Економетрія
Предмет, методи і завдання дисципліни "Економетрія". Побудування загальної лінійної моделі. Мультиколінеарність та її вплив на оцінки параметрів моделі. Емпіричні моделі кількісного аналізу на основі статистичних рівняння. Економетричні моделі динаміки.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | курс лекций |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 26.09.2017 |
| Размер файла | 282,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
r = r2. (6.3)
При r2=1 маємо точний (функціональний) зв'язок, при r2=0 можно зробити висновок про відсутність кореляційного зв'язку.
Таким чином, коефіцієнти кореляції і детермінації дозволяють досліднику встановити ступінь зв'язку і окреслити коло факторів, які здійснюють вплив на результативний показник.
Основними напрямками оцінки адекватності економетричної моделі є:
Перевірка за допомогою F-теста (F-критерій Фішера);
Використання t-розподілу Стьюдента для оцінки надійності коефіцієнта кореляції;
Перевірка моделі на гомо-гетескедастичність;
Перевірка факторів економетричної моделі на мультиколінеарність.
F-тест використовується для оцінки того, чи важливе пояснення, яке дає рівняння в цілому. Тобто в регресійному аналізі побудова F-статистики здійснюється шляхом відношення дисперсії залежної змінної на “пояснювальні" і “непояснювальні" складові:
F = (ESS / k) / RSS / (n-k-1), (6.4)
деESS - пояснювальна сума квадратів відхилень;
RSS - залишкова (непояснювальна) сума квадратів;
к - кількість ступенів свободи;
n - кількість значень факторів моделі.
При здійсненні F-теста для рівняння перевіряється, чи перевищує r2 те значення, яке може бути отримано випадково. Для розрахунку F-статистики для рівняння в цілому, формулу (6.4) можна трансформувати шляхом ділення чисельника і знеменника рівняння на TSS (загальну суму квадратів), відмічаючи, що ESS/TSS дорівнює r2, а RSS/TSS дорівнює (1 - r2). В результаті отримуємо наступне рівняння:
F= r2/к / (1 - r2) / (n - k - 1). (6.5)
Розрахунковий F-критерій визначається при відповідному рівні значущості і ступенях свободи і порівнюють з критичним F-критерієм Фішера. Значення останнього критерія представлені в спеціальних таблицях. Якщо розрахунковий F-критерій перевищує його критичне значення, то можно стверджувати, що пояснення, яке дає рівняння в цілому важливе, а економетрична модель адекватна. У протилежному випадку - модель вважається неадекватною, а пояснення неважливе.
Іншим важливим статистичним параметром для перевірки адекватності економетричної моделі є t-розподіл Стьюдента. Він використовується для оцінки надійності коефіцієнта кореляції. В цьому випадку t-статистика для r розраховується наступним чином:
(6.6)
Вибравши рівень значущості в 5%, дослідним шляхом знаходять критичне значення t з (n - 2) ступенями свободи. Якщо значення t перевищує його критичне значення (позитивний або негативний бік), то нульову гіпотезу відхиляють (про те, що коефіцієнт кореляції дорівнює нулю). В цьому випадку роблять висновок про лінійний зв'язок (позитивний або негативний).
Слід відзначити, якщо нульова гіпотеза підтверджується, то значення t буде перевищувати його критичне значення (в позитивний або негативний бік) тільки в 5% випадках. Це означає, що при виконанні перевірки ймовірності допущення помилки, що відхиляє нульову гіпотезу, коли вона фактично вірна, складає 5%.
Ймовірно, що ризик допущення такої помилки в 5% випадків досить великий для дослідника. Тоді він може скоротити ступінь ризику, здійснюючи розрахунки при рівні значущості в 1%. Критичне значення t зараз буде вище, ніж до цих пір, тому необхідна більш висока (позитивна або негативна) t-статистика для відхилення нульової гіпотези, а це означає, що потрібне більш вище значення коефіціента кореляції.
Наступним епатом оцінки адекватності економетричної моделі є перевірка її на гетеро або гомоскедастичність. Гомоскедастичність означає однаковий розподіл фактичних значень виборки змінних. Тобто фактичні значення спостережень іноді будуть позитивними, іноді негативними, іноді - відносно близькими до нуля, проте в апріорі відсутні причини появи великих відхилень між спостереженнями.
Разом з тим, для деяких виборок, можливо, більш доцільно припустити, що теоретичний розподіл випадкового члена є різним для різних спостережень. Це не означає, що випадковий член обов'язково буде мати особливо більші (позитивні або негативні) значення в кінці виборки, проте це означає, що апріорна йомовірність отримання більш відхилених значень буде відносно висока. Це є прикладом гетероскедастичності, що означає “неоднаковий розподіл”.
Гетероскедастичність стає проблемою, коли значення змінних, які включаються в рівняння регресії, значно відрізняються в різних спостереженнях. Якщо залежність може буде описана рівнянням, в якому економічні показники змінюють свій масштаб одночасно, то зміна значень невключених змінних і помилок виміру, впливаючи разом на випадковий член, роблять його порівняно незначними при незначних у і х і порівняно великими - при великих у і х.
Досить часто можно виявити проблему гетероскедастичності. В таких умовах можна здійснити відповідні дії по виключенню цього ефекту на етапі спеціфікації моделі регресії, і це дозволить зменшити або, можливо, усунути необхідність формальної перевірки. На нинішньому етапі запропоновано значне число тестів (і, відповідно, критеріїв для них). Найбільш поширеними тестами є: тест рангової кореляції Спірмена, тест Голфреда-Квандта і тест Глейзера.
При виконання теста рангової кореляції Спірмена припускається, що дисперсія випадкового члена буде або збільшуватися, або зменшуватися відповідно до збільшення змінної х, і тому в регресії абсолютні значення залишків і значення х будуть корельовані. Дані по х і залишки упорядковуються, і коефіцієнт рангової кореляції визначається як:
rx,e = 1 - (6УD2i/n (n2 - 1)), (6.7)
де Di - різниця між рангом х і рангом помилки е;
е - залишки.
Якщо припускати, що відповідний коефіцієнт кореляції для генеральної сукупності дорівнює нулю, то коефіцієнт рангової кореляції має нормальний розподіл з математичним очікуванням 0 і дисперсією 1/ (n - 1) в більших вибірках. Таким чином, відповідна тестова статистика дорівнює rx,e vn-1, і при використанні двобокового критерію нульова гіпотеза про відсутність гетероскедастичності буде відхилена при рівні значущості в 5%, якщо вона перевищує 1,96, і при рівні значущості в 1%, якщо вона перевищує 2,58. Якщо в моделі регресії знаходиться більше однієї пояснювальної змінної, то перевірка гіпотези може здійснюватися з використанням іншої з них.
Ймовірно, що найбільше відомим є формальний критерій, запропонований С. Голдфелдом і Р. Квандтом. При проведенні перевірки з цього критерію слід припускати, що стандартне відхилення (уі) розподілу ймовірностей Uі пропорційне значенню х в цьому спостереженні. Запропоновано також, що випадковий член розподілений нормально і не піддається автокореляції.
Всі n спостережень у виборці упорядковуються за значенням х, після чого оцінюються окремі регресії для перших n' і для останніх n' спостережень; середні (n - 2n') спостережень відхиляються. Якщо припущення відносно природи гетероскедастичності доцільне, то дисперсія U і в останніх n' спостереженнях буде більшою, ніж в перших n', і це буде відображено в сумі квадратів залишків в двох вказаних “часткових” регресіях. Визначаємо суми квадратів залишків в регресіях для перших n' і останніх n' спостережень відповідно через RSS1 i RSS2. Розраховуємо відношення RSS2/RSS1, яке має F-розподіл з (n' - к - 1) і (n' - к - 1) ступенями свободи, де к - число пояснювальних змінних в регресійному рівнянні. Потужність критерію залежить від вибору n' по відношенню до n. Грунтуючись на результатах деяких проведених експериментів, С. Голдфелд і Р. Квандт стверджують, що n' повинно складати порядок 11, коли n = 30, і порядка 22, коли n = 60. Якщо в моделі знаходиться більше однієї пояснювальної змінної, то спостереження повинні упорядковуватися за тією з них, яка, як запропоновано, пов'язана з уі і n' повинна бути більшою, ніж к + 1 (де к - число пояснювальних змінних).
Метод Голдфелда-Квандта може бути також використаний для перевірки на гетероскедастичність при припущенні, що уі обернено пропорційний хі. При цьому використовується подібна процедура, що і розглянута вище, проте тестова статистика зараз є показником RSS1/RSS2, який знову має F-розподіл з (n' - к - 1) і (n' - к - 1) ступенями свободи.
Тест Глейзера дозволяє більш ретельно розглянути характер гетероскедастичності. Він грунтується на тому, що знімається припущення, що уі пропорційна хі, а перевіряється лише більш подібна функціональна форма.
Для того, щоб використовувати цей метод, необхідно оцінити регресійну залежність у від х за допомогою методу найменших квадратів, а потім розрахувати абсолютні значення залишків е, оцінивши їх регресію. У кожному випадку нульова гипотеза про відсутність гетероскедастичності буде відхилена, якщо оцінка регресії відрізняється від нуля. Якщо при оцінюванні більше однієї функції, то орієнтиром при визначенні характеру гетероскедастичності може служити найкраща з них.
Мультиколінеарність - це поняття, яке використовується для опису проблеми, коли нестрога лінійна залежність між пояснювальними змінними призводить до отримання ненадійних оцінок регресії. Проте, така залежність, зовсім необов'язково дає незадовільні оцінки. Якщо всі інші умови задовільні, тобто якщо кількість спостережень і вибіркові дисперсії пояснювальних змінних великі, а дисперсія випадкового члена - мала, то в результаті можна отримати досить позитивні оцінки. Більш детально проблему мільтиколінеарності було розглянуто в темі 3.
Лекція 6
Тема 1. Побудова економетричної моделі з автокорельованими залишками
1.1 Визначення автокореляції залишків, її природа, причини виникнення і наслідки
Одним з основних припущень класичного лінійного регресійного аналізу є припущення щодо відсутності взаємозв'язку між значеннями стохастичної складової моделі е в різних спостереженнях, тобто припущення
. (1)
Якщо це припущення порушується - виникає явище, яке носить назву автокореляції залишків.
Автокореляція залишків - це залежність між послідовними значеннями стохастичної складової моделі.
У випадку автокореляції залишків маємо:
, (2)
і, у випадку гетероскедастичності, формально можна записати:
, (3)
де - деяка невідома константа, S - відома квадратна, додатково визначена матриця розміреністю nЧn.
Але на відміну від випадку гетероскедастичності матриця S не є діагональною, а є повною, діагональ якої містить одиниці, оскільки дисперсія випадкової величини е в цьому випадку є сталою, а інші елементи, як було показано у попередній темі представляють собою ненульові коваріації значень випадкової величини е в різних спостереженнях. Слід також зазначити,що вигляд і „наповнення" матриці S залежать від виду залежності між залишками.
У загальному випадку залежність між значеннями стохастичної складової е в різних спостереженнях для випадку автокореляції можна подати наступним чином:
, (4)
де с1, с2,.,сs - коефіцієнти автокореляції 1,2 і s-го порядку відповідно;
ui - випадкова величина, яка відповідає усім припущенням класичного лінійного регресійного аналізу - тобто вона розподілена за нормальним законом із сталою дисперсією і має нульове математичне сподівання.
Найпростішим і найбільш поширеним є випадок автокореляції залишків, коли залежність між послідовними значеннями стохастичної складової описують так званою авторегресійною схемою першого порядку - AR (1), яка має наступний вигляд:
. (5)
Якщо с додатне (с>0), то автокореляція залишків є позитивною, якщо с від'ємне (с<0), то автокореляція залишків є негативною. При с=0 автокореляція залишків відсутня.
Графічно випадки позитивної і негативної автокореляції залишків, а також її відсутності можна представити наступним чином (рис.1):
Рис.1 - Графічна ілюстрація автокореляції залишків
Коефіцієнт автокореляції с у виразі (7.5) не може бути визначеним безпосередньо, оскільки неможливо визначити дійсні (у генеральній сукупності спостережень) значення випадкової величини еi. Але його можна оцінити звичайним методом найменших квадратів (МНК) на основі відомих залишків для статистичної вибірки. Тоді отримаємо:
. (7.6)
На практиці ж замість (7.6) частіше обчислюють наступну оцінку коефіцієнта автокореляції с:
. (7.7)
Оцінку (7.7) називають ще циклічним коефіцієнтом автокореляції.
Автокореляція залишків найчастіше спостерігається у наступних двох випадках:
1) коли економетричну модель будують на основі часових рядів (у цьому випадку, якщо існує кореляція між послідовними значеннями деякої незалежної змінної, то буде спостерігатися і кореляція між послідовними значеннями стохастичної складової е, особливо, якщо використовуються лагові змінні);
2) коли допущена помилка специфікації економетричної моделі - до моделі не включена істотна пояснююча змінна.
При наявності автокореляції залишків в принципі можна оцінити параметри узагальненої економетричної моделі звичайним однокроковим методом найменших квадратів (МНК). Але отримані при цьому оцінки параметрів будуть неефективними. Негативними наслідками цього, як і у випадку гетероскедастичності, будуть:
1) завищені значення дисперсії параметрів моделі;
2) помилки при використанні t - тестів і F - тестів;
3) неефективність прогнозів, тобто отримання прогнозів з дуже великою дисперсією.
7.2 Тестування наявності автокореляції залишків
Оскільки автокореляція є негативним явищем, потрібно вміти його тестувати. На даний час найбільш розповсюдженими тестами, які використовуються для тестування автокореляції залишків, є наступні статистичні тести:
1) тест Дарбіна - Уотсона;
2) тест фон Неймана;
3) тест на основі нециклічного коефіцієнта автокореляції;
4) тест на основі циклічного коефіцієнта автокореляції.
Найбільш відомим і поширеним тестом перевірки моделі на наявність автокореляції залишків є тест Дарбіна-Уотсона. Цей тест використовується для авторегресійних схем 1-го порядку і має наступний алгоритм.
Алгоритм тесту Дарбіна - Уотсона
Крок 1. Виходячи з відсутності автокореляції залишків на основі методу найменших квадратів будується економетрична модель і обчислюються її залишки .
Крок 2. Розраховується статистика (критерій) Дарбіна-Уотсона за наступною залежністю:
(7.8)
Крок 3. Задаючись рівнем значимості , для числа факторів моделі m і числа спостережень n за статистичними таблицями DW - розподілу Дарбіна-Уотсона, визначаються два значення dL, і dU.
Крок 4. Будуються зони автокореляційного зв'язку, які схематично можна представити в наступному вигляді:
Рис. 2 - Зони автокореляційного зв'язку
Крок 5. На основі розрахункового значення критерію DW роблять висновок щодо наявності або відсутності автокореляції залишків:
· якщо - це свідчить про наявність позитивної автокореляції залишків;
· якщо - це свідчить про наявність негативної автокореляції залишків;
· якщо - неможливо зробити висновок ні про наявність, ні про відсутність автокореляції залишків;
· якщо - автокореляція залишків відсутня.
Лекція 7.
Тема 1. Оцінювання параметрів економетричних моделей у разі наявності автокореляції залишків
Для оцінювання параметрів економетричних моделей з автокорельованими залишками в основному використовуються наступні методи:
1) метод Ейткена (УМНК);
2) метод перетворення вихідної інформації;
3) метод Кочрена - Оркатта;
4) метод Дарбіна.
Перші два методи використовують у випадку, коли залишки задовольняють авторегресійній схемі першого порядку, третій і четвертий - можна застосовувати тоді, коли залишки описуються за авторегресійною схемою вищого порядку.
Розглянемо докладніше метод Ейткена (узагальнений метод найменших квадратів). Цей метод (як і у випадку гетероскедастичності) базується на перетворенні вихідної моделі з урахуванням коваріації залишків (дисперсійно-коваріаційної матриці залишків) у модель без корельованих залишків, до якої потім застосовується метод найменших квадратів.
Нехай в економетричній моделі випадкова величина задовольняє авторегресійній схемі першого порядку , де ui - нормально розподілені залишки. Тоді оператор оцінювання параметрів моделі, як і у випадку гетероскедастичності, буде мати вигляд:
, (1)
де
матриця S має вигляд:
. (2)
Параметр с наближено можна визначити на основі залишків вибіркової моделі, оціненої за звичайним методом найменших квадратів. З цією метою розраховують так званий скоригований циклічний коефіцієнт кореляції:
. (3)
Тоді параметри с дорівнюють:
. (4)
Оскільки коваріація залишків у матриці S при б >2 часто наближається до нуля, у практичних розрахунках зразу ж можна визначити матрицю S-1, обернену до матриці S:
. (5)
Використання виразу (7.13) значно полегшує і прискорює розрахунки оцінок параметрів моделі.
Найкращий незміщений лінійний точковий прогноз у випадку автокореляції залишків обчислюється за наступною залежністю:
, (6)
де B - вектор оцінок параметрів моделі, отриманих узагальненим методом найменших квадратів (УМНК); с - параметр з матриці S; - залишок в останньому спостережені, обчислений для моделі, параметри якої оцінені на основі узагальненого методу найменших квадратів; - вектор прогнозних значень пояснюючих змінних моделі.
Інтервальні прогнози у випадку автокореляції залишків обчислюють за такими ж самими залежностями, як і у випадку гетероскедастичності.
Тема 2. Методи інструментальних змінних
Одним із способів усунення корелювання пояснюючої змінної з випадковим відхиленням є метод інструментальних змінних. Сутність цього методу полягає в заміні змінної, що корелює із залишками, інструментальною змінною (ІЗ), яка повинна мати такі властивості:
· корелювати (бажано значною мірою) із заміненою пояснюючою змінною;
· не корелювати з випадковим відхиленням.
Опишемо схему використання інструментальних змінних на прикладі парної регресії, в якій
Y = в0 + в1X + е. (1)
Змінну X замінюють змінною Z такою, що cov (Z; X) ? 0 і cov (Z, е) = 0. Принципи використання інструментальних змінних передбачають виконання таких умов:
M (еt) = 0,cov (zt, еt). (2)
Відповідні вибіркові оцінки даних умов такі:
(3)
У розгорнутому вигляді остання система має вигляд:
. (4)
Звідки
. (5)
Нехай зі збільшенням обсягу вибірки D (X) прямує до деякої скінченної межі , коваріація cov (Z, X), до скінченної межі .
Покажемо, що в цьому разі прямує до істинного значення . З останньої системи маємо:
Тут ми скористались такими співвідношеннями: , тому що При великих обсягах вибірки розподіл прямує до нормального:
де
(8.6)
.
Лекція 8
Тема 1. Моделі розподіленого лага
1.1 Поняття лага та лагових моделей в економіці
Для багатьох економічних процесів типово, що ефект від впливу деякого фактора на показник, який характеризує процес, виявляється не одразу, а поступово, через деякий час або протягом деякого часу. Таке явище називається запізнюванням (затримкою), а проміжок часу, в якому спостерігається це запізнювання, - часовим лагом, або просто лагом.
Наприклад, функція споживання після різкої зміни доходу також змінюється, але не пропорційно до доходу. Зокрема, зі збільшенням доходу витрати значно зростають (задовольняються нагальні потреби), а потім можуть зменшуватися за рахунок збільшення інвестицій (плануються великі витрати і зростають нагромадження, а споживання зменшується). Вкладання коштів у наукові дослідження не одразу впливає на зростання продуктивності праці - має пройти певний час від виникнення наукової ідеї до її впровадження у виробництво. Капітальне будівництво також не дає миттєвих прибутків і т. ін.
Моделі, в яких досліджуваний показник у момент часу t визначається не лише поточними, а й попередніми значеннями незалежних змінних, називаються дистрибутивно-лаговими.
Моделі, в яких досліджуваний показник у момент часу t визначається своїми попередніми значеннями, називаються авторегресійними або динамічними моделями.
Якщо в економетричній моделі незалежні змінні використовують за кілька попередніх періодів, то такі моделі називають моделями з кінцевим лагом (скінченними моделями). Якщо вплив незалежної змінної не обмежується певним періодом, розглядають нескінченні лагові моделі.
Звичайно, нескінченна лагова модель більш загальна, однак практичне застосування такої моделі досить проблематичне через велику кількість факторів, складність внутрішньої структури та обмеженість часових рядів - інформаційної бази моделей.
Коефіцієнт а0 при незалежній змінній xt, що відбиває її вплив на залежну змінну в поточний період, називається короткостроковим, або впливовим, мультиплікатором.
Остання сума для скінчених моделей, очевидно, є скінченим числом. Для нескінченної моделі лагові коефіцієнти за певних умов також можуть утворити скінченну суму. Якщо кожен із коефіцієнтів розділити на їх суму, отримаємо відповідно нормовані коефіцієнти лага та нормовану структуру лага.
Усі нормовані коефіцієнти менші від одиниці, а їх сума дорівнює одиниці.
Дистрибутивно-лагові моделі, які ще називають моделями розподіленого лага, задовільно описують економічні процеси лише в стабільних (незмінних) умовах. Необхідність враховувати ще й поточні умови функціонування вимагає застосування узагальнених моделей.
Якщо економетрична модель містить не лише лагові змінні, а й змінні, що безпосередньо впливають на досліджуваний показник (тобто містить й поточні умови функціонування), то така модель називається узагальненою моделлю розподіленого лага:
(1)
Оцінювання параметрів таких рівнянь ускладнюється обмеженнями, що накладаються на коефіцієнти при лагових змінних.
Перш ніж будувати економетричну модель з лаговими змінними, необхідно обґрунтувати величину лага. Для цього застосовують взаємну кореляційну функцію - послідовність коефіцієнтів кореляції, які визначають ступінь зв'язку кожного елемента вектора залежної змінної з елементом вектора незалежної змінної, зсунутими один відносно одного на часовий лаг ф:
(2)
Серед отриманих коефіцієнтів кореляції вибирають найбільший за модулем, а відповідне значення часового зсуву вважають лагом. Якщо таких коефіцієнтів кілька, застосовують модель розподіленого лага.
Приклад. На основі взаємопов'язаних часових рядів, які характеризують чисту продукцію та капітальні вкладення держави за 20 років, побудувати взаємну кореляційну функцію, використавши дані табл.9.1.
У результаті розрахунків, виконаних за формулою для різних значень ф, отримано значення коефіцієнтів кореляції, що наведені в табл.9.1.
З табл.9.1 видно, що найбільше значення коефіцієнта кореляції ф =0,92. Він відповідає трьом значенням ф = {3,4,5}. Це означає, що найбільшого впливу капітальних вкладень на обсяг чистої продукції слід очікувати впродовж третього, четвертого та п'ятого років.
Таблиця 1 - Значення коефіцієнтів кореляції
Динамічна модель розподіленого лага в такому разі має вигляд
(9.3)
2. Оцінювання параметрів дистрибутивно-лагових моделей
Для оцінювання параметрів дистрибутивно-лагових моделей застосовують два можливих підходи: послідовне оцінювання і апріорне оцінювання.
Ідея першого підходу полягає в тому, щоб поступово досліджувати вплив запізнених змінних на залежну змінну. Другий підхід базується на припущенні, що параметри моделі мають певну закономірність, тобто пов'язані між собою деякими співвідношеннями.
Послідовне оцінювання параметрів виконується так: спочатку будують регресію залежної та незалежної змінних в один і той самий момент часу. Потім до моделі додають ще одну змінну - незалежну змінну в попередній момент часу, тобто розглядають залежність показника від двох змінних. Далі в регресію вводять ще одну змінну - у момент часу зсунутий на два попередніх проміжки, і т.п. Кожна з моделей досліджується на адекватність і значущість її параметрів. Процедура закінчується, коли параметри при лагових змінних починають бути статистично незначущими та (або) коефіцієнт хоча б однієї змінної змінює свій знак.
Такий метод хоч і повний, однак має певні недоліки. По-перше, те, що невідомою є максимальна тривалість лага, а це не дає змоги передбачити, скільки змінних увійде в модель. По-друге, між послідовними значеннями змінних здебільшого спостерігається висока кореляція, що породжує проблему мультиколінеарності в моделі. Крім того, через зменшення ступенів свободи в таких моделях оцінки стають дещо непевними, що також знижує їх якість.
Наявність мультиколінеарності між лаговими змінними ускладнює побудову моделі. Щоб усунути мультиколінеарність, на коефіцієнти при лагових змінних накладають додаткові обмеження (апріорне оцінювання), а саме - вибирають їх так, щоб вплив лага на досліджуваний показник був “односпрямований” (тобто коефіцієнти були б однакового знака) і зменшувався з кожним наступним кроком у минуле. Такі припущення реалізують, як правило, у моделях, де параметри змінюються в геометричній прогресії. Крім того, нескінченна сума членів спадної геометричної прогресії є скінченною величиною, що дає змогу узагальнити модель з кінцевим лагом і застосовувати однакові методи оцінювання параметрів.
Однак і в цьому разі залишається велика кількість оцінюваних параметрів.
Уведення в модель лагової залежної змінної yt 1 (затримка на один період), відоме як перетворення Койка, значно спрощує модель:
(4)
де = = aj (скінченне число), 0 < X < 1.
Така модель містить не лише поточні, а й попередні значення залежної змінної, тобто є авторегресійною.
Заміна незалежних лагових змінних xt-1, xt-2,. однією залежною змінною yt і зменшує кількість оцінюваних параметрів і усуває проблему мультиколінеарності, однак призводить до нових труднощів. Наявність у моделі лагової залежної змінної потребує перевірки передумови про незалежність змінних і залишків при застосуванні звичайного МНК. Крім того, залишки моделі vt =ut +л ut 1 часто виявляються серійно корельованими, а тому при дослідженні їх на автокореляцію необхідно використати спеціальні тести.
Отримана алгебраїчним способом модель Койка позбавлена теоретичного обгрунтування і фактично є послідовною моделлю.
З певних економічних міркувань можна отримати моделі, що зовні нагадують модель Койка, але з іншою інтерпретацією коефіцієнтів лагових змінних. Такими моделями є модель адаптивних сподівань
та модель часткового коригування
Ці моделі відрізняються від моделі Койка наявністю вільного члена, але при цьому реалізують різні ідеї щодо економічної діяльності. У першій моделі відображено думку про те, що люди навчаються з попереднього досвіду, причому нещодавній досвід має більший вплив, аніж попередній; друга - базується на тому, що через інертність економічної системи зміна одного економічного показника не одразу впливає на зміну іншого і відповідний рівень залежної змінної досягається через певний час.
Лекція 9
Тема 1. Оцінювання параметрів авторегресійних моделей
Три авторегресійних моделі - Койка, адаптивних сподівань і часткового коригування - можна подати в загальній формі:
(1)
Наявність лагових залежних змінних у динамічних моделях створює певні проблеми при оцінюванні параметрів: серед пояснюючих змінних є стохастичні (залежні лагові змінні), а також існує проблема серійної кореляції залишків моделі та лагових змінних. Залежно від гіпотез щодо залишків таких моделей використовують відповідні методи оцінювання.
Гіпотеза 1. Залишки є нормально розподіленими випадковими величинами з нульовим математичним сподіванням та сталою дисперсією.
Гіпотеза 2. Залишки описуються авторегресійною схемою першого порядку:
(2)
Гіпотеза 3. Залишки автокорельовані та описуються авторегресійною схемою першого порядку:
(3)
Першу гіпотезу виконують лише для моделі часткового коригування; саме для неї можливе застосування звичайного МНК. Однак залежність залишків від лагової змінної yt 1 у цій моделі призводить до зміщення оцінок параметрів. Та хоча оцінки параметрів будуть завищеними, вони матимуть найменшу середньоквадратичну похибку. І після визначення величини зміщення МНК-оцінки будуть найприйнятнішими.
Якщо залишки моделі визначають через автокорельовані випадкові величини, то МНК-оцінки параметрів моделі також матимуть зміщення, до того ж зміщення матиме також критерій Дарбіна - Уотсона. Тому для перевірки автокореляції залишків застосовують узагальнений критерій Дарбіна - Уотсона. Оцінювання параметрів таких моделей виконують узагальненим методом найменших квадратів (методом Ейткена), в операторі оцінювання якого коригуюча матриця має вигляд
Якщо лагову модель можна подати у вигляді
(5)
то до перетворених у такий спосіб даних залежної змінної застосовують звичайний МНК. Причому, параметр X вибирають з інтервалу 0 < X < 1 так, щоб мінімізувати суму квадратів залишків.
Якщо відносно залишків моделі приймається третя гіпотеза, то параметри оцінюють за допомогою таких методів:
1) класичного МНК після попереднього перетворення вхідних даних;
2) методу Ейткена (узагальненого МНК);
3) ітераційного методу;
4) методу інструментальних змінних;
5) алгоритму Уолліса.
Тема 2. Економетричні моделі на основі системи структурних рівнянь
1. Структурна форма економетричної моделі
Структурна форма економетричної моделі описує одно - та багатосторонні стохастичні причинні співвідношення між економічними величинами в їх безпосередньому вигляді. Вона містить усю суттєву інформацію щодо залежності між економічними явищами та процесами. Кожне співвідношення такої системи (рівняння чи тотожність) має певну економічну інтерпретацію. Структурні рівняння системи описують окремо економічні явища з урахуванням економічних, тех-нологічних, демографічних, соціологічних та інших факторів, що спричинюють змінювання залежних змінних. Характерною особливістю структурних рівнянь є їх певна автономність щодо визначених змінних, оскільки зміна останніх в одному структурному рівнянні не обов'язково зумовлює зміну залежних змінних в інших рівняннях.
Для адекватного відображення реальної дійсності та повного охоплення економічних показників одночасними співвідношеннями в системах, застосовують також тотожності - детерміновані залежності економічних величин. Тотожності не містять випадкових складових, а параметри їх заздалегідь відомі (найчастіше вони дорівнюють одиниці), тому вони не підлягають оцінюванню. Отже, справедливим буде таке означення:
Економетрична модель, що відображає структуру зв'язків між змінними, називається структурною формою моделі.
У загальному випадку структурна форма моделі має вигляд:
Ayt = Bxt + ut, (10.1)
де yt - вектор залежних (ендогенних) змінних; xt - вектор незалежних (екзогенних) змінних; ut - вектор залишків, t = 1, 2,., T.
2. Повна економетрична модель
Економетрична модель називається повною, якщо:
а) охоплює змінні, що суттєво впливають на спільно залежні змінні, а вектор залишків має випадковий характер;
б) містить стільки рівнянь, скільки в ній є спільно залежних змінних, тобто кожна залежна змінна пояснюється окремим рівнянням;
в) система рівнянь має однозначний розв'язок відносно спільно залежних змінних, тобто матриця A в моделі (8.14) невироджена (має відмінний від нуля визначник):
det A ? 0.
Повна модель застосовується у випадках, коли необхідно кількісно описати економічне явище чи процес або спрогнозувати їх розвиток.
3. Зведена форма економетричної моделі
Якщо економетрична модель застосовується не для аналізу системи, а для передбачення чи оцінювання параметрів, структурна форма моделі неприйнятна. Алгебраїчними перетвореннями систему структурних рівнянь зводять до форми, в якій кожне рівняння містить лише одну ендогенну змінну, яка є функцією від екзогенних змінних. Така форма рівнянь називається зведеною.
Зведену форму рівнянь можна назвати скороченою. Це пов'язано з тим, що при певних перетвореннях багато окремих економічних залежностей можуть бути виключені з розгляду, а отже, загальна кількість рівнянь може скоротитися.
Внаслідок таких перетворень зведена форма рівнянь, на відміну від структурної, не має ні безпосередньої, ні будь-якої економічної інтерпретації. Рівняння в зведеній формі дають змогу передбачити, як зміниться значення ендогенної змінної, якщо змінюватимуться значення екзогенних змінних, однак на підставі цих рівнянь неможливо пояснити, як і чому це відбувається. Саме через це зведену форму рівнянь називають також прогнозною. Отже, коли виникає питання щодо консультації чи практичні поради, системи рівнянь у зведеній формі особливо корисні, оскільки дають змогу формальну модель звести до мінімальної кількості співвідношень. Звичайно, зведена модель матиме цінність, якщо правильною є початкова структурна модель.
Зокрема, якщо економетрична модель повна, то її залежні змінні можна представити в явному вигляді як функції від спільно незалежних змінних, розв'язавши її відносно вектора залежних змінних yt.
Це можливо, оскільки за означенням матриця A такої моделі є не виродженою; після множення системи (1) на її обернену матрицю отримаємо:
yt = A-1Bxt + A-1ut. (3)
При таких перетвореннях параметри зведеної форми стають функціями від параметрів вихідних структурних рівнянь і залишки такої моделі, очевидно, є лінійною комбінацією залишків структурної моделі.
Ввівши позначення vt = A-1ut, R = A-1B, отримаємо спрощений вигляд моделі:
yt = Rxt + vt. (4)
У такій системі кожна залежна змінна визначається через незалежні змінні моделі, тобто система (10.4) є зведеною формою економетричної моделі.
Список літератури
1. Бородич С.А. Эконометрика: Учебное пособие. - Мн.: Новое знание, 2001. - 408 с.
2. Горчаков А.А., Орлова И.В., Половников В.А. Методы экономико-математического моделирования и прогнозирования в новых условиях хозяйствования. - М.: ВЗФЭИ, 1991.
3. Грубер Й. Економетрія: Посібник для студ. екон. спец., т.2. Переклад. - К.: ЗАТ "Нічлава", 1998. - 295 с.
4. Джонстон Д.Ж. Эконометрические методы. - М.: Финансы и статистика, 1960.
5. Доля В.Т. Економетрія. Методичний посібник з вивчення дисципліни (для студентів за напрямками підготовки 0501 “Економіка”, 0502 “Менеджмент”). Вид.2-е. - Харків: ХДАМГ, 2002. - 43 с.
6. Доугерти К. Введение в эконометрику / Пер. с англ. - М.: ИНФРА-М, 2001. - 402 с.
7. Егоршин А.А., Малярец Л.М. Корреляционно-регрессионный анализ. - Харьков: Основа, 1998. - 208 с.
8. Економетрія: Навч. - метод. посібник / За ред.С. Наконечного - К.: КНЕУ, 2001. - 192 с.
9. Клейнер Г.Б., Смоляк С.А. Эконометрические зависимости: Принципы и методы построения. - М.: Наука, 2000. - 104 с.
10. Конюховский П. Математические методы исследования в экономике. - СПб.: Питер, 2000. - 208 с.
11. Корольов О. Практикум з економетрії. - К.: УФІМБ, 2002. - 254 с.
12. Лещинський О.Л., Рязанцева В.В., Юнькова О.О. Економетрія: Навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл. - Л.: МАУП, 2003. - 208 с.
13. Лук'яненко І.Г., Краснікова Л.І. Економетрика: Підручник. - К.: Т-во “Знання”, КОО, 1998. - 494 с.
14. Лук'яненко І.Г., Городніченко Ю.О. Сучасні економетричні методи у фінансах. Навчальний посібник. - К.: Літера ЛТД, 2002. - 352 с.
15. Магнус Я.Р. и др. Эконометрика. Начальный курс. - М.: Дело, 1997. - 247 с.
16. Монахов А. Математические методы анализа экономики. - СПб.: Питер, 2002. - 176 с.
17. Наконечный С.І. Економетрія: Навч. - метод. посібник для самостійного вивчення дисципліни / С.І. Наконечний, Т.О. Терещенко; Київський національний економічний університет. - К.: КНЕУ, 2001. - 191 с.
18. Орлова И. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в EXCEL. - М.: Финстатинформ, 2000 - 136 с.
19. Толбатов Ю.А. Економетрика: Підручник для екон. спец. вузів / Київський державний торгово-економічний університет. - К.: Четверта хвиля, 1997. - 319 с.
20. Федосеев В.В. Экономико-математические методы и модели в маркетинге. - М.: Финстатинформ, 1996.
21. Четыркин Е.М. Статистические методи прогнозирования. - М.: Финансы и статистика, 1979.
22. Экономико-математические методы и прикладные модели: Уч. пособие для вузов / В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др. - М.: ЮНИТИ, 1999. - 391 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Типи економетричних моделей. Етапи економетричного аналізу економічних процесів та явищ. Моделі часових рядів та регресійні моделі з одним рівнянням. Системи одночасних рівнянь. Дослідження моделі парної лінійної регресії. Однофакторні виробничі регресії.
задача [152,8 K], добавлен 19.03.2009Економетричні моделі - системи взаємопов'язаних рівнянь і використовуються для кількісних оцінок параметрів економічних процесів та явищ. Прикладні економетричні моделі Франції та США. Макроеконометричні моделі України та прогнозування економіки.
реферат [20,6 K], добавлен 01.02.2009Особливість проведення розрахунків параметрів чотирьохфакторної моделі, обчислення розрахунків значень Yр за умови варіювання. Аналіз методів перевірки істотності моделі за допомогою коефіцієнтів кореляції і детермінації, наявності мультиколінеарності.
контрольная работа [36,2 K], добавлен 24.01.2010Застосування функції "ЛИНЕЙН" для оцінки параметрів та аналізу моделі. Перевірка загальної якості товару за допомогою коефіцієнта детермінації. Модель з якісними змінними. Значення F-критерію, який відповідає за статичну значущість всієї моделі.
контрольная работа [28,5 K], добавлен 09.11.2014Оцінка якості моделі лінійної регресії. Використання методу найменших квадратів при розрахунках параметрів. Згладжування рядів динаміки за методом простої середньої і експоненціального згладжування. Перевірка адекватності моделі за критерієм Фішера.
контрольная работа [272,3 K], добавлен 10.05.2015Вихідні поняття прогнозування, його сутність, принципи, предмет і об'єкт. Суть адаптивних методів. Прогнозування економічної динаміки на основі трендових моделей. Побудова адаптивної моделі прогнозування прибутку на прикладі стоматологічної поліклініки.
дипломная работа [1,2 M], добавлен 18.06.2015Характеристика економетрії, яка є галуззю економічної науки, що вивчає методи кількісного вимірювання взаємозв’язків між економічними показниками. Розрахунок та побудова споживчої функції. Методи дослідження мультиколінеарності між пояснюючими змінними.
курсовая работа [211,9 K], добавлен 29.01.2010Статистичні методи аналізу та обробки спостережень. Характерні ознаки типової і спеціалізованої звітності підприємств. Оцінка параметрів простої лінійної моделі методом найменших квадратів. Аналіз показників багатофакторної лінійної і нелінійної регресії.
контрольная работа [327,1 K], добавлен 23.02.2014Поняття та процес економічного прогнозування, процес формування прогнозу про розвиток об'єкта на основі вивчення тенденцій його розвитку. Сутність та побудова економетричних моделей. Зарубіжний досвід побудови та використання економетричної моделі.
реферат [43,5 K], добавлен 15.04.2013Поняття системи одночасних рівнянь. Структурна форма економетричної моделі. Побудова лінійної багатофакторної економіко-математичної моделі залежності фактору Y від факторів Xi. Аналіз на наявність мультиколінеарності згідно алгоритму Фаррара-Глобера.
курсовая работа [342,6 K], добавлен 18.07.2011Аналіз ринку металопластикових конструкцій. Позиція підприємства на регіональному ринку, проблеми ціноутворення та побудування його моделі. Методика розробки моделі прогнозування цін на ПВХ-конструкції, аналіз та оцінка її адекватності на сьогодні.
дипломная работа [270,3 K], добавлен 09.11.2013Перевірка загальної якості рівняння регресі та статистичної значущості оцінок параметрів економетричної моделі. Прогнозування значень залежної змінної. Визначення коефіцієнта еластичності. Економетричний аналіз лінійної функції парної регресії в MS Exel.
презентация [1,4 M], добавлен 10.10.2013Побудова загальної лінійної регресії та аналіз її основних характеристик. Перевірка гіпотези про лінійну залежність між змінними. Визначення статистичної властивості окремих оцінок і моделі в цілому. Альтернативні способи оцінки параметрів регресії.
лабораторная работа [77,0 K], добавлен 22.07.2010Витрати: сутність та способи обліку, класифікація, методи і моделі дослідження. Аналіз фінансового стану ВАТ "Сніжнянський машинобудівний завод" в 2009-2010 рр. Моделі прогнозування витрат. Управління охороною праці на підприємстві, електробезпека.
дипломная работа [855,1 K], добавлен 18.11.2013Параметри проведення економетричного аналізу. Метод найменших квадратів. Оцінка параметрів лінійної регресії за методом найменших квадратів. Властивості простої лінійної регресії. Коефіцієнти кореляції і детермінації. Ступені вільності, аналіз дисперсій.
контрольная работа [994,5 K], добавлен 29.03.2009Виробнича функція Кобба-Дугласа. Розрахунок методом математичної екстраполяції прогнозного значення обсягу виробництва при заданих значеннях витрат праці та виробничого капіталу. Оцінка адекватності моделі за критерієм Фішера. Оцінки параметрів регресії.
контрольная работа [39,9 K], добавлен 13.03.2015Графік емпіричних змінних. Графік регресійної функції. Відносна похибка розрахункових значень регресії. Коефіцієнти еластичності. Межі надійних інтервалів індивідуальних прогнозованих значень.
контрольная работа [119,0 K], добавлен 11.08.2007Основні поняття і попередній аналіз рядів динаміки. Систематичні та випадкові компоненти часового ряду. Перевірка гіпотези про існування тренда. Методи соціально-економічного прогнозування. Прогнозування тенденцій часового ряду за механічними методами.
презентация [1,3 M], добавлен 10.10.2013Інвестиційні проекти як об'єкт розподілу ресурсів. Місце інвестиційної діяльності в діяльності підприємства. Методи та моделі оцінки та розподілу інвестиційних ресурсів. Вибір прибуткового інвестиційного проекту, комплексний аналіз його ефективності.
дипломная работа [393,6 K], добавлен 09.11.2013Специфікація економетричної моделі парної регресії. Побудова лінійної, степеневої та показникової економетричної моделі, поняття коефіцієнта регресії та детермінації. Графічне зображення моделювання лінійного зв’язку, застосування F–критерію Фішера.
контрольная работа [5,1 M], добавлен 17.03.2010
