Виды производственных функций
Основные факторы производства. Экономическое содержание производственной функции, характеристика ее свойств. Эластичность замещения факторов. Эластичность производственной функции и отдача от масштаба. Виды линейно-однородных производственных функций.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 12.01.2016 |
| Размер файла | 671,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Оглавление
- Введение
- Глава I. Производственные функции, основные понятия и определения
- 1.1 Факторы производства
- 1.2 Производственная функция и её экономическое содержание
- 1.3 Эластичность замещения факторов
- 1.4 Эластичность производственной функции и отдача от масштаба
- 1.5 Свойства производственной функции
- Глава II. Виды производственных функций
- 2.1 Определение линейно-однородных производственных функций
- 2.2 Виды линейно-однородных производственных функций
- 2.3 Другие виды производственных функций
- Заключение
- Список используемой литературы
- Приложение
Введение
В условиях современности люди не могут потреблять только то, что они сами производят. Для наиболее полного удовлетворения своих потребностей они вынуждены меняться тем, что они производят. Без постоянного производства благ не было бы потребления. Поэтому огромный интерес представляет анализ закономерностей, действующих в процессе производства благ, которые строят в дальнейшем их предложение на рынке.
Производственный процесс - это основное и первоначальное понятие экономики. Что же понимается под производством?
Каждый знает, что производство благ и услуг на пустом месте невозможно. Для того, чтобы произвести мебель, продукты питания, одежду и другие товары, необходимо иметь соответствующие расходуемые материалы, оборудование, помещение, землю, специалистов, которые организуют производство. Все, необходимое для организации процесса производства называют факторами производства. Традиционно к факторам производства относят капитал, труд, землю и предпринимательство.
Для организации производственного процесса необходимые факторы производства должны присутствовать в определенном количестве. Зависимость максимального объема производимого продукта от затрат используемых факторов называется производственной функцией.
производственная функция линейная однородная
Глава I. Производственные функции, основные понятия и определения
1.1 Факторы производства
Материальная основа обычной экономики образуется из производства. От того, в каком количестве в стране развито производство зависит в общем экономика этой страны.
В свою очередь, источниками любого производства являются ресурсы, которыми располагает то или иное общество. "Ресурсы - наличие средств труда, предметов труда, денег, товаров или людей для использования в настоящее время или в будущем".
Таким образом, факторы производства, - это совокупность тех природных, материальных, социальных и духовных сил (ресурсов), которые могут быть использованы в процессе создания товаров, услуг и иных ценностей. Другим словами, факторы производства - это то, что оказывает определённое влияние на само производство.
В экономической теории ресурсы принято разделять на три группы:
1. Труд - совокупность физических и умственных способностей человека, которые могут использоваться в процессе изготовления товара или оказания услуги.
2. Капитал (физический) - здания, сооружения, станки, оборудование, транспортное оборудование, необходимые для производства.
3. Природные ресурсы - земля и её недра, водоёмы, леса и т.д. Всё то, что можно использовать в производстве в чистом, необработанном виде.
Именно наличие или отсутствие в стране факторов производства обуславливает её экономическое развитие. Факторы производства, в какой-то степени, являются потенциалом экономического роста. От того, как эти факторы используются, зависит общее положение дел в экономике государства.
В дальнейшем, расцвет теории "трёх факторов" привело к более широкому определению факторов производства. В нынешнее время к ним относятся:
1. труд;
2. земля (природные ресурсы);
3. капитал;
4. предпринимательская способность;
5. научно-технический прогресс.
Следует отметить, что все эти факторы тесно взаимосвязаны между собой, к примеру, производительность труда резко повысится при использовании результатов научно-технического прогресса.
Таким образом, факторы производства, - это факторы, которые оказывают особое воздействие на сам процесс производства. Так, например, увеличив капитал путем приобретения нового производственного оборудования, можно увеличить объёмы производства и увеличить выручку от реализации продукции.
Необходимо изучить подробнее действующие факторы производства.
Труд есть целесообразная деятельность человека, с помощью которой он преобразует природу и приспосабливает ее для удовлетворения своих нужд. В экономической теории под трудом как фактором производства подразумеваются любые умственные и физические усилия, развиваемые людьми в процессе хозяйственной деятельности.
Говоря о труде нужно остановится на таких понятиях, как производительность труда и интенсивность труда. Интенсивность труда характеризует напряженность труда, которая определяется степенью траты физической и умственной энергии в единицу времени. Интенсивность труда повышается при ускорении работы конвейера, повышении количества одновременно обслуживаемого оборудования, понижении потерь рабочего времени. Производительность труда показывает, какое количество продукции производится на единицу времени.
Капитал как фактор производства отождествляется со средствами производства. Капитал состоит из благ длительного пользования, созданных экономической системой для производства других товаров. Другой взгляд на капитал связан с его денежной формой. Капитал, когда он воплощен в еще не инвестированных финансах называется суммой денег. Во всех этих терминах есть одна общая идея, а именно капитал характеризуется способностью приносить доход.
Существует физический или основной, оборотный и человеческий капитал. Физический капитал - это материализованный в зданиях, станках и оборудовании капитал, действующий в процессе производства несколько лет. Другой вид капитала, включающий сырье, материалы, энергетические ресурсы, расходуется за один производственный цикл. Он носит название оборотного капитала. Деньги, затраченные на оборотный капитал, полностью возвращаются к предпринимателю после реализации продукции. Затраты на основной капитал не могут быть возмещены так быстро. Человеческий капитал возникает как следствие образования, профессиональной подготовки и поддержания физического здоровья.
Предпринимательская способность - особый фактор производства, при помощи которого собираются другие факторы производства в эффективную комбинацию.
Научно-технический прогресс является основным двигателем экономического роста. Он охватывает целый ряд явлений, характеризующих совершенствование процесса производства. Научно-технический прогресс состоит из совершенствований технологий, новых методов и форм управления и организаций производства. Научно-технический прогресс дает возможность по-новому комбинировать данные ресурсы с целью повышения конечного выпуска продукции. При этом, как правило, возникают новые, более нужные отрасли. Рост эффективности труда является основным фактором производства.
Но необходимо знать, что не бывает прямой зависимости между факторами производства и объёмом выпускаемой продукции. Например, принимая на работу новых работников, компания создаёт предпосылки для выпуска дополнительного объёма продукции. Но в то же время, каждый привлечённый новый работник повышает для предприятия затраты по оплате труда. Кроме этого, нет гарантии, что выпущенная дополнительно продукция будет принята покупателем, и что предприятие получит доход от реализации этой продукции.
Таким образом, говорится о зависимости между факторами производства и количеством продукции. Нужно понимать, что данная зависимость определяется интеллектуальным сочетанием этих факторов с учётом имеющегося спроса на выпускаемую продукцию.
Одну из главных ролей в понимании проблемы сочетания факторов производства играет такая теория предельной полезности и предельных издержек, суть которой заключается в том, что каждая дополнительная единица одинакового блага приносит все меньшую пользу потребителю, и требует увеличения затрат от производителя. Современная теория производства опирается на концепцию убывающей отдачи или предельного продукта и полагает, что все факторы производства взаимозависимо участвуют в создании продукта.
Основной задачей любой компании является максимизация прибыли. Один из способов достижения этого - разумное сочетание факторов производства. Вопрос заключается в том, сколько и каких факторов производства необходимо использовать для получения максимально возможной прибыли.
Именно этот вопрос и является одной из проблем, решаемой математической экономикой, а способ ого решения - выявление математической зависимости между используемыми факторами производства и объемом выпуска продукции, то есть, в создании производственной функции.
1.2 Производственная функция и её экономическое содержание
Функция - это зависимость одной переменной от другой (других) переменной, выраженная следующим образом:
y= f (x),
где х - независимая переменная, а y - зависимая от x функция.
Изменение переменной x ведёт к изменению функции y.
Функция двух переменных выражается зависимостью: z = f (x,y). Трёх переменных: Q = f (x,y,z), и так далее.
Например, площадь круга: S (r) =р r 2 - есть функция его радиуса, и чем больше радиус, тем больше площадь круга.
Получается, что производственная функция - это математическая зависимость между максимальным объемом выпуска продукции в единицу времени и комбинацией факторов, его создающих, при имеющемся уровне знаний и технологий. При этом, основная задача математической экономики с практической точки зрения состоит в выявлении этой зависимости, то есть, в установки производственной функции для конкретной отрасли или конкретного предприятия.
В теории производства обычно используют двухфакторную производственную функцию, которая в частности записывается следующим образом:
Q = f (K, L), (1.1)
|
Величина |
Значение |
|
|
Q |
объем производства |
|
|
К |
капитал |
|
|
L |
труд |
При этом такие факторы, как технический прогресс и предпринимательская способность остаются неизменными в относительно малом промежутке времени и не изменяющим объём выпуска продукции, а фактор "земля" рассматривается вместе с "капиталом".
Производственная функция показывает взаимосвязь выпуска продукции Q с факторами производства: капиталом K, трудом L. Производственная функция описывает множество технически эффективных способов производства заданного объема продукции. Техническая эффективность производства характеризуется использованием наименьшего количества ресурсов при данном объеме производства. Например, способ производства считается более актуальным, если он предполагает содержание хотя бы одного ресурса в меньшем, а всех остальных не в большем количестве, чем другие способы. Если же один способ предполагает использование одних ресурсов в большем, и других в малом количестве, чем другой способ, тогда эти способы не равны по технической эффективности. В этом случае оба способа рассматриваются как технически актуальные, а для их сравнения используют экономическую эффективность. Более экономически эффективным методом производства данного объема продукции считается тот, при котором затраты на использование ресурсов минимальны.
Графически все способы можно представить точкой, координаты которой характеризуют минимальное количество ресурсов L и K, а производственную функцию - линией равного выпуска, или изоквантой. Каждая изокванта представляет множество технически эффективных способов производства данного объема продукции. Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем выпуска она предоставляет. На рисунке 1.1 приведены три изокванты, соответствующие выпуску 100, 200 и 300 единиц продукции, так что можно сказать, что для выпуска 200 единиц продукции необходимо взять либо K1 единиц капитала и L1 единиц труда, либо K2 единиц капитала и L2 единиц труда, или же какую-то их комбинацию, предоставленную изоквантой Q2 =200.
K
K1 A
Q3 =300
K2 B
Q2 =200
Q1 =100
0 L1 L2 L
Рисунок 1.1 Изокванты, представляющие разные уровни выпуска
Изокванта - кривая, представляющая собой всевозможные сочетания двух издержек, обеспечивающих заданный постоянный объем производства (на рисунке 1.1 представлена сплошной линией).
Изокоста - линия, образованная множеством точек, показывающих какое количество сочетающихся факторов производства или ресурсов можно приобрести при имеющихся денежных средствах (на рисунке 1.1 представлена пунктирной линией - касательная к изокванте в точке сочетания ресурсов).
Точка касания изокванты и изокосты - это оригинальное сочетание факторов для конкретного предприятия. Точку касания можно вычислить путём решения системы двух уравнений, выражающих изокванту и изокосту.
Основными свойствами производственной функции являются:
1. Непрерывность функции, то есть, её график представляет сплошную, нескончаемую линию;
2. Производство не возможно при отсутствии хотя бы одного из факторов;
3. Повышение затрат любого из факторов при неизменных количествах другого приводит к увеличению выпуска продукции;
4. Можно сохранить выпуск продукции на постоянном уровне, заменяя некоторое количество одного фактора дополнительным использованием его же. То есть, занижение использования труда можно заменить дополнительным использованием капитала.
1.3 Эластичность замещения факторов
На основании вышенаписанного можно сделать вывод о том, что основной проблемой производственной функции является проблема правильной комбинации факторов производства, при которой уровень выпуска продукции будет оптимальный, то есть, приносящий наибольшую прибыль. В целях поиска оптимальной комбинации, необходимо решить эту задачу: На какую величину надо увеличить затраты одного фактора при снижении затрат другого на единицу. Вопрос соотношения затрат замещающих друг друга факторов производства решается при помощи введения такого понятия, как эластичность замещения факторов производства.
Эластичность замещения - это соотношение затрат заменяющих друг друга факторов производства при неизменном объёме выпуска продукции. Это такой коэффициент, который показывает степень эффективности замещения одного фактора производства другим.
Мерой взаимозаменяемости факторов производства служит предельная норма технического замещения MRTS, которая указывает, на сколько единиц можно занизить один из факторов при завышении другого фактора на единицу, сохраняя выпуск неизменяемым.
Предельную норму технического замещения показывает наклон изоквант. Более крутой наклон изокванты говорит о том что, при увеличении количества труда на единицу, нужно будет убрать от несколько единиц капитала для сохранения данного уровня производства. MRTS харакатеризуется формулой:
MRTSL, K =-DK/DL
|
Величина |
Значение |
|
|
MRTSL,K |
Предельная норма технического замещения факторов |
|
|
DK |
Изменение фактора K (Капитал) |
|
|
DL |
Изменение фактора L (труд) |
Изокванты могут иметь различную конфигурацию.
Линейная изокванты на рисунке 1.2 (а) предполагает совершенную замещаемость производственных ресурсов, то есть, данный выпуск может быть получен с помощью либо только труда, либо только капитала, либо с помощью комбо этих ресурсов.
Изокванта, представленная на рисунке 1.2 (б) характерна для случая жесткой дополняемости ресурсов. В этом случае известен лишь один технически эффективный способ производства. Такую изокванту иногда называют изоквантой леонтьевского типа. На рисунке 1.2 (в) показана ломаная изокванта, показывающая наличие нескольких методов производства (P). При этом предельная норма технического замещения при передвижении вдоль изокванты сверху вниз убывает. Изокванта подобной конфигурации используется в линейном программировании - методе экономического анализа. Ломаная изокванта точно представляет производственные функции современных производств. А вот на рисунке 1.2 (г) показана изокванта, полагающая возможность непрерывной, но не совершенной замещаемости ресурсов.
K а) KQ2
б)Q1
Q1 Q2
0 L 0 L
K P1
в) K
г)
P2 Q2
Q2 Q1
Q1 P3
P4
0 L 0 L
Рисунок 1.2 Возможные конфигурации изоквант.
1.4 Эластичность производственной функции и отдача от масштаба
Предельный продукт некоторого ресурса характеризует абсолютное изменение выпуска продукта, идущего на единицу изменения расхода данного ресурса, причем измены предполагаются малыми. Для производственной функции предельный продукт i - того ресурса будет частной производной:
.
Влияние относительного изменения расхода i-того фактора на выпуск продукта, представленное также в относительной форме, показывается частной эластичностью выпуска по затратам этого продукта:
Для легкости понимания будем обозначать
.
Частная эластичность производственной функции равна отношению предельного продукта данного ресурса к его среднему продукту.
Рассмотрим обычный случай, когда эластичность производственной функции по некоторому аргументу - это постоянная величина.
Если по отношению к исходным значениям аргументов x1, x2,…,xn один из аргументов (i - тый) изменяется в один раз, а остальные станутся на прежних уровнях, то изменение выпуска продукта описывается степенной функцией: . Полагая I=1, найдем, что A=f (x1,…,xn), и поэтому .
В общем случае, когда эластичность - переменная величина, равенство (1) является приближенным при значениях I, близких к единице, т.е. при I=1+e, и тем более будет точным, чем ближе к нулю.
Пусть теперь затраты всех ресурсов поменялось в I раз. Последовательно применяется только что описанный прием к x1, x2,…,xn, можно убедиться в том, что теперь или
Сумма частных эластичностей некоторой функции по всем ее аргументам получила название полной эластичности функции. Вводя обозначение для полной эластичности производственной функции, мы можем представить полученный результат в виде
Равенство (2) говорит о том, что полная эластичность производственной функции позволяет дать от масштаба числовое выражение. Пусть расход всех ресурсов немного повысится с сохранением всех пропорций (I>1). Если E>1, то выпуск продукции повысится больше, чем в I раз, а если E<1, то меньше, чем в I раз. При E=1 выпуск продукции поменяется в той же самой пропорции, что и затраты всех ресурсов (постоянная отдача).
Выделение короткого и длительного периодов при описании характеристик производства - грубая схематизация. Изменение объемов потребления различных ресурсов - энергии, материалов, рабочей силы, станков, зданий и т.д. - требует различного времени. Допустим, что ресурсы перенумерованы в порядке убывания подвижности: быстрее всего можно изменить x1, а затем x2 и т.д., а для изменение xn требуется много времени. Можно выделить сверхмалый, или нулевой период, когда не может меняться ни один фактор; 1-й период, когда изменяется только x1; 2-й период, допускающий изменение x1 и x2 и т.д.; наконец, длительный, или n-й период, в течении которого могут измениться объемы всех ресурсов. Различных периодов, таким образом, оказывается n+1.
Рассматривая некоторый промежуточный по величине, k-й период, мы можем говорить о соответствующей этому периоду отдачи от масштаба, имея в виду пропорциональное изменение объемов тех ресурсов, которые в этом периоде могут изменяться, т.е. x1, x2,…, xk. Объемы xk +1, xn, при этом сохраняют фиксированные значения. Соответствующий этому показатель отдачи от масштаба равен e1 +e2 +…+ek.
Увеличивая период, мы добавляем к этой сумме еще и слагаемые, пока не дадутся значения E для длительного периода.
Поскольку производственная функция возрастает по каждому аргументу, все частные эластичности e1положительны. Отсюда следует, что чем продолжительнее период, тем больше отдача от масштаба.
1.5 Свойства производственной функции
Для каждого вида производства может быть построена своя производственная функция, тем не менее каждая из них будет обладать следующими фундаментальными свойствами:
1. Существует предел роста объема производства, который достигается посредством увеличения использования одного ресурса при прочих равных параметрах. Примером может служить невозможность увеличения объема производства (при достижении конкретного его значения) на определенном предприятии за счет привлечения новых работников при заданных основных фондах. Можно достичь такой точки, когда каждый отдельный работник не будет обеспечен средствами труда для работы, рабочим местом, его присутствие явится помехой другим занятым, и прирост производства от найма этого предельного работника будет приближаться к нулю или даже станет отрицательным.
Есть определенная взаимная дополняемость (комплементарность) факторов производства, но без сокращения объема производства возможна и определенная взаимная их заменяемость. Например, для получения данного урожая определенный размер посевной площади может быть обработан большим числом рабочих вручную, без применения удобрений и современных средств производства. На этом же участке для производства необходимого количества урожая может трудиться несколько работников, использующих сложные машины и разнообразные удобрения. Следует отметить, что при условии взаимодополнения ни один из традиционных ресурсов (земля, труд, капитал) не может быть полностью вытеснен другими (не будет взаимодополнения). Механизм же взаимозамещения действует на противоположной посылке: некоторый вид ресурса может быть замещен другим. Взаимодополнение и взаимозамещение имеют противоположную направленность. Если взаимодополнение требует обязательного наличия всех ресурсов, то взаимозамещение в своей крайней форме может привести к полному исключению некоторого из них.
Анализ производственной функции предполагает необходимость разграничения краткосрочного и долгосрочного периодов времени. В первом случае имеется в виду такой временной интервал, в течение которого объем производства может регулироваться только при помощи изменения количества используемых переменных факторов, в то время как постоянные затраты остаются неизменными. Факторы производства, затраты которых неизменны в краткосрочном периоде времени, называются постоянными.
Соответственно факторы производства, размер которых изменяется в краткосрочном периоде - переменные. Долгосрочный период времени рассматривается как интервал, который достаточен для того, чтобы предприятие могло изменить затраты всех факторов производства. Это означает, что в данном случае не существует пределов для роста объема производства и все факторы становятся переменными. В наиболее общем виде различия краткосрочного и долгосрочного интервалов могут быть сведены к следующему.
Во-первых, это касается условий хозяйствования. В краткосрочном периоде значительное расширение объема производства невозможно, ограничивается имеющимися производственными мощностями фирмы. В длительном периоде фирма имеет больше свободы в отношении увеличения объемов выпуска, поскольку все факторы производства становятся переменными.
Во-вторых, необходимо учитывать специфику издержек производства. Краткосрочный период характеризуется наличием как постоянных, так и переменных издержек производства, в долгосрочном периоде все издержки становятся постоянными.
В-третьих, краткосрочный период предполагает постоянство фирм, работающих в данной отрасли. В долгосрочном периоде имеется реальная возможность выхода или вступления в отрасль новых конкурентов.
В-четвертых, следует определить возможности извлечения экономической прибыли в рассматриваемые периоды. В условиях долгосрочного периода экономическая прибыль равна нулю. В краткосрочном периоде экономическая прибыль может быть как положительной, так и отрицательной.
ПФ удовлетворяет следующему ряду свойств:
1) без ресурсов нет выпуска, т.е. f (0,0,a) =0;
2) при отсутствии хотя бы одного из ресурсов нет выпуска, т.е. ;
3) с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска растет;
4) с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса объем выпуска растет, т.е. если x>0, то ;
5) с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не растет (закон убывающей эффективности), т.е. если то ;
6) при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает, т.е. если x>0, то ;
7) ПФ является однородной функцией, т.е. ; при р>1 имеем рост эффективности производства от роста масштаба производства; при р<1 имеем падение эффективности производства от роста масштаба производства; при р=1 имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба.
Глава II. Виды производственных функций
2.1 Определение линейно-однородных производственных функций
Производственная функция может быть записана в самых различных алгебраических формах. Как правило, экономисты работают с линейно однородными производственными функциями.
Производственная функция называется однородной степени n, если при умножении ресурсов на некоторое число k полученный объем производства будет в kn раз отличаться от первоначального. Условия однородности производственной функции записывается следующим образом:
Q = f (kL, kK) = knQ
|
Величина |
Значение |
|
|
Q |
Объём производства продукции |
|
|
k |
Некоторое произвольное число |
|
|
n |
Степень однородности функции |
|
|
при n=1 |
функция линейно однородна |
|
|
при n>1 |
возрастающая отдача |
|
|
при n<1 |
убывающая отдача |
Например, в день затрачивается 9 часов труда (L) и 9 часов работы машин (К). Пусть при данном сочетании факторов L и Kфирма может производить в день продукции на сумму 200 тыс. рублей. В этом случае производственная функция Q = F (L,K) будет представлена следующим равенством:
Q = F (9;9) = 200 000,
где F - определённого вида алгебраическая формула, в которую подставляются значения L и T.
Допустим, фирма принимает решение увеличить работу капитала и применение труда в два раза, что приводит к росту объёма выпускаемой продукции до 600 тыс. рублей. Получаем, что умножение факторов производства на 2 приводит к увеличению объёма производства в 3 раза, то есть, используя условия однородности производственной функции:
Q = f (kL, kK) = knQ,
получаем:
Q = f (2L, 2K) = 2Ч1,5ЧQ,
то есть, в данном случае мы имеем дело с однородной производственной функцией степени 1,5.
Показатель степени n называется степенью однородности.
Если n = 1, то говорят, что функция однородна первой степени или линейно однородна. Линейно однородная производственная функция представляет интерес тем, что для нее характерна постоянная отдача, то есть, при увеличении факторов производства объём выпускаемой продукции постоянно увеличивается в одинаковой мере.
Если n>1, то производственная функция демонстрирует возрастающую отдачу, то есть, рост факторов производства ведёт к ещё большему росту объёма производства (например: увеличение факторов в два раза ведёт к увеличению объёма в 2 раза; в 3 раза - к увеличению в 6 раз; в 4 раза - к увеличению в 12 раз и т.д.) Если n<1, то производственная функция демонстрирует убывающую отдачу, то есть, рост факторов производства ведёт к уменьшению отдачи по росту объёмов производства (например: увеличение факторов в 2 раза - ведёт к увеличению объемов в 2 раза; увеличение факторов в 3 раза - к увеличению объёмов в 1,5 раз; увеличение факторов в 4 раза - к увеличению объёмов в 1,2 раза и т.д.).
2.2 Виды линейно-однородных производственных функций
Примерами линейно однородных производственных функций являются производственная функция Кобба-Дугласа и производственная функция с постоянной эластичностью замещения.
Впервые производственная функция была рассчитана в 1920-е годы для обрабатывающей промышленности США экономистами Коббом и Дугласом. Исследования Пола Дугласа в сфере обрабатывающей промышленности США и последующая их обработка Чарльзом Коббом привели к появлению математического выражения, описывающего влияние применения труда и капитала на выработку продукции в обрабатывающей отрасли, в виде равенства:
Ln (Q) = Ln (1,01) + 0,73ЧLn (L) + 0.27ЧLn (K)
В общем виде производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:
Q = AKб Lв н
или:
lnQ = lnA + б lnK + вlnL + lnн
|
Величина |
Значение |
|
|
Q |
Объём производства продукции |
|
|
ln |
Натуральный логарифм (с основанием e) |
|
|
б, в |
Степенные коэффициенты: б + в = n (степень однородности функции) |
Если б+в<1, то наблюдается убывающая отдача от масштабов использования факторов производства (рис.1.2 в). Если б+в=1, то существует постоянная отдача от масштабов использования факторов производства (рис.1.2 а). Если б+в>1, то наблюдается возрастающая отдача от масштабов использования факторов производства (рис.1.2 б).
В производственной функции Кобба-Дугласа степенные коэффициенты б и в в сумме выражают степень однородности производственной функции:
б+в=n
Если внимательно посмотреть на функцию Кобба-Дугласа для обрабатывающей промышленности США, рассчитанную в 1920-е годы, то можно ещё раз, уже на конкретном примере отметить, что производственная функция является математическим выражением (через определённую алгебраическую форму) зависимости объёмов производства (Q) от объёмов использования факторов производства (Lи K). Так, придавая конкретные значения переменным L и K можно определить предполагаемые объёмы выпуска продукции (Q) для обрабатывающей промышленности США в 1920-е годы.
Эластичность замещения в производственной функции Кобба-Дугласа всегда равна 1.
Но производственная функция Кобба-Дугласа имела некоторые недостатки. Для преодоления ограничения функции Кобба-Дугласа, которая всегда является однородной в первой степени, в 1961 г. несколькими экономистами (К. Эрроу, Х. Ченери, Б. Минхас и Р. Солоу) была предложена производственная функция с постоянной эластичностью замещения. Это линейно однородная производственная функция с постоянной эластичностью замещения ресурсов. Позже была предложена и производственная функция с переменной эластичностью замещения. Она представляет собой обобщение производственной функции с постоянной эластичностью замещения, допускающее изменение эластичности замещения с изменением отношения между затрачиваемыми ресурсами.
Линейно однородная производственная функция с постоянной эластичностью замещения ресурсов имеет следующий вид:
Q = а [a K-b + (1 - c) L-b] - 1/b,
|
Величина |
Значение |
|
|
Q |
Объём производства продукции |
|
|
K,L |
Факторы производства (капитал, труд) |
|
|
a,b,c |
Константы |
Эластичность замещения факторов для данной производственной функции определяется формулой:
у = 1/ (1+b).
2.3 Другие виды производственных функций
Другим видом производственной функции является линейная производственная функция, которая имеет следующий вид:
Q (L,K) = aL + bK
Данная производственная функция является однородной первой степени, следовательно, она имеет постоянную отдачу от масштабов производства. Графически данная функция представлена на рисунке 1.2, а.
Экономический смысл линейной производственной функции состоит в том, что она описывает такое производство, в котором факторы являются взаимозаменяемыми, то есть, не имеет значения - использовать только труд или только капитал. Но в реальной жизни такая ситуация практически не возможна, так как любая машина все равно обслуживается человеком.
Коэффициенты a и b функции, которые находятся при переменных L и Kпоказывают пропорции, в которых один фактор может быть замещён другим. Например, если a=b=1, то это значит, что 1 час труда может быть заменен 1 часом машинного времени для того, чтобы произвести такой же объём продукции.
Необходимо отметить, что в некоторых видах хозяйственной деятельности труд и капитал вообще не могут заменить друг друга и должны использоваться в фиксированной пропорции: 1 рабочий - 2 станка, 1 автобус - 1 водитель. В этом случае эластичность замещения факторов равна нулю, а технология производства отображается производственной функцией Леонтьева:
Q (L,K) = min{; },
|
Величина |
Значение |
|
|
Q |
Объём производства продукции |
|
|
a,b |
Технологически необходимый расход факторов производства на единицу продукции |
|
|
min{x; y} |
Минимальное значение между переменными x и y |
Если, например, на каждом автобусе дальнего следования должно быть два водителя, то при наличии в автобусном парке 50 автобусов и 90 водителей одновременно могут обслуживаться только 45 маршрутов:
min{90/2; 50/1} = 45.
Заключение
Ресурсы в экономике выступают в качестве факторов производства, к которым относятся:
1. труд;
2. земля (природные ресурсы);
3. капитал;
4. предпринимательская способность;
5. научно-технический прогресс.
Все эти факторы тесно взаимосвязаны между собой.
Производственная функция - это математическая зависимость между максимальным объемом выпуска продукции в единицу времени и комбинацией факторов, его создающих, при имеющемся уровне знаний и технологий. При этом главная задача математической экономики с практической точки зрения состоит в выявлении этой зависимости, то есть, в построении производственной функции для конкретной отрасли или конкретного предприятия.
В теории производства в основном используют двухфакторную производственную функцию, которая в общем виде выглядит так:
Q = f (K, L),
где Q - объем производства; К - капитал; L - труд.
Вопрос соотношения затрат замещающих друг друга факторов производства решается при помощи такого понятия, как эластичность замещения факторов производства.
Эластичность замещения - это соотношение затрат замещающих друг друга факторов производства при неизменном объёме выпуска продукции. Это своего рода коэффициент, который показывает степень эффективности замещения одного фактора производства другим.
Мерой взаимозаменяемости факторов производства служит предельная норма технического замещения MRTS, которая показывает, на сколько единиц можно уменьшить один из факторов при увеличении другого фактора на единицу, сохраняя выпуск неизменным.
Изокванта - кривая, представляющая собой всевозможные сочетания двух издержек, обеспечивающих заданный постоянный объем производства.
Денежные средства как правило ограничены. Линия, образуемая множеством точек, показывающих какое количество сочетающихся факторов производства или ресурсов можно приобрести при имеющихся денежных средствах, называется изокостой. Таким образом, оптимальным сочетанием факторов для конкретного предприятия является общее решение уравнений изокосты и изокванты. Графически - это точка касания линий изокосты и изокванты.
Производственная функция может быть записана в самых различных алгебраических формах. Как правило, экономисты работают с линейно однородными производственными функциями.
В работе также были рассмотрены конкретные примеры решения задач с применением производственных функций, которые позволили сделать вывод о их большой практической значимости в экономической деятельности любого предприятия.
Список используемой литературы
1. Доугерти К. Введение в эконометрику. - М.: Финансы и статистика, 2001.
2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.П. Математические методы в экономике: Учебник. - М.: Изд. "ДИС", 1997.
3. Курс экономической теории: учебник. - Киров: "АСА", 1999.
4. Микроэкономика. Под ред. Проф. Яковлевой Е.Б. - М.: СПб. Поиск, 2002.
5. Салманов О. Математическая экономика. - М.: BHV, 2003.
6. Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике. - М.: Финансы и статистика, 2004.
7. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. - М.: Юнити-Дана, 2000.
8. Большой коммерческий словарь. /Под редакцией Рябовой Т.Ф. - М.: Война и мир, 1996. С.241.
Приложение
Примеры решения задач с использованием производственных функций
Задача 1
Фирма, занимающаяся речными перевозками, использует труд перевозчиков (L) и паромы (K). Производственная функция имеет вид . Цена единицы капитала равна 20, цена единицы труда равна 20. Каков будет наклон изокосты? Какое количество труда и капитала должна привлечь фирма для осуществления 100 перевозок?
Решение
Изокоста задается уравнением:
,
где C - величина общих издержек (некоторая константа). Отсюда:
,
т.е. наклон этой прямой равен - 1.
Оптимальное количество труда и капитала для 100 перевозок определяется как точка касания изокванты и изокосты при некотором C. Решая уравнение изокванты получаем:
v (LЧK) = 100/10 = 10, тогда .
Тогда
.
Так как общие издержки при этом должны быть минимальны, то, минимизируя C по L, найдем количество труда L:
и .
Количество капитала найдем по формуле
.
Ответ: Для осуществления 100 перевозок фирма должна привлечь 10 единиц труда и 10 единиц капитала.
Задача 2
Производственная функция имеет вид , где Y - количество продукции за день,L - часы труда, K - часы работы машин. Предположим, что в день затрачивается 9 часов труда и 9 часов работы машин.
Каково максимальное количество продукции, произведенной за день? Предположим, что фирма удвоила затраты обоих факторов. Определите эффект масштаба производства.
Решение
В условиях задачи в день производится единиц продукции. Если затраты обоих факторов удваиваются, то выпуск становится равным , т.е. тоже удваивается. Тогда и эффект от изменения масштаба производства, определяемый из условия , равен единице.
Задача 3
В краткосрочном периоде производственная функция фирмы имеет вид: , где L - число рабочих. При каком уровне занятости общий выпуск будет максимальным?
Решение
Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти точку максимума функции Y (L). Продифференцируем ее по L и приравняем производную к нулю: . Получаем квадратное уравнение, дискриминант которого , а корни . Поскольку один из корней отрицательный, берем . Количество рабочих - целое число, поэтому, округляя, получаем .
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Основы теории производственных функций, аддитивные и мультипликативные виды. Показатели эффективности использования ресурсов. Комплекснозначная производственная функция ООО "Квант". Анализ производства предприятия с помощью производственных функций.
дипломная работа [1,1 M], добавлен 29.06.2011Определение понятия производной функции. Рассмотрение геометрического смысла производной. Изучение дифференциала функции. Применение производной к исследованию функций. Маржинализм в современной экономической науке. Эластичность спроса и предложения.
контрольная работа [51,5 K], добавлен 02.03.2015Построение и анализ различных моделей производственных функций с целью прогноза уровня валовой стоимости продукции по сельскохозяйственной отрасли Украины с использованием экономических факторов (капитальных затрат и расходов по заработной плате).
курсовая работа [529,8 K], добавлен 09.01.2011Определение производной, геометрический смысл ее понятия и дифференциал функции, применение производной к исследованию функций. Экономическое содержание понятия производной, предельные величины, эластичность спроса и предложения в экономической теории.
реферат [116,7 K], добавлен 10.02.2010Построение графика функций среднего и предельного продукта. Расчет предельных норм замещения и эластичности производства. Нахождение путей сокращения сроков проведения работ. Методы оптимизации заказа запасов. Оценка доходности потребительского кредита.
контрольная работа [225,7 K], добавлен 08.09.2010Понятие полезности: общая и предельная полезность. Понятие производственной функции. Применение математических функций. Теория принятия решений. Понятия функции потребления, спроса и предложения. Обобщенные формы зависимости между доходами и спросом.
курсовая работа [345,3 K], добавлен 14.10.2014Задача на нахождение коэффициента эластичности. Точечный прогноз для любой точки из области прогноза. Нахождение производной заданной функции. Эконометрический анализ линейной зависимости показателя от двух факторов. Эластичность в точке прогноза.
контрольная работа [91,1 K], добавлен 30.07.2010Понятие и сущность производственной функции и изокванты. Классификация товаров на основе прямой и перекрестной эластичности. Характеристика моделей и задач оптимального управления запасами предприятия. Анализ соотношения между доверительными интервалами.
контрольная работа [1,0 M], добавлен 23.11.2010Составление планового межотраслевого баланса. Определение равновесных цен в предположении по каждой отрасли. Нахождение обратной матрицы Леонтьева. ПО данным экономического развития США расчет значения ВНП и эластичности производственной функции.
контрольная работа [205,7 K], добавлен 28.02.2010Основные свойства и виды функций. Общая схема исследования функций, признак возрастания и убывания. Применение функций при рассмотрении зависимостей экономических величин от различных факторов. Пример построения графика спроса и предложения на мороженое.
реферат [358,6 K], добавлен 10.04.2011Определение линейности функции по параметрам и переменным. Модели зависимости удельных постоянных расходов от объема выпускаемой продукции. Определение коэффициентов эластичности. Уравнение множественной регрессии. Стандартные коэффициенты регрессии.
контрольная работа [67,9 K], добавлен 07.10.2013Знакомство с основными видами кривых безразличия и функций предложения. Общая характеристика производственной функции Кобба-Дугласа. Рассмотрение особенностей моделирования покупательского спроса и поведения производителя. Рассмотрение модели Стоуна.
презентация [1,3 M], добавлен 31.10.2016Описание экономико-математического моделирования при оценке производственных операций. Изучение особенностей работы с имитационной моделью производственной системы. Снижение затрат и повышение доходности путем разработки производственного расписания.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 26.03.2015Параметры уравнений линейной парной регрессии. Показатели корреляции и детерминации. Изменение средней заработной платы и выплат социального характера. Средняя ошибка аппроксимации. Коэффициент эластичности и стоимость активных производственных фондов.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 23.06.2011Статистический анализ по выборке. Проведение регрессионного анализа исходных данных и выбор аналитической формы записи производственной функции. Выполнение экономического анализа в выбранной регрессионной модели на основе коэффициентов эластичности.
курсовая работа [2,2 M], добавлен 22.07.2015Модели зависимости спроса от дохода (кривые Энгеля). Эластичность спроса по доходу. Модели производственных затрат и прибыли предприятия, точка безубыточности. Оптимизационные задачи с линейной зависимостью между переменными. Модель мультипликатора.
презентация [592,2 K], добавлен 07.08.2013Методы и модели анализа динамики экономических процессов. Эластичность в экономическом анализе. Коэффициент корреляции, его свойства. Динамические ряды и временные ряды, тренд, их компоненты. Решение задачи потребительского выбора и его свойства.
курс лекций [399,8 K], добавлен 15.06.2015Типы, виды, классы математических моделей применяемых в землеустройстве. Определение параметров производственных функций. Множественная линейная модель. Исследование параметров уравнения регрессии на статистическую значимость. Построение изоквант.
курсовая работа [161,7 K], добавлен 08.04.2013Основные проблемы эконометрического моделирования. Показатели, характеризующие степень разброса случайной величины вокруг ее среднего значения. Физический смысл коэффициента детерминации. Расчет функции эластичности в линейной эконометрической модели.
контрольная работа [18,1 K], добавлен 23.11.2009Определение формы связи между связи между факторным признаком (производственными затратами) и результативным (окупаемостью затрат). Расчет коэффициентов регрессии, корреляции, детерминации, эластичности, доверительного интервала прогноза окупаемости.
курсовая работа [67,0 K], добавлен 10.12.2013
