Размещено на http://www.allbest.ru/

По полю корреляции нельзя заметить наличие какой-либо зависимости между признаками.

2. Для расчёта параметров уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

Построим вспомогательные таблицы.

а) Для линейной регрессии .

Используя функцию регрессия (сервис анализ данных регрессия) получим параметры уравнения линейной регрессии:

.

Следовательно, уравнение линейной регрессии имеет вид:

.

Так как , то при увеличении прожиточного минимума на 1 тыс. руб. средний размер назначенных ежемесячных пенсий уменьшается на 0,036 тыс. руб.

б) Для степенной регрессии проведём линеаризацию с помощью замены

, , получим .

Сделаем замену:

.

Составим вспомогательную таблицу:

.

Тогда уравнение имеет вид:

.

Выполним его потенцирование:

.

Параметр показывает, что при увеличении прожиточного минимума на 1% средний размер назначенных ежемесячных пенсий уменьшается на 0,042% (коэффициент эластичности).

в) Экспоненциальная модель регрессии имеет вид:

.

Проведём процедуру линеаризации путём логарифмирования обеих частей уравнения:

.

Сделаем замену:

, следовательно, уравнение имеет вид:

.

Составим вспомогательную таблицу:

Параметры и :

.

Следовательно, уравнение регрессии имеет вид:

.

Выполним его потенцирование, получим

.

г) Полулогарифмическая модель имеет вид:

.

Сделав замену , получим:

.

Составим вспомогательную таблицу:

Параметры и :

.

Следовательно, уравнение регрессии имеет вид:

.

Сделав обратную замену, получим:

.

д) Уравнение гиперболы линеаризуется при помощи замены , тогда уравнение имеет вид:

.

Для расчётов используем данные таблицы:

Параметры и :

.

Уравнение регрессии имеет вид:

.

3. Тесноту связи можно оценить с помощью коэффициентов корреляции и детерминации

Коэффициент корреляции (множественный ).

Для линейной модели:

, следовательно, зависимость слабая.

Для степенной модели:

, следовательно, зависимость слабая.

Для экспоненциальной модели:

, следовательно, зависимость слабая.

Для логарифмической модели:

, следовательно, зависимость слабая.

Для гиперболической модели:

, следовательно, зависимость слабая.

Коэффициент детерминации (-квадрат).

Для линейной модели:

, следовательно, 1,2% дисперсии объясняется регрессией.

Для степенной модели:

, следовательно, 2% дисперсии объясняется регрессией.

Для экспоненциальной модели:

, следовательно, 1,1 % дисперсии объясняется регрессией.

Для логарифмической модели:

, следовательно, 2% дисперсии объясняется регрессией.

Для гиперболической модели:

, следовательно, 3,3% дисперсии объясняется регрессией.

Так как все , , то можно говорить об отсутствии связи между признаками.

4. Коэффициент эластичности вычислим по формулам:

для линейной регрессии

для остальных регрессий

.

То есть при использовании линейной регрессии при изменении фактора на 1% значение результата изменится на 0.031%, при степенной модели на 0.04%, при экспоненциальной модели на 0.03%, при логарифмической на 0.04%, при гиперболической на 1%.

5. Величина средней ошибки аппроксимации определяется как среднее отклонение расчётных значений от фактических:

.

То есть среднее отклонение фактических и расчётных значений составляет 2,49%, что свидетельствует о хорошем качестве модели.

.

То есть среднее отклонение фактических и расчётных значений составляет 2,49%, что свидетельствует о хорошем качестве модели.

.

То есть среднее отклонение фактических и расчётных значений составляет 2,47%, что свидетельствует о хорошем качестве модели.

.

То есть среднее отклонение фактических и расчётных значений составляет 2,5%, что свидетельствует о хорошем качестве модели.

.

То есть среднее отклонение фактических и расчётных значений составляет 2,5%, что свидетельствует о хорошем качестве модели.

Так как все ошибки аппроксимации входят в допустимый предел, то все уравнения могут быть использованы для определения зависимости.

6. Проведём сравнение фактического и критического значений -критерия Фишера.

найдём по таблицам на уровне значимости

(в столбце ).

Для линейной модели:

.

Для степенной модели:

.

Для экспоненциальной модели:

.

Для логарифмической модели:

.

Для гиперболической модели:

.

Так как все , то нет основания опровергнуть гипотезу о случайном отклонении коэффициентов от нуля, следовательно, коэффициенты статистически незначимы.

По данным пунктов 4, 5, 6 можно сделать вывод о том, что ни одно из уравнений не подходит для описания данной зависимости.

Наилучшим из предложенных является гиперболическая модель, так как , , для этой модели самые близкие к оптимальным.

7. Прогнозное значение определяется путём подстановки в уравнение регрессии прогнозного значения (в нашем случае )

.

Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза:

, где .

Строится доверительный интервал:

, где

а) для линейной модели:

.

Строим доверительный интервал

.

То есть при увеличении прожиточного минимума на 5% (при использовании линейной связи) средний размер назначенных ежемесячных пенсий будет находится в интервале от 207,71 тыс. руб. до 242,69 тыс. руб.

б) для степенной модели:

.

То есть при увеличении прожиточного минимума на 5% (при использовании степенной модели) средний размер назначенных ежемесячных пенсий будет находится в интервале от 207,68 тыс. руб. до 242,62 тыс. руб.

в) для экспоненциальной модели:

.

То есть при увеличении прожиточного минимума на 5% (при использовании экспоненциальной модели) средний размер назначенных ежемесячных пенсий будет находится в интервале от 208,25 тыс. руб. до 243,29 тыс. руб.

г) для логарифмической модели:

.

То есть при увеличении прожиточного минимума на 5% (при использовании логарифмической модели) средний размер назначенных ежемесячных пенсий будет находится в интервале от 207,71 тыс. руб. до 242,39 тыс. руб.

д) для гиперболической модели:

.

То есть при увеличении прожиточного минимума на 5% (при использовании гиперболической модели) средний размер назначенных ежемесячных пенсий будет находится в интервале от 212,61 тыс. руб. до 247,19 тыс. руб.

8. Зависимости между признаками нет. Не одно из предложенных уравнений не может описать зависимость между ними.

Задание № 2

По данным, взятым из соответствующей таблицы, выполнить следующие действия:

1. Построить линейное уравнение множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров

2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности

3. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии

4. Сделать вывод о силе связи результата и факторов

5. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции, сделать выводы

6. Дать оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего -критерия Фишера

7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80% от их максимальных значений

8. Рассчитать ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости 5 или 10%

9. Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

1. Линейное уравнение множественной регрессии имеет вид:

.

Параметры уравнения определим с помощью функции регрессии.

.

Следовательно, уравнение имеет вид:

.

Коэффициент при переменной показывает, что если оборот капитала увеличится на 1 млрд. долл., то (при неизменном уровне численности служащих) чистый доход увеличится на 0,014 млрд. долл.

Коэффициент при показывает, что если численность служащих увеличится на 1 тыс. чел., то (при неизменном уровне оборота капитала) чистый доход увеличится на 0,005 млрд. долл.

2. Рассчитаем частные коэффициенты эластичности:

.

То есть при увеличении оборота капитала на 1% чистый доход увеличивается на 0,243%.

.

То есть при увеличении численности служащих на 1% чистый доход увеличивается на 0,329%.

3. Стандартизованные коэффициенты регрессии рассчитаем по формулам:

.

То есть при увеличении оборота капитала на среднеквадратическое отклонение чистый доход увеличивается на 0,414 от своего среднеквадратического отклонения.

.

То есть при увеличении численности служащих на среднеквадратическое отклонение чистый доход увеличивается на 0,573 от своего среднеквадратического отклонения.

4. Численность служащих оказывает большее влияние на чистый доход, нежели оборот капитала.

5. Парные коэффициенты корреляции найдём по формулам:

.

Частные коэффициенты корреляции можно выразить через парные коэффициенты, следующим образом:

.

Определим множественный коэффициент корреляции:

.

То есть дисперсия чистого дохода на 90,6% зависит от численности служащих и оборота капитала.

6. Выдвинем гипотезу о случайном отличии коэффициентов , , от нуля.

Общий критерий проверяет гипотезу о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи:

.

Сравнивая и , приходим к выводу об отклонении гипотезы , так как . С вероятностью 0,95 делаем заключение о статистической значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи .

7. Прогнозное значение факторов составляют 80% от их максимальных значениях, следовательно:

.

Таким образом

.

8. Стандартную ошибку регрессии найдём по формуле:

.

Стандартная ошибка прогноза:

вычислим в MS Excel

.

Доверительный интервал имеет вид:

, где

.

Следовательно, доверительный интервал на уровне значимости имеет вид:

.

Если прогнозное значение факторов составит 80% от максимальных значений, то с вероятностью 95% можно утверждать, что чистый доход будет находиться в интервале от 4,728 млрд. долл. до 6,572 млрд. руб.

Доверительный интервал на уровне значимости имеет вид:

.

Если прогнозное значение факторов составит 80% от максимальных значений, то с вероятностью 90% можно утверждать, что чистый доход будет находиться в интервале от 4,893 млрд. долл. до 6,407 млрд. руб.

9. Так как распределение -Фишера указывает на отвергание гипотезы о незначимости уравнения регрессии, то уравнение статистически значимо, следовательно, адекватно описывает указанную зависимость.

Список литературы

1. Кремер Н. Ш., Путко Б. А. Эконометрика, М.: ЮНИТИ, 2007.

2. Новиков А. И. Эконометрика, М.: Инфра - М, 2007.

3. Катышев П. К., Магнус Я. Р., Пересецкий А. А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. Москва, «Дело», 2002.

4. Бывшев В. А. Эконометрика: учеб.пособие. М.: Финансы и статистика, 2008.

5. Практикум по эконометрике: учеб.пос. для вузов/ под ред. Елисеевой И. И. - 2-е изд., перераб. и доп. М.: Финансы и статистика, 2007.

6. Эконометрика: учебник для вузов/ под ред. Елисеевой И. И. М.: Проспект, 2009.

7. Валентинов В. А. Эконометрика: Практикум, М.: Дашков и К, 2008.