Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство науки и высшего образования РФ

ФГБОУ ВО «Бурятский государственный университет

имени Доржи Банзарова»

Факультет биологии, географии и землепользования

Кафедра земельного кадастра и землепользования

Самостоятельная работа

Вес функции искомой величины. Применение теории ошибок к геодезическим измерениям

Выполнил: студент группы 01410

Шабанов Жамсо Зориктуевич

Улан-Удэ,

2022

Оглавление

• Глава 1. Понятие веса и его свойства
• 1.1 Обратный вес функции общего вида
• Глава 2. Применение теории ошибок к геодезическим измерениям
• Заключение
• Список использованной литературы
• Введение

В практической жизни человек всюду имеет дело с измерениями. На каждом шагу встречаются измерения таких величин, как длина, объем, вес, время и др.

Измерения являются одним из важнейших путей познания природы человеком. Они дают количественную характеристику окружающего мира, раскрывая человеку действующие в природе закономерности. Все отрасли техники не могли бы существовать без развернутой системы измерений, определяющих как все технологические процессы, контроль и управление ими, так и свойства и качество выпускаемой продукций.

Отраслью науки, изучающей измерения, является метрология. Слово "метрология" образовано из двух греческих слов: метрон - мера и логос - учение. Дословный перевод слова "метрология" - учение о мерах. Долгое время метрология оставалась в основном описательной наукой о различных мерах и соотношениях между ними. С конца 19-го века благодаря прогрессу физических наук метрология получила существенное развитие. Большую роль в становлении современной метрологии как одной из наук физического цикла сыграл Д.И. Менделеев, руководивший отечественной метрологией в период 1892 - 1907 гг.

Исторически первой системой единиц физических величин была принятая в 1791 г. Национальным собранием Франции метрическая система мер. Она не являлась еще системой единиц в современном понимании, а включала в себя единицы длин, площадей, объемов, вместимостей и веса, в основу которых были положены две единицы: метр и килограмм.

В 1832 г. немецкий математик К. Гаусс предложил методику построения системы единиц как совокупности основных и производных. Он построил систему единиц, в которой за основу были приняты три произвольные, независимые друг от друга единицы - длины, массы и времени. Все остальные единицы можно было определить с помощью этих трех. Такую систему единиц, связанных определенным образом с тремя основными, Гаусс назвал абсолютной системой. За основные единицы он принял миллиметр, миллиграмм и секунду.

В дальнейшем с развитием науки и техники появился ряд систем единиц физических величин, построенных по принципу, предложенному Гауссом, базирующихся на метрической системе мер, но отличающихся друг от друга основными единицами.

Глава 1. Понятие веса и его свойства

Весом называется величина, обратно пропорциональная дисперсии:

Значение c постоянно для всех измерений и выбирается произвольно. При и формула веса принимает вид:

где - дисперсия такого измерения, вес которого равен единице.

Дисперсии результатов измерений , как правило, неизвестны. Заменяя неизвестные дисперсии их оценками, т.е. квадратами средних квадратических ошибок, получаем следующие приближенные формулы веса:

где -- средняя квадратическая ошибка измерения, вес которого равен единице (сокращённо называют ошибкой единицы веса).

При вычислении весов однородных (или углов, или линий) результатов измерений по формулам, размерность (или ) принимают равной размерности , (или ).

В этом случае веса являются величинами безразмерными.

Одной из причин введения весов является возможность установить их, и не зная величин и .

Так, пользуясь произвольностью выбора м в формуле для нивелирной сети получают следующую формулу веса,

(где -- число км в длине -го хода, которое определяют приближенно по схеме нивелирной сети).

Приведем еще одну полезную формулу.

Зная среднюю квадратическую ошибку измерения с весом, равным единице, и вес -го измерения, можно вычислить среднюю квадратическую ошибку -го измерения:

Пример 1

Вес угла равен 9. Найти среднюю квадратическую ошибку этого угла, если ошибка единицы веса равна 15''.

Решение.

Находим среднюю квадратическую ошибку угла

1.1 Обратный вес функции общего вида

Пусть дана функция измеренных аргументов. Измерения выполнены некоррелированно, известны их веса Используя формулы, получаем следующую формулу для вычисления обратного веса функции:

Если измерения величин коррелированы, т.е. коэффициенты попарной корреляционной связи отличны от нуля,, то обратный вес функции вычисляется по формуле:

Пример 2.

Найти веса следующих функций:

Если

Решение:

Увеличением числа измерений можно уменьшить только случайные ошибки опыта, но не систематические.

Максимальное значение систематической ошибки обычно указывается на приборе или в его паспорте. У неэлектрических приборов, имеющих шкалу с делениями, принимают в качестве систематической ошибки половину цены деления прибора. Для измерений с помощью обычной металлической линейки систематическая ошибка составляет не менее 0,5 мм. Приборы, имеющие дополнительную шкалу (нониус), имеют точность измерений, соответствующую дополнительной шкале. Например, для измерений штангенциркулем мм; микрометром - 0,01 мм.

На шкалах электроизмерительных приборов указывается класс точности. Согласно ГОСТу, электроизмерительные приборы делятся по степени точности на семь классов: Зная класс точности К, можно вычислить систематическую ошибку прибора ?х по формуле

где К - класс точности прибора в процентах, x_пр - предельное значение величины, которое может быть измерено по шкале прибора.

Так, амперметр класса 0,5 со шкалой до 5А измеряет ток с ошибкой не более

Среднее значение полной погрешности складывается из случайной и систематической погрешности

Ответ с учетом систематических и случайных ошибок записывается в виде:

Глава 2. Применение теории ошибок к геодезическим измерениям

Ошибки измерений изучаются теорией ошибок, основные положения которой излагаются далее. Более подробные сведения можно найти в специальной литературе. Любые измерения, в том числе геодезические, всегда сопровождаются теми или иными ошибками; выполнение измерений без ошибок невозможно в принципе, что является свойством реального мира. Однако само понятие «ошибка» несколько размыто, поэтому дальше для определенности будем говорить об истинных ошибках. При этом под истинной ошибкой некоторого измерения понимается разность

(2.1)

вес ошибка геодезическое измерение

между результатом измерения х и фактическим, истинным, значением измеряемой величины, которое, как правило, неизвестно. Таким образом, истинные ошибки (2.1) также неизвестны.

Наличие неизвестных ошибок неизбежно вызывает вопрос о достоверности выполненных измерений, о величине ошибок, о степени доверия полученным результатам измерений. В геодезии вопросам оценки результатов измерений всегда уделялось самое большое внимание. Несколько гиперболизируя, можно сказать, что вся история развития геодезии есть история борьбы с ошибками измерений, совершенствования приборов и методов измерения.

Ошибки геодезических измерений подразделяются прежде всего по закономерностям их возникновения на грубые, систематические и случайные ошибки.

Грубые ошибки, или промахи, могут достигать больших значений и вызываются чаще всего неопытностью или невнимательностью исполнителя (например, при измерении горизонтального угла был допущен грубый просчет, и ошибка отсчитывания по угломерному кругу составила 100), реже -- непригодностью используемых приборов или крайне неблагоприятными погодными условиями (работа в условиях плохой видимости -- тумана, работа с электронными приборами в условиях радиопомех и т.п.). Основным методом борьбы с грубыми ошибками служат повторные измерения, поскольку крайне маловероятно, что будет допущена точно такая же ошибка.

Систематические ошибки -- ошибки, имеющие постоянный знак и величину, которая может быть представлена в виде некоторой функции от одного или нескольких факторов. Знание законов образования систематических ошибок позволяет учитывать их путем ввода соответствующих поправок в результаты измерений, но незнание систематических ошибок, когда измерения выполняются в предположении их отсутствия, приводит к плохим результатам. Оценка точности результатов измерений при этом оказывается завышенной, так как систематические ошибки обладают свойством повторяться и накапливаться. Многократные измерения теми же приборами и по тем же методикам не позволяют выявить систематические ошибки, а только подтверждают полученные ранее результаты измерений, создавая ложное впечатление об их высокой точности. Один из способов борьбы с систематическими ошибками (не всегда возможный) -- разработка и применение методик измерений, при которых систематические ошибки исключаются или компенсируются.

Случайные ошибки -- ошибки измерений, проявляющиеся только при многократных измерениях одной и той же величины. Источниками случайных ошибок результатов измерений являются малые по величине случайные ошибки исполнителя, незначительные изменения внешних условий, незначительные ошибки используемых приборов. Каждое измерение можно рассматривать как некоторый физический опыт. Воссоздать с абсолютной, идеальной точностью одни и те же условия при повторном проведении измерения (другого опыта) не представляется возможным. Каждый раз условия хоть и на ничтожную величину, но будут отличаться от условий предыдущего опыта. (Можно напомнить слова древнегреческого философа Гераклита о том, что нельзя дважды войти в одну и ту же реку.) Суммарное влияние незначительно изменившихся условий (каждого из нескольких факторов) на конечный результат опыта может оказаться вполне ощутимым.

Например, если несколько раз измеряется расстояние, которое меньше длины используемой рулетки, то при этом возможно, что каждый раз натяжение рулетки выполняется с различным усилием (вследствие чего ее длина несколько изменяется случайным образом), изменяется температура окружающего воздуха, а следовательно, и температура рулетки, что опять-таки ведет к изменению ее длины. Кроме того, каждый раз совмещение начального штриха рулетки с начальной точкой измеряемого расстояния сопровождается случайной ошибкой, так же как со случайной ошибкой выполняется отсчет по рулетке.

Однако если фактическая длина рулетки существенно отличается от номинального значения, то эта систематическая ошибка будет повторяться от одного измерения к другому. Таким образом, принципиальное отличие случайных ошибок от систематических ошибок состоит в том, что случайные ошибки изменяются от измерения к измерению, тогда как систематические ошибки имеют одно и то же значение, «воспроизводятся» при каждом повторном измерении. При выполнении геодезических измерений результат измерения содержит, как правило, и систематические, и случайные ошибки.

Случайные ошибки представляют собой разновидность случайных величин, свойства которых изучаются теорией вероятностей. Как случайные величины случайные ошибки измерений подчиняются некоторому закону распределения случайных величин, в частности, наиболее часто ошибки измерений распределяются по нормальному закону, являющемуся предельным законом теории вероятностей. Отсюда следуют следующие свойства случайных ошибок измерений:

1. положительные и отрицательные значения случайных ошибок измерений равновероятны;

2. малые по абсолютной величине случайные ошибки более вероятны, чем большие;

3. среднее арифметическое из значений случайных ошибок при неограниченном возрастании числа измерений стремится к нулю, из чего следует основной способ ослабления влияния случайных ошибок на результаты измерений -- увеличение числа измерений;

4. случайные ошибки измерений с заданной вероятностью Р не превосходят соответствующего предела. При производстве геодезических измерений в качестве таких пределов чаще всего используется значение или , где -- значение среднеквадратической ошибки (объясняется далее) однократного измерения величины. Если пределом служит значение , то погрешность измерения не превысит указанного значения с вероятностью (т.е. только в четырех--пяти случаях из 100 ошибка измерений превысит заданный предел); если же предел принят равным , то соответствующая вероятность составляет 0,997 (предел будет превышен примерно в трех случаях из 1000).

Измерения некоторых величин могут характеризоваться одним и тем же абсолютным значением ошибки измерений, но точность измерений при этом может существенно различаться. Например, если с ошибкой 1 см было измерено расстояние 10 м, и с такой же ошибкой измерена линия длиной 1000 м, то очевидно, что во втором случае точность выполненных измерений, а также их трудоемкость намного превышают точность и трудоемкость измерений в первом случае. Таким образом, значение абсолютной ошибки Д

т.е. разности между результатом измерения х и фактическим значением измеряемой величины, иногда характеризует точность измерений не в полной мере. (Следует обратить внимание на различие понятий «абсолютная ошибка» и «абсолютное значение ошибки».) В соответствии с этим для оценки точности некоторых величин применяется относительная ошибка 5 -- отношение абсолютного значения ошибки Д измерения к среднему значению измеренной величины:

Как правило, с помощью относительных ошибок в геодезии принято характеризовать измерения линейных величин (расстояний и их частных случаев -- длины, ширины, диаметра, высоты и т.д.) и площадей. Относительную ошибку принято представлять обычно в виде аликвотной дроби -- дроби, числитель которой равен 1, а знаменатель -- некоторое число.

Заключение

Очень широко среди практиков распространено мнение, что все затруднения с вероятностной оценкой погрешности объясняются лишь их слабой подготовкой в области математической статистики и теории вероятностей. Бее необходимые для этого задачи, дескать, давно решены в теории вероятностей и теории случайных процессов. Стоит лишь как следует овладеть премудростью этих наук и все сложности разрешатся сами собой. Но это верно лишь отчасти. Очень многое применительно к нуждам оценки погрешностей еще ждет своей разработки.

Так, например, нельзя же ожидать, что для всего разнообразия законов распределения погрешностей математики дадут таблицы квантилей. Такие таблицы заняли бы целый том. Нужно какое-то другое решение, например, в виде приближенных формул, а такие формулы нужно разработать. Подобное положение наблюдается и с методикой суммирования погрешностей. Строгое математическое решение в пике многомерного распределения для практики бесполезно. То же самое относится и к имитационному моделированию, но методу Монте-Карло, так как оно не может дать общего решения, а численные решения всякий раз должны проводиться заново. Нужны упрощенные, практические методы. Это особенно относится к расчету погрешности косвенных измерений, где из-за математической сложности необходимо ограничиться самыми примитивными методами.

Не лучше положение и со сравнительной эффективностью различных оценок центра, рассеянием оценок контрэксцесса, энтропийного коэффициента и энтропийного значения, исключением промахов при распределениях, отличных от нормального. Даже такой, казалось бы, классический спрос математической статистики, как оптимальное число интервалов группирования экспериментальных данных для построения полигона или гистограммы, оказывается, имеет почти столько же «оптимальных» решений, сколько излагающих его авторов. Всюду рекомендуемое использование критериев согласия для идентификации формы распределения практически не позволяет произвести желаемой идентификации при тех данных, которыми исследователь фактически располагает.

Особого внимания заслуживает анализ путей повышения эффективности измерительного эксперимента. Это прежде всего разработка шкалы затрат на подготовку, постановку и проведение эксперимента и шкалы достигаемого эффекта с учетом как параметров мениска погрешностей, так и протяженности варьирования факторов. Естественно, что оценка результата сложного многофакторного эксперимента одним числом крайне примитивна. Здесь нужен системный, комплексный подход, своеобразная квалиметрия процесса измерения, в какой-то степени аналогичная квалиметрии СИ.

Одним словом, нерешенных вопросов в области оценки погрешностей результатов измерений вполне достаточно. Эти трудные и неблагодарные задачи еще ожидают энтузиастов дня их разрешения.

Список использованной литературы

1. Закон РФ "О техническом регулировании".

2. Димов Ю.В. Метрология, стандартизация и сертификация: Учеб. для вузов. - СПб.: Питер, 2006. - 432 с.

3. Коновалова Ф.Г. Основные положения системы допусков и посадок: метод. пособие для выполнения курсовых и контрольных работ для студентов механических специальностей всех форм обучения. - Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2008. - 30 с.

4. Крылова Г. Д. Основы стандартизации, сертификации, метрологии. - М.: ЮНИТИ, 2002. - 479 с.

5. Метрология, стандартизация и сертификация. Термины и определения: Справочное пособие. - СПб.: ПГУПС, 2002. - 43 с.

6. Радкевич Я.М. Метрология, стандартизация и сертификация: Учеб. для вузов. - М.: Высш. шк., 2004. - 767 с.

Размещено на Allbest.ru