Парная регрессия и корреляция

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ

ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВЛАДИМИРСКИЙ ФИЛИАЛ

Кафедра информационных технологий

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по курсу: Эконометрика

Выполнила:

Фролова Н.В..

студент вечернего обучения,

курс III (группа ВФв108),

специальность

финансы и кредит

Владимир, 2009 г.

Парная регрессия и корреляция

I. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ для анализа приведены в таблице 1.

Таблица 1

Исходные данные

II. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ:

1. Постройте поле корреляции и сформируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уровней линейной парной регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателя линейной парной корреляции. регрессия корреляция линейный уравнение

4. Оцените качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации.

5. Дайте с помощью общего (среднего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

6. Выполнить дисперсионный анализ, для чего вычислить коэффициент детерминации и F-критерия Фишера и сделать заключение по вычисленным показателям.

7. Оцените статистическую надежность (значимость) результатов регрессионного моделирования (коэффициентов регрессии) и коэффициента корреляции с помощью t-критерия Стъюдента. Вычислить доверительные интервалы каждого из показателей.

8. Рассчитайте ожидаемое значение результата, если значение фактор увеличится на 5% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости б = 0,05.

9. Оцените полученные результаты и сделать выводы.

III. РЕШЕНИЕ

1. Построение поля корреляции, нахождение медиан и анализ распределения точек по квадрантам

1.1. Исходные данные

На рис. 1 представлена диаграмма поля корреляции y = f (x), построенная средствами MS Exсel. На ней же прямыми линиями показаны медианы (величины изучаемого признака, которая находится в середине упорядоченной совокупности) совокупностей значений, найденные с применением статистических функций MS Exсel.

Рис. 1. Поле корреляции исходной совокупности

Оценку связи определили по разности числа точек в первом, третьем квадратах (ответственных за прямую-положительную связь) и во втором, четвертом квадратах (ответственных за обратную-отрицательную связь), отнесенной к общему числу точек корреляционного поля.

Распределение точек по квадрантам (3 точки из 25 лежат на линии Me(y)):

Число точек в 1-ом и 3-ом квадрантах равно числу точек во 2-ом и 4-ом квадрантах, и, основываясь на распределении точек, невозможно сделать предварительный вывод о наличии связи. Коэффициент корреляции, рассчитанный средствами MS Exсel, составляет 0,830, что намного превышает критический для выборки размером 22 - 27 точек при доверительной вероятности 0,05 (0,4227 и 0,3809 соответственно). Следовательно, переменные положительно коррелируют - заметная прямая связь.

1.2. Данные после отброса выпадающей точки

Предположительно, точки (131; -0,9), (347; 4,1) и (745; 6,9) выпадают из общей выборки. Точка (745; 6,9) отпадает наверняка как сильно отстоящая от основного массива, точки (131; -0,9) и (347; 4,1) - под сомнением. Тем не менее, субъективно отбросив три точки по визуальной оценке поля корреляции, получим совокупность точек, приведенную в таблице 2.

Таблица 2

Исходные данные для анализа

На рисунке 2 представлена диаграмма, аналогичная приведенной на рис. 1.

Рис. 2. Поле корреляции

На рис. 2 также приведена аппроксимирующая прямая, построенная средствами MS Exсel, уравнение аппроксимации и величина ее достоверности.

Распределение точек по квадрантам (3 точки из 25 лежат на линии Me(y)) показывает очень слабую положительную связь.

Коэффициент корреляции - 0,245 меньше критического (0,4227), следовательно, высокиое значение коэффициента корреляции при анализе полной выборке исходных данных свидетельствует о наличии выпадов в исходной выборке. Так как при построении прямой регрессии используется сумма квадратов расстояний наблюдаемых точек до прямой, то выбросы могут существенно повлиять на наклон прямой и, следовательно, на значение коэффициента корреляции. Поэтому единичный выброс (значение которого возводится в квадрат) способен существенно изменить наклон прямой и, следовательно, значение корреляции.

2. Расчет параметров линейной парной регрессии

2.1. Уравнение линейной парной регрессии имеет вид y = a + bx, где

и

Таблица 3

Расчет коэффициентов линейной парной регрессии

, .

Уравнение имеет вид y = 1,0884 + 0,0030x.

2.2. Коэффициент корреляции rxy - 0,245 (рассчитан средствами MS Exсel) меньше критического (0,4227), но больше нуля, следовательно, возможна очень слабая прямая положительная связь.

2.3. Расчет средней ошибки аппроксимации А

Таблица 4

Расчет средней ошибки аппроксимации

А = 52,6 %.

Полученное значение А намного превосходит допустимые пределы (8 - 10 %), расчетные данные существенно отклоняются от фактических.

3. Оценка силы связи фактора с результатом с помощью общего (среднего) коэффициента эластичности

Коэффициент эластичности определяют как произведение производной функции «y = a + bx» на отношение средних арифметических значений «х» к «у»:

Очевидно, что , тогда

Следовательно, средний размер чистого дохода изменится на 0,17 % при изменении численности служащих на 1 %, что показывает слабую связь результата с изменяемым фактором.

4. Дисперсионный анализ

Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:

где - общая сумма квадратов отклонений;

- сумма квадратов отклонений «факторная»;

- остаточная сумма квадратов отклонений.

Таблица 5

Расчет суммы квадратов отклонений

4.1. Долю дисперсии, определяемой регрессией, в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент детерминации R2 :

.

Коэффициент детерминации можно найти и как квадрат коэффициента корреляции. Для анализируемых данных R2 = (0,245)2 = 0,060.

При линейной аппроксимации данных средствами MS Exсel коэффициент выводится как оценка достоверности аппроксимации (показан на рис. 2).

4.2. Проверка гипотезы о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи по критерию Фишера

Фактическое значение F-критерия Фишера рассчитывают как

= 1,278.

Табличное значение критерия Фишера Fтабл = 2 при данном объеме выборки и доверительной вероятности б = 0,05. Табличное значение превышает фактическое, следовательно, уравнение регрессии статистически не значимо.

5. Оценка статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции

5.1. Оценка с помощью t-критерия Стьюдента производится путем сопоставления значений коэффициентов с величиной случайной ошибки:

Случайные ошибки m определяют по формулам:

Результаты расчета по этим формулам представлены в таблице 6.

Таблица 6

Расчет t-критериев Стьюдента

Таким образом, расчетный t-критерий Стьюдента для коэффициента b (характеризует угол наклона линейной зависимости) и коэффициента корреляции r меньше табличного, следовательно, они статистически незначимы. Для коэффициента а (характеризует положение массива данных относительно оси ординат - у) наблюдаем обратную ситуацию, и следует полагать его статистически значимым, что подтверждает внешний вид поля корреляции.

5.2. Расчет границ доверительных интервалов для коэффициентов регрессии

Границы доверительного интервала определяют умножением значения коэффициента на табличное значение t-коэффициента Стьюдента (результаты расчета - см. в табл. 7):

Таблица 7

Расчет границ доверительных интервалов

Таким образом, в границы доверительного интервала коэффициента b попадает нуль (верхняя граница положительна, нижняя - отрицательна) и его полагаем нулевыми, что свидетельствует о статистически незначимом характере полученного уравнения регрессии.

Границы доверительного интервала коэффициента а = 1,0884 ± 0,5129.

8. Расчет ожидаемого значения результата, при увеличении фактора на 5% от его среднего уровня. Определение доверительного интервала прогноза для уровня значимости б = 0,05.

Полученное уравнение регрессии статистически незначимо и вычисление прогнозного значения носит формальный характер.

Прогнозное значение

Прогнозное значение .

Средняя стандартная ошибка прогноза определяется как

где .

n - число точек (22), m - число параметров при переменных х (1 - в случае линейной регрессии).

Вычисленная по эти формулам средняя стандартная ошибка прогноза - 0,602. При доверительной вероятности 0,05 и t-коэффициенте Стьюдента 2,0860 предельная ошибка прогноза, которая в 95 % случаев не будет превышена, составит Таким образом, границы доверительно интервала прогноза составят ур = 1,325 ± 1,225. Выполненный прогноз оказался формальным и неточным, так как отношение верхней и нижней границ доверительного интервала составляет

раз, а нижняя граница очень близка к нулю.

ВЫВОДЫ

Практически симметричное распределение точек по квадрантам свидетельствует об отсутствии или очень слабой связи между фактором и результатом

Коэффициент корреляции rxy - 0,245 меньше критического (0,4227).

Значение ошибки аппроксимации А = 52,6 % намного превосходит допустимые пределы (8 - 10 %).

Невысокое значение коэффициента эластичности (0,17 %) показывает слабую связь результата с изменяемым фактором.

Значение коэффициента детерминации (0,006) мало и, следовательно, аппроксимации недостоверна.

Табличное значение критерия Фишера (2) превышает фактическое (1,278), значит, уравнение регрессии статистически не значимо.

Расчетный t-критерий Стьюдента для коэффициента b и коэффициента корреляции rxy меньше табличного, следовательно, они статистически незначимы.

В границы доверительного интервала коэффициента b попадает нуль (верхняя граница положительна, нижняя - отрицательна) и его полагаем нулевыми, что свидетельствует о статистически незначимом характере полученного уравнения регрессии.

Выполненный прогноз результата при изменении фактора на 5 % оказался формальным и неточным, так как отношение верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 37 раз, а нижняя граница очень близка к нулю.

Таким образом, проведенные исследования массива данных показали, что размер чистого дохода не имеет достоверной связи с численностью служащих.

Размещено на Allbest.ru