Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися: на науково-технічних конференціях професорсько-викладацького складу і співробітників Національного аерокосмічного університету “ХАІ“, на науково-технічних семінарах кафедри № 403 у 1995 - 2003 рр., на XXII Гагарінських читаннях (МДАТУ ім. Ціолковського, Москва, 1996), а також впроваджені в практику проектування в Авіаційному науково-технічному комплексі “Антонов“.

Публікації. Основні наукові результати викладені в чотирьох статтях [1-4], які опубліковані в наукових журналах, що відповідають вимогам ВАК України щодо публікацій результатів дисертацій у фахових виданнях.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків і списку використаних джерел (163 найменування). Загальний обсяг дисертації - 147 сторінок, включаючи 47 рисунків, 14 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі коротко викладено сутність і значущість сформульованої в темі дисертації проблеми. Обґрунтовано актуальність створення і розвитку нових альтернативних до існуючих методів вирішення цієї проблеми. Визначено мету і задачі дослідження, обґрунтовано наукову і практичну цінність, а також наведено кваліфікаційні ознаки роботи.

У першому розділі наведено характеристику сучасного стану питань, що стосується теми дисертації. Присвячені стійкості пластин роботи розділені на три групи залежно від підходів, які використовуються. До першої групи віднесені роботи, для яких характерні математична строгість, глибоке пророблення моделей, прагнення до обґрунтованого урахування всякого роду неоднорідностей геометричного і фізичного характеру, нелінійностей, недосконалостей і багатьох інших більш-менш істотних факторів. Головний недолік підходу цієї групи полягає в тому, що результати отримані для простих елементів, за стандартних умов опирання (вільне та жорстке опирання, вільний край і т.ін.), що унеможливлює їхнє застосування для розрахунку складних конструкцій. На противагу підходам першої групи виділено підхід, що базується на сучасних МСЕ-технологіях. Достоїнства МСЕ загальновідомі, але ряд його недоліків, відзначених у роботі, роблять його малопривабливим, особливо для задач стійкості. До третього напрямку віднесені роботи з експериментальних досліджень, хоча вони тісно пов'язані з приведеними вище напрямками. Відмічено велике значення натурних статичних випробовувань у літакобудуванні.

Відсутність дослідних робіт, присвячених стійкості нервюри як конструктивного елемента, пояснюється складністю постановки і вирішення задачі. У даній роботі при дослідженні стійкості нервюри розглянуто відсік крила, що включає в себе нервюру і панелі, до яких вона кріпиться за допомогою пружних ланок (компенсаторів або книць), сама нервюра являє собою пластину, підкріплену на криволінійних границях поясами і стикувальними стояками, а в області - дискретною системою стояків.

Для проведення намічених досліджень вибрано МІКУ, який реалізовується в три основні етапи:

- визначення вихідного НДС, стійкість якого підлягає дослідженню;

- постановка та вирішення крайових задач з метою ідентифікації крайових умов для виділеного блока системи;

- постановка та розв'язання власне задач стійкості.

Другий розділ присвячений визначенню вихідного НДС нервюри. При цьому зовнішні навантаження на нервюру вважаються заданими (визначається тільки внутрішнє НДС - у термінах МІКУ), тим самим вибір способу визначення зовнішніх навантажень та їхній розрахунок залишаються поза рамками даної роботи. Навантаження прикладаються до поясів нервюри в площині стінки і складаються із зосереджених, кусково-неперервних і неперервних сил та моментів.

При визначенні вихідного НДС розглянуто чотири математичні моделі нервюри. В усіх моделях стінка нервюри по довжині пружно спирається на криволінійні пояси - балки малої кривизни. Для перших трьох моделей характерно дискретне розташування вертикальних стояків, що підкріплюють стінку в області. Відрізняються вони граничними умовами опирання стінки на вертикальних границях.

У першій моделі на зазначених границях стінка нервюри пружно опирається на стикувальні стояки і стінки лонжеронів, при цьому потрібно зрівноваженість усього зовнішнього навантаження ( , , ). У другій моделі стінки лонжеронів вважаються абсолютно жорсткими у своїй площині й абсолютно піддатливими з неї, при цьому проекції зовнішніх сил на горизонтальну вісь повинні дорівнювати нулю ( ). У третій моделі стінка нервюри на вертикальних границях затиснена (, ). Ніякі додаткові обмеження на зовнішнє навантаження не накладаються. В четвертій моделі робота системи дискретно розташованих стояків враховується конструктивно-ортотропною моделлю, а стінки лонжеронів вважаються абсолютно жорсткими у своїй площині й абсолютно піддатливими з неї. При цьому, як і для другої моделі, потрібна зрівноваженість проекції зовнішніх сил на горизонтальну вісь. Застосування такої моделі виправдано при досить малому кроці розташування стояків та їх порівняно малою жорсткістю на розтягнення-стискання.

Аналіз перших трьох моделей виконаний методом Рітца на основі принципу мінімуму повної потенціальної енергії системи при вказаних вище обмеженнях. Для зручності вибору базису за допомогою невиродженого перетворення виконується перехід до нової системи координат, такий, що область ₀={(x,y): 0xL, ц₁yц₂}, яку займає нервюра, відображається на прямокутник ₁={(x,y): 0x1, -1y1}.

Залежно від задачі, що вирішується, базисними функціями вибираються добутки відповідних багаточленів Лежандра, сполучення тригонометричних функцій і багаточленів Лежандра, а також спеціальна сім'я функцій.

Для четвертої моделі ставиться крайова задача, яка описується системою рівнянь узагальненого плоского напруженого стану в переміщеннях

у Щ₀(1)

і крайовими умовами (i=1 для верхнього поясу й i=2 - для нижнього):

(2)

де A - матричний диференціальний оператор у частинних похідних; - вектор переміщень; B_i - оператори крайових умов, що описують умови пружної взаємодії поясів і стінки нервюри; ц_i - функції осьових ліній криволінійних поясів; - вектори узагальнених зовнішніх навантажень.

Якщо рішення шукати у вигляді , , ( ), то задача допускає розділення змінних у системі рівнянь (1), крайові умови при x=0,L виконуються автоматично і знаходження рішення зводиться до відшукання з граничних умов (2) постійних інтегрування. Тут змінні не розділяються, і невідомі коефіцієнти знаходяться методом ортогоналізації Бубнова-Гальоркіна. В результаті чого приходимо до системи 4N лінійних алгебричних рівнянь.

Третій розділ присвячений задачі урахування взаємодії нервюри з панелями. Ця взаємодія може відбуватися як за допомогою пружних елементів (компенсаторів, книць), так і безпосередньо (нервюра жорстко з'єднана з панелями). У першому випадку вирішення задачі зводиться до визначення коефіцієнтів жорсткості C_и, C_w, C_иw, C_кр у співвідношеннях

(3)

де Q_k, M_k, M_k,кр - поперечна сила, згинальний та крутний моменти, що діють у точці з'єднання k-го компенсатора з нервюрою; w_k, ц_k, и_кр - прогин, кут повороту і кут закручування стінки нервюри в цій же точці. Коефіцієнти жорсткості , і мають таку структуру:

; ; ,

тут ; ; ; ; , і , - прогин і кут повороту кінцевого перерізу компенсатора при дії Q₁=1 і M₁=1 відповідно; - кут повороту панелі в точці кріплення компенсатора при дії одиничного моменту; a - довжина компенсатора. Він розглядається як одновимірний пружний елемент, наділений змінними жорсткостями на вигин із площини нервюри, зсув і крутіння.

Параметри , , , визначаються методом сил і наводяться в роботі у вигляді квадратурних формул.

Для визначення кута повороту панелі в точці кріплення компенсатора ( ) при дії одиничного моменту розглянуто спрощену модель усього відсіку крила, що являє собою нескінченну періодичну стрижневу систему, де панелі та нервюри - це широкі стояки (горизонтальні - панелі, вертикальні - нервюри), тобто нехтується тією обставиною, що умови роботи ділянок панелей між нервюрами дещо різні і змінюються вздовж розмаху крила. Верхні панелі стиснуті силою , нижні розтягнуті силою . Відоме точне вирішення задачі в такій постановці з балками постійного перерізу. Коефіцієнти жорсткості панелей, що пов'язують діючий момент і кут повороту (i=1 для верхньої панелі, i=2 - для нижньої), задаються співвідношеннями

; ,(4)

де E_i - модуль пружності матеріалу панелі; I_i - момент інерції поперечного перерізу стрингера з приєднаною обшивкою; l - відстань між нервюрами (довжина панелі).

У даній роботі це рішення отримано для задачі, що не допускає точного аналізу (E_i і I_i змінюються по довжині). Коефіцієнти жорсткості C_i визначаються методом Рітца виходячи з функціонала повної потенціальної енергії розтягнутої чи стиснутої панелі з урахуванням періодичності системи. Рішення відшукується у вигляді де - невідомі коефіцієнти, - базисні функції, що задовольняють головні граничні умови. З умови мінімуму зазначеного функціонала отримано система лінійних алгебричних рівнянь відносно . Коефіцієнти жорсткості панелей мають вигляд . В окремому випадку при маємо

, .

Ряд в останній рівності сумується, що приводить до співвідношень (4).

Як і для одновимірної моделі, зважаючи на періодичність конструкції, для дослідження стійкості всієї системи розглянуто один відсік, що складається з двох сусідніх нервюр, верхньої та нижньої панелей.

Системи координат змінюються таким чином, щоб перетворити області, які займають панелі , в області i=1 для верхньої панелі, i=2 - для нижньої (далі індекс “н” опускається).

В отриманих системах координат вирішуються крайові задачі:

(5)

тут - подовження пластини; - безрозмірний параметр навантаження, що показує, в скільки разів зусилля кN₁ перевищує мінімальне критичне зусилля стиснутої шарнірно опертої пластини; ; D_i- циліндрична жорсткість панелей; - нормовані функції кутів повороту: , - функції кутів поворотів.

Задача в такій постановці допускає розділення змінних, у результаті чого моменти, що діють на нервюри по лініях взаємодії, визначаються так:

, i=1,2,(6)

;(7)

Де, ; ; ; ; , .

Відзначимо, що при (l - скінченне) перша формула у виразі C_1n і формула для C_2n (7) переходять у відповідні формули одновимірної моделі (4).

У вирази (4) і (7) входить параметр стійкості к, що визначається при вирішенні задачі стійкості нервюри.

У четвертому розділі вирішується безпосередньо задача стійкості нервюри. Неоднорідний напружений стан, визначений у розділі 2, складається з погонних зусиль у стінці кN_x(x,y), кN_y(x,y), кN_xy(x,y), зусиль розтягнення-стиснення в поясах і стояках кN_пk і кN_стk відповідно, де к - коефіцієнт пропорційності (параметр стійкості). У розділі 3 ідентифіковано граничні умови для нервюри. Наближене вирішення задачі стійкості визначається методом Рітца, для чого область, яку займає нервюра, приводиться до еквівалентного прямокутника, а в повну потенціальну енергію включено доданки, що враховують пружність границі.

Крайові умови на границях x=0 і x=1 через значну мембранну і малу згинальну жорсткості стінок лонжеронів відповідають умовам вільного опирання. Кінематичні умови пружного сполучення по криволінійних границях виконані автоматично при підрахунку повної потенціальної енергії, а статичні умови сполучення (натуральні крайові умови) випливають із принципу мінімуму повної потенціальної енергії. Тому ніякі додаткові умови на цих границях не ставляться.

З умови рівності нулю визначника системи знаходиться найменше позитивне значення к і відповідний йому власний вектор, що характеризує форму втрати стійкості.

У п'ятому розділі, обсяг якого складає 45% обсягу всієї роботи, приведено числові дослідження, що підтверджують вірогідність запропонованої методики вирішення задач визначення вихідного НДС і стійкості, демонструють вплив різних факторів на параметр і форму втрати стійкості, а також надано результати розрахунків реальних нервюр і ряд рекомендацій для розраховувачів, конструкторів, проектувальників і фахівців, що займаються питаннями міцності. Отримані тут результати відбиті в 38 рисунках і 14 таблицях. Нижче наводиться й обговорюється лише деяка їхня частина.

У пункті 5.1 наведені числові дослідження результатів, отриманих у другому розділі. На прикладі задачі, що допускає точний розв'язок (передача зосередженої сили через нескінченну балку на півплощину), проведено дослідження збіжності процесу відшукання і точності одержаного наближеного розв'язку задачі визначення НДС. Тут як параметр, за яким оцінюється збіжність і точність наближеного розв'язку, приймається максимальне зусилля в пластині. Показано, що порівняно невеликою кількістю функцій у розкладанні розв'язку можна досягти досить високої точності. Тут же на ряді прикладів досліджено застосовність балкової моделі. Показано, що ця модель для нервюр дає значні похибки у визначенні НДС.

У пункті 5.2 оцінюється збіжність і точність отриманого в розділі 4 наближеного розв'язку задачі стійкості, шляхом порівняння з розв'язками, отриманими для моделей, що допускають точний аналіз. Наприклад, розрахунок стиснутої двохпоясної балки з утриманням у розкладанні прогину (8) по ширині однієї функції (константи) показав рівність одержуваних і ейлеревих критичних зусиль. Форма втрати стійкості відповідає формі втрати стійкості шарнірно опертої балки. Якщо утримувати більшу кількість членів ряду, то параметр стійкості значно зменшується. Зменшення параметра стійкості зі збільшенням кількості членів ряду зумовлено тим, що в даній балці раніш реалізується місцева втрата стійкості, випинається тільки стінка. Значення параметра стійкості к=0,696 досягається, якщо удержати в розкладанні функції прогину 35 функцій (з урахуванням симетрії - 12). Збільшення кількості функцій до 135 змінює параметр стійкості на 0,14%, що свідчить про добру збіжність наближеного розв'язку та стійкості процесу його одержання. нервюра деформований пластина

Для цієї ж балки, навантаженої посередині поперечною силою, отримано аналогічний результат, тобто перекиданню балки передує місцева втрата стійкості стінки.

Показано практично повний збіг результатів розрахунків при дослідженні стійкості плоскої форми смуги з подовженнями, більшими 2,5. Відмінності в значеннях критичних зусиль для менших подовжень зумовлені значними похибками, внесеними гіпотезою плоских перерізів.

Отримано повний збіг результатів, що одержуються за даною методикою і за допомогою МСЕ, для рівномірно стиснутої вільно опертої пластини у всьому діапазоні подовжень =H/L. Значні відмінності цих результатів від точних, отриманих для однорідного вихідного стану при >0,6, пояснюється неоднорідністю поля напруг, за заданих граничних умов (v=0 і N_x=0 при x=0,L). При малих подовженнях неоднорідність біля границь мало позначається на загальній картині втрати стійкості, для пластин з великим подовженням цей вплив стає значним. Для даних граничних умов отримано критичне зусилля втрати стійкості при рівномірному розтяганні (!).

Визначено більш точні значення коефіцієнтів у формулах критичних зусиль для вільно опертих пластин у стані чистого зсуву. Ці розрахунки також підтверджені розрахунками за допомогою МСЕ. На прикладі показано, що для досягнення необхідної точності за МСЕ було введено 2059 невідомих, за пропонованою методикою - 79.

Наведено добрий збіг результатів, отриманих за даною методикою, з результатами, отриманими іншими авторами й експериментально, для задачі стійкості вільно опертої пластини, стиснутої зосередженими силами.

У пункті 5.3 наведено параметричні дослідження впливу на стійкість нервюри:

- жорсткості й напруженого стану стиснутої і розтягнутої панелей, у випадку, коли взаємодія характеризується коефіцієнтами жорсткості (4) (відзначено значний вплив характеристик стиснутої панелі на параметр стійкості і менш значний, але також істотний вплив розтягнутої панелі);

- жорсткості й напруженого стану панелей, коли взаємодія описується формулами (7);

- жорсткості й кількості компенсаторів, які показали, що існують деякі скінченні граничні значення цих величин, при яких граничні умови можна вважати ідеальними (жорстке опирання, вільне опирання, вільний край). Дослідження проводилися при різних видах навантаження. Дискретне опирання нервюри просліджується на наведених формах втрати стійкості.

У четвертому пункті аналізується вплив кривизни і жорсткості поясів на параметр і форму втрати стійкості. Показано, що, не вносячи великих похибок, вплив кривизни поясів на параметр стійкості можна врахувати шляхом заміни криволінійної області на еквівалентну прямокутну. Наведено залежності параметра стійкості і форми втрати стійкості при роздільній і спільній зміні відносної згинальної жорсткості і відносної жорсткості вільного крутіння поясів. Криві отримані для різних видів навантаження. Показано, що, як і у випадку з компенсаторами, є деякі скінченні значення жорсткостей поясів, коли умови на границі можна вважати ідеальними.

У пункті 5.5 досліджується вплив жорсткості й кількості стояків на параметр і форму втрати стійкості нервюри. Досліджено роздільний і спільний вплив на параметр і форму втрати стійкості відносної згинальної жорсткості і відносної жорсткості вільного крутіння стояка, розташованого посередині.

Шляхом зміни кількості стояків при незмінній формі поперечного перерізу та їхньої сумарної площі було показано, що при досягненні деякої кількості стояків застосування конструктивно-ортотропної моделі цілком виправдане. Зі збільшенням кількості стояків і одночасним зменшенням їхніх жорсткостей місцева форма втрати стійкості позначається все менше, все більше превалює загальна форма втрати стійкості. Коли форма втрати стійкості дискретно підкріпленої пластини практично збігається з формою втрати стійкості пластини з конструктивною ортотропією, то й значення параметрів стійкості розрізняються мало. Відзначено, що урахування дискретного розташування стояків у наведених вище прикладах дозволяє визначити оптимальну з точки зору стійкості кількість стояків при незмінній їхній масі та формі поперечного перерізу.

Аналогічні дослідження виконані для пластин різного подовження і стояків, які зі зміною їхньої кількості не змінюють поперечного перерізу.

У шостому пункті п'ятого розділу наведені приклади розрахунків реальних нервюр. На прикладі показано, що параметр стійкості вільно опертої нервюри більше, ніж параметр стійкості нервюри, яка взаємодіє з переднапруженими елементами підконструкції, тобто втрату стійкості “провокує” стиснута панель. В іншому прикладі показано, що заміна системи зосереджених сил, прикладених до нервюри (реакція компенсаторів), еквівалентним розподіленим навантаженням призводить до незначної похибки у визначенні параметра стійкості, оскільки кількість компенсаторів значна.

У пункті 5.7 наведені висновки щодо п'ятого розділу і ряд рекомендацій для розраховувачів, конструкторів, проектувальників і фахівців, що займаються питаннями міцності й стійкості.

ВИСНОВКИ