Определение напряжения сечений балки и построение эпюр

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Построить эпюры нормальных напряжений по сторонам прямоугольного сечения, определить положение нейтральной оси и величину максимального напряжения.

Дано:

b = 180 мм;

h = 240 мм;

Xp = - 30 мм;

Yp = 60 мм;

P = 130 кН (сжатие) в точке А.

Рис. 1. Схема сечения с приложенной силой Р в точке А.

Решение:

1. Моменты сопротивления сечения:

;

= 1728 см3;

;

= 1296 см3.

2. Площадь сечения:

S = b * h;

S = 18 * 24 = 432 см2.

3. Моменты относительно главных центральных осей:

Mx = P * Yp;

Mx = 130 * 6 = 780 кН*см;

My = P * Xp;

My = 130 * 3 = 390 кН*см;

4. Напряжения в точках:

точка 1:

у1 = ;

у1 = = - 1,053240741 кН/см2;

точка 2:

у2 =

у2 = = - 0,45138(8) кН/см2;

точка 3:

у3 =

у3 = = - 0,150462963 кН/см2;

точка 4:

у4 =

у4 = = 0,45138(8) кН/см2.

По полученным данным строим эпюру у.

5. Максимальные напряжения в точке 1:

у1 = - 1,053240741 кН/см2 = - 10,53240741 МПа.

Рис.2 . Схема опасного сечения с нейтральной линией и эпюра напряжений.

6. Положение нейтральной линии.

По эпюре видно, что нейтральная линия проходит через середину стороны между точками 2 и 4 (у2 = - у4). Положение точки пересечения нейтральной линии со стороной между точками 3 и 4 определим из соотношения напряжений у3 = у4.

Уравнение нейтральной линии, как прямой, проходящей через две точки:

; где:

x1 = - 45;

y1 = - 120;

x2 = 90;

y2 = 0; тогда:

;

;

120*x + 120*45 = 135*y + 120*135;

в конечном виде:

120*x - 135*y - 10800 = 0.

Задача 2

Расчет на сложное сопротивление (расчет пространственного бруса)

Требуется:

- построить эпюры изгибающих и крутящих моментов, продольных и поперечных сил;

- определить положение опасного сечения и, пользуясь энергетической гипотезой прочности формоизменения, подобрать размеры сечений брусьев двух типов:

а) трубчатого с отношением диаметров d/D=0,8 (d-внутренний диаметр, D- наружный диаметр);

б) прямоугольного с отношением сторон H/B=2 (H- большая, B- меньшая сторона прямоугольника).

Допустимое напряжение принять [у] =100МПа

- для прямоугольного сечения построить эпюры нормальных напряжений у1,у2, у3, соответственно от продольной силы N и моментов Mx, My и эпюры касательных напряжений ф1, ф2, ф3 от поперечных сил Qx, Qy и крутящего момента Mx.

Указать опасную точку сечения.

Дано:

P1 = 6 кН;

P2 = 7 кН;

P3 = 10 кН;

q = 6 кН/м;

a = 0,6 м;

b = 1,2 м;

c = 0,3 м;

[у] = 100 МПа.

Рис. 1. Расчетная схема и эпюра N.

Решение:

1. Разобьем пространственный брус на участки и составим уравнения равновесия отсеченных частей по каждому участку.

1-й участок:

0 ? z1 ? a;

Qx1 = 0;

My1 = 0;

Qy1 = P1 + q * z1;

при z1 = 0;

Qy1 = P1 = 6 кН;

при z1 = a = 0,6 м;

Qy1 = 6+6*0,6 = 9,6 кН;

Mx1 = ;

при z1 = 0;

Mx1 = 0;

при z1 = a = 0,6 м;

Mx1 = = - 4,68 кН*м;

N1 = Qz1 = 0;

Mz1 = 0;

2-й участок:

0 ? x2 ? c;

N2 = Qx2 = 0;

My2 = P2 * x2;

при x2 = 0;

My2 = 0;

при x2 = c;

My2 = 7*0,3=2,1 кН*м;

Qy2 = P1 + q*a;

Qy2 = 6*6+0,6 = 9,6 кН;

Mz2 = - (P1 + q*a)*x2;

при x2 = 0;

Mz2 = 0;

при x2 = c;

Mz2 = - (6 + 6*0,6)*0,3 = - 2,88 кН*м;

Qz2 = - P2 = - 7 кН;

Mx2 =;

Mx2 == 4,68 кН*м;

3-й участок:

0 ? y3 ? b;

Qx3 = - P3 = - 10 кН;

Mz3 = (P1 + q*a)*c + P3*y3;

при y3 = 0;

Mz3 = (P1 + q*a)*c;

Mz3 = (6 + 6*0,6)*0,3 = 2,88 кН*м;

при y3 = b = 1,2 м;

Mz3 = (6 + 6*0,6)*0,3 + 10*1,2 = 14,88 кН*м;

Qy3 = N3 = P1 + q*a;

Qy3 = 6 + 6*0,6 = 9,6 кН;

Qz3 = - P2 = - 7 кН;

Mx3 =;

при y3 = 0;

Mx3 =;

Mx3 == 4,68 кН*м;

при y3 = b = 1,2 м;

Mx3 == 13,08 кН*м;

My3 = P2*c;

My3 = - 7*0,3 = - 2,1 кН*м;

4-й участок:

0 ? x4 ? c;

Qx4 = N4 = P3 = 10 кН;

Mz4 = P3 * b + (P1 + q*a)*(c - x4);

при x4 = 0;

Mz4 = 10*1,2 + (6 + 6*0,6)*0,3 = 14,88 кН*м;

при x4 = c;

Mz4 = 10*1,2 = 12 кН*м;

Qy4 = P1 + q*a;

Qy4 = 6*6+0,6 = 9,6 кН;

Qz4 = - P2 = - 7 кН;

Mx4 =;

Mx4 == - 13,08 кН*м;

My4 = P2*(c - x4);

при x4 = 0;

My4 = P2 * c;

My4 = 7*0,3 = 2,1 кН*м;

при x4 = c;

My4 = 0.

2. По полученным данным строим эпюры.



Рис. 2. Эпюры Qy, Qx, Qz.

Рис. 3. Эпюры Мкр, Мизг.

3. Самым опасным по изгибающим моментам является сечение в конце 3-го участка с силовыми факторами:

Mx = 13,08 кН*м; Mz = 14,88 кН*м; Qx = 10 кН; Qz = 7 кН;

Mкр = 2,1 кН*м; N = 9,6 кН.

4. Используя гипотезу энергии формоизменения:

и допускаемые напряжения [у] = 100 МПа определим размеры сечения бруса:

А) трубчатого сечения с отношением диаметров ;

Рис.4 . Схема трубчатого сечения.

;

= 19,812 кН*м;

;

= 41,3165°;

;

= 12,2065 кН*м;

;

= 34,992°.

Нормальные напряжения от изгиба:

.

Касательные напряжения от поперечной силы в проекции на плоскость Mсум:

.

; т.к. в точке 1 фср = 0,

напряжения в этой точке:

;

;

;

;

откуда:

D = 0,15103 м;

d = 0,8D = 0,120824 м;

Б) прямоугольного сечения с соотношением сторон ;



Рис.5 . Схема прямоугольного сечения, эпюры нормальных и касательных напряжений.

Геометрические параметры сечения (при ; H = 2B);

S = H*B = 2B*B = 2B2;

;

;

от нормальной силы:

;

нормальные напряжения от изгиба:

;

;

касательные напряжения от поперечных сил:

;

;

касательные напряжения от кручения (при , б = 0,246, з = 0,795):

;

по максимальным нормальным напряжениям от изгиба и растяжения в точке 1:

;

4,8B + 64,26 = [у]B3;

1*105 - 4,8*B - 64,26 = 0; откуда:

B = 0,08648 м;

H = 2B = 0,17296 м.

По максимальным нормальным напряжениям от изгиба, растяжения и касательным напряжениям от поперечных сил и крутящего момента.

В точке 2:

;

;

;

;

откуда:

B = 0,07704 м;

H = 2B = 0,15408 м;

в точке 3:

;

;

;

;

откуда:

B = 0,05943 м;

H = 2B = 0,11886 м.

эпюра сечение напряжение сопротивление

Из полученных вариантов выбираем большие размеры, т.е.:

B = 0,08648 м;

H = 0,17296 м.

Задача 3

Шкив с диаметром D1 и с углом наклона ветвей ремня к горизонту б1 делает n оборотов в минуту и передает мощность N кВт. Два других шкива имеют одинаковый диаметр D2 и одинаковые углы наклона ветвей ремня к горизонту б2 и каждый из них передает мощность N/2.

Требуется определить максимальный момент по третьей теории прочности и подобрать диаметр вала d при [у ] = 70 МПа и округлить его значение.

Дано:

a = 1 м;

b = 1 м;

c = 1 м;

D1 = 1 м;

D2 = 1 м;

б1 = 0°;

б2 = 0°.



Рис. Расчетная схема с усилиями на шкивах, эпюры М и Мкр.

Решение:

1. Момент на ведущем шкиве D1:

;

= 954,93 Н*м;

моменты на шкивах 2 и 3:

;

= 477,465 Н*м.

2. Усилия шкиве D1:

;

;

;

= 1909,86 Н;

T1 = 2t1;

T1 = 2 * 1909,86 = 3819,72 Н;

F1 = T1 + t1;

F1 = 3819,72 + 1909,86 = 5729,58 Н.

3. Усилия шкивах D2.

Так как мощность распределяется по шкивам поровну и диаметры шкивов равны между собой, то:

= 2864,79 Н.

4. Определение усилий в опорах по уравнениям равновесия:

1. Определим реакции опор по уравнениям равновесия:

?mC = 0;

= 0;

;

= - 3580,9875 Н;

?mB = 0;

= 0;

= 0;

= 3580,9875 Н.

Проверка:

?Y = F1 - F2 + RB - F3 + RC = 5729,58 - 2864,79 - 3580,9875 - 2864,79 + + 3580,9875 = 0.

5. Построение эпюр моментов.

Разобьем вал на 4 участка и составим уравнения равновесия отсеченных частей по каждому участкоу.

1-й участок:

0 ? z1 ? ;

M1 = F1 * z1;

при z1= 0;

M1 = 0;

при z1= = 0,5 м;

M1 = 5729,58*0,5 = 2864,79 Н*м;

Mкр1 = M1 = 954,93 Н*м;

2-й участок:

0 ? z2 ? ;

M2 = F1*(+ z2) - F1*z2;

при z2= 0;

M2 = F1*;

M2 = 5729,58*0,5 = 2864,79 Н*м;

при z2= = 0,5 м;

M2 = F1*a - F1*;

M2 = 5729,58*1 - 2864,79*0,5 = 4297,185 Н*м;

Mкр2 = M1 - = 477,465 Н*м;

3-й участок:

0 ? z3 ? b;

M3 =;

при z3= 0;

M3 = ;

M3 = 5729,58*1 - 2864,79*0,5 = 4297,185 Н*м;

при z3= b = 1 м;

M3 =;

M3 = 5729,58*2 - 2864,79*1,5 - 3580,9875*1= 3580,9875 Н*м;

Mкр3 = Mкр2 = 477,465 Н*м;

4-й участок:

0 ? z4 ? c;

M4 = ;

при z4 = 0;

M4 = ;

при z4 = c = 1 м;

M4 = ;

M4 =5729,58*3-2864,79*2,5-3580,9875*2-2864,79*1=0;

Mкр4 = Mкр2 - M1/2 = 477,465 - 954,93/2=0.

По полученным данным строим эпюры.

6. По третьей теории прочности:

;

в точке шкива 2:

= 3167,1445 Н*м;

в точке опоры B:

= 4323,6295 Н*м.

Принимаем = 4323,6295 Н*м, как наибольший.

По допускаемым напряжениям [у] = 70 МПа = 70*106 Н/м2 определяем диаметр вала.

;

Wx = ; откуда:

= 0,085687 м = 85,687 мм;

принимаем dвала = 90 мм.

Задача 4

Определить из расчета на устойчивость требуемые размеры поперечного сечения сжатой стойки. Вычислить коэффициент запаса устойчивости при принятых размерах сечения.

Дано:

P = 25 кН;

L = 3,6 м;

[у] = 160 МПа;

материал ст. 4;

.



Рис. Расчетная схема и виды сечений.

Решение:

1. В связи со сравнительно большой длиной стойки, типом заделки

м = 2, относительно малым усилием (25 кН), как начальное значение выберем наименьшее из найденных табличное значение ц = 0,19 (при л = 200).

Потребная площадь сечения:

;

;

По сортаменту ГОСТ 8239-12 выбираем наименьший двутавр № 10 с imin = 1,22 см.

Гибкость стойки при этом двутавре:

;

= 590,164.

Полученная гибкость много больше имеющейся в таблицах, поэтому дальнейший расчет ведем по формулам для Эйлеровой силы.

2. приравняв заданную силу с Эйлеровой найдем значение минимального потребного момента инерции.

;

;

= 6,5656*10-7 м4 = 65,656 см4.

По сортаменту ГОСТ 8239-72 выбираем двутавр № 18:

Imin = 82,6 см4; F = 23,4 см2; imin = 1,88 см.

Для этого двутавра критическая сила:

;

= 31451,75 Н.

Запас устойчивости:

;

= 1,258.

Для сечения в виде прямоугольника с соотношением :

;

откуда:

= 0,0435 м;

h = 2,2 * 0,0435 = 0,0957 м.

Гибкость стойки с таким сечением:

;

= 573,318, что много больше наибольшего значения гибкости в таблицах, что подтверждает правильность использования в расчетах формулы для Эйлеровой силы.

Задача 5

На двутавровую балку, свободно лежащую на двух жестких опорах с высоты h падает груз P. Требуется найти наибольшее нормальное напряжение в балке.

Дано:

двутавр № 36;

? = 3 м;

P = 1 кН;

h = 10 см.

Рис. Расчетная схема, эпюры М и М1.

Решение:

1. Определим реакции опор при статическом приложении силы P.

УmA = 0;

;

= 1,3(3) кН;

УmB = 0;

;

= 0,3(3) кН;

проверка:

УY = 0;

- RA + RB - P = - 0,3(3) + 1,3(3) - 1 = 0.

По полученным реакциям строим эпюру M.

2. Для определения прогиба балки в месте приложения силы P, приложим в этом месте единичную силу и построим эпюру изгибающего момента от этой силы M1.

Методом Верещагина (при E = 2*106 кПа; I = 13380 см4; W = 743 см3):

;

= 0,000049825 м.

3. Нормальные напряжения от изгиба при статическом приложении силы P:

;

= 1345,89502 кПа.

4. Динамический коэффициент:

;

= 64,3644.

5. Максимальные нормальные напряжения от изгиба при динамическом приложении силы P:

;

= 86627,7464 кПа.

Задача 6

На двух балках двутаврового сечения установлен двигатель весом Q делающий n оборотов в минуту. Центробежная сила инерции, возникающая вследствие неуравновешенности вращающихся частей двигателя, равна H. Собственный вес балок и силы сопротивления не учитывать.

Требуется найти наибольшее напряжение в балках.

Дано:

двутавр № 27 (Ix = 5010 см4; Wx = 371 см3):

E = 2*1011 Па = 2*108 Па;

? = 2 м;

Q = 20 кН;

H = 10 кН;

n = 850 об/мин.



Рис. Расчетная схема и эпюра М1.

Решение:

1. Круговая частота вынужденных колебаний.

;

= 89,01179185 рад/сек.

2. Круговая частота собственных колебаний (без учета собственного веса балки):

;

где:

;

=0,000000197 с2/кг (квадрат эпюры изгибающего момента от единичной силы);

;

= 2038,735984 кг (масса двигателя);

= 49,88108423 рад/сек.

3. Коэффициент нарастания колебаний:

;

= 0,457798.

4. Напряжения в балке под воздействием возмущающей силы при условии ее статического приложения:

;

= 35938903,85 Па.

5. Напряжения в балке при вынужденных колебаниях:

;

уa = 35938903,85 * 0,457798 = 16452766,11 Па.

6. Эти переменные напряжения накладываются на постоянные напряжения в балке от собственного веса двигателя:

;

= 71877807,7 Па.

7. Наибольшие напряжения в балке:

уmax = уm + уa;

уmax = 71877807,7 + 16452766,11 = 88330573,81 Па = 88,330 МПа.

Задача 7

Валик и жестко соединенный с ним ломаный стержень того же поперечного сечения вращается с постоянной угловой скоростью щ вокруг оси АВ. Требуется найти допускаемое число оборотов валика в минуту при допускаемом напряжении [у]=100МПа и г=78кН/м3.

Указания. Для упрощения вычислений рекомендуется производить их сначала в общем виде, обозначив интенсивность сил инерции на горизонтальном участке через q. Равнодействующие сил инерции на горизонтальном и вертикальном участках, опорные реакции, ординаты эпюры М надо выразить через q и l.

Дано:

? = 60 см;

d = 19 мм;

[] = 100 МПа;

= 78 кН/м3.

Рис. Расчетная схема и эпюры изгибающего момента.

Решение:

1. Плотность материала:

.

2. Погонная нагрузка от плотности материала:

.

3. Погонная нагрузка от плотности материала с учетом вращения:

.

4. Максимальный момент:

.

5. Максимальные нормальные напряжения от изгиба.

, откуда:

;

= 11,759588 рад/сек = 112,2958 об/мин.

Размещено на Allbest.ru

...