Корреляционно-регрессионный анализ связи показателей коммерческой деятельности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Корреляционно-регрессионный анализ связи показателей коммерческой деятельности

Содержание

1. Основные задачи и предпосылки применения корреляционно-регрессионного анализа

2. Методы определения направления связи и ее характера

3. Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов и метода группировок

4. Множественная или многофакторная регрессия

5. Оценка существенности связи. Принятие решений на основе уравнения регрессии

6. Оценка существенности корреляции

1. Основные задачи и предпосылки применения корреляционно-регрессионного анализа

Причинно-следственные отношения - это связь явлений и процессов, когда изменение одного из них - причины - ведет к изменению другого - следствия.

Особенностью причинно-следственных связей в социально-экономических явлениях является их транзитивность, т. е. причина Ч и следствие У связаны соотношением Х-->Х'-->Х"-->У, а не непосредственно Х-->У. Однако промежуточные факторы, как правило, при анализе опускаются.

Статистическое изучение связи делится на следующие этапы:

1. Проводится качественный анализ изучаемого явления

2. Строится модель связи, основанная на методах статистики (группировках, средних величинах и т.д.)

3. Идет интерпретация результатов

Признаки по их значению для изучения взаимосвязи делятся на два класса:

1) Признаки, обуславливающие изменения других, связанных с ними признаков, называются факторными (факторами).

2) Признаки, изменяющиеся под действием факторных признаков, являются результативными.

В статистике различают функциональную связь и стохастическую зависимость.

Функциональной называют такую связь, при которой определенному значению факторного признака соответствует одно значение результативного признака (остаточная цена одного автомобиля определенной марки в году).

Если причинная зависимость проявляется не в каждом отдельном случае, а в общем, среднем при большом количестве наблюдений, то такая связь называется стохастической. Частным случаем стохастической связи является корреляционная связь, при которой изменение среднего значения результативного признака обусловлено изменением факторных признаков.

По направлению выделяют связь прямую и обратную.

Пряма связь - с увеличением (уменьшением) факторного признака происходит увеличение (уменьшение) результативного признака, например, рост производительности труда, увеличивает уровень рентабельности.

При обратной связи наоборот (с увеличением фондоотдачи снижается себестоимость единицы продукции).

По аналитическому выражению выделяют связи:

- прямолинейные (линейные);

- нелинейные.

2. Методы определения направления связи и ее характера

1. Метод приведения параллельных данных - сопоставление двух или нескольких рядов статистических величин. Например, с увеличением величины Х также возрастает У. Поэтому можно сделать вывод, что связь между ними прямая и описать ее можно или уравнением прямой, или уравнением параболы.

2. Метод аналитических группировок. Взаимосвязи явлений аналитически можно выразить функцией У=f(Х).

3. Графический метод. Взаимосвязь 2-х признаков выражается с помощью поля корреляции.

4. Корреляция - это статистическая взаимозависимость между случайными величинами, не имеющими строгого функционального характера, при которой изменение одной из случайных величин, приводит к изменению математического ожидания другой.

В статистике различают следующие варианты зависимостей:

1) парная корреляция - это связь между 2-мя признаками.

2) частная корреляция - это зависимость между результативным и одним факторным признаком при фиксированном значении остальных факторных признаков.

3) множественная корреляция - зависимость результативного и 2-х и более факторных признаков, включенных в исследование.

Корреляционный анализ имеет своей задачей количественное определение тесноты связи между двумя признаками (когда связь парная) и между результативным и множеством факторных признаков.

Корреляционно-регрессионный анализ в общем включает в себя измерение тесноты, направления связи и установление аналитического выражения связи, в котором изменение одной величины обусловлено влиянием одной или нескольких независимых величин, а множество всех прочих факторов, также оказываемых влияние на зависимую величину, принимается за постоянное и среднее значение.

Регрессия может быль однофакторной (парной) и многофакторной (множественной).

По форме зависимости различают:

1) линейную регрессию, которая выражается уравнением прямой

У=а0+а1Х

2) нелинейную регрессию, которая выражается уравнениями параболы

и гиперболы

По направлению связи выделяют:

1) прямую регрессию (положительную), которая возникает при условии, что с увеличением или уменьшением независимой величины значение зависимой величины также соответственно увеличится или уменьшится.

1) обратную (отрицательную) регрессию.

3. Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов и метода группировок

Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками: результативным и факторным. Аналитическая связь между ними описывается уравнениями прямой (если результативный и факторный признаки возрастают одинаково, примерно в арифметической прогрессии), гиперболы (при обратной связи) и параболы (если факторный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а результативный - значительно быстрее).

Пусть, y будет зависимой, а x - независимой величинами.

Сущность МНК заключается в нахождении параметров модели а0 и а1, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии.

Для прямой зависимости:

Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной и парной регрессии методом наименьших квадратов имеет следующий вид:

n - объем исследуемой совокупности.

а0 показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных факторов.

а1 показывает насколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу собственного измерения.

Если заданы частоты, то система нормальных уравнений примет следующий вид:

Если имеется гиперболическая зависимость, то система уравнений примет следующий вид:

4. Множественная или многофакторная регрессия

Изучение связи между 3-мя и более связанными между собой признаками называется множественной или многофакторной регрессией.

При исследовании зависимостей методами множественной регрессии задача формулируется так же, как и при парной регрессии, т.е. требуется определить аналитическое выражение связи между результативным признаком y и факторными признаками x1, x2, …, xn. и найти функцию у=f(x1, x2, …, xn).

Построение моделей множественной регрессии включает несколько этапов: парный регрессия квадрат связь

1. Выбор формы связи, т.е. уравнения регрессии;

2. Отбор факторных признаков;

3. Обеспечение достаточно большого объема совокупности для получения несмещенных оценок.

Наиболее приемлемым способом определения вида исходного уравнения регрессии является метод перебора различных уравнений. Сущность данного метода заключается в том, что большое чисто уравнений регрессии, отобранных для описания связей какого-либо социально-экономического явления или процесса, реализуется на ЭВМ с помощью специально разработанных алгоритмов перебора с последующей статистической проверкой на основе критерия Стьюдента и критерия Фишера.

Реально существующие зависимости между социально-экономическими явлениями можно описать, используя пять типов моделей:

1. Линейная

2. Степенная

3. Показательная

4. Параболическая

5. Гиперболическая

Проблема отбора факторных признаков для построения модели взаимосвязи может быть решена на основе эвристических или многомерных статистических методов анализа.

1. Метод экспертных оценок. Как эвристический метод анализа основных макроэкономических показателей. Основан на интуитивно-логических предпосылках и содержательно-качественном анализе. Анализ экспертной информации проводится на базе расчета и анализа непараметрических показателей связи.

2. Шаговая регрессия. Сущность данного метода заключается в последовательном включении факторов в уравнение регрессии и последующей проверке их значимости. Одновременно используется и обратный метод, т. е. исключение факторов, ставших незначимыми на основе t-критерия Стьюдента. Фактор является незначимым, если его включение в уравнение регрессии только изменяет значение коэффициентов регрессии, не уменьшая суммы квадратов остатков и не увеличивая их значения.

Сложность и взаимное переплетение отдельных факторов, обуславливающих исследуемое экономическое явление (процесс), могут проявляться в так называемой мультиколлинеарности. Под мультиколлинеарностью понимается тесная зависимость между факторными признаками, включенными в модель.

Одним из индикаторов определения наличия мультиколлинеарности между признаками является превышение парным коэффициентом корреляции величины 0,8.

Аналитическая форма выражения связи результативного признака и ряда факторных называется многофакторным (множественным) уравнением регрессии, или моделью связи. Уравнение линейной множественной регрессии имеет следующий вид:

где - теоретические значения результативного признака, полученные в результате подстановки соответствующих значений факторных признаков в уравнение регрессии;

x1, x2, …, xk - факторные признаки;

а1, а2, …, аk - параметры модели (коэффициенты регрессии).

Система нормальных уравнений с k-неизвестными по числу параметров . Имеет следующий вид:

Одним из способов построения множественных уравнений регрессии является построение модели связи в стандартизированном масштабе. Модель регрессии в таком масштабе предполагает, что все значения исследуемых признаков переводятся в стандарты по формуле:

где - значение признака в натуральном масштабе.

5. Оценка существенности связи. Принятие решений на основе уравнения регрессии

Проверка адекватности моделей, построенных на основе уравнений регрессии, начинается с проверки значимости каждого коэффициента регрессии.

Значимость коэффициентов регрессии осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента:

где n - объем совокупности, r - линейный коэффициент корреляции. -дисперсия коэффициента регрессии.

Если расчетное tp значение больше чем табличное, то это свидетельствует о значимости коэффициента корреляции, следовательно, и о статистической существенности зависимости между x и y. Табличное значение критерия определяется на основании уровня значимости критерия б=0,05 или 0,01 и числа степеней свободы v=n-k-1, где n объем совокупности, k - число факторных признаков.

При анализе адекватности уравнения регрессии исследуемому процессу возможны следующие варианты:

1. Построенная модель на основе ее проверки по критерию Фишера в целом адекватна и все коэффициенты значимы, тогда она может быть использована для принятия решений и осуществления прогнозов.

2. Модель по критерию Фишера адекватна, но часть коэффициентов регрессии незначима, следовательно, может быть пригодна для принятия некоторых решений, но не для производства прогнозов.

3. Построенная модель на основе ее проверки по критерию Фишера в целом адекватна, но все коэффициенты незначимы. Следовательно, модель признается полностью неадекватной.

С целью расширения возможностей экономического анализа определяются частные коэффициенты эластичности и детерминации.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного признака на 1 %.

,

где аi - коэффициент регрессии при соответствующем факторном признаке; - среднее значение соответствующего факторного признака; - среднее значение результативного признака.

Частный коэффициент детерминации показывает на сколько процентов изменение результативного фактора зависит от изменения факторного признака, и рассчитывается по формуле:

Коэффициент детерминации является наиболее важным показателем так как он отвечает на вопрос о том какая доля в общем результате зависит от фактора положенного в основании группировки

Множественный коэффициент детерминации (R2) показывает, какая доля результативного признака зависит от признаков входящих в многофакторную регрессию

6. Оценка существенности корреляции

Оценка тесноты связи между признаками предполагает определение меры соответствия вариации результативного признака от одного (при изучении парных зависимостей) или нескольких (множественных) факторов.

Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту и направление связи между двумя коррелируемыми признаками в случае наличия линейной зависимости и изменяется от-1 до 1.

Зная линейный коэффициент корреляции, можно определить и параметры уравнения регрессии вида потому что:

Если же связь криволинейная, то коэффициент корреляции, вычисляется по формуле:

где y- исходные значения результативного показателя; -теоретические значения; -среднее значение y.

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе t-критерия Стьюдента. Если tp>tkp (табличное), то это свидетельствует о значимости коэффициента корреляции.

Множественный коэффициент корреляции рассчитывается при наличии линейной связи между результативными и несколькими факторными признаками, а так же между парой

Множественным коэффициентом корреляции, вид которого аналогичен коэффициенту корреляции при парной связи:

Если изучается взаимодействие только трех факторов y=f(x1,х2), то коэффициент множественной корреляции, изменяющийся от -1 до 1, можно определить по формуле:

где -парные коэффициенты корреляции.

Проверка значимости коэффициента множественной корреляции осуществляется на основе F-критерия Фишера:

где n объем исследуемой совокупности; k - число факторных признаков.

Гипотеза о незначимости коэффициента множественной корреляции отвергается, если Fp>Fтабл. Fтабл определяется на основании б=0,05 или 0,01 и числа степеней свободы v1=k+1 и v2=n-k-1.

Поскольку факторные признаки действуют не изолировано а во взаимосвязи то возникает задача определения тесноты связи между результативным признаком и одним из факторных при постоянных значениях прочих факторов Она решается при помощи частных коэффициентов корреляции. Например, при линейной связи y=f(x1,х2) частный коэффициент корреляции между x1 и y при постоянном х2 вычисляется по формуле:

Парные коэффициенты корреляции, как правило выше частных. Это объясняется тем, что факторы взаимно коррелируют между собой

Размещено на Allbest.ru