Расчет и анализ линейных электрических цепей в установившемся режиме

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Расчет и анализ резистивных электрических цепей

2. Анализ установившегося синусоидального режима в частотной области

Литература

Приложения

ВВЕДЕНИЕ

Настоящие методические указания предназначены для студентов электротехнических специальностей дневной формы обучения, изучающих курс «Теоретические основы электротехники» (ТОЭ), «Общая электротехника и электроника», «Электротехника и электроника» и могут быть использованы студентами других специальностей при выполнении расчетно-графических работ.

Целью методических указаний является ознакомление студентов с методами расчета линейных электрических цепей и оказание им методической помощи в производстве и оформлении этих расчетов.

Методические указания содержат два задания, которые студенты выполняют в форме расчетно-графических работ под общим названием "Расчет и анализ линейных электрических цепей в установившемся режиме". Задания расположены в порядке последовательного перехода от простого к сложному, что облегчает процесс усвоения методов и алгоритмов расчета электрических цепей

Задания предназначены для самостоятельного выполнения с целью закрепления тех знаний, которые студенты получают на лекциях и практических занятиях. По своему содержанию они охватывают следующие разделы курса: эквивалентные преобразования в электрических цепях, резистивные электрические цепи с независимыми источниками питания, анализ установившегося синусоидального режима в частотной области.

1. РАСЧЕТ И АНАЛИЗ РезисТИВНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

1.1 Краткие теоретические сведения

1.1.1 Узловые уравнения электрической цепи

Одно из важных достоинств широко используемого на практике расчета с применением метода узловых напряжений заключается в относительно простой процедуре формирования уравнений, как по самой схеме, так и с помощью топологических матриц [1].

Для получения системы уравнений узловых напряжений по схеме предварительно выбирают базисный или опорный узел, потенциал которого принимают равным нулю. Напряжение в остальных (n_y-1) узлах находят относительно потенциала опорного узла. Правая часть каждого из уравнений системы представляет алгебраическую сумму токов всех источников тока, присоединенных к данному узлу, включая эквивалентные; коэффициентами левой части при неизвестных узловых напряжениях будут собственная и взаимные проводимости этого узла.

Для независимых узлов систему уравнений относительно узловых напряжений можно записать в следующем виде:

	(1)

где n_y - rоличество узлов электрической цепи;

U_n - напряжение в n узле;

g_nn - собственная проводимость узла n;

g_kn - взаимная проводимость между узлами k и n (k=1,2,3,…; k?n);

J_nn - алгебраическая сумма токов источников тока узла n.

Таким образом, система уравнений (1) представляет собой закон Кирхгофа для токов.

Коэффициент g_nn входит в уравнения со знаком "плюс" и равен сумме проводимостей всех резистивных ветвей, присоединенных к n узлу. Коэффициент g_kn входит в уравнение со знаком "минус" и равен проводимости ветвей, соединяющих узлы k и n. Ток J_nn определяют из условия, что токи источников тока, направленные к узлу n берут с положительным знаком; токи, направленные от узла - с отрицательным знаком.

После решения системы (1) и нахождения узловых напряжений производится расчет токов в ветвях электрической цепи на основании закона Ома:

	(2)

где I - ток в ветви, соединяющей узлы k и n;

U_K - потенциал узла, из которого ток направлен; берется со знаком "плюс";

U_n - потенциал узда, в который ток направлен; берется со знаком "минус";

E_kn - действующая в ветви э.д.с., взятая с положительным знаком, если ее направление совпадает с направлением тока и со знаком "минус", если не совпадает

g_kn - проводимость ветви, соединяющей узды k и n.

1.1.2 Метод контурных токов.

Основой метода является закон Кирхгофа для напряжений независимого контура. Для формирования уравнений относительно контурных токов необходимо определить по схеме число независимых контуров, указать одинаковое для всех независимых контуров направление контурных токов. После чего записать уравнения контурных токов, выбрав направление обхода контура в направлении соответствующего контурного тока.

Для n независимых контуров систему уравнений относительно контурных токов можно записать в следующем виде:

R₁₁I₁₁ + R₁₂I₂₂ + R₁₃I₃₃ … R_1nI_nn = E₁₁

R₂₁I₁₁ + R₂₂I₂₂ + R₂₃I₃₃ … R_2nI_nn = E₂₂ (3)

R₃₁I₁₁ + R₃₂I₂₂ + R₃₃I₃₃ … R_3nI_nn = E₃₃

R_n1I₁₁ + R_n2I₂₂ + R_n3I₃₃ … R_nnI_nn = E_nn , где

R_nn - собственное сопротивление контура: положительный коэффициент, численно равный сумме сопротивлений ветвей контура;

R_kn - сопротивление общих ветвей между контурами k и n : отрицательный коэффициент, равный сумме сопротивлений общих ветвей;

E_nn - контурная э.д.с., численно равная алгебраической сумме э.д.с. источников напряжения контура.

В результате решения системы уравнений будут найдены контурные токи независимых контуров. После чего определяют токи в ветвях электрической цепи.

1.1.3 Расчет тока с применением метода эквивалентного источника напряжения

В соответствии с теоремой об эквивалентном источнике [2], электрическую цепь относительно выводов ветви, в которой предстоит найти ток, можно заменить одним эквивалентным источником напряжения.

Для расчета э.д.с. Е_ЭК и внутреннего сопротивления R₀ источника необходимо исключить резистор из расчетной ветви (рис.1). Напряжение U₀ и сопротивление R_ВХ, найденные относительно выводов разомкнутой ветви являются искомыми параметрами источника напряжения:

;

В результате получим расчетную схему, приведенную на рис. 2

Рис.1	Рис.2

Из схемы следует, что ток I в заданной ветви определяется по формуле:

	(4)

где R - сопротивление резистора ветви.

Полученное значение тока должно совпадать с результатом расчета этого тока с применением метода узловых напряжений и метода контурных токов.

1.1.4 Баланс мощности

На основании закона сохранения энергии мощность, определяющая интенсивность необратимых процессов, связанных с потреблением энергии, должна быть равна мощности, связанной с выработкой энергии источниками напряжения и тока:

, где	(5)

Р_И - мощность всех источников;

- мощность источников э.д.с.;

- мощность источников тока;

- мощность нагрузки.

В алгебраической сумме положительны те слагаемые для которых направление тока ветви совпадает с действующей в ней э.д.с.; слагаемые, для которых это условие не выполняется - отрицательны.

В алгебраической сумме положительны те слагаемые, для которых напряжение на зажимах источника и его ток совпадают по направлению при обходе контура, образованного напряжением и ветвью с источником тока; слагаемые, для которых это условие не выполняется - отрицательны.

1.1.5 Расчет и построение потенциальной диаграммы

Для расчета потенциалов в точках соединения элементов контура предварительно выбирают точку, потенциал которой принимают равным нулю, В качестве такой может быть взята любая точка заданного контура. Потенциал в каждой последующей точке зависит от того, какой элемент включен на расчетном участке. Потенциал в конце участка, содержащего источник напряжения, зависит от направления э.д.с. Если э.д.с. действует в направлении обхода контура, то потенциал в конце участка равен:

где - потенциал в начале участка.

Если действие э.д.с. и направление обхода контура не совпадают, то

Потенциал в конце участка с сопротивлением R зависит от направления тока. Если ток направлен от узла 1 к узлу 2, то потенциал в конце участка равен:

если наоборот, то

Для наглядной иллюстрации распределения потенциала в контуре строят потенциальную диаграмму , где R - текущее значение сопротивления при обходе контура.

1.2. Содержание задания

Для заданного варианта исходных данных:

1. Составить систему уравнений по законам Кирхгофа в символьном виде.

2. Рассчитать токи в ветвях методом контурных токов.

3. Рассчитать токи в ветвях методом узловых напряжений.

4. Проверить баланс мощности.

5. Используя метод эквивалентного источника напряжения, найти ток в ветви с сопротивлением R₁.

6. Рассчитать потенциалы в точках соединения элементов внешнего контура, включая ветви, соединенные с землей.

Построить потенциальную диаграмму.

1.3. Указания к расчету

1. Выбор варианта.

Вариант задания определяется двумя цифрами: 1-я цифра соответствует номеру схемы электрической цепи (1 - 24); 2-я цифра - соответствует номеру строки из таблицы 1 [3].

Таблица 1

№	J	E1	E2	E3	E4	E5	E6	G	R1	R2	R3	R4	R5	R6	R7	R8	R9
	А	В	В	В	В	В	В	1/Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом
1	10	110	110	220	220	100	100	0,2	6	8	15	4	10	15	2	8	5
2	12	110	220	110	110	100	110	0,2	10	15	12	8	12	9	2	5	6
3	10	220	110	110	220	220	110	0,4	15	12	8	16	20	20	4	6	5
4	5	200	150	200	150	100	110	0,1	20	15	25	18	12	20	8	8	6
5	6	100	120	80	100	110	220	0,1	25	18	12	20	20	15	10	12	8
6	10	110	110	120	120	150	200	0,2	16	12	16	20	15	15	4	10	8
7	10	100	100	110	110	120	160	0,1	16	20	25	18	22	30	10	14	10
8	12	120	120	130	100	150	200	0,1	25	15	18	10	12	18	10	20	15
9	8	130	130	140	100	120	120	0,2	15	10	10	12	8	10	14	8	10
10	12	150	150	140	140	110	100	0,4	20	15	10	8	6	8	12	5	6
11	4	100	50	100	50	100	60	0,2	6	9	15	7	20	10	16	7	9
12	8	50	100	70	90	120	80	0,3	9	6	7	16	15	9	20	13	10
13	10	110	80	120	110	140	100	0,4	30	7	20	6	10	15	14	7	14
14	12	90	100	60	120	160	120	0,3	25	9	7	16	6	18	6	10	20
15	14	100	40	120	60	180	140	0,2	9	18	16	10	19	16	40	20	6

2. При выполнении пунктов 1-5 необходимо исключить из схемы электрической цепи ветви, содержащие вольтметры. Следует обратить внимание на то, что такие ветви могут быть образованы из двух полуветвей, соединенных с землей.

Для получения системы уравнений узловых напряжений и контурных токов следует выполнить следующие действия:

- в соответствии с количеством независимых узлов и контуров записать уравнения в общем виде (1) и (3);

- записать в символьном виде и рассчитать коэффициенты левой части и правую часть каждого из уравнений системы; подставить полученные значения коэффициентов и правой части в исходные уравнения;

Рис.1	Рис.2
Рис.3	Рис.4
Рис.5	Рис.6
Рис.7	Рис.8
Рис.9	Рис.10
Рис.11	Рис.12
Рис.13	Рис.14
Рис.15	Рис.16
Рис.17	Рис.18
Рис.19	Рис.20
Рис.21	Рис.22
Рис.23	Рис.24

3. Решение уравнений после подстановки численных значений коэффициентов и правой части в каждое из уравнений выполняется на ЭВМ.

4. Показания вольтметров находят для заданной электрической цепи с учетом ветвей, соединённых с корпусом (землёй).

Предварительно указывают положительное направление напряжения вольтметра и выбирают произвольный контур, включающий ветвь с вольтметром. По закону Кирхгофа для напряжений составляют уравнение, решив которое, находят напряжение . В тех случаях, когда вольтметр присоединен к узлам с известными напряжениями, его показания находят как разность узловых напряжений.

5. Проверка баланса мощности производится в соответствии с указаниями и формулами, приведенными в разделе 1.1.4.

6. Расчет э.д.с. и внутреннего сопротивления эквивалентного источника напряжения рекомендуется (по указанию преподавателя) выполнить дважды.

6.1. На основании закона Кирхгофа для напряжений и методов эквивалентного преобразования электрической цепи расчет U₀ = Е_эк и R_вх = R₀ производится в следующем порядке:

- представить схему электрической цепи после исключения из расчетной ветви сопротивления R; полярность напряжения U₀ в разрыве ветви определяется направлением тока I, принятом в начале расчёта;

- составить уравнение для произвольного контура, включающего U₀, по закону Кирхгофа для напряжений;

- рассчитать неизвестные токи, входящие в уравнение контура, используя метод узловых напряжений (в частном случае метод 2-х узлов);

- найденные токи подставить в уравнение для произвольного контура и решить его относительно U₀.

- расчет входного сопротивления относительно выводов разомкнутой ветви производится для пассивной цепи на основании эквивалентного преобразования «треугольник» - «звезда» или «звезда» - «треугольник».

6.2. На основании метода узловых напряжений и метода контурных токов. Порядок определения параметров эквивалентного источника напряжения и пример расчёта их на основании этих методов представлен в приложении .

7. Представить схему контура, для которого предстоит выполнить расчет потенциалов. Ввести обозначение точек соединения элементов и указать направление э.д.с. и тока на каждом расчетном участке. Расчет производится в соответствии с выражениями, приведенными в разделе 1.1.5. По данным расчета, представленным в форме таблицы, строится потенциальная диаграмма.

Таблица 2

R, Ом
U, В

2. АНАЛИЗ УСТАНОВИВШЕГОСЯ СИНУСОИДАЛЬНОГО РежимА В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ

Задачей анализа установившегося синусоидального режима является расчет амплитуды и фазы соответствующей реакции (тока иди напряжения) электрической цепи при воздействии на входе ее источника сигналов синусоидальной формы. В отличие от реакции цепей при постоянной внешнем воздействии, синусоидальные напряжения u(t) токи являются периодическими функциями времени. Связь между ними на элементах L и С описываются известными дифференциальными или интегральными уравнениями. Используя алгебру комплексных чисел, можно интегрально-дифференциальные уравнения относительно действительных функций u(t) и преобразовать в уравнения алгебраические относительно их комплексных амплитуд [1], которые не зависят от времени и являются функциями угловой частоты щ. По окончании расчета, выполненного относительно комплексных величин, необходимо осуществить обратное преобразование комплексных токов и напряжений в действительные функции тока и напряжения u(t). Такой подход к анализу установившегося синусоидального режима находит широкое применение в теории электрических цепей. Он является одним из простейших методов анализа в частотной области и называется комплексным методом или методом комплексных амплитуд.

2.1. Краткие теоретические сведения

Как известно, любое комплексное число, может быть представлено в алгебраической, тригонометрической и показательной формах:

	(6)

где - модуль комплексного числа;

- аргумент комплексного числа.

В выражении (6) модуль и аргумент комплексного числа - произвольные числа.

Если допустить, что , , то синусоидальную функцию тока можно изобразить в виде:

где - мгновенное значение тока;

- комплексная амплитуда, вещественный модуль которой равен амплитуде, а аргумент - начальной фазе тока .

Таким образом, представляется возможным для произвольной синусоидальной функции записать соответствующее комплексное число. При этом используют следующую форму записи:

или	(7)

где - знак соответствия;

- комплекс действующего значения тока; в дальнейшей комплексный ток.

В выражении (7) опущен множитель , т.к. он является общим для всех синусоидальных функций, входящих в уравнения электрической цепи, и, очевидно, может быть сокращен.

Запись мгновенного значения функции по заданной комплексной амплитуде производится просто. Например, если , то

	(8)

Данную процедуру можно считать обратным преобразованием из частотной области во временную.

При переходе к комплексным амплитудам операции дифференцирования и интегрирования относительно мгновенных значений u(t) или заменяется операциями умножения и деления на jщ соответствующих комплексных амплитуд.

Например

	(9)
	(10)

где - комплексное индуктивное сопротивление;

- комплексное емкостное сопротивление.

Из соотношений (9) и (10) следует, что анализ в частотной области позволяет ввести понятие комплексного сопротивления для индуктивности и емкости и получить уравнения для этих элементов, аналогичные уравнению резистивного элемента. Следовательно, представляется возможным формально подойти к расчету цепей синусоидального тока с элементами R, L и C так же, как к расчету резистивных цепей.

Например, для электрической цепи, в которой все элементы представлены в виде комплексных сопротивлений Z ветвей с неизвестными токами , система уравнений узловых напряжений имеет вид:

……………………………	(11)

где y_nn - собственная комплексная проводимость узда n;

y_nk - взаимная комплексная проводимость ветви между уздами n и k.

Приведенная система уравнений формально совпадает с системой (1).

Сохраняется при этом и порядок расчета правой части и комплексных коэффициентов левой части каждого из уравнений.

После расчета узловых напряжений по аналогии с (8) находится ток:

	(12)

Формальная аналогия с уравнениями резистивных цепей может быть использована при анализе установившегося синусоидального режима методами контурных токов, эквивалентного генератора, наложения и т.д.

Как известно, в электрических цепях синусоидального тока различают активную, реактивную и полную мощности. Наиболее просто их можно рассчитать используя выражение для полной мощности в комплексной форме:

	(13)

где - активная мощность (Вт);

- реактивная мощность (ВАР);

- сопряженный комплекс тока;

ц - угол сдвига фаз между и .

Из выражения (13) следует, что модуль полной мощности равен:

(ВА)

Положительный знак при мнимой части соответствует активно-индуктивной нагрузке, отрицательный - активно-емкостной.

Если сопротивление Z нагрузки известно, то расчет полной мощности нагрузки можно выполнить по формуле:

	(14)

где Z - комплексное сопротивление;

- модуль комплексного сопротивления;

I - модуль действующего значения тока.

Расчет полной мощности источников в комплексной форме можно выполнить по формулам:

= (15) - для источника э.д.с. (источника напряжения), где

- сопряженный комплекс тока источника э.д.с.;

= (16) - для источника тока, где - комплекс напряжения источника;

- сопряженный комплекс тока источника тока.

Проверка баланса мощности производится обычным порядком (см. раздел 1.1.4.), раздельно для каждой из мощностей.

2.2. Содержание задания.

Для заданного варианта исходных данных

1. Составить систему уравнений по законам Кирхгофа в дифференциальной и комплексной формах.

2. Найти комплексы действующих значений токов всех ветвей электрической цепи. Записать выражения для мгновенных значений этих величин.

3. Определить показания приборов.

4. Проверить баланс активной, реактивной и полной мощностей..

5. Написать выражения мгновенных значений напряжения и тока на входе приемника; построить графики этих величин.

6. Составить по законам Кирхгофа уравнения в дифференциальной и комплексной формах с учетом взаимной индукции между индуктивными элементами L2 и L3 и встречного включения их.

электрические цепи резистивные линейные

2.3. Указания к расчету.

1. Выбор варианта.

Вариант задания определяется двумя цифрами:

1-я цифра - соответствует номеру рисунка (рис.1 - рис.4) со схемой электрической цепи;

2-я цифра - соответствует номеру строки из таблицы 3 [3].

Таблица 3

№					R1	L1	R2	L2	C2	R3	L3	C3	f
	В	град	А	град	Ом	мГн	Ом	мГн	мкФ	Ом	мГн	мкФ	Гц
1	125	Задается преподавателем	64	Задается преподавателем	2	3	12	30	120	18	45	600	50
2	25		15		2	0,6	12	4,5	60	18	3	12	500
3	80		45		2	0,1	12	0,75	3	18	0,15	2	5000
4	150		70		8	12	10	36	120	22	180	72	50
5	60		28		8	2,4	10	18	7,2	22	3,6	12	500
6	125		60		8	0,4	10	0,75	2,4	22	1,2	0,5	5000
7	300		155		12	42	42	180	25	30	360	40	50
8	200		110		12	3,6	42	36	3,6	30	18	2,5	500
9	160		85		12	0,6	42	3,6	0,5	30	2,4	0,25	5000
10	75		40		6	9	65	270	15	45	240	200	50
11	160		85		6	1,6	65	24	20	45	27	2	500
12	60		32		6	0,3	65	5,4	0,3	45	0,45	0,3	5000
13	100		60		16	25	48	200	20	56	54	40	50
14	20		12		16	5	48	5,4	5	56	20	2,4	500
15	10		6		16	0,8	48	3,8	0,45	56	2,2	1,6	5000
16	22		14		4	6	16	120	55	15	72	200	50
17	40		22		4	1,2	16	7,2	20	15	12	5,5	500
18	26		15		4	0,2	16	1,6	0,65	15	0,45	1,25	5000
19	500		240		3	4,5	12	54	80	20	300	60	50

2. Для записи уравнений в комплексной форме необходимо представить комплексную расчетную схему, в которой элементы R, L и С заменяются комплексными сопротивлениями Z (проводимостями Y) ветвей ( 9,10) с неизвестными токами и напряжениями (или _m и _m ) .

3. Система алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами решается любым известным методом относительно узловых напряжений. Расчет тока производится в соответствии с выражением (12).

Запись мгновенных значений выполняется на основании обратного преобразования из частотной области во временную ( 8 ).

4. Расчет по пункту 4 производится в соответствии и на основании расчетных формул (13), (14), (15) и (16).

5. Графики напряжения и тока на входе приемника должны быть построены в масштабе по результатам расчета, представленного в форме таблицы 4.

Рис.1
Рис2
Рис.3
Рис4

Таблица 4

щt
u, В
i, А

На графиках следует показать начальные фазы, угол сдвига фаз ц и амплитуды представленных величин.

Литература

1. Новгородцев, А.Б. 30 лекций по теории электрических цепей./А.Б. Новгородцев. - СПб.: Политехника, 2006. - 576 C.

2. Бессонов, Л.А. Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи./Л.А. Бессонов. - 9-е изд.-М.:Гардарики, 2007. - 701 с.

3. Основы электротехники и электроники в задачах с решениями: учеб.пособие/ Г.Г.Рекус. - М.: Высш.шк., 2005. - 343 с.

4. Общая электротехника и электроника. Расчет и анализ линейных электрических цепей в установившемся режиме: метод. указания по выполнению расчетно-граф. работ для студентов дневной формы обучения: ЭЭФ: специальности: 220201, 230105 / сост.: Г.Л.Ганичев, В.В.Реутов. - Вологда: ВоГТУ, 2004. - 19 с.

5 Электротехника и электроника: матрич.-топол.методы рачета электр.цепей: метод.указания по формированию уравнений и расчету электр.цепей постоян.тока на ЭВМ: ЭЭФ: специальности: 220201, 230105 / [сост.:Г.Л.Ганичев, В.В.Реутов]. - Вологда: ВоГТУ, 2007. - 43 c.

Приложение 1

Расчет электрической цепи постоянного тока.

Задание на расчёт.

Параметры электрической цепи

Таблица 1.

E1	E2	Ik3	R1	R2	R3	R4	R5	R6
В	В	А	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом
14	25	3,25	5	2	8	2	2	6

Рис.8. Потенциальная диаграмма.

Приложение 2

Расчет электрической цепи синусоидального тока.

Схема электрической цепи и параметры элементов.

Таблица1

L1	C1	C3	R2	f	e1	e2	e3
Гн	мкФ	мкФ	Ом	Гц	В	В	В
0,12	16	8	100	200	169sin(щt + р)	169cos(щt)	169cos(щt + 3р/2)

5.3. Построение диаграммы.

Совмещённая векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений приведена на рис.5

Волновая диаграмма для тока приведена на рис.6

7. Система уравнений по законам Кирхгофа в дифференциальной и комплексной формах с учетом взаимной индукции.

Ориентируясь на ранее принятые направления токов в ветвях, одноимённые зажимы индуктивных катушек выбираем так, чтобы было их встречное включение. На схеме обозначим эти зажимы точками. Схема электрической цепи для этого случая представлена на рис. 7.

Рис. 7.

Система уравнений цепи в дифференциальной форме:

Система уравнений цепи в комплексной форме:

Размещено на Allbest.ru

...