Основы математического моделирования объекта управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теория управления



Содержание

Основные понятия

Принципы управления

Постановка задачи

Основа математического обеспечения для решения задач конструирования систем управления

Виды операторов

Решение линейных стационарных дифференциальных уравнений. Прямое и обратное преобразования Лапласа

Равенство Парсеваля

Алгоритм решения дифференциального уравнения с использованием преобразования Лапласа

Пример решения 1

Пример решения 2

Переходной процесс и его оценки

Пример

Импульсная переходная функция

Дельта-функция и ее свойства

Связь между импульсной переходной функцией и переходным процессом

Алгебра передаточных функций. Последовательное соединение

Параллельное соединение

Цепь с обратной связью

Свойства линейных систем

Принцип гомогенности

Принцип суперпозиции

Принцип наложения

Система управления одномерным объектом

Алгоритмы конструирования множества УУ

Возможные структуры управляющего устройства

Критерии оценки качества системы и управляющего устройства

Критерий Гурвица

Критерий Льенара-Шипара

Частотные критерии устойчивости

Амплитудно-фазовая характеристика

Свойства частотной характеристики

Принцип аргумента

Критерий Михайлова

Критерий Найквиста

Частотные критерии качества

Интегральная квадратичная оценка качества

Желаемые и действительные передаточные функции

Фильтр Баттерворта (желаемая передаточная функция)

Критерии близости действительных передаточных функций к желаемым

Интегральная полулогарифмическая функция чувствительности

Алгоритм определения функций чувствительности

Формулы для численной оценки интегральных функций чувствительности. Способ 1

Способ 2

Свойство оценки интегральной функции чувствительности

Оценка сложности УУ на элементах дискретной техники

Математические модели ограничений

Математические модели ограничений на реализуемость

Ограничения, которым должна удовлетворять математическая модель реального объекта

Ограничения, которым должна удовлетворять математическая модель УУ

Соотношения, обеспечивающие реализуемость УУ. I случай

II случай

Математическая модель ограничения на реализуемость в изопериметрической форме

Ограничения на реализуемость как мера качества системы управления

Корректность задачи

Математическая модель ограничений на астатизм в системе

Теорема Вейерштрасса

Математическая модель

Математическая модель ограничения на астатизм в изопериметрической форме

Ограничения на астатизм как мера качества системы управления

Интегральный квадратичный критерий оценки качества системы

Решение оптимизационной задачи

Алгоритм решения уравнения Винера-Хопфа. Факторизация

Сепарация

Пример решения

Индикатор совместимости исходных данных в уравнении Винера-Хопфа

Минимальное значение функционала

Математическая модель ограничения на компенсацию нулей и полюсов .

Примеры решения оптимизационной задачи. Алгоритм решения

Пример 1

Пример 2



Основные понятия

Совокупность взаимосвязанных функциональных элементов, образуют систему управления.

Система должна быть способной реализовывать поставленные цели.

В теории управления функциональный элемент рассматривается как преобразователь входа в переменную выхода.

Под управлением понимается совокупность операций по организации некоего процесса для достижения определённых целей.

Под термином операция в системе управления понимается получение информации, ее обработка с целью получения решения, обеспечивающего достижение поставленных целей.

Если все операции осуществимы без участия человека с использованием только функциональных элементов, тол оно (управление) называется автоматическим.

Обычно целью управления является изменение во времени по определенному закону выхода объекта управления.

Принципы управления

Принцип разомкнутого управления:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Принцип компенсации возмущения:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Принцип обратной связи:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Постановка задачи

По математическим моделям объекта управления и окружающей среды, критерию, оценивающему качество работы системы, сконструировать математическую модель управления устройством, такую чтобы эта мат. Модель могла бы быть реализована на какой-нибудь элементарной базе.

Основа математического обеспечения для решения задач конструирования систем управления

Под оператором в математике понимается правило, с помощью которого элемент одного функционального множества сопоставляется с элементами другого множества.

В теории управления под операторами понимаются правила, которые сопоставляют элементы одного функционального пространства элементам другого функционального пространства.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Виды операторов

Безынерционные - y(t) зависит от x(t) в тот же момент времени.

Инерционные - y(t) в каждый момент времени зависит от x(t) в тот же и предшествующие моменты времени.

- Линейное стационарное дифференциальное уравнение (линейные комбинации входа и выхода равны).

Если и , то такое уравнение - линейное не стационарное дифференциальное уравнение

Решение линейных стационарных дифференциальных уравнений. Прямое и обратное преобразования Лапласа

- оператор преобразования Лапласа. Из линейного дифференциального уравнения получает алгебраическое уравнение.

-прямое преобразование Лапласа

Условия, накладываемые на функцию :

Функция должна быть тождественно равна нулю, в любой отрицательный момент времени:

Интеграл должен сходиться:

- обратное преобразование Лапласа.

-обратное преобразование Лапласа

f(t)	F(s)	f(t)	F(s)

Равенство Парсеваля

Условия применения - интегралы функций должны сходиться:

Предельные соотношения:

Алгоритм решения дифференциального уравнения с использованием преобразования Лапласа

Корни характеристического полинома называются полюсами. Корни числителя называются нулями.

Передаточная функция системы есть отношение изображения выхода системы к изображению входа при нулевых начальных условиях.

Предположим, что

Тогда

Если при ограниченном входе системы имеет ограниченный выход, то такая система обладает свойством устойчивости.

Система устойчива, если все полюсы лежат в левой полуплоскости. Если хотя бы один полюс лежит в правой полуплоскости, система будет неустойчивой.

Это объясняется видом функции - все полюса характеристического полинома находятся в степени экспоненты. Если хотя бы один из них имеет положительный знак (лежит в правой полуплоскости), то вся функция при будет стремиться к .

Если же все полюсы имеют отрицательный знак (лежат слева), то вся функция будет стремиться к некоторому установившемуся значению .

Пример решения 1

Пример решения 2

Переходной процесс и его оценки

Реакция устойчивой системы на скачкообразное воздействие называется переходным процессом.

Длительность переходного процесса определяется как время от момента приложения скачкообразного воздействия до момента, в котором имеет место равенство:

Коэффициент усиления системы - отношение реакции системы к велечине скачкообразного входа в установившемся режиме, тоесть после времени .

Пусть , тогда:

Тоесть коэффициент усиления системы - передаточная функция системы в нулевой момент времени.

Пример

Реальный воздействия могут описыватся сложными функциями времени. Обычно рассматривают поведение системы при следующих типовых воздействиях: .

Чаще всего прямые оценки качества системы получают из кривой переходного процесса. Предполагается, если эти оценки удовретворительны, то системы будет функционировать удовлетворительно и при других практически любых воздействиях.

Виды переходных процессов:

Монотонный - первая производная не мняет знака.

Апереодический - знак первой производной меняется один раз.

Колебательный - знак первой производной меняется переодически.



Импульсная переходная функция

Импульсная переходная функция - реакция системы на входной сигнал вида дельта-функции.

Выходной сигнал линейной системы может быть получен как свертка его входного сигнала и импульсной характеристики системы:

Для того чтобы система была физически реализуема, ее импульсная переходная функция должна удовлетворять условию: =0 при. В противном случае система нереализуема, так как она нарушала бы причинно-следственную связь: отклик появляется на выходе раньше, чем на вход поступило воздействие.

Предел интегрирования изменяем т.к. при .

Следовательно, передаточная функция - есть прямое преобразование Лапласа от импульсной переходной функции.



Дельта-функция и ее свойства

Дельта-функция имеет смысл только в нуле, в осатльных точках она равна нулю. Поэтому , только когда , т.е. . Тогда можно заменить на и вынесли из под интеграла как константу.

Если мы на вход системы подаем -функцию, то Тогда: математический конструирование управление дифференциальный

Связь между импульсной переходной функцией и переходным процессом

Импульсная переходная функция - есть переходной процесс, от которого взята производная.



Алгебра передаточных функций. Последовательное соединение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Параллельное соединение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Цепь с обратной связью

Размещено на http://www.allbest.ru/

Свойства линейных систем. Принцип гомогенности

Принцип суперпозиции

Реакция системы на линейную комбинацию воздействий:

Реакция системы на каждое воздействие в отдельности:

Система обладает принципом суперпозиций, если реакция системы на линейную комбинацию воздействий равна той же линейной комбинации реакции системы на каждое воздействие в отдельности.



Принцип наложения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реакция на одновременное воздействие:

Реакция на отдельные воздействия:

Сигналы действуют на систему независимо друг от друга.

Система обладает принципом наложения, если реакция системы на приложенное к ней воздействие равна сумме реакций системы на воздействия, приложенные в отдельности.



Система управления одномерным объектом

- регулярная, т.е. не случайная функция.

- случайная составляющая с аддитивно наложенной на нее помехой .

- управляющее воздействие, которое вырабатывает УУ

- регулярная составляющая помехи, которая накладывается на управляющее воздействие; - случайная составляющая.

- помехи измерения.

УУ - двухканальное управляющее устройство, так как имеет два входа и один выход.

Канал - совокупность функциональных элементов, преобразующих и передающих информацию от одномерного входа к одномерному выходу.

- передаточная функция УУ относительно задающего воздействия

- передаточная функция УУ относительно выхода

Сигнал на выходе канала с передаточной функцией вычитается из сигнала на выходе канала с передаточной функцией .

Алгоритмы конструирования множества УУ

Звенья коррекции - функциональные элементы, описываемые дифференциальным уравнением. Имею один вход и один выход. Передаточные функции звеньев коррекции будем обозначать как .

Пусть УУ построено и использованием одного звена коррекции с передаточной функцией , тогда:

Или

При таком конструировании УУ передаточные функции и функционально связанны, т.е. одного звена коррекции недостаточно для реализации УУ с наперед заданными передаточными функциями и .

Увеличим число звеньев до двух:

При таком конструировании УУ передаточные функции и функционально независимы, т.е. можно решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными и найти точные передаточные функции звеньев коррекции и .

Если в УУ существуют звенья коррекции, передаточные функции которых определяются из дополнительных условий, то такие звенья коррекции называются дополнительными и обозначаются .

Таким образом, все множество возможных УУ состоит из трех множеств:

С достаточным числом звеньев коррекции - если число определяемых звеньев совпадает с числом каналов.

С недостаточным числом звеньев коррекции - если число определяемых звеньев меньше числа каналов.

С дополнительным числом звеньев - если присутствуют дополнительные звенья коррекции. Это множество может включать в себя УУ как с достаточным, так и с недостаточным числом звеньев коррекции.

Возможные структуры управляющего устройства

С недостаточным числом звеньев коррекции:

С достаточным числом звеньев коррекции:

С недостаточным числом звеньев коррекции, а также с дополнительным звеном коррекции:

С достаточным числом звеньев коррекции, а также с дополнительным звеном коррекции:

Критерии оценки качества системы и управляющего устройства

Критерий оценки качества - совокупность принимаемых показателей, позволяющих оценить качество системы.

Критерий оценки качества должен удовлетворять ряду требований:

Иметь физический смысл, быть адекватным, сформулированным в ТЗ.

Быть простым - чем больше требований заложено, тем сложнее на элементной базе реализовать полученное оптимальное решение.

Входящие в критерий составляющие не должны быть взаимоисключающими.

Форма критерия должна быть такой, чтобы задачу можно было решить аналитически. Это требование оказывается весьма строгим и является главной причиной, обуславливающей широкой применение на практике лишь незначительного числа критериев.

Различают критерии двух видов:

Основной.

Набор вспомогательных.

Задачу оптимизации в рамках конкретного УУ решают по основному критерию. По полученным оптимальным параметрам определяют величины вспомогательных критериев. Качество системы оценивают по совокупности.

Один из главных критериев - устойчивость системы:

- все корни характеристического многочлена должны быть левыми и не комплексны Алгебраические критерии устойчивости

Критерий Гурвица

Рассмотрим характеристический полином.

Необходимым условием является, чтобы все корни были одного знака.

Алгоритм построения:

По главной диагонали выставляются все коэффициенты характеристического уравнения.

От каждого элемента диагонали влево и вправо достраиваются строки определителя так, чтобы:

Вправо индексы убывают.

Влево индексы увеличиваются.

На место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше ставятся нули.

Для того чтобы система была устойчива (все корни характеристического полинома лежал в левой полуплоскости) необходимо и достаточно, чтобы все дополнительных миноров определителя Гурвица были положительными. Эти миноры называются определителями Гурвица порядка.

Критерий Льенара-Шипара

Условие критерия Гурвица избыточно. Число неравенств можно уменьшить в два раза, используя теорему Льенара-Шипара.

Если все коэффициенты характеристического полинома положительные, то необходимое и достаточное условие устойчивости сводится к положительным определителям Гурвица с чётными или нечётными индексами.



Частотные критерии устойчивости

Пусть объект задан W(s) и он устойчив. На него подаём синусоиду с амплитудой N:

A-четная функция,B-нечетная функция

Если на вход подается синусоидальное воздействие, то в установившемся режиме мы получим синусоиду той же частоты, с другой амплитуды и со сдвигом по фазе.

- частотная передаточная функция (комплексная).

Амплитудно-фазовая характеристика

Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) строится на комплексной плоскости и представляет собой геометрическое место точек концов векторов (годограф) частотной передаточной функции при изменении .

Всякую непрерывную функцию , удовлетворяющую на промежутке условиям Дирихле можно разложить на этом промежутке в сходящийся ряд вида:

Свойства частотной характеристики

Любые физические системы характеризуются полосой пропускания.

Полосой пропускания называется диапазон частот (гармонических колебаний), в которых выход заметно изменяется. Обычно считают возможным пренебречь выходными колебаниями, амплитуда которых меньше 5% входных колебаний.

Частота, для которой АФК имеет максимум, называется резонансной частотой, т.к. при этой частоте гармонические колебания получают наибольшее усиление.

Принцип аргумента

Рассмотрим числитель:

Если нуль левый, то при изменении он повернется на (против часовой стрелки). Если таких корней , то угол поворота составит .

Если нуль правый, то при изменении он повернется на (по часовой стрелке). Если таких корней , то угол поворота составит .

Суммарный угол поворота по часовой стрелке

Рассмотрим знаменатель:

Если полюс левый, то при изменении он повернется на (по часовой стрелке). Если таких корней , то угол поворота составит .

Если полюс правый, то при изменении он повернется на (против часовой стрелки). Если таких корней , то угол поворота составит .

Суммарный угол поворота по часовой стрелке

Суммарный угол поворота по часовой стрелке:

Критерий Михайлова

Если все корни характеристического полинома лежат в левой полуплоскости, то система устойчива.

Для того, чтобы все корни характеристического полинома находились в левой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова повернулся нигде не обращаясь в ноль вокруг точки против часовой стрелки на , где - количество корней.

Годограф Михайлова начинается на вещественной полуоси, всегда имеет плавную спиралевидную форму, причем конец ее уходит в бесконечность в том квадранте комплексной плоскости, номер которого совпадает со степенью характеристического полинома.

Критерий Найквиста

Позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по АФХ разомкнутой системы.

Порядок больше порядка . Составим функцию

Если разомкнутая система неустойчива, т.е. , тогда для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФК разомкнутой системы при изменении повернулось против часовой стрелки вокруг точки на угол .

Если разомкнутая система устойчива, т.е. , то замкнутая система будет также устойчива, если АФК разомкнутой системы не охватывает точку .

Частотные критерии качества

Частотными критериями качества являются запасы устойчивости:

По фазе

По амплитуде

<рисунок>

Интегральная квадратичная оценка качества

Рассмотрим вопрос о том, какие две системы можно считать имеющими близкие характеристики. Для этого запишем соотношения, связывающие выход каждой из этих систем с ее входом:

Системы с импульсными переходными функциями и эквивалентны, если при любых . Системы с импульсными переходными функциями и можно считать близкими по характеристикам, если при любых выполняется соотношение:

Такое соотношение имеет место, если (так как произвольное и одинаковое):

Используя равенство Парсеваля получим критерий близости двух динамических систем. Две динамические системы близки, если близки их импульсные переходные функции или частотные передаточные функции:

Желаемые и действительные передаточные функции

Условия, накладываемые на :

Должна фильтровать полезный сигнал M от помехи N.

Должна быть ближе к .

Система управления должна воспроизводить не само воздействие, а некоторые его составляющие. Например, не само задающее воздействие, а некоторые функции, связанные с регулярной и случайной составляющими:

Желаемые операторы составляющих помех обычно выбираются нулевыми:

Фильтр Баттерворта (желаемая передаточная функция)

Спектр задающего воздействия лежит в области низких частот, тогда как спектр наложенной на него помехи в области высоких частот. Следовательно, хорошая система по своим свойствам близка к идеальному низкочастотному фильтру.

На интервале фаза должна быть равна нулю, после - любой. Квадрат модуля передаточной функции фильтра Баттерворта определяется соотношением:

При амплитудная характеристика этого фильтра стремиться к идеальной амплитудной характеристике низкочастотного фильтра:

При допустимо соотношение:

Формула, определяющая функцию , имеет вид:

1
2
3
4

Критерии близости действительных передаточных функций к желаемым

Под действием передаточной функции понимается функционал с произвольно-заданными оптимальными значениями коэффициентов.

Функционал ставит в соответствие каждой функции из некоторого класса число. Величина числа характеризуется близостью сравниваемых передаточных функций. Если они совпадают, функционал равен нулю.

Входящие в функционал действительные и желаемые передаточные функции находятся в классе устойчивых передаточных функций.

Оценки близости желаемых и действительных передаточных функций имеют вид:

Порядок решения оптимизационной задачи: из минимумов функционалов , , определяются и .

Интегральная полулогарифмическая функция чувствительности

Интегральная полулогарифмическая функция чувствительности характеризует изменение передаточной функции всей системы, в зависимости от относительного изменения передаточной функции ее составной части.

Такое определение подтверждается соотношением:

Где:

- изменение передаточной функции всей системы.

- относительное изменение передаточной функции составной части системы.

Алгоритм определения функций чувствительности

Рассмотрим функции чувствительности системы к изменению динамических характеристик наименее стабильного звена в структуре объекта управления:

Функции чувствительности системы относительно изменения входящих в нее звеньев коррекции зависят от структуры управляющего устройства.



Формулы для численной оценки интегральных функций чувствительности. Способ 1

Оценка интегральной функции чувствительности, где под знаком модуля стоят дробно-рациональные функции, через коэффициенты определяется так:

Чтобы найти коэффициенты необходимо представить выражение в виде произведения:, раскрыть скобки и вычислить необходимые коэффициенты.

- определитель Гурвица.

- определитель, полученный из определителя Гурвица путем замены элементов первого столбца коэффициентами .

Способ 2

Другое соотношение для отыскания через вычеты функции имеет вид:



Где: - полюсы функции , - полюсы функции , - вычет функции в точках и . Величина вычета может быть вычислена по формуле:

Свойство оценки интегральной функции чувствительности

Запишем определитель Гурвица в виде:

Если , то согласно формуле выше интеграл расходиться, так как и полином знаменателя имеет в один нулевой корень.

Где - корни характеристического полинома. Интеграл расходиться, если хотя бы один полюс находиться на мнимой оси.

Расшифровка формулы для :

Оценка сложности УУ на элементах дискретной техники

<пропущено описание дискретной техники>

В теории алгоритмов сложность - понятие, характеризующее количество средств, необходимых для реализации вычислительных функций.

Сложность бывает:

Алгоритмическая - величина, характеризующая размер записи алгоритма на каком-либо алгоритмическом языке.

Вычислительная - оценивается временем работы алгоритма и объемом используемой памяти.

Математические модели ограничений

Требования к математической модели ограничений:

Должна достаточно точно отражать сущность ограничения.

Быть достаточно простой, не усложнять существенно алгоритм решения задачи.

Совокупность ограничений и критериев не должна быть взаимоисключающей.

Форма описания ограничения должна быть такой, чтобы решаемая задача при ограничениях сводилась к классической вариационной задаче.

Замечание по поводу четвертого требования - обычно при оптимизации функционала

Ограничения задаются в виде дополнительных алгебраических уравнений:

Дополнительные условия могут быть представлены в двух видах:

-дифференциальное ограничение

-изопериметрическое ограничение

Ограничения накладываются на те же функции, что входят в функционал. Если это не так, ограничениям необходимо придать соответствующую форму.

Математические модели ограничений на реализуемость

Полосой пропускания называется диапазон частот гармонических колебаний, в которых выход заметно изменился.

Все физические системы характеризуются полосой пропускания. Наличие полосы пропускания связано с инерционными свойствами объектов. При большой частоте входных колебаний выход не успевает, в силу инерционности, начать движение в одном направлении, когда входное воздействие уже начинает движение в обратную сторону. Так что под действием входных колебаний высокой частоты выход практически может не меняться.

Примером нереализуемого устройства может быть дифференциатор.



С увеличением частоты амплитуда выходного сигнала возрастает до бесконечности, что невозможно. Поэтому, такая математическая модель нереализуема.

Ограничения, которым должна удовлетворять математическая модель реального объекта

Линейному дифференциальному уравнению соответствует передаточная функция:

Пусть , тогда:

В модель входят дифференцирующие блоки, реализовать которые невозможно. Также невозможна реализация усилителя с коэффициентом усиления на всем частотном диапазоне.

Получим, что передаточная функция математической модели реального объекта имеет степень числителя ниже степени знаменателя.

Ограничения, которым должна удовлетворять математическая модель УУ

Как правило, полоса пропускания УУ значительно шире, чем у объекта управления. Поэтому, практический интерес представляют модели УУ в полосе пропускания объекта управления.

Рассмотрим УУ с передаточной функцией . Так как УУ должен иметь такую передаточную функцию только в полосе пропускания, а не на всем частотном диапазоне - построение такого УУ допустимо.

Пусть на вход УУ подается воздействие:

Если степень числителя превышает степень знаменателя на единицу, т.е. происходит однократное дифференцирование:

То соотношение сигнал/шум уменьшится в 100 раз. Дальнейшее увеличение превышения степени числителя еще больше уменьшает это соотношение.

Из этого следует, что передаточная функция УУ и звеньев коррекции степень числителя всегда меньше либо равна степени знаменателя.

Соотношения, обеспечивающие реализуемость УУ. I случай

Пусть

Предположим, что m>n, где m и n - степени числителя и знаменателя, соответственно. Запишем условия на реализуемость (а значит и и ):

Тогда n>m:

II случай

Пусть



Тогда для реализуемости (а также ) запишем соотношение:

Пусть и реализуемы. Запишем условия для реализации (а также ):

Математическая модель ограничения на реализуемость в изопериметрической форме

Интегралы сходятся, если:

Степень числителя меньше степени знаменателя.

Все корни знаменателя находятся в левой полуплоскости.

Если интегралы сходятся, то справедливы неравенства:

Следовательно, справедливы следующие соотношения:



То есть из сходимости интегралов следует выполнимость ограничений.

Ограничения на реализуемость как мера качества системы управления

<Пропущено две схемы, стр. 86 учебника>

Согласно второй схеме, а также на основании равенства Парсеваля второе соотношение можно представить в виде:

Рассмотрим второе ограничение:

Правая сторона этих равенств есть не что иное, как ограничения на реализуемость. Тогда значения и интегралов характеризуют качество переходного процесса.

Корректность задачи

Корректность задачи - малым изменения в исходных данных соответствует малое изменение в решении.

Непрерывная зависимость решения от вариаций исходных данных в среднеквадратичной метрике обеспечивается, если передаточная функция удовлетворяет ограничению:

Если ограничение сопоставить с условиями на реализуемость УУ, то решаемые при ограничениях на реализуемость оптимизационные задачи всегда корректны.

Математическая модель ограничений на астатизм в системе

Система наделена астатизмом порядка , если между ее действительным и желаемым входом выполняется соотношение:

При условии, что вход изменяется по закону:

УУ конструируем таким образом, чтобы и как можно раньше совпали.



Теорема Вейерштрасса

Если - функция действительного переменного, непрерывна в конечном замкнутом промежутке, то как бы ни было мало наперед заданное положительно число , можно указать такой полином , чтобы для всех t из рассматриваемого промежутка выполнялось соотношение:

Математическая модель

Система обладает астатизмом порядка , относительно задающего воздействия , если искомая функция удовлетворяет ограничению:

Система обладает астатизмом порядка , относительно помехи , если искомая функция удовлетворяет ограничению:



Где и - дробно-рациональные функции, не имеющие полюсов в начале координат плоскости комплексного переменного.

Математическая модель ограничения на астатизм в изопериметрической форме

Интеграл сходится, если степень числителя меньше степени знаменателя, а полюсы на мнимой оси, в том числе и в начале координат, отсутствуют.

Система обладает астатизмом порядка относительно задающего воздействия , если интеграл сходится:

Система обладает астатизмом порядка , относительно помехи , если интеграл сходится:

Ограничения на астатизм как мера качества системы управления



Если интегралы сходятся при значениях и , то они сходятся и при меньших значениях и .

Выражения представляют собой квадратичные интегральные оценки качества разности желаемого и действительного переходных процессов при подаче на вход операторов и воздействий видов и т.д.

Интегральный квадратичный критерий оценки качества системы

Обобщенный критерий оценки качества работы:

Где - весовые коэффициенты, отражающие важность соответствующих частных показателей.

Первая составляющая функционалов характеризует качество системы в установившемся режиме, относительно случайных воздействий. Все другие составляющие - качество системы в переходном режиме относительно регулярных воздействий.

Чем сложнее функционал, характеризующий качество системы, тем сложнее УУ.

Составим единый обобщенный функционал.

Примем для удобства вычислений.

Решение оптимизационной задачи

Все три функционала сводятся к одному виду:

Задача - имея функционалы вида найти функцию , имеющую полюсы только в левой полуплоскости комплексного переменного, которая обеспечивает минимум функционала .

Допустим, такая функция найдена, обозначим ее :



Если вместо функции в функционал подставить близкую ей функцию , то функционал может только увеличиться:

Раскроем скобки и введем обозначения и :



По теореме Парсеваля и так как - четная функция:

Тогда, с учетом введенных обозначений выражение примет вид:

Найдем его минимум. Для этого возьмём производную и приравняем ее нулю:

Получаем, что - необходимое и достаточное условие оптимальности системы.



Полученное уравнение (Винера-Хопфа) содержит две неизвестных функции:

- имеет полюсы только в левой полуплоскости.

- имеет полюсы только в правой полуплоскости.

Алгоритм решения уравнения Винера-Хопфа. Факторизация

Сепарация

Пример решения

Факторизация

Сепарация

Индикатор совместимости исходных данных в уравнении Винера-Хопфа

В некоторых случаях исходные данные могут быть таковыми, что не существует решений, обеспечивающих конечность величины функционала и, как следствие, его оптимум. Задача состоит в том, чтобы по исходным данным определить существует ли решение, доставляющее функционалу оптимум.

Преобразуем функционал к виду:

Это соотношение имеет место при любых , в том числе и при , но для значение должно быть конечным. Следовательно, исходные данные должны быть такими, чтобы выполнялось неравенство:

Такой интеграл сходиться, если степень числителя меньше степени знаменателя в подынтегральной функции и полюсы на мнимой оси отсутствуют.

Минимальное значение функционала

Оптимальная функция удовлетворяет интегральному уравнению (из которого вытекает уравнение Винера-Хопфа):

Причем удовлетворяет при любых из класса функций , т.е. и при

Подставим полученное значение для в исходный функционал и найдем другое его выражение, которое обычно проще вычисляется:

Математическая модель ограничения на компенсацию нулей и полюсов

Рассмотрим две передаточные функции:

Тогда, если , то и . А также, пусть все полюсы расположены в левой полуплоскости.

Рассмотрим, близки ли импульсные переходные функции и :

Рассмотрим -е коэффициенты:



Так как при значение , то , при . А последние слагаемое .

Выводы:

, если полюс лежит в левой полуплоскости, так как:

, если полюс лежит в правой полуплоскости, так как:

Тогда, в передаточной функции близкие нули и полюсы, лежащие в левой полуплоскости можно сократить, что недопустимо, если они лежат в правой.

Примеры решения оптимизационной задачи. Алгоритм решения

Записать функционал

По функционалу записать уравнение Винера-Хопфа.

Решить уравнение Винера-Хопфа.

Определить передаточные функции УУ.

Пример 1

Дано:

.



Найти .

Запись функционала.

Так как (1) и (3) части функционала не могут выполняться одновременно, выбрасываем одну из них, например первую.

Запись уравнения Винера-Хопфа

Дальше вообще не понятно как из функционалов получается это самое уравнение…

Решение уравнения Винера-Хопфа

Факторизация

Сепарация

Определение передаточных функций УУ

А в лекциях почему-то без 10ки.

Пример 2

Дано:

.

Найти и .

Запись функционала.



Так как функционал совпадает с функционалом из предыдущей задачи, можно сразу написать, что

Запись и решение уравнения Винера-Хопфа для функционала

Определение передаточных функций УУ

Размещено на Allbest.ru

...