Методология построения комплексных систем эконометрических уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Методология построения комплексных систем эконометрических уравнений

1. Системы эконометрических уравнений. Виды системы эконометрических уравнении

Сложность и многогранность производственных взаимосвязей, объектов анализа и прогнозирования, специфика конкретной производственной структуры или особые цели и формы исследования часто обусловливают необходимость представления производственной функции не одним уравнением, а в виде системы уравнений.

Системы эконометрических уравнений можно условно подразделить на три вида.

К первому виду относятся системы независимых уравнений, каждое из которых решается самостоятельно, вне зависимости от других уравнений, но все они рассматриваются совместно в рамках единой экономико-математической модели, предназначенной для анализа, планирования или прогнозирования производства. Иными словами, интересы исследования производства в целом требуют совместного рассмотрения ряда функций, каждая из которых может характеризовать лишь одну из сторон этого производства.

Простейший вариант такой системы уравнений возникает при анализе выпуска продукции с применением определенной технологии, требующей строго фиксированных пропорций затрат различных ресурсов (непосредственная заменяемость ресурсов отсутствует). Тогда уровень затрат ресурса изменяется пропорционально изменению объема производства. Если рассматриваются два ресурса, причем возможен их расход сверх минимальной потребности на данный объем производства у, то производственная функция представляется системой неравенств:

х1> а1у,

х2 > а2у.

Технологическая характеристика описываемого этой системой производственного процесса определяется коэффициентами затрат

х1 х2

а1= -------- и а2 = -------

у у

В экономико-математических моделях часто исследуется определенный набор технологических процессов, в которых затрачивается ряд видов ресурсов и производится различная продукция. Если сохраняются предположения о пропорциональности затрат выпуску и отсутствии взаимозаменяемости ресурсов в рамках каждого производственного процесса, то основой модели служит система производственных функций вида:

хij = аijуj,

где хij - уровень затрат i-ro ресурса в j-м технологическом процессе; уj, - интенсивность j-ro процесса или выпуск j-ro вида продукции; аij- технологический коэффициент, норма затрат i-ro ресурса на единицу интенсивности j-ro процесса (или на единицу j-ro вида продукции).

При m ресурсах и n производственных процессах эта система содержит, очевидно, mn уравнений. Такой вид производственных функций широко применяется в моделях межотраслевого баланса и линейных моделях оптимального планирования и прогнозирования; они будут рассмотрены в последующих главах.

Ко второму виду относятся системы зависимых уравнений статического характера. Можно выделить два случая зависимости уравнений. В одном случае уравнения описывают последовательную цепочку прямых причинно-следственных связей; при этом факторы, влияющие на анализируемый результативный производственный показатель, сами являются функциями иных факторов, последние также находятся в зависимости от своих показателей-факторов и т.д. Например, одно уравнение системы может представлять объем национального дохода у в зависимости от величины трудовых ресурсов x1 и производственных фондов х2 т. е. функцию у = f (x1,x2). Другое уравнение определяет величину трудовых ресурсов х1 как функцию общей численности населения L, т. е. x1 = у (L). В такой системе уравнения решаются последовательно (сначала, например, определяется объем трудовых ресурсов на основе прогнозных данных о численности населения, а затем уже может рассчитываться национальный доход из первого уравнения).

В другом случае в цепи причинно-следственных зависимостей отражаются обратные связи, например, национальный доход у является функцией трудовых ресурсов и производственных фондов, т. е. у = f (x1, x2) , а величина производственных фондов х2 ставится в зависимость от созданного национального дохода у и иных факторовZ, т.е. х2 = у (у1 , z). В такой системе уравнения должны решаться совместно, одновременно.

В обоих рассматриваемых случаях системы уравнений второго вида включают два типа переменных: эндогенные и экзогенные переменные. Эндогенными являются "внутренние" переменные -- их значения рассчитываются в рамках самой системы уравнений. Экзогенные переменные влияют на эндогенные, но сами определяются за пределами данной системы уравнений; они являются как бы "внешними" переменными в том смысле, что воздействующие на них факторы данной системой уравнений не контролируются. Например, в только что приведенных примерах национальный доход, трудовые ресурсы, производственные фонды являются эндогенными переменными, а общая численность населения -- переменная экзогенная, ее величина определяется социально-демографическими факторами, лежащими вне рамок производственных функций. Для разрешимости системы уравнений необходимо, вообще говоря, чтобы число эндогенных переменных в системе было равно числу уравнений.

К третьему виду относятся динамические системы уравнений, охватывающие ряд периодов времени и устанавливающие зависимость переменных не только в пределах каждого периода, но и в связи с их состоянием в предшествующие периоды. Обратимся к примеру. Предположим, что в задачу прогнозирования входит определение четырех взаимосвязанных переменных для некоторого периода t: x1,t, х2,t, x3,t, х 4,t. В анализ включены не только их связи в самом периоде t, но и воздействие с запаздыванием, т. е. зависимости величин переменных в периоде t от состояния влияющих переменных в предыдущем (или еще более раннем) периоде. Такие влияния с запаздыванием вполне реальны; например, величина производственных фондов в народном хозяйстве в данном периоде в значительной степени зависит от объема капиталовложений предыдущего периода.

2.Экзогенные и эндогенные переменные

При построении системы уравнений нужно учитывать, что помимо влияний, показанных на рисунке, каждая анализируемая переменная может испытывать воздействие одной или нескольких экзогенных переменных. Пусть Z1,t обозначает экзогенные факторы переменной x1,t; соответственно для х2,t , х3,t, x4,tвведем агрегированные экзогенные переменные Z2,t , Z3,t , Zn,t . Тогда с учетом всех взаимосвязей имеем в общем виде следующую систему уравнений:

x1,t= f1 (х 3,t, х2,t - 1 , Z1,t)

x2,t= f2 (х 1,t, х3,t - 1 , Z2,t)

x3,t= f3 (х 2,t, х4,t - 1 , Z3,t)

x4,t= f4 (х 2,t, х3,t - 1 , Z4,t).

В этой системе четко различаются три группы переменных:

1) эндогенные переменные х1,t , х2,t , х3,t, x4,t, определение которых требует решения приведенной' системы уравнений;

2) запаздывающие эндогенные переменныех1,t - 1, х2,t - 1, х3,t - 1, х4,t- 1); для t-ro периода они считаются известными, определенными либо на основе статистической информации, либо в результате решения аналогичной системы уравнений, составленной для (t - 1)-гo периода;

3) экзогенные переменные Z1,t , Z2,t , Z3,t, Z4,t), определяемые за рамками данной системы уравнений.

Переменные второй и третьей групп имеют то общее, что их значения предопределены внешними по отношению к системе уравнений факторами; влияя на переменные t-ro периода, они сами не подвержены их обратному влиянию. Переменные второй и третьей групп будем называть предопределенными. Количество предопределенных переменных в уравнениях, как будет показано в следующем параграфе, имеет существенное значение для решения систем эконометрических уравнений. Частным случаем, упрощающим расчеты, является система уравнений в виде причинной цепочки зависимостей при отсутствии обратных связей между переменными. Пример такой системы зависимостей показан на рис. 8. Как видим, любая цепочка связей приводит в конечном счете к переменной х4,t, последовательно и без возвратов.

Данная цепь взаимосвязей с добавлением экзогенных переменных дает систему уравнений:

x1,t= f1 (х2,t - 1 , х 3,t - 1, Z1,t)

x2,t= f2 (х 1,t, х3,t - 1 , х4,t - 1 , Z2,t)

x3,t= f3 (х 1,t, х2,t , х4,t - 1 , Z3,t)

x4,t= f4 (х 2,t, х3,t, Z4,t).

Такие системы уравнений в виде однозначной причинной цепи называются рекурсивными (рекурректными) системами. Уравнения в них решаются не одновременно, а последовательно. Так, в приведенной системе вначале решается первое уравнение -- определение x1,t, как функция только предопределенных переменных. Затем из второго уравнения получаем х2,t, как функцию предопределенных переменных и уже вычисленной х1,t. Далее последовательно получаем х3,t из третьего уравнения и х4,t из последнего уравнения системы. Здесь расчеты в первых трех уравнениях являются, в сущности, подготовительными этапами для решения четвертого уравнения, в котором переменная x4,t может в конечном счете рассматриваться как сложная функция всех остальных переменных системы. В этом смысле рекурсивные системы занимают промежуточное положение между производственными функциями, состоящими из одного уравнения, и системы эконометрических уравнений, требующих одновременного решения.

3. Построение и расчет эконометрических моделей

Важным этапом построения эконометрической модели, в частности производственной функции, является отбор включаемых в нее показателей-факторов. Исследователь редко может назвать все факторы, в той или иной мере воздействующие на прогнозируемый “показатель, но если он знает достаточно много факторов, включение их всех в функции либо невозможно, либо просто нецелесообразно: влияние одних факторов может быть заведомо весьма слабым, по другим отсутствуют необходимые данные, наконец, множество включаемых факторов делает производственную функцию слишком громоздкой, неудобной в анализе и применении, к тому же сильно затрудняются вычисления. По отношению к реально разрабатываемым функциям, комплекс показателей-факторов обычно можно представить в виде

у = f (x1, x2 …, xk/xk+1, xk+2, … xm/xm+1 , xm+2 …, xn)

Из n факторов, определяющих величину зависимой переменной у, первые k факторов являются переменными величинами, включаемыми в уравнение производственной функции; факторы от (k + 1)-го до т-го в уравнение не входят, но каждый из них в наблюдаемой статистической совокупности фиксирован на определенном уровне,, не варьирует и потому не влияет на колебания зависимой переменной; факторы от (m + 1)-го до n-го являются переменными величинами, вариация которых влияет на изменения зависимой переменной, но в функцию эти факторы по тем или иным причинам не включены. На получение надежного уравнения производственной функции можно рассчитывать в том случае, когда первую группу составляет пусть небольшая по числу, но максимально мощная по силе воздействия на у совокупность важнейших факторов, а из остальных (n--k) факторов возможно большее число принадлежит ко второй, контролируемой группе.

В уравнение не должны одновременно включаться факторы, находящиеся между собой в строгой функциональной зависимости; включается лишь один из них -- по влиянию наиболее важный. Нежелательно и включение факторов, между которыми существует тесная корреляционная связь.

Специфика производственных функций состоит в том, что в качестве независимых переменных в них фигурируют в основном различные ресурсы производства. Построение производственной функции предполагает решение вопросов о перечне вводимых в функцию первичных ресурсов (труд, производственные фонды, природные ресурсы), о включении в модель промежуточных продуктов (сырье, материалы, топливо, энергия), об отражении качественных характеристик различных ресурсов. Практически в однопродуктовые эконометрические модели для народнохозяйственного уровня включают только первичные ресурсы либо двух видов (труд и производственные фонды), либо трех (добавляются природные ресурсы, чаще всего -- используемые земли). На уровнях отраслей, объединений, предприятий, списки ресурсов отличаются гораздо большим разнообразием, причем в них зачастую фигурируют промежуточные продукты, например, электроэнергия, топливо, корма, удобрения и др. Особо важное значение имеет достижение качественной однородности вводимых в модель ресурсов.

4. Проблема идентификации для систем эконометрических уравнений

Введение искусственных переменных. На основе качественного анализа сущности изучаемой зависимости и списка переменных величин делаются предварительные предположения о виде эконометрической модели: будет она представлена одним уравнением или системой уравнений, какую математическую форму намечается применить, каково примерно будет количество параметров функции. Окончательно эти вопросы решаются в процессе расчета модели.

Наличие исходных статистических данных и выбранной формы уравнения позволяет перейти к расчету параметров производственной функции. Существует ряд методов расчета параметров, однако практически в большинстве случаев применяется метод наименьших квадратов, который позволяет получить параметры функции, удовлетворяющие требованию минимальной суммы квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной от вычисленных по уравнению.

Метод наименьших квадратов может применяться и в случае, когда модель состоит не из одного уравнения производственной функции, а представляет собой систему уравнений. Однако расчет параметров для системы уравнений имеет некоторые особенности. Очень важное значение для расчетов имеет характеристика системы с точки зрения количества и "размещения" переменных в уравнениях.

Уже отмечалось, что переменные в системах эконометрических уравнений бывают двух видов -- эндогенные и предопределенные (к последним относятся экзогенные и запаздывающие эндогенные переменные). Учитывая это, введем понятие идентификации уравнений.

Обозначим через Н число эндогенных переменных, входящих с ненулевыми коэффициентами в исследуемое уравнение системы. Через D обозначим число предопределенных (экзогенных и запаздывающих эндогенных) переменных, которые содержатся а системе, но не входят в данное уравнение. Уравнение называется точно идентифицированным, если число Н на единицу больше числа D, т. е.

D + 1 = Н

эконометрический уравнение переменная рекурсивный

При условии D+1>Н уравнение называется сверхидентифицированным, а при D+1<Н - неидентифицированным. Рассмотрим в качестве примера систему уравнений, приведенную на стр.4. Первое уравнение этой системы содержит две эндогенные переменные x1,tи x3,t, т. е. Н = 2. Предопределенных переменных, входящих в систему, но не в первое уравнение, насчитывается пять, это х3,t - 1 , х4,t - 1 , Z2,t, Z3,t, Z4,t. Итак, для первого уравнения D+1=6>Н и уравнение является сверхидентифицированным. Аналогично можно показать, что и остальные уравнения этой системы являются сверхидентифицированными.

Для расчета параметров системы эконометрических уравнений наиболее благоприятен случай, когда все уравнения системы точно идентифицированны. Предположим, что система состоит из n точно идентифицированных уравнений с n эндогенными и m предопределенными переменными:

fi (x1, x2, ..., хn; Z1, Z2, ..., Zm ) = 0; i = 1, 2, ..„ п.

Для расчета параметров система вначале перестраивается в приведенную форму, при которой каждая эндогенная переменная выражается как функция только предопределенных переменных. Такая система имеет вид:

х1 = Yi (Z1, Z2, ..., Zm ), i = 1, 2, ..., п.

Для каждого уравнения этой системы на основе статистических данных определяются параметры методом наименьших квадратов (если он применим) или каким-либо другим методом, используемым для вычисления параметров отдельных уравнений регрессии. Затем приведенная система с вычисленными параметрами преобразуется алгебраическими методами в исходную систему уравнений. На этом последнем этапе расчета как раз и проявляется важность проблемы идентификации: для точно идентифицированного уравнения достаточно легко производится исключение не входящих в него предопределенных переменных.

Контрольные вопросы

Виды системы эконометрических уравнений.

Системы независимых уравнений и методы их решения.

Системы зависимых уравнений и методы их построения.

Динамические системы уравнений.

Виды переменных эконометрических уравнений.

Методика построения системы эконометрических уравнений.

Литература

Н.Ш.Кремер, Путко Б.А. Эконометрика.М.:ЮНИТИ-ДАНА,2002.

Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистка и эконометрика. М.:МЭСИ,2000.

Замков О.О. Математические методы и модели. -М.: ДиС, 2000.

Замков О.О. Эконометрические методы в макроэкономическом анализе.М 2003.

Бородич С.А. Эконометрика. Минск: Новое знание, 2001.

Нименья И.Н. Эконометрика. СПб.:Издательский Дом «Нева», 2003.

Ежеманская С.Н. Эконометрика. Ростов - на Дону, Феникс, 2003.

Магнус Я.Р. и другие. Эконометрика. М.: Дело,2000.

К.Доугерти. Введение в эконометрику. ИНФРА-М,1999.

Моделирование и прогнозирование экономических показателей на основе информационных технологий: Учеб. пос./Н.М.Махмудов. -Т.: ТГЭУ, 2002г.

Размещено на Allbest.ru