Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Национальный исследовательский университет

«Высшая школа экономики»

Факультет экономических наук

Образовательная программа «Экономика»

БАКАЛАВРСКАЯ ВЫПУСКНАЯ РАБОТА

Сравнительный анализ методик оценки Valueat Risk с точки зрения процикличности

Выполнил:

Студент группы БЭК 145

Шахкян Тигран Варужанович

Научный руководитель:

Доцент, к.ф.-м.н.,

Лапшин Виктор Александрович

Москва, 2018



Введение

На сегодняшний день российский рынок характеризуется неоднозначностью и нестабильностью, которые возникают из-за колебаний валютных курсов, высокой степени зависимости от сырьевого экспорта, неустойчивого баланса спроса и предложения, резких изменений конъюнктуры рынка и других факторов, существенная часть которых связана с западными экономическими санкциями, вызванными на фоне геополитических конфликтов. В связи с этим, на рынке наблюдается учащение стрессовых периодов и, следовательно,согласно статистике, увеличение объема торгов на бирже со стороны компаний для привлечения ликвидности с целью преодоления кризиса. Довольно часто точность оценивания моделей расчета рисков в течение таких периодов снижается из-за неожиданных резких изменений. процикличность риск рыночный

Контрагенты на российском рынке только накапливают опыт управления и оценки рыночных рисков и поэтому есть существенная потребность глубокого анализа уже существующих в мировой практике теоретических исследований и практических результатов. Центральный Банк предпринимает меры, направленные на поддержку формирования и развития у коммерческих банков систем внутреннего управления и контроля за рыночными рисками. Но сложность реализации этих процессов, возможно, состоит в недостатке единых универсально-эффективных теоретических методологий оценки рыночных рисков.

Практика показывает, что довольно часто рассчитанная риск-маржа для одних и тех же инструментов принимает относительно низкие значения в периоды до рыночного стресса и поддерживает более высокие уровни в посткризисные периоды. Данное явление определяется как процикличность моделей, которая может привести к серьезным негативным последствиям для компаний.

Поэтому решение проблемы процикличности является неотъемлемой частью повышения эффективности процессов оценки и управления рыночными рисками, что по вышеуказанным причинам является одной из главных задач с точки зрения актуальности и значимости.

Кроме того, недавние мировые финансовые кризисы показали к каким последствиям может привести неаккуратное управление рыночными рисками и подчеркивают важность их корректного оценивания.

Цель исследования - провести сравнительный анализ методов расчета количественной меры рыночных рисков ValueatRisk с точки зрения процикличности и с помощью статистического и стохастического моделирования сконструировать модель маржирования, которая значительным образом будет занижать эффект процикличности.

Для достижения вышеуказанных целей необходимо решение следующих промежуточных теоретических и практических задач:

· изучить специфику рыночного риска;

· проанализировать уже существующие методы расчета риска с выделением положительных и отрицательных сторон;

· сформулировать необходимые гипотезы и предположения для построения нового метода моделирования;

· оценить эффективность работы метода разными способами;

· протестировать значимость полученных результатов.

Объект исследования - показатель ValueatRisk, который является общепринятой мерой рыночных рисков.

Предметом исследования данной работы является процикличностьметодологий расчета рыночных рисков.

Информационная база исследования включает в себя данные из информационных терминалов Reuters и Bloomberg, веб-сайтов таких организаций как Московская Биржа, Cbonds, Центральный банк Российской Федерации и других открытых источников.

Термины и определения

В данном разделе даны описания некоторых терминов и обозначений, которые были использованы в работе для лучшего понимания проведенного исследования (Таблица 1).

Дни	Под днями в данной работе следует понимать торговые дни, если не указано иное уточнение.
Волатильность	Показатель, характеризующий изменчивость стоимости (доходности) финансового инструмента в течение определенного периода времени. В качестве меры волатильности используется стандартное отклонение изменения стоимости (доходности) финансового инструмента.
Временной горизонт	Период времени, за который производится расчет риска.
Заданная вероятность (доверительный уровень)	Уровень вероятности, с которой фактический убыток по позиции или портфелю не превысит значение VaR.
Квантиль	Уровень, который рассматриваемая случайная величина не будет превышать с заданной вероятностью.
Исторический период моделирования	Весь рассматриваемый период времени с размером N дней, в течение которого исследуется динамика актива для построения распределения их будущих значений.
Анализируемый интервал	Ряд данных с глубиной M дней, на основе которых рассчитывается VaR
Стрессовые (кризисные) периоды (наблюдения)	Периоды (наблюдения) с повышенной волатильностью.
Смешанное распределение	Взвешенная сумма теоретических распределений.
Оценка точности модели (БэктестированиеVaR)	Процедура проверки соответствия принятой модели VaR фактически наблюдаемым изменениям значений стоимости позиции финансовых инструментов.

Таблица 1 Термины и определения



Глава 1. ValueatRisk (VaR)

Компании начали использовать VaR в конце 1980-х гг. Одна из первых моделей была предложена финансовым конгломератом J.P. Morgan. Компания разработала широкомасштабную систему расчета VaR для оценивания прогнозов предельных потерь по всем открытым позициям в течение следующих 24 часов. Она моделировала несколько сотен риск-факторов с ежеквартально обновляющейся ковариационной матрицей и ежедневно фиксирующимися изменениями позиций по отношению этих риск-факторов.

Далее, в 1995 г. Базельский комитет по надзору за банками предложил использовать подход VaR для расчета резервов капитала в банковской сфере. Через год предложение было принято и в 1998 г. начало действовать.

Прежде чем название «ValueatRisk» стало общепринятым, многие корпорации в 1990-х годах для определения риска использовали разные термины. Вихчислебыли “Dollars-at-Risk” (DaR), “Capital-at-Risk” (CaR), “Income-at-Risk” (IaR) и “Earnings-at-Risk” (EaR). К 1996 году все эти названия исчезли из употребления.

1.1 Сущность показателя

На сегодняшний день одной из самых распространенных стоимостных мер риска является ValueatRisk. Данный показатель представляет собой такую максимальную величину потерь, которую изменения стоимости исследуемого актива (финансового индикатора, инструмента, портфеля и т.д.) с некоторой заданной вероятностью не будут превышать за определенный временной интервал.

Если выразить с помощью математических терминов, VaR является нижней гранью таких положительных величин C, что вероятность события YC (P(YC)) всегда меньше , где Y - абсолютное значение потерь для исследуемого инструмента за рассматриваемый интервал времени, а - задаваемое значение вероятности потерь ():

А если говорить статистическими терминами, то VaR - это квантиль функции распределения абсолютных значений потерь с определенным доверительным уровнем и интервалом временидля непрерывных случайных величин без участков нулевой вероятности:

где F - функция распределения величины Y.

Если предположить, что случайная величина Y имеет стандартное нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением , то графически это выглядит следующим образом:

Рисунок 1. VaR в случае нормального распределения с нулевым математическим ожиданием изменений стоимости инструмента



Разные корпорации для расчета показателя по своему усмотрению используют разные значения доверительного уровня и временного горизонта. Выбор доверительного уровня зависит от предпочтений компании к риску и в большинстве случаев используются значения 95%, 97,5% и 99%. Что касается выбора временного горизонта, он осуществляется в зависимости от срока удержания рассматриваемого инструмента или набора инструментов. Если анализируемая выборка изменений стоимости инструмента имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием, то VaR с горизонтом T дней можно вычислить через однодневное значение показателя следующим образом:

где:

- VaR с временным горизонтом T дней; - VaR с временным горизонтом 1 день.

Базельский комитет по надзору за банками рекомендует при расчетах применять временной горизонт 10 дней и доверительный уровень 99%.

Важно уточнить, что временной горизонт и глубина периода расчета VaR - это абсолютно разные величины. Под понятием глубины периода имеется в виду размер выборки, на основе которой рассчитывается показатель.

Несмотря на то, что VaR является наиболее часто используемой метрикой риска, показатель имеет некоторые недостатки. Во-первых, если рассматривать набор инструментов, то оценка VaR портфеля может получаться больше, чем сумма рисков всех бумаг, входящих в портфель, что свидетельствует об увеличении риска при диверсификации. Во-вторых, VaR может быть слишком чувствительным к параметру , поэтому выбор доверительного уровня необходимо осуществлять аккуратно.



1.2 Методы расчета

В данной работе рассмотрены следующие три основные методы оценки показателя VaR:

Ш Дельта-нормальный метод (Delta-normalsimulation);

Ш Метод исторического моделирования (Historicalsimulation);

Ш МетодМонте-Карло (Monte Carlo simulation).

1.2.1 Дельта-нормальный метод

Метод также называется параметрическим и представляет собой аналитический способ оценки VaR, который впервые был предложен компанией J.P. Morgan в системе в 1994 г.

На основе модели лежит предположение о нормальности распределения доходностей рассматриваемого актива. Существует два подхода к расчету дневных доходностей:

Ш Процентная:

Ш Логарифмическая:

где:

- стоимости актива в период t и t-1;

и - математическое ожидание и стандартное отклонение распределения доходностей.

В исследовании мы будем использовать метод процентных доходностей.

Таким образом, VaR для одного актива можно выразить как:

где - квантиль функции распределениязначений потерь.

Если рассматривается портфель из n инструментов, рыночная стоимость которого является линейной функцией от стоимости компонентов, то распределение доходностей портфеля также нормальное:

где:

- доходность портфеля;

- вес i-ой бумаги;

- корреляция между бумагами i и j.

Тогда, VaR портфеля можно представить в матричной форме:

где - ковариационная матрица, описывающая волатильность актива, которую мы будем рассчитывать двумя способами:

1. Модель с выборочной дисперсией (SMAmodel)

2. Модель экспоненциального сглаживания (EWMAmodel)

Модель с выборочной дисперсией (SMA)

Модель является одной из самых простых и предполагает, что на скользящем интервале (T) ковариация доходностей бумаг не меняется, что подразумевает стационарность временных рядов. В этом случае волатильность в день t вычисляется по формуле:

Модель экспоненциального сглаживания (EWMA)

Суть данной модели состоит в том, что недавним наблюдениям она придает относительно большее значение веса. В модели EWMA ковариационная матрица рассчитывается как взвешенное среднее авторегрессии и скользящего среднего первого порядка по формуле:

где - задаваемый параметр модели. При уменьшении , чувствительность модели к изменениям доходностей увеличивается. В берется при доверительном уровне . Но после проведения соответствующего анализа чувствительности к параметру , путем сравнения результатов бэктестирования полученных EWMAVaRна данных разных инструментов с различными значениями параметра, было принято решение использовать .

1.2.2 Метод исторического моделирования

В отличие от дельта-метода, метод исторического моделирования является непараметрическим. Основная идея модели заключается в предположении о том, что актив будет вести себя примерно так же, как в один из предыдущих дней рассматриваемого периода T.

Распишем пошаговый алгоритм расчета VaR данным методом:

· сначала выявляются рыночные факторы, влияющие на стоимость рассматриваемого актива (процентные ставки, курс валюты номинала и т.д.);

· определяются глубина расчета (M) (т.е. анализируемый период полученных данных) и доверительный уровень ();

· строится эмпирическая функция распределения дневных изменений стоимости актива, зависящая от выбранных факторов, и формируются M-1 различных сценариев поведения актива;

· берется квантиль от полученной выборки с определенным доверительным уровнем и глубиной расчета.

Полученное значение и есть исторический VaR.

Существуют некоторые модифицированные варианты подхода. Например, метод исторического моделирования с учетом весов наблюдений или так называемый «гибридный» метод. В отличие от обычного исторического подхода, где за рассматриваемый период T все наблюдения берутся с равными весами, в данном методе относительно недавние наблюдения получают большее значение веса, по той причине, что они оказывают большее влияние на актуальную динамику цен.Начиная с определенного дня t, вес наблюдения дня T-t+1 в раз больше, чем вес T-t. Таким образом, вес значения периода T-i, где i= 1,…, t, рассчитывается по формуле:

Другая популярная модификация - метод бутстрап, где модель сначала строит эмпирическое распределение изменений как в обычном подходе и далее генерирует некоторое количество выборок с возвращением с помощью полученных значений. Для всех сгенерированных выборок рассчитывается VaR и выбирается итоговая оценка показателя из полученного распределения значений с определенным доверительным процентом.

1.2.3 Метод Монте-Карло

Метод также известен под названием метод стохастического (или статистического) моделирования. Его основой является моделирование случайных процессов с определенными характеристиками. Метод по содержанию близок к исторической симуляции, однако, их главное различие состоит в том, что тут расчеты производятсяна основе не реальных данных изменений стоимости, а сгенерированных псевдослучайным образом.

Ниже представлен поэтапный алгоритм оценивания VaR по модели Монте-Карло:

· рассчитываются дневные изменения цен актива;

· выявляются рыночные факторы, влияющие на его стоимость;

· на основе реальных данных и ее характеристик, генерируются стохастическим образом большое количество (P) новых гипотетических выборок с возвращением;

· определяются глубина расчета (M) и доверительный уровень ();

· для каждой выборки рассчитывается VaR как квантиль от полученной выборки с определенным доверительным уровнем и глубиной расчета;

· вычисляется итоговый VaR как средневзвешенное значение из полученных P промежуточных показателей.

Как и у остальных моделей, у этой тоже есть множество разных применений. К ним относятся метод Монте-Карло с использованием разложения Холецкого или с использованием Метода главных компонент, цель которых - уменьшить размерность рассматриваемых данных путем отсечения нерелевантных генераций.

К методу Монте-Карло и исторического моделирования мы вернемся чуть позже в данной работе и будем использовать их в модифицированном виде для предложения собственной модели.

1.3 Преимущества и недостатки моделей

Многие теоретические и практические деятели, которые сталкивались с темой оценивания рыночных рисков с помощью VaRмоделей, критикуют их, аргументируя тем, что большая часть существующих методов предполагают нормальное поведение рынка, согласно которому кризисы случаются очень редко. Данная гипотеза не может быть всегда верной, так как в реальности, в зависимости от определенных факторов (экономических, политических и др.), рынок может вести себя далеко нестабильно и не подчиняться никаким законам распределений. Чтобы в какой-то степени избежать этой проблемы, многие предлагают использовать логнормальное распределение в моделях. Однако, несмотря на критику, все крупнейшие компании и институты для расчета рисков продолжают использовать модели VaR.

При изучении методов может возникнуть вопрос: «А какая из них самая эффективная?». К сожалению, нельзя однозначно ответить на этот вопрос, так как каждая из них имеет свои положительные и отрицательные стороны с точки зрения определенных критериев.

И так, перейдем к анализу описанных моделей.

1.3.1 Дельта-нормальный метод: Модель с выборочной дисперсией (SMA model)

Преимуществом данной модели является ее простота понимания, скорость вычисления, легкость реализации и отсутствие требований больших ресурсов для произведения необходимых расчетов.

Однако, метод обладает существенным недостатком. Как было написано ранее, в модели есть предположение о стационарности временных рядов, которое в реальности обычно отвергается, что означает непостоянство ковариаций во времени. Модель с выборочной дисперсией не учитывает их изменения.

1.3.2 Дельта-нормальный метод: Модель экспоненциального сглаживания (EWMAmodel)

Как и SMA модель, данный метод отличается скоростью расчетов и легкостью реализации, хоть и является чуть сложнее, так как тут очень важен правильный подбор параметра . Кроме того, способ содержит в себе идею о придания большей значимости недавних событий в актуальном оценивании рисков, что в большинстве случаев оказывается более эффективным.

Основным недостатком модели является ее запоздавшее реагирование на происходящие скачки во временных рядах изменений стоимости.

1.3.3 Метод исторического моделирования (Historicalsimulation)

К преимуществам модели можно отнести:

Ш отсутствие каких-то предположений о принадлежности данных к определенному распределению

Ш простота построения сценариев в зависимости от влияющих на стоимость рыночных факторов

Ш легкость реализации

Основным недостатком метода является сложность определения наиболее оптимальной глубины расчета VaR. В случае неоправданно большой глубины, нерелевантные для актуального значения показателя данные снижают точность оценки, а при неуместно малой глубине могут не учитываться важные наблюдения, что увеличивает вероятность ошибки в расчетах.



1.3.4 МетодМонте-Карло (Monte Carlo simulation)

Достоинства:

Ш В отличии от предыдущих моделей, метод Монте-Карло позволяет рассматривать огромное количество разных сценариев и учитывать особенности как спокойных, так и стрессовых периодов рынка, что несомненно повышает точность оценок

Ш нет никакой необходимости для предположения о виде распределения данных

Недостатки:

Ш относительно сложная модель

Ш реализация может длиться достаточно долго и требует больших вычислительных ресурсов

Ш аналогично методу исторической симуляции, сложность определения глубины расчета для получения максимально точных оценок



Глава 2. МоделированиеVaR с учетом эффекта процикличности

В этой главе мы предложим собственный метод расчета VaR, который основывается на историческом подходе. Модель предлагает подход к корректировке стандартного исторического метода с помощью симуляции Монте-Карло и с учетом эффектов процикличности. Для начала, опишем, что из себя представляет процикличность.

2.1 Эффект процикличности и способы его измерения

В экономике процикличность описывает зависимость изменений динамики показателей и инструментов от фазы циклов. Если во время экономического роста и спада изменение индикатора положительно коррелирует с динамикой рынка, то показатель имеет проциклический характер, а если отрицательно - контрциклический. Процикличность некоторых показателей может оказать крайне негативное влияние на состояние экономики. Например, если банковские требования по предоставлению капитала слишком процикличные, во время кризиса они будут значительно ужесточаться, что приведет к снижению объема кредитования и существенно усложнит процесс восстановления экономики.

В контексте риск-менеджмента, под процикличностью следует понимать эффект занижения моделями оценки рисков, уровней маржи, ставок обеспечения или показателя VaR в периоды перед кризисами, и длительное неоправданное завышение значений таких показателей в кризисные и посткризисные «спокойные» периоды.

Недооцененныемоделями значения риска в периоды перед стрессом могут создать серьезные проблемы, так как рассчитанная сумма может оказаться недостаточной для защиты контрагента от рисков (одна из причин мирового финансового кризиса 2008 года).

И так, перейдем к методам измерения процикличности, которые предлагают Д. Мерфи, М. Васиос и Н. Вос в своей работе.

2.1.1 Метод Peak-to-trough

Рассмотрим динамику акций Сбербанк и просчитанную на их основе VaR за последние 3 года (20.04.2015-20.04.2018):

График 1 Графическая иллюстрация метода Peak-to-trough

В данной работе в качестве доходностей рассматриваются их абсолютные значения, с целю анализа в одностороннем порядке. Видим, что маржа варьировалась от значения 0,02988 до 0,06512. Метрика процикличностиPeak-to-trough представляет собой соотношение между максимальным и минимальным значением маржи актива за фиксированный период времени и описывает вариабельность оценок риска за определенный цикл. Если рассматриваемый период достаточно длительный, что охватывает финансовый бум и рецессию, то метрика иллюстрирует процикличность в долгосрочной перспективе. Но краткосрочные результаты также содержат в себе значительную информацию.



2.1.2 Метод Measures of short-term margin rises

Рассмотрим более короткий период времени, который охватывает максимальный рост маржи за определенный короткий срок. Для предыдущего случая с акциями Сбербанка, данный промежуток находится в окрестности дня 06.01.2015. График 2 является приближенной версией Графика 1 и иллюстрирует вышеотмеченный период:

График 2. Графическаяиллюстрация метода Measures of short-term margin rises

Наибольшее положительное изменение маржи за 1 день лежит между значениями 0,06619 и 0,07223, а за 5 дней - между 0,066 и 0,07246. Итак, данная n-дневная метрика иллюстрирует максимальное положительное изменение оценки риска за n дней в течение фиксированного рассматриваемого периода.

2.1.3 Метод Increases from a high base

Вышеописанные две метрики больше описывают цикличность модели, чем процикличность, так как полученные по ним результаты основываются на всем интервале наблюдений и не фокусируются конкретно на периодах рыночного стресса. Чтобы рассмотреть именно такие периоды, нужно для начала ввести критерий их определения. Авторы данного метода предложили сделать это следующим образом:

· построить ряд 90-дневных стандартных отклонений доходностей за весь рассматриваемый период ();

· посчитать среднее значение и стандартное отклонение уже полученного ряда ();

· если 90-дневная волатильность ряда доходностей () выше, чем , то классифицировать данный период как стрессовый.

n-дневная метрика процикличности по данному методу представляет из себя наибольший рост маржи за n дней в течение фиксированного рассматриваемого периода, учитывая только интервалы, где рынок находится в стрессовом состоянии.

Ниже представлена графическая иллюстрация метрики:

График 3 Графическая иллюстрация метода Increasesfrom a highbase

По предложенному критерию, данный период является стрессовым и содержит максимальное увеличение маржи за 30 дней. Поэтому 30-дневная метрика равняется 0,07246 - 0,04334 = 0,02912.



2.2 Моделирование оценки рыночных рисков

Предложенный нами метод основывается на историческом подходе расчета VaR с использованием симуляции Монте-Карло и предлагает подход к корректировке с учетом эффектов процикличности.

Как уже было отмечено выше, расчет рисков методом исторического моделирования проводится на основе исторических данных и представляет собой квантиль выборки. Поэтому, предполагается, что исключение и добавление кризисных наблюдений в рассматриваемые периоды расчета VaR, то есть искусственное увеличение или уменьшение их волатильности, будет являться решением проблемы завышенного эффекта процикличности.

Но для того, чтобы понять какие конкретно наблюдения нужно добавить в исследуемые выборки, необходимо решить следующие промежуточные задачи:

1. определить какие точки являются кризисными, и составить из них окончательную выборку, откуда будут браться добавляемые точки;

2. определить необходимое количество добавляемых точек.

Для осуществления этого было использовано смешанное распределение, с предположением о том, что оно состоит из двух компонент (из бескризисной и кризисной частей). Плотность смешанного распределения выглядит следующим образом:

где:

- доходность определенного инструмента в день i;

- вес бескризисной компоненты, следовательно - вес кризисной;

- плотность распределения бескризисной компоненты;

- плотность распределения кризисной компоненты;

- математическое ожидание и стандартное отклонение бескризисной компоненты;

- математическое ожидание и стандартное отклонение кризисной компоненты;

- вектор параметров смешанного распределения, который состоит из .

2.2.1 Определение кризиса и составление кризисной выборки

Опишем пошаговый алгоритм, с помощью которого осуществляется конструирование кризисной выборки:

· с помощью метода максимального правдоподобия рассчитывается оценка вектора параметров распределения () на историческом окне:

Ш для этого строится функция правдоподобия:

Ш берется логарифм по ней и проводится максимизация:

· после получения исторических оценок ММП, рассчитываются значения плотностей по параметрам кризисной и бескризисной компонент в каждой точке и сравниваются для того, чтобы классифицировать данные и разбить исходную выборку на две части, тем самым выделив кризисные наблюдения.



График 4 Отобранные кризисные наблюдения

Синяя линия изображает доходности акций Сбербанк за 2008-2018гг, а красным цветом подкрашены значения, которые модель классифицировала как кризисные. Глядя на график, можно утверждать, что в рассматриваемом интервале практически все периоды с определенной длительностью, которые имели повышенную волатильность, были классифицированы моделью как кризисные.

2.2.2 Определение необходимого количества добавляемых точек

Кроме составления кризисной выборки, смешанное распределение было использовано в определении количества стрессовых наблюдений, добавляемых в соответствующие окна. Для этого, фиксируются полученные исторические значения и рассчитывается оценка максимального правдоподобия для весов компонент распределения w, но теперь уже с окном M дней.

Теперь, зная необходимое количество добавляемых в исследуемый период кризисных наблюдений и имея кризисную выборку, откуда их нужно брать, мы сможем перейти к расчету моделированного VaR с использованием алгоритма Монте-Карло. В рамках рассматриваемой модели посредством метода Монте-Карло будет осуществляться симуляция возникновения кризисного изменения доходности инструмента путем равновероятного выбора кризисной точки из всей сформированной кризисной выборки.

Ниже представлено пошаговое описание расчета итогового VaR для определенного актива:

· на основе эмпирических данных рассчитываются дневные доходности рассматриваемого инструмента за N дней;

· для определенного дня t берутся соответствующие исторические значения за M дней (t-M, …, t);

· в полученном распределении соответствующее количество точек с минимальными по абсолютному значению доходности заменяются стохастическим образом выбранными кризисными наблюдениями из построенной кризисной выборки;

· согласно алгоритму Монте-Карло выполняется P генераций, где каждый раз добавляются разные случайные кризисные наблюдения;

· для каждой генерации рассчитывается VaR, как z-процентный квантиль полученной выборки;

· вычисляется среднее арифметическое из полученных P значений.

Полученное значение является итоговой оценкой величины VaR.

График 5 иллюстрирует итоговые результаты, полученные на основе исходных данных инструмента Сбербанк, акция обыкновенная за период 2008-2018гг:

Синим пунктиром изображены абсолютные значения доходности инструмента, красным - моделированный VaR, темно-синим - исторический VaR, фиолетовым - дельта-нормальный VaR рассчитанный с помощью способа EWMA, а зеленым - с помощью SMA.



График 5 Итоговые результаты VaR по всем рассматриваемым моделям

В данных расчетах были использованы следующие параметры:

· историческое окно моделирования: N = 2500 дней (10 лет);

· глубина расчета: M = 750 дней (3 года);

· число генераций метода Монте-Карло: P = 1000 генераций;

· доверительный уровень: z = 99%.

Модель является универсальной и подходит для оценивания рыночных рисков с любыми разумными параметрами.

Проведем корреляционный анализ между историческими результатами всех моделей. В Таблице 2 представлена корреляционная матрица:

Таблица 2 Корреляционная матрица оценок VaR моделей

Corr	Моделированный	Исторический	EWMA	SMA
Моделированный	1,000000	0,951197	0,228973	0,950797
Исторический	0,951197	1,000000	0,317201	0,994300
EWMA	0,228973	0,317201	1,000000	0,291311
SMA	0,950797	0,994300	0,291311	1,000000

Рисунок 3 визуализирует полученные корреляции:

Рисунок 2 Визуализация корреляций

Чем темнее цвет квадрата с координатами названий моделей, тем больше между ними корреляция. Видим, что оценки VaR по моделированному методу сильно коррелируют с историческими и SMA оценками, что можно и заметить невооруженным глазом на Графике 5. Также, можем подчеркнуть большое значение корреляции между историческим и SMAVaR. Сильная коррелированность моделей говорит о том, что все они (кроме EWMA) похожим образом реагируют на происходящие изменения.



Глава 3. Оценка качества модели

В этой главе мы представим результаты оценивания точности и эффективности моделированного метода и проведем сравнительный анализ с остальными способами расчета. Для этого будут использованы бэктестирование и методы измерения процикличности, представленные в данном исследовании.

3.1 Бэктестирование

В риск-менеджменте одним из наиболее часто используемых способов подтверждения качества модели маржирования является бэктестирование. Данная процедура проводится путем сравнения спрогнозированных моделью оценки рисков значений VaR с величиной фактически наблюдаемых значений на основе исторических данных. В частности, проводится сравнение оценок величины VaR с изменениями стоимости рассматриваемого актива. Для этого задается глубина используемой выборки значения, которая обычно не меньше 250 дней, предшествующих дате проведения. Оценка эффективности используемой модели VaR определяется количеством допущенных превышений (пробоев) VaR за год (250 дней) на основе сигнальных значений метода «светофора» (threezonesapproach), согласно Таблице 3:

Зона	Количество случаев превышений, шт.	Характеристика эффективности модели
GreenZone	0-4	Безопасная зона
YellowZone	5-9	Сомнительная зона
RedZone	Больше 10	Неэффективная зона

Таблица 3 Зоны бэктестирования

При увеличении глубины временного интервала, допустимое количество превышений увеличивается пропорционально увеличению срока. Например, при бэктестировании модели за 2 года (500 дней) - в 2 раза, за 3 года (750 дней) - в 3 раза.

Модели считаются удовлетворительными, если результаты характеризуются GreenZone и YellowZone. Если результаты оценки точности модели указывают на то, что применяемые модели не обеспечивают требуемой прогнозной точности, а результаты бэктестирования свидетельствуют об их низкой эффективности (RedZone), то это указывает на необходимость пересмотра метода расчета риска.

И так, перейдем к оцениванию точности использованных нами моделей и проведем сравнительный анализ. График 6 иллюстрирует динамику числа пробоев VaR за 250 дней, начиная с 2012 года:

График 6 Результаты бэктестирования

Видим, что число превышений оценок моделированного VaR (красная линия) почти всегда были ниже 3, то есть модель всегда находилась в безопасной зоне. Это однозначно говорит о ее высокой точности с точки зрения бэктестирования.

За рассматриваемые 6 лет, только в 1,6% наблюдаемых дней всего периода историческая модель находилась вне зеленой зоны, что говорит о том, что историческая модель работает эффективно с вероятностью 98,4%, что, в принципе, является хорошим показателем.

В случае с оценками EWMA моделей, 6,4% дней результаты характеризовались как YellowZone, что говорит об относительно низком качестве. Хуже всех в бэктестировании продемонстрировала себя SMA модель. В 16,4% случаев, что в данном случае составляет примерно 1 год, модель оказалась в сомнительнойзоне.

С точки зрения бэктестирования, моделированный методявляется абсолютно и относительно эффективным подходом.

3.2 Измерение процикличности

Несмотря на широкое использование бэктестирования, как одного из основных показателей точности моделей, способ имеет также некие недостатки. На практике, в некоторых случаях, модели, которые показали идеальные результаты бэктестирования, могут значительно снизить точность оценивания в периодах рыночного стресса. Именно поэтому, кроме бэктестирования, компании используют также другие методы для оценки качества моделей. Так как наше исследование ориентировано еще на снижении процикличности, для сравнительного анализа мы будем использовать методы ее измерения.

3.2.1 Метод Peak-to-trough

Для использованных моделей были просчитаны метрики процикличности по данному методу с интервалом расчета 3 месяца, 1 год и 3 года начиная с 2014 года. В таблице 4 представлены средние значения показателей за 4 года:



	Моделированный	Исторический	EWMA	SMA
3 месяца	1,085	1,083	1,214	1,072
1 год	1,357	1,481	2,286	1,434
3 года	1,205	1,253	1,523	1,206
Среднее	1,216	1,272	1,674	1,237

Таблица 4 Средние значения оценок процикличности моделей по методу Peak-to-trough

График 7 иллюстрирует суммарные значения показателей за все три периода для каждой модели:

График 7 Кумулятивные средние значения оценок процикличности моделей по методу Peak-to-trough

Видим, что в краткосрочной перспективе оценки процикличности моделей находятся примерно на одном уровне. В среднесрочном периоде процикличность моделированного метода ниже. А в долгосрочном процикличность моделированного и SMA метода находятся примерно на одинаковом уровне, который ниже чем у других.

Нижеприведенные иллюстрации представляют значимые оценки долей случаев из всего рассматриваемого периода наблюдений, когда процикличность моделированного метода оказалась меньше по сравнению с остальными моделями на основе соответствующего тестирования:

	Исторический	EWMA	SMA
3 месяца	0,54	0,89	0,39
1 год	0,7	0,91	0,43
3 года	0,62	0,998	0,82
Среднее	0,62	0,93	0,55

Таблица 5 Процент превышения процикличности моделей относительно моделированного метода (Peak-to-trough)

График 8 Процент превышения процикличности моделей относительно моделированного метода (Peak-to-trough)

В среднем, в 60,9% наблюдаемых дней процикличность моделированного VaR была ниже, чем у исторического метода, в 93,1% случаев - ниже, чем у EWMA и в 53,1% случаев - ниже, чем у SMA.

Если посмотреть в целом, то самая низкая процикличность по методу Peak-to-trough оказалась у моделированного метода, а самая высокая - у EWMA.



3.2.2 Метод Measures of short-term margin rises

Приведем аналогичные предыдущему способу оценки процикличности иллюстрации. Ниже представлены средние значения оценок и их кумулятивный график, но уже с глубиной расчета 1 день, 5 дней и 30 дней:

	Моделированный	Исторический	EWMA	SMA
1 день	0,004	0,005	0,013	0,002
5 дней	0,005	0,006	0,016	0,003
30 дней	0,009	0,01	0,027	0,007
Среднее	0,006	0,007	0,019	0,004

Таблица 6 Средние значения оценок процикличности моделей по методу Measuresofshort-termmarginrises

График 9 Кумулятивные средние значения оценок процикличности моделей по методу Measuresofshort-termmarginrises

В краткосрочном периоде процикличность моделированного метода оказалась относительно выше, чем у остальных моделей, кроме EWMA, но это не говорит о плохом качестве, так как данный результат всего лишь представляет собой однодневную волатильность. Показатели с 5-дневным и 30-дневным окном у моделированного метода оказались ниже, чем у остальных, кроме SMA.

Ниже приведенные иллюстрации представляют статистически значимыедолипревышений процикличностимоделей относительно моделированного методаиз всего рассматриваемого периода, на основе соответствующего тестирования:

	Исторический	EWMA	SMA
1 день	0,13	0,94	0,02
5 дней	0,9	0,998	0,03
30 дней	0,998	0,91	0,75
Среднее	0,67	0,95	0,27

Таблица 7 Процент превышения процикличности моделей относительно моделированного метода (Measuresofshort-termmarginrises)

График 10 Процент превышения процикличности моделей относительно моделированного метода (Measuresofshort-termmarginrises)

В относительно краткосрочной перспективе, процикличность у моделированного метода выше, чем у остальных, кроме EWMA. Но с 30-дневным интервалом, с выборочной вероятностью 99,8%, уровень процикличности моделированного метода ниже, чем у исторического, с вероятностью 89,8% - ниже, чем у EWMA и с вероятностью 73,4% - ниже, чем у SMA.

3.2.3 Метод Increases from a high base

В 10 летней истории акций Сбербанк, интервалов, где волатильность соответствует критериям определения стрессовых периодов, принятым в данной работе, оказалось очень мало. Но, тем не менее, были получены следующие результаты по средним и кумулятивным оценкам процикличности с глубиной расчета 5 дней, 30 дней и 90 дней:

	Моделированный	Исторический	EWMA	SMA
5 день	0,01	0,01	0,017	0,008
30 дней	0,024	0,024	0,029	0,018
90 дней	0,036	0,036	0,029	0,026
Среднее	0,023	0,023	0,025	0,017

Таблица 8 Средние значения оценок процикличности моделей по методу Increasesfrom a highbase

График 11Кумулятивные средние значения оценок процикличности моделей по методу Increasesfrom a highbase



Результаты моделированного и исторического метода оказались одинаковыми, так как период, который является стрессовым (по нашим критериям) лежит на интервале, где оценки риска по обеим методам совпадают (до середины 2012 года). Причиной этого является кризис 2008 года, который создал высокую волатильность и увеличил исторические оценки VaR до такого уровня, что для нашей модели не было необходимости добавления кризисных наблюдения. Процикличность этих моделей в целом оказалась ниже, чем у модели EWMA, но выше, чем у SMA.

Анализируя полученные результаты, можно предположить, что процикличность моделированного метода является относительно низкой, если рассматривать в долгосрочной перспективе.

В расчетах по методу Peak-to-trough, модель продемонстрировала себя лучше, чем уже существующие методы.

По остальным двум методам, процикличность у предложенной модели принимала более низкие значения, чем у исторического метода и EWMA, но более высокие, чем у SMA.

3.3 Значимость полученных оценок

Для проверки точности полученных результатов, вся процедура ранее выполненных расчетов показателей (значения VaR, бэктестирование и все метрики процикличности) была проведена отдельно на исторических данных 100 наиболее ликвидных акций, портфеле облигаций и некоторых валютных пар, торгуемых на Московской Бирже. Представим полученные результаты и покажем, что предложенная модель работает также эффективно на исторических данных любых инструментов.

3.3.1 Бэктестирование

После расчета количества пробоев с годовым окном по всем бумагам за 1500 дней (04.2012-04.2018), были взяты средневзвешенные значения всего периода для каждой бумаги для иллюстрации. На Графике 12 можем видеть полученные значения:

График 12 Средневзвешенные значения числа пробоев по рынку

По горизонтальной оси расположенныекоординаты (1, …, 100) являются обозначенными номерами рассматриваемых бумаг по шкале ликвидности (1 - с наибольшим значением ликвидности, 100 - с наименьшим). По вертикальной расположенысредневзвешенные результаты бэктестирования на основе данных инструментов по каждому методу расчета VaR. Оценки по предложенной нами модели обозначены крестиком и присоединены прерывистой линией. Как можно заметить, почти для всех бумаг они принимают меньшие по сравнению с остальными моделями значения, что однозначно говорит о неоспоримом преимуществе модели, с точки зрения бэктестирования.

Также, представим средние показатели для каждой модели по вышеуказанным средневзвешенным значениям (Таблица 9):



	Моделированный	Исторический	EWMA	SMA
Среднее по рынку	2,914	4,372	4,855	5,076

Таблица 9 Средние показатели по рынку для каждой модели

Видим, что среднерыночный уровень по результатам бэктестирования моделированного метода принимает значение 2,9 пробоев, которое значительно меньше, чем у остальных моделей и соответствует характеристикам безопасной зоны по критериям Базельского комитета.

Теперь однозначно можем утверждать об абсолютной и относительной эффективности предложенной модели расчета рыночных рисков по прохождению бэктестирования.

3.3.2 Процикличность

В нижеприведенных иллюстрациях представлены результаты расчетов метрик процикличности и их сравнительные статистики на основе данных по 100 бумагам за 1000 наблюдаемых дней (4 года). В таблицах 10, 12 и 14 представлены средние показатели средневзвешенных по всем бумагам значений процикличности каждой модели с соответствующими методами измерения и интервалами расчета, а графики 13, 14 и 15 иллюстрируют их кумулятивные результаты. Таблицы 11 и 13 показывают среднерыночные проценты случаев из всего периода наблюдений, когда процикличность моделированного метода оказалась меньше по сравнению с остальными моделями для рассматриваемой бумаги.

	Моделированный	Исторический	EWMA	SMA
3 месяца	1,059	1,071	1,272	1,055
1 год	1,138	1,188	1,7	1,141
3 года	1,303	1,459	2,47	1,335
Среднее	1,167	1,239	1,814	1,177

Таблица 10 Среднерыночные значения оценок процикличности моделей по методу Peak-to-trough



График 13 Кумулятивные среднерыночные значения оценок процикличности моделей по методу Peak-to-trough

	Моделированный_Исторический	Моделированный_EWMA	Моделированный_SMA
3 месяца	0,451	0,968	0,505
1 год	0,651	0,991	0,511
3 года	0,857	0,994	0,552
Среднее	0,653	0,984	0,523

Таблица 11 Среднерыночный процент превышения процикличности моделей относительно моделированного метода (Peak-to-trough)

1. Measures of short-term margin rises

	Моделированный	Исторический	EWMA	SMA
1 день	0,007	0,008	0,023	0,004
5 дней	0,010	0,011	0,029	0,006
30 дней	0,015	0,017	0,038	0,009
Среднее	0,011	0,012	0,03	0,006

Таблица 12 Среднерыночные значения оценок процикличности моделей по методу Measuresofshort-termmarginrises



График 14 Кумулятивные среднерыночные значения оценок процикличности моделей по методу Measuresofshort-termmarginrises

	Моделированный_Исторический	Моделированный_EWMA	Моделированный_SMA
5 дней	0,736	0,97	0,205
30 дней	0,648	0,955	0,189
90 дней	0,622	0,949	0,197
Среднее	0,669	0,958	0,197

Таблица 13 Среднерыночный процент превышения процикличности моделей относительно моделированного метода (Measuresofshort-termmarginrises)

2. Increasesfrom a highbase

	Моделированный	Исторический	EWMA	SMA
5 дней	0,012	0,013	0,033	0,007
30 дней	0,017	0,019	0,042	0,009
90 дней	0,021	0,024	0,049	0,013
Среднее	0,017	0,019	0,041	0,01

Таблица 14 Среднерыночные значения оценок процикличности моделей по методу Increasesfrom a highbase



График 15 Кумулятивные среднерыночные значения оценок процикличности моделей по методу Increasesfrom a highbase

Среднерыночные результаты оказались идентичными результатам, полученным в подглаве 3.2.. Оценки VaR по предложенной модели, полученные методом Peak-to-trough, являются менее процикличными относительно остальных моделей.

Результаты по методам Measuresofshort-termmarginrises и Increasesfromahighbase опять же свидетельствуют об относительно лучшей демонстрации модели по сравнению с историческим методом и EWMA, и об относительно худшей по сравнению с SMA, что вероятнее всего произошло из-за предполагаемого методами краткосрочного периода анализа.

Можно заметить, что разницы между среднерыночными оценками, полученными по модели EWMA и по остальным моделям, являются достаточно значительными. Это говорит об относительно сильной коррелированности оценок EWMA с поведением рынка.

Также подтвердилось предположение о том, что процикличность моделированного метода является относительно низким, в случае анализа с долгосрочной перспективой.



Заключение

В данной работе проведен сравнительный анализ методов оценивания рыночных рисков с выявлением положительных и отрицательных сторон моделей маржирования.

На основе проведенного исследования существующих теоретических методологий и изучения актуальной для подходов проблемы завышенной процикличности, предложена собственная модель оценки, которая основывается на историческом подходе расчета VaR с использованием симуляции Монте-Карло и предлагает подход к корректировке с учетом эффектов процикличности.В ее основе лежало предположение о том, что искусственное манипулирование рассматриваемых периодов расчета VaR, а точнее искусственное изменение их волатильности, приведет к решению проблемы завышенного эффекта процикличности.

После построения модели и получения оценок VaR, изученные техники измерения процикличности помогли оценить данную величину. Для подтверждения качества и точности предложенной модели проведен сравнительный анализ между всеми методами. Полученные результаты показали, что при анализе с долгосрочной перспективой, модель обладает наименьшей процикличностью среди остальных, а при исследовании с краткосрочным интервалом, показатель принимает меньшее значение относительно исторического метода и EWMA, но превышает значение, полученное методом SMA.

Также, для оценки точности прогнозов модели, было использовано бэктестирование. Результаты оказались положительными и модель за анализируемые 6 лет почти не выходила из зеленой зоны, определенной Базельским комитетом.

Для проверки значимости результатов проведенных тестирований качества предложенной модели, все расчеты были выполнены для 100 наиболее ликвидных акций, портфели облигаций и некоторых валютных пар, торгуемых на Московской Бирже. Среднерыночные значения исследуемых показателей подтвердили ранее сделанные выводы.

Предложенная модель является достаточно эффективной для применения в условиях относительно высокой волатильности рынка.



Список использованной литературы

1. Дробыш И. И., Модели ValueatRisk в оценке рыночных рисков. Аудит и финансовый анализ. № 4. С. 101-112., 2015 http://www.auditfin.com/fin/2015/4/fin_2015_41_rus_03_04.pdf

2. Управление рисками: переход на новый уровень, Эффективное антикризисное управление, Strategicdecisionsandriskmanagement//Стратегические решения и риск-менеджмент, 2014

3. Basel Committee on Banking Supervision and International Organization of Securities Commissions, `Margin requirements for non-centrally cleared derivatives', September, 2013

4. Basel Committee on Banking Supervision, “Minimum capital requirements for market risk”, January 2016

5. Basel Committee on Banking Supervision, `Supervisory framework for the use of `backtesting' in conjunction with the internal models approach to market risk capital requirements', January, 1996

6. Brunnermeier M. and Pedersen L., `Market liquidity andfunding liquidity', Review of Financial Studies, Vol. 22. No. 6, pages2,201-38., 2009

7. Campbell S., `A Review of Backtesting and Backtesting Procedures', Federal Reserve Board Finance and Economics Discussion Series 2005-21, April, 2005

8. D. Murphy, M. Vasios, N. Vause, A comparative analysis of tools to limit the procyclicality of initial margin requirements, Bank of England Staff Working Paper No. 597, 2016 https://www.bankofengland.co.uk/working-paper/2016/a-comparative-analysis-of-tools-to-limit-the-procyclicality-of-initial-margin-requirements

9. D. Murphy, M. Vasios, N. Vause, An investigation into the procyclicality of risk-based initialmargin models, Bank of England Financial Stability Paper No. 28, 2014 https://www.bankofengland.co.uk/

10. Financial Stability Forum, `Report of the financial stabilityforum on addressing procyclicality in the financial system', April, 2009

11. Glyn A. Holton. Value at Risk: Theory and Practice. Academic Press, 2003.

12. Heller D. and Vause N., `Collateral requirements formandatory central clearing of over-the-counter derivatives', BISWorking Paper No. 373., 2012

13. History of Value-at-Risk: 1922-1998 Working Paper. July 25, 2002 https://www.glynholton.com/

14. Hull J. and White A., `Incorpor...