Борьба полов

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Политология, социология и социальное управление»

РЕФЕРАТ

по дисциплине: Теория игр и модели математической экономики

на тему: «Борьба полов»

кооперативный игра борьба пол

Выполнил: студент группы 11004115

факультета энергетического

строительства

Девятловская Дина Сергеевна

Принял: Ермолицкий М.А.

Минск 2016

Введение в теорию игр

Жить в обществе и быть свободным от общества нельзя! Живя в обществе, мы неизбежно сталкиваемся с другими людьми, и интересы различных людей практически никогда не совпадают между собой. В обществе неизбежны столкновения интересов различных людей, противоречия между этими интересами.

В художественной литературе этому столкновению интересов уделялось не меньше внимания, чем любви и Богу. Это столкновение интересов является предметом целого ряда наук, психологии, социологии, политологии. Даже экономическая наука по большому счету изучает столкновение интересов, так как конкуренция является именно таким столкновением. Но лишь в 40-е годы двадцатого века это столкновение интересов стало предметом математического исследования, прежде всего в области экономики. Первая значительная книга по теории игр ? книга Дж. фон Неймана и С. Моргенштерна, изданная в 1944 году так и называлась - “Теория игр и экономическое поведение”.

Предмет оказался чрезвычайно сложным, даже для математики. И сейчас, 62 года спустя, успехи теории игр довольно ограничены. Тем не менее, она нашла своё применение особенно в военном деле, так как войнаэто столкновение интересов практически в чистом виде. Организация тыла, поиски подводных лодок, противовоздушная оборона, дуэль двух противниковвсё это приложение теории игр в настоящее время. В экономике теория игр также находит своё применение.От той теории, которая существует в настоящее время, не следует ждать чудодейственных рецептов. Она не предписывает поведение, ведущее к выигрышу. Она лишь указывает, чего может добиться игрок в наихудшей для него ситуации и как он должен действовать, чтобы в этой наихудшей ситуации добиться минимального проигрыша (или максимального выигрыша). Но и это, безусловно, полезно. А рекомендации по выигрышудело будущей теории игр.

Понятие о теории игр

В области экономики, политики, социальной жизни, военного дела, техники, дипломатии, спорта и в других областях человеческой деятельности часто встречаются ситуации столкновения интересов. Оперирующие стороны - отдельные индивидуумы и организации, - в стремлении к достижению своих целей могут действовать различным образом. При этом результаты этих действий для участников зависят не только от принимаемых ими решений, но и от того, какой образ действий выберут другие участники, например, конкуренты.

Формализация содержательного описания ситуации столкновения интересов представляет собой ее математическую модель, которую в теории игр называют игрой. Участников конфликта называют игроками. При этом в качестве единого игрока может выступать целый коллектив, имеющий некоторые общие интересы (предприятие, организация, спортивная команда, воюющая сторона и т.д.).

Теория игр - это математическая дисциплина, в которой изучаются ситуации столкновения интересов (конфликтные ситуации), их свойства и особенности, и разрабатываются методы оптимального в том или ином смысле поведения игроков в таких ситуациях. В теории игр рассматриваются как антагонистические игры, в которых интересы игроков прямо противоположны, так и игры с непротивоположными интересами.

Окружающая нас действительность демонстрирует многообразные ситуации, в которых интересы участников не носят антагонистического характера, хотя отнюдь и не всегда совпадают. Изучение таких ситуаций, интересное и само по себе, в основном, необходимо для выработки их участниками способов принятия решений по выбору действий из тех, которые находятся в их распоряжении.

Имеются две оперирующих стороны (индивидуумы или организации). В теории игр они называются игроками. В распоряжении каждого игрока имеется множество различных возможных альтернативных способов действия они называются стратегиями. В простейших случаях стратегия - это некоторое действие, поступок или мероприятие, которое может осуществить игрок. В более сложных случаях стратегия может представлять собой развернутую программу всех действий, которые предписывается совершить при тех или других возможных обстоятельствах и при соответствующих условиях для любой возможной ситуации в течение игры.Выбранные игроками стратегии образуют результирующую ситуацию называемую исходом игры.

На данный момент существует множество типов игр: Кооперативные и некооперативные, симметричные и несимметричные, с нулевой суммой и с ненулевой суммой, параллельные и последовательные, с полной или неполной информацией, игры с бесконечным числом шагов, дискретные и непрерывные игры, метаигры

Однако в этом реферате нам необходимо ознакомиться только с двумя основными типами игр :Кооперативные и некооперативные

Основные типы игр: Кооперативные и некооперативные

Игра называется кооперативной, если игроки могут объединяться в группы, взяв на себя некоторые обязательства перед другими игроками и координируя свои действия. Этим она отличается от некооперативных игр, в которых каждый обязан играть за себя. Развлекательные игры редко являются кооперативными, однако такие механизмы нередки в повседневной жизни.

Часто предполагают, что кооперативные игры отличаются именно возможностью общения игроков друг с другом. В общем случае это неверно. Существуют игры, где коммуникация разрешена, но игроки преследуют личные цели, и наоборот.

Из двух типов игр, некооперативные описывают ситуации в мельчайших деталях и выдают более точные результаты. Кооперативные рассматривают процесс игры в целом. Попытки объединить два подхода дали немалые результаты. Так называемая программа Нэша уже нашла решения некоторых кооперативных игр как ситуации равновесия некооперативных игр.

Гибридные игры включают в себя элементы кооперативных и некооперативных игр. Например, игроки могут образовывать группы, но игра будет вестись в некооперативном стиле. Это значит, что каждый игрок будет преследовать интересы своей группы, вместе с тем стараясь достичь личной выгоды.

Кооперативная игра

Кооперативная игра -- термин теории игр. Кооперативной называется игра, в которой группы игроков -- коалиции -- могут объединять свои усилия. Этим она отличается от игр, в которых коалиции неприемлемы и каждый обязан играть за себя.

Теория игр занимается изучением конфликтов, то есть ситуаций, в которых группе людей необходимо выработать какое-либо решение, касающееся их всех. Некооперативная теория игр изучает то, как должны действовать игроки, чтобы прийти к тому или иному результату, кооперативная же теория игр изучает вопрос о том, какие исходы достижимы и условия достижения этих исходов.

Некооперативная игра

Некооперативные игры отражают ситуации, в которых игроки действуют самостоятельно, независимо друг от друга , и если какие-то согласования заключаются, то они не являются обязывающими : каждый игрок может отклонится от договорённости. Таким играм уделяется основное внимание в данном реферате.

Рассмотрим один из примеров некооперативной игры, которая имеет название «Борьба полов».

Борьба полов

Борьба полов- это одна из основополагающих некооперативных моделей в теории игр, которая предполагает участие двух игроков с разными предпочтениями.

Игра была впервые описана Данканом Люче и Говардом Райффом в 1957 году в книге «Игры и решения: введение и критика».

Будем рассматривать эту игу в виде матрицы. Пусть матрицы выигрышей игроков заданы следующим образом:

,

Правила игры

Пусть семейная пара - муж и жена - могут выбрать одно из двух вечерних развлечений - пойти на футбол или в театр. Согласно распространенному представлению мужчина бесспорно предпочитает футбол, а женщина - театр. Будем считать для определенности, что муж - это игрок 1, а жена - игрок 2. У каждого игрока имеется две стратегии: первая стратегия - пойти на футбол (у мужа , у жены ), а вторая стратегия - пойти в театр (у мужа , у жены ). Если оба игрока выберут свои первые стратегии и , т.е. пойдут вместе на футбол, то выигрыш первого игрока (мужа) составит две единицы , а выигрыш второго игрока (жены) составит одну единицу . Если же оба игрока выберут свои вторые стратегии и , т.е. вместе пойдут в театр, то выигрыш первого игрока составит одну единицу , а выигрыш второго игрока составит две единицы . Еслиже муж выберет футбол (его первая стратегия ), а жена выберет театр (ее вторая стратегия ), то для обоих вечер будет испорчен: , . То же самое произойдет, если муж выберет посещение театра (вторая его стратегия ), а жена выберет футбол (ее первая стратегия ), т.к. , . Итак, в данном случае им обоим важнее быть вместе.

Анализ игры. Особенности поиска решений

Очевидно, что муж предпочел бы, чтобы они вместе пошли на футбол, т.е. исход , а жена предпочла бы, чтобы они вместе пошли в театр, т.е. исход . Если муж объявит, что он намерен выбрать свою первую стратегию (пойти на футбол), и никакие доводы не заставят его изменить свой выбор, и жена убеждена в его упорстве, то ей ничего не остается, согласно гипотезе разумного поведения, как выбрать свою первую стратегию - пойти с мужем на футбол, поскольку если она выберет свою вторую стратегию (пойдет в театр), то ее «выигрыш» составит минус единицу. Аналогично, если жена первой объявит о своем намерении пойти в театр (выбор ) и будет твердо стоять на своем, то в интересах мужа пойти с женой в театр, т.е. выбрать стратегию , т.к. это даст ему больший выигрыш, чем если бы он пошел на футбол. Итак, мы видим, что справедливо следующее утверждение. В игре с непротивоположными интересами может оказаться выгодным для игрока раскрыть свои намерения (свой выбор) первым и твердо стоять на своем. Напомним, что в антагонистической игре игроку нет никакого смысла раскрывать свои намерения, т.к. это может только ухудшить его положение.

В реальности при таком поведении игрока, т.е. когда он стремится опередить другого игрока, чтобы получить преимущество, есть риск, что в итоге он проиграет, тем более, если игра разыгрывается неоднократно. Потому что другой игрок, исходя из долгосрочных соображений и стремясь максимизировать свой выигрыш в долгосрочной перспективе, может привести игру к невыгодному для обоих игроков результату, просто выбрав предпочтительную для него стратегию, недвусмысленно намекая тем самым на то, что чтобы получить выигрыш необходимо найти какие-то пути к согласованию интересов.

Рассмотрим подробнее сначала некооперативный вариант игры, т.е. когда между игроками отсутствует сообщение, и они не могут договариваться до игры и должны производить свои выборы одновременно, не зная о выборе другого игрока.

Игрок 1 может рассуждать так: «Я предпочитаю исход , т.е. когда мы оба идем на футбол. Жена, очевидно, предпочитает исход , когда мы оба идем в театр. Но если я выберу (футбол), а она выберет (театр), то мы оба проиграем. Теперь, допустим, я уступаю и выбираю - я тогда оказываюсь еще в хорошем положении, т.к. выигрываю одну единицу полезности. Поэтому мне нужно выбрать (театр).

Но жена может рассуждать точно так же и уступить мне, выбрать стратегию (футбол), и тогда опять мы оба проиграем. Значит мне нужно выбрать . Однако, по-существу, какие бы доводы я ни привел в пользу выбора или , из-за симметрии ситуации такие же доводы имеются у жены, и, по-видимому, мы оба неизбежно должны проиграть».

Итак, найти решение, выгодное для обоих игроков, или хотя бы для одного из них, в некооперативном варианте игры пока не удалось. Попробуем теперь использовать стандартный подход, применяемый при анализе антагонистических игр. Найдем гарантирующие чистые стратегии игроков, проверим - нет ли в игре ситуации равновесия в чистых стратегиях, и, если необходимо, определим гарантирующие смешанные стратегии игроков, которые в случае антагонистических игр являются оптимальными стратегиями игроков.

В рассматриваемой игре, как нетрудно увидеть, гарантирующими чистыми стратегиями являются обе стратегии игроков. Однако, в данном случае они гарантируют только то, что результаты их применения будут не хуже, чем самый худший результат для игрока в этой игре.

Рассматривая матрицы выигрышей игроков, можно увидеть, что исход , когда оба идут на футбол, является ситуацией равновесия в чистых стратегиях, т.е. ни одному из игроков невыгодно отступить от своей стратегии, если другой игрок придерживается своей стратегии. Но то же относится и к исходу (оба идут в театр), он тоже является равновесным. Однако выигрыши игроков в различных ситуациях равновесия различны. В этом еще одно отличие (особенность) игр с непротивоположными интересами от антагонистических. В играх с непротивоположными интересами различные равновесные исходы (ситуации равновесия) могут быть неравноценными для игроков, и у каждого из игроков может быть более предпочтительный для него свой равновесный исход.В антагонистических играх двух игроков, если ситуация равновесия неединственна, то все ситуации равновесия в игре равноценны, т.е. выигрыши игроков во всех ситуациях равновесия одинаковы и равны значению игры.

Найдем теперь гарантирующие смешанные стратегии игроков. Для первого игрока гарантирующей смешанной стратегией является , т.е. с вероятностью применяется первая чистая стратегия (футбол), и с вероятностью применяется вторая чистая стратегия (театр). Гарантирующая смешанная стратегия второго игрока . Применение гарантирующих смешанных стратегий дает игрокам гарантированный ожидаемый выигрыш . Это уже что-то. Однако заметим, что если второй игрок применяет свою гарантирующую смешанную стратегию , то первому игроку выгоднее вместо применения своей гарантирующей смешанной стратегии , дающей ожидаемый выигрыш , применить чистую стратегию с ожидаемым выигрышем , т.е. отказаться от применения гарантирующей смешанной стратегии в пользу стратегии . Аналогично, легко убедиться, что если первый игрок применяет свою гарантирующую смешанную стратегию, то второму игроку также выгоднее отказаться от применения своей гарантирующей смешанной стратегии. Это означает, что исход не является равновесным.

Таким образом, в неантагонистических играх гарантирующие смешанные стратегии игроков могут не быть их равновесными стратегиями, т.е. могут не составлять ситуацию равновесия. Напротив, в антагонистической матричной игре, как известно, гарантирующие смешанные стратегии игроков всегда составляют ситуацию равновесия, т.е. являются оптимальными стратегиями игроков.

Нельзя ли гарантированно получить выигрыш больше, чем при применении гарантирующих смешанных стратегий, если возможна кооперация между игроками? Рассмотрим теперь кооперативный вариант игры «Борьба полов».

Если в игре возможна коммуникация и сообщение между игроками до выбора и реализации стратегий, то в стремлении получить больший выигрыш игроки могут вступить в переговоры. В ходе переговоров игроки, во-первых, могут исключить из рассмотрения те исходы в игре, которые невыгодны или неприемлемы для обоих игроков (в игре «Борьба полов » это исходы ) и ). Дальше игроки могут договариваться, например, о том, как игрок, если он получит больший выигрыш в том или ином исходе игры, может поделиться с другим игроком или компенсировать ему получение меньшего выигрыша.

Очевидно, что в этом случае вся игра, фактически, переносится в область переговоров. В общем случае здесь у игроков могут появиться такие новые альтернативы, как различного рода угрозы, уловки, соблазны, блеф и т.д., и результат этой игры переговоров может быть разным.

В случае игры «Борьба полов», в силу симметрии выигрышей, в качестве «справедливого» решения можно, видимо, принять бросание монеты, причем, например, герб будет означать, что совместно выбран футбол (исход ), а решка - что совместно выбран театр (исход ). При этом каждый игрок с вероятностью 0.5 получит выигрыш в 2 единицы и с вероятностью 0.5 выигрыш в одну единицу, т.е. ожидаемые выигрыши для каждого игрока будут равны 1.5. Заметим, что не существует исхода, в котором хотя бы один игрок получил бы больший выигрыш при условии, что другой игрок получил бы не меньший выигрыш, т.е. это решение можно считать оптимальным решением данной игры в кооперативном варианте. К сожалению, этот подход не универсален.

Заметим, что в некооперативном варианте игры такие выигрыши (выигрыш каждого игрока по 1.5 единицы полезности) невозможны, т.е. не существует ни чистых, ни смешанных стратегий игроков, приводящих к таким выигрышам, так как свои смешанные стратегии, т.е. вероятности применения чистых стратегий, каждый игрок выбирает независимо. Другими словами, для игроков, которые не могут вступить в переговоры до игры, надежда на кооперативный вариант тщетна - невозможно поступать так, как будто находишься в сговоре с другим игроком.

Таким образом справедливо следующее утверждение: в играх с непротивоположными интересами могут иметь смысл переговоры до игры и принятие взаимообязывающих соглашений. В антагонистических играх, очевидно, переговоры не имеют никакого смысла - не о чем договариваться, т.к. увеличение выигрыша одного игрока - это увеличение платежа другого игрока.

Равновеесие Нэша

Равновемсие Нэмша -- это такая ситуация, при которой ни один из игроков не может увеличить свой выигрыш, в одностороннем порядке меняя свое решение. Другими словами, равновесие Нэша -- это положение, при котром стратегия обеих игроков является наилучшей реакцией на действия своего оппонента.

Такая совокупность стратегий, выбранных участниками, и их выигрыши называются равновесием Нэша.

Названа в честь американского математика Джона ФорбсаНэша, показавшего данное равновесие в своей диссертации по некооперативным играм в 1950 г.

В игре « Борьба полов» существует две ситуации равновесия по Нэшу, выигрыши в которых равны соответственно (2,1) и (1,2). Очевидно, что одна из них предпочтительнее для первого игрока, а другая - для второго. Таким образом, в данной игре может иметь место борьба за выбор конкретной ситуации равновесия.

Тот же пример показывает, что хотя все стратегии первого игрока являются «равновесными», и все стратегии второго игрока тоже, их объединение в один исход может не быть ситуацией равновесия (например, не является равновесной ситуация, в которой первый игрок выбирает вторую строку, а второй - первый столбец). Это говорит о том, что выбор ситуации равновесия не может, вообще говоря, быть результатом изолированных действий игроков.

Список литературы

Льюс Р.Д., Райфа Х. Игры и решения. - М.: Издательство иностранной литературы, 1961.

Вилкас Э.Й. Оптимальность в играх и решениях. - М.: Наука, 1990.

Васин А.А., Морозов В.В. Теория игр и модели математической экономики. М.:МАКС Пресс, 2005.

Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М.: Мир, 1985.

Нэш Дж. Бескоалиционные игры // Матричные игры. М.: Физматлит, 1961.

Горелов М.А., Никифоров Л.Г., Соколов В.П. NeueOrdnung на рынке ГКО. Рынок ценных бумаг. 1997. № 6. С. 9-13.

Размещено на Allbest.ru