Моменты инерции относительно параллельных осей
Определение момента инерции плоского сечения в различных осях. Расчет центробежного момента инерции относительно произвольной системы взаимно перпендикулярных осей и центральных параллельных осей. Зависимость между моментами инерции при повороте осей.
| Рубрика | Производство и технологии |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 30.07.2013 |
| Размер файла | 98,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция
Моменты инерции относительно параллельных осей
Задачу -- получить наиболее простые формулы для вычисления момента инерции любой фигуры относительно любой оси -- будем решать в несколько приемов. Если взять серию осей, параллельных друг другу, то оказывается, что можно легко вычислить моменты инерции фигуры относительно любой из этих осей, зная ее момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести фигуры параллельно выбранным осям.
Рис. 1. Расчетная модель определения моментов инерции для параллельных осей
Оси, проходящие через центр тяжести, мы будем называть центральными осями. Возьмем (Рис. 1) произвольную фигуру. Проведем центральную ось Оу, момент инерции относительно этой оси назовем . Проведем в плоскости фигуры ось параллельно оси у на расстоянии от нее. Найдем зависимость между и -- моментом инерции относительно оси . Для этого напишем выражения для и . Разобьем площадь фигуры на площадки ; расстояния каждой такой площадки до осей у и назовем и . Тогда
и
Из рис.1 имеем:
Первый из этих трех интегралов -- момент инерции относительно центральной оси Оу. Второй -- статический момент относительно той же оси; он равен нулю, так как ось у проходит через центр тяжести фигуры. Наконец, третий интеграл равен площади фигуры F. Таким образом,
(1)
т.е. момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, проведенной параллельно у данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.
Значит, наша задача теперь свелась к вычислению только центральных моментов инерции; если мы их будем знать, то сможем вычислить момент инерции относительно любой другой оси. Из формулы (1) следует, что центральный момент инерции является наименьшим среди моментов инерции относительно параллельных осей и для него мы получаем:
Найдем также центробежный момент инерции относительно осей , параллельных центральным, если известен (Рис. 1). Так как по определению
где: , то отсюда следует
Так как два последних интеграла представляют собой статические моменты площади относительно центральных осей Оу и Oz то они обращаются в нуль и, следовательно:
(2)
Центробежный момент инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей, параллельных центральным, равен центробежному моменту инерции относительно этих центральных осей плюс произведение из площади фигуры, на координаты ее центра тяжести относительно новых осей.
Зависимость между моментами инерции при повороте осей
Центральных осей можно провести сколько угодно. Является вопрос, нельзя ли выразить момент инерции относительно любой центральной оси в зависимости от момента инерции относительно одной или двух определенных осей. Для этого посмотрим, как будут меняться моменты инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте их на угол .
Возьмем какую-либо фигуру и проведем через ее центр тяжести О две взаимно перпендикулярные оси Оу и Oz (Рис. 2).
Рис. 2. Расчетная модель для определения моментов инерции для повернутых осей
Пусть нам известны осевые моменты инерции относительно этих осей , , а также центробежный момент инерции .Начертим вторую систему координатных осей и наклоненных к первым под углом ; положительное направление этого угла будем считать при повороте осей вокруг точки О против часовой стрелки. Начало координат О сохраняем. Выразим моменты относительно второй системы координатных осей и, через известные моменты инерции и .
Напишем выражения для моментов инерции относительно этих осей:
(3)
Из чертежа видно, что координаты площадки dF в системе повернутых осей будут:
Подставляя эти значения и в формулы (14.9), получим:
или момент инерция плоский ось
(4)
Аналогично:
или
(5)
Первые два интеграла выражений (4) и (5) представляют собой осевые моменты инерции и , а последний -- центробежный момент инерции площади относительно этих осей . Тогда:
(6)
Для решения задач могут понадобиться формулы перехода от одних осей к другим для центробежного момента инерции. При повороте осей (Рис.2) имеем:
где и вычисляются по формулам (14.10); тогда
После преобразований получим:
(7)
Таким образом, для того чтобы вычислить момент инерции относительно любой центральной оси , надо знать моменты инерции и относительно системы каких-нибудь двух взаимно перпендикулярных центральных осей Оу и Oz, центробежный момент инерции относительно тех же осей и угол наклона оси к оси у.
Для вычисления же величин > , приходится так выбирать оси у и z и разбивать площадь фигуры на такие составные части, чтобы иметь возможность произвести это вычисление, пользуясь только формулами перехода от центральных осей каждой из составных частей к осям, им параллельным. Как это сделать на практике, будет показано ниже на примере. Заметим, что при этом вычислении сложные фигуры надо разбивать на такие элементарные части, для которых по возможности известны величины центральных моментов инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей.
Заметим, что ход вывода и полученные результаты не изменились бы, если бы начало координат было взято не в центре тяжести сечения, а в любой другой точке О. Таким образом, формулы (6) и (7) являются формулами перехода от одной системы взаимно-перпендикулярных осей к другой, повернутой на некоторый угол , независимо от того, центральные это оси или нет.
Из формул (6) можно получить еще одну зависимость между моментами инерции при повороте осей. Сложив выражения для и получим
т.е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей у и z не меняется при их повороте. Подставляя последнее выражение вместо и их значения, получим:
где -- расстояние площадок dF от точки О. Величина является, как уже известно, полярным моментом инерции сечения относительно точки О.
Таким образом, полярный момент инерции сечения относительно какой-либо точки равен сумме осевых моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку. Поэтому эта сумма и остается постоянной при повороте осей. Этой зависимостью (14.16) можно пользоваться для упрощения вычисления моментов инерции. Так, для круга:
Так как по симметрии для круга то
что было получено выше путем интегрирования.
Точно также для тонкостенного кольцевого сечения можно получить:
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Преобразование геометрических характеристик при параллельном переносе осей. Геометрические характеристики простейших фигур и сложных составных поперечных сечений. Изменение моментов инерции при повороте осей. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
контрольная работа [192,8 K], добавлен 11.10.2013Оценка размеров поперечного сечения. Нахождение момента инерции относительно центральных осей. Расчет прочно-плотного заклепочного шва. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Проектный расчет вала при совместном действии кручения и изгиба.
курсовая работа [535,6 K], добавлен 19.11.2012Площадь поперечного сечения стержня. Изменение статических моментов площади сечения при параллельном переносе осей координат. Определение положения центра тяжести сечения, полукруга. Моменты инерции сечения. Свойства прямоугольного поперечного сечения.
презентация [1,7 M], добавлен 10.12.2013Поверхности осей, работающие на трение. Материалы для изготовления осей. Анализ технологичности конструкции детали. Шероховатости обрабатываемых поверхностей. Методы получения заготовки. Припуски на поверхности заготовки. Расчет припусков и допусков.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 21.12.2011Структурный анализ кривошипно-ползунного механизма. Построение планов положения, скоростей, ускорений и кинематических диаграмм. Определение результирующих сил инерции и уравновешивающей силы. Расчет момента инерции маховика. Синтез кулачкового механизма.
курсовая работа [522,4 K], добавлен 23.01.2013Структурный анализ механизма, его звенья и кинематические пары. Определение скоростей и ускорений точек звеньев и угловых скоростей звеньев. Силовой расчет рычажного механизма. Определение сил тяжести звеньев, инерции, момента инерции, реакции R34n и N5.
курсовая работа [619,4 K], добавлен 12.11.2022Кинематический анализ мальтийского механизма. Определение угловой скорости и ускорения креста. Кинематический анализ планетарной передачи, кривошипно-ползунного механизма. Приведение моментов инерции звеньев и определение момента инерции маховика.
контрольная работа [368,7 K], добавлен 10.10.2011Условия работы, режимы и нагрузки конвейерных установок. Функциональная схема устройства плавного пуска привода. Методики расчёта нагрузок и моментов инерции электроприводов. Пример расчёта нагрузок и момента инерции однодвигательного электропривода.
учебное пособие [1,8 M], добавлен 31.01.2014Напряжения и деформации при сдвиге. Расчет на сдвиг заклепочных соединений. Статический момент сечения. Моменты инерции сечений, инерции прямоугольника, круга. Крутящий момент. Определение деформаций при кручении стержней с круглым поперечным сечением.
реферат [3,0 M], добавлен 13.01.2009Определение понятий статического момента и момента инерции, действующих на валу главного привода. Расчет и построение механических и электромеханических характеристик двигателя. Расход электроэнергии за сутки, среднесуточный КПД и коэффициент мощности.
курсовая работа [2,3 M], добавлен 20.03.2012Кинематические диаграммы толкателя. Начальный радиус и профиль кулачка. Подбор чисел зубьев планетарной передачи. Геометрический расчёт зацепления. Определение момента инерции маховика. Приведение внешних сил. Работа и величина движущего момента.
курсовая работа [378,8 K], добавлен 18.04.2016Структурная схема рычажного механизма. Расчёт приведенного момента инерции. Расчёт приведенного момента движущих сил и момента сил сопротивления. Динамический анализ рычажного механизма. Проектирование кинематической схемы планетарного редуктора.
курсовая работа [231,8 K], добавлен 03.05.2015Определение расчётных нагрузок, действующих на балку, расчётных усилий, построение эпюр. Подбор сечения балки. Проверка прочности, жёсткости и выносливости балки. Расчёт сварных соединений. Момент инерции сечения условной опорной стойки относительно оси.
курсовая работа [121,4 K], добавлен 11.04.2012Расчетные формулы для кручения стержня в форме тонкостенного профиля, с круговым и не круглым поперечным сечением. Определение величин полярного момента инерции сечения и сопротивления. Эпюра касательных напряжений для бруса прямоугольного сечения.
презентация [515,8 K], добавлен 21.02.2014Структурный и кинематический анализ рычажного механизма. Определение масс звеньев, сил тяжести и центральных моментов инерции. Проверка уравновешивающего момента по способу Жуковского. Синтез зубчатого редуктора. Проектирование кулачкового механизма.
курсовая работа [749,5 K], добавлен 23.07.2013Основные этапы и направления процесса разработки системы управления электроприводом листоправильной машины, учитывающий переменность статического момента нагрузки и момента инерции, с целью повышения энергетической эффективности стана 112802300.
дипломная работа [4,1 M], добавлен 11.03.2012Стандартная система координат станка с числовым программным управлением. Направления стандартной системы координат различных видов станков. Методика и условные обозначения осей координат и направлений перемещений на схемах агрегатных станков с ЧПУ.
реферат [1,7 M], добавлен 21.05.2010Схема рычажного механизма. Классификация кинематических пар. Определение степени подвижности механизма. Синтез механизма. Силовой расчёт рычажного механизма. Определение силы полезного сопротивления. Определение сил инерции и моментов сил инерции звеньев.
курсовая работа [2,3 M], добавлен 10.01.2009Структурное и кинематическое исследование рычажного механизма. Построение планов скоростей и ускорений. Анализ сил, действующих на механизм: расчет сил инерции и моментов сил инерции и ведущих звеньев. Расчет маховика. Проектирование зубчатых передач.
курсовая работа [187,6 K], добавлен 15.08.2011Проектирование основного рычажного механизма, расчет момента инерции маховика, определение истинного закона движения звена приведения. Расчет геометрических параметров. Качественные и кинематические характеристики эвольвентного зубчатого зацепления.
курсовая работа [168,5 K], добавлен 28.01.2011
