблицы, графы, схемы, геометрические построения, логико-математические высказывания и др. К.А. Рыбников различал следующие их виды [43]:

1) арифметические и алгебраические модели (числовые множества, матрицы, определители, квадратичные формы, группы и т.д. с законами композиции) применяются для исследования числовых множеств, количественных отношений реально существующих объектов; для них характерна высокая степень абстрактности и важно понятие изоморфизма;

2) геометрические модели (точки, прямые, плоскости, фигуры, кривые) выражают пространственные формы объектов и применяются:

- в качестве наглядных образов реально существующих функциональных зависимостей, например, графики функций;

- для интерпретации понятий, например, комплексных чисел в виде точек плоскости;

- в измерительной практике;

- при решении комплексных проблем науки и техники как синтез различных дисциплин, например, дифференциальная геометрия, тригонометрия, топология;

- при построении моделей аксиоматического характера;

3) модели математического анализа (аналитические выражения элементарных функций, дифференциальное, интегральное исчисления), в основе которых лежит понятие переменной величины; с их помощью раскрываются закономерности течения процессов, происходящих в естествознании и описываемых функциями.

4) вероятностно-статистические модели, для которых принимается во внимание элемент случайности, а исходными данными служат результаты опытов - события; посредством вероятностных моделей выясняются закономерности, проявляющиеся при взаимодействии большого числа случайных факторов; статистические модели необходимы при систематизации, обработке и использовании данных;

5) дискретные модели (магические и латинские квадраты, комбинаторный анализ), элементы которых существуют обособленно; с их помощью рассматриваются вопросы существования или несуществования конфигураций, удовлетворяющих условиям задачи, вопросы дискретной оптимизации; применяются при изучении автоматов, схем организаций производственных процессов, транспортных потоков, связи.

При решении поставленной задачи первоначальным становится построение математической модели. Решить ее - значит найти последовательность математических операций или высказываний, приводящих к искомому ответу. Систему правил, задающих последовательность, называют алгоритмом.

Этапы математического моделирования

1. Накопление фактов, обогащающих понимание моделируемого явления: выяснение его состава, связей, запись складывающихся представлений сначала словесная, затем формализованная, т.е. в математических символах.

2. Изучение и анализ полученного математического выражения (формула, уравнение), чертежа, расчетов и формулирование выводов (теоремы, решения), классификация типов задач.

3. Выяснение удовлетворительности сделанных выводов и математического описания. Выделение выводов, подтвержденных фактами, и отбрасывание остальных.

4. Видоизменение математической модели для более полного соответствия данным.

Последний этап выполняется в случае неудовлетворительности выводов. Математические модели приобретают в исследованиях смысл только тогда, когда с их помощью отражается сущность познаваемого объекта. Это главное требование к их выбору и построению.

Для моделирования сложных систем, сопряженного с большими трудностями (наличие множества связей, подверженность влиянию случайных факторов, возможность несопоставимости промежуточных результатов с реальной системой), на основе математического моделирования создан метод компьютерного моделирования. Компьютерные модели используют тогда, когда реальный эксперимент затруднен или невозможен, а вычислительный эксперимент удобен и выгоден. Построение модели основано на абстрагировании от конкретной природы изучаемого объекта-оригинала и состоит из двух этапов:

1) создание качественной модели;

2) создание количественной модели.

Компьютерное моделирование заключается в проведении серии вычислительных экспериментов на компьютере, целью которых является анализ, интерпретация и сопоставление результатов моделирования с реальным поведением изучаемого объекта и, при необходимости, последующее уточнение модели и т.д.

Этапы компьютерного моделирования

1. Постановка задачи, определение объекта моделирования.

2. Разработка концептуальной модели, выявление основных элементов системы и элементарных актов взаимодействия.

3. Формализация, т.е. переход к математической модели.

4. Создание алгоритма и написание программы.

5. Планирование и проведение компьютерных экспериментов.

6. Анализ и интерпретация результатов.

В компьютерном моделировании различают аналитическое и имитационное. При аналитическом изучаются математические (абстрактные) модели реального объекта в виде алгебраических, дифференциальных и других уравнений, а также предусматривающих осуществление однозначной вычислительной процедуры, приводящей к их точному решению.

При имитационном моделировании исследуются математические модели в виде алгоритмов, воспроизводящих функционирование исследуемой системы путем последовательного выполнения большого количества элементарных операций. Имитационная модель - это комплекс машинных программ, описывающих функционирование отдельных блоков системы и правила взаимодействия с ними. Это позволяет верифицировать каждый блок, описывать зависимости более сложного характера, учитывать случайные факторы, проводить многократное экспериментирование с последующим статистическим анализом результатов.

Модели различают также по числу целей (однокритериальные и многокритериальные), по отраслям науки и народного хозяйства, например, оптимизационные для решения экономических задач (распределение ресурсов, транспортные перевозки, рациональный раскрой, сетевое планирование).

Размещено на Allbest.ru