Основы теории автоматического регулирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1. Расчёт параметров настройки типовых регуляторов линейной САР

1.1 Описание линейной САР

1.2 Анализ объекта регулирования

1.3 Расчёт коэффициента передачи П-регулятора

1.4 Расчёт параметров настройки ПИ-регулятора

1.5 Расчёт параметров настройки ПИД-регулятора

2. Оценка качества и запаса устойчивости линейной САР

2.1 Оценка качества САР по каналу управляющего воздействия

2.2 Оценка запаса устойчивости САР по каналу управляющего воздействия

2.3 Оценка качества САР по каналу возмущающего воздействия

3. Оценка управляемости и наблюдаемости линейной САР

3.1 Оценка управляемости и наблюдаемости линейной САР с П-регулятором

3.2 Оценка управляемости и наблюдаемости линейной САР с ПИ-регулятором

3.3 Оценка управляемости и наблюдаемости линейной САР с ПИД-регулятором

4. Анализ нелинейной САР методом гармонической линеаризации

Список литературы

1. Расчёт параметров настройки типовых регуляторов линейной САР

1.1 Описание линейной САР

Рисунок 1. Структурная схема САР

z(t)-возмущение

E(t)-ошибка регулирования

(1)

1.2 Анализ объекта регулирования

Для анализа объекта регулирования была использована система MATLAB

Script 1

" T0=1.3;T1=20;T2=131;T3=280;T4=5.8;T5=0.75;Kop=3.4;

" Wop=tf([T5 T4 Kop],[T3 T2 T1 T0])

Transfer function:

0.75 s^2 + 5.8 s + 3.4

280 s^3 + 131 s^2 + 20 s + 1.3

" step(Wop)



Рисунок 2. Переходная характеристика или разгонная характеристика объекта регулирования

Вывод: Анализ переходной характеристики объекта регулирования показывает, что объект обладает свойствами:

1. Самовыравния

2. Является многоёмкостным

3. Характеризуется запаздыванием

1.3 Расчёт коэффициента передачи П-регулятора

Для расчёта коэффициента передачи П-регулятора использован метод расширенных частотных характеристик (РЧХ). Этот метод при синтезе САР удовлетворяет требование к степени затухания Ш=0,82 переходного процесса системы. Используемый метод базируется на понятии амплитудно-фазовых частотных характеристик (АЧФХ) объекта Wop и регулятора Wap. Их получаем из ПФ Wop(s) и Wap(s) заменой оператора Лапласа s оператором (j-m)щ, где m-степень колебательности:

Ш=1-е-2рm при Ш=0,82

0,273

1. Получаем расширенную АЧФХ объекта регулирования

2. Записываем инверсную расширенную АЧФХ объекта регулирования

3. Записываем инверсную расширенную АЧФХ объекта регулирования в алгебраическом виде:

(2)

где R(m,щ)-Инверсная расширенная вещественная ЧХ объекта регулирования

J(m,щ)-Инверсная расширенная мнимая ЧХ объекта регулирования

4. Задаваясь различными значениями частоты щ,на плоскости параметров настройки АР строят линию равной степени затухания Ш=0,82 по параметрическим уравнениям:

(3)

5. Определяем искомые параметры П-регулятора как координаты точки пересечения годографа и оси абсцисс.

6. Получим переходную характеристику САР по которой рассчитывают степень затухания Ш и сравниваем с заданной Шзад=0,82

В MATLAB:

Script 2

" w=0.07:0.001:0.220;

" m=0.273;

" Wex=(T5*((j-m).*w).^2+T4*((j-m).*w)+Kop)./(T3*((j-m).*w).^3+T2*((j-m).*w).^2+T1*((j-m).*w)+T0);

" Win=1./Wex;

" R=real(Win);

" J=imag(Win);

" Ki=w*(m^2+1).*J;

" Kp=m.*J-R;

" plot(Kp,Ki);xlabel('axis Kp');ylabel('axis Ki')

Рисунок 3.Линия равной степени затухания



Рисунок 4. Переходная характеристика САР с П-регулятором

Оценка степени затухания:

1. ymax1=1.01

ymax2=0.788

yуст=0,742

2.

Основные результаты:

b2=0.825; b1=6.38; b0=3.74; a3=280; a2=131.8; a1=26.38; a0=5.04;

в SIMULINK

Рисунок 5. S-модель САР с П-регулятором



Рисунок 6. Переходная характеристика САР с П-регулятором построенная в SIMULINK

1.4 Расчёт параметров настройки ПИ-регулятора

Настроечные параметры Кр и Ki ПИ-регулятора определяются как координаты точки экстренума линии равной степени затухания (рис 3). Считают, что оптимальные значения параметров настройки ПИ-регулятора находятся несколько правее точки экстренума. Выбираем



Рисунок 7. Переходная характеристика САР с ПИ-регулятором

Оценка степени затухания:

ymax1=1.28

ymax2=1,05

yуст=1



Рисунок 8. S-модель САР с ПИ-регулятором

Рисунок 9. Переходная характеристика САР с ПИ-регулятором построенная в SIMULINK

1.5 Расчёт параметров настройки ПИД-регулятора

Последовательность параметризации ПИД-регулятора с тремя настроечными параметрами KD, Kp, Ki, отличается от рассмотренной операциями по определению коэффициента KD=1.41 (заданно в условиях задачи). В этом случае линию равной степени затухания описывают следующими параметрическими уравнениями:

 (4)

В MATLAB получили:

Script 5:

" w=0.01:0.001:0.270;

" Wex=(T5*((j-m).*w).^2+T4*((j-m).*w)+Kop)./(T3*((j-m).*w).^3+T2*((j-m).*w).^2+T1*((j-m).*w)+1);

" Win=1./Wex;

" R=real(Win);

" J=imag(Win);

" Kp=m.*J-R+2*m.*w*1.41;

" Ki=w*(m^2+1).*(J+w*1.41);

" plot(Kp,Ki);xlabel('axis Kp');ylabel('axis Ki')

Рисунок 10. Линия равной степени затухания



Рисунок 11. Переходная характеристика САР с ПИД-регулятором

Оценка степени затухания:

ymax1=1.27

ymax2=1,05

yуст=1

Основные результаты:

Рисунок 12. S-модель САР с ПИД-регулятором

Рисунок 13. Переходная характеристика САР с ПИД-регулятором построенная в SIMULINK

2. Оценка качества и запаса устойчивости линейной САР

2.1 Оценка качества САР по каналу управляющего воздействия

Таблица 1 Параметры качества САР по каналу управляющего воздействия

	ymax	ymax2	yуст	у,%	Е?	tp	tн	tmax	ж	T	щ	n
П-рег	1.01	0.788	0.742	35.6	0.078	61.8	6.02	16	5.82	29	0.217	1.5
ПИ рег	1.28	1.05	1	27.5	0	45.5	5.5	15.3	5.6	30.2	0.208	1.5
ПИД рег	1.27	1.05	1	26.6	0	61.9	5.05	15	5.4	46.9	0.134	1.5

Вывод: наилучшее быстродействие имеет САР с П-регулятором, но уступает в точности САР с ПИ регулятором и САР с ПИД регулятором.

2.2 Оценка запаса устойчивости САР по каналу управляющего воздействия

script 7

" [Gm1,Pm1]=margin(W1)

Gm1 = Inf

Pm1 =46,8966

" [Gm2,Pm2]=margin(W2)

Gm2 =10,2503

Pm2 = 39,2634

" [Gm3,Pm3]=margin(W3)

Gm3 =Inf

Pm3 =35,8588

Таблица 2 Параметры запаса устойчивости САР по каналу управляющего воздействия

	?L, дб запас по амплитуде	?ц, град
П-рег	?	46,8966
ПИ-рег	?	39,2634
ПИД-рег	?	35,8588

Вывод: Все САР имеют запас устойчивости так как у всех ?L>6дб, ?ц>300

2.3 Оценка качества САР по каналу возмущающего воздействия

Рисунок 14.Структурная схема преобразованной САР

Переходную функцию САР по возмущению определяют по формуле замыкания:

(5)

где W(s)- Переходная функция разомкнутой САР

script 8

" Fiz1=feedback(Wop,Wap1);

" Fiz2=feedback(Wop,Wap2);

" Fiz3=feedback(Wop,Wap3);

" step(Fiz1,Fiz2,Fiz3)

Рисунок 15 Переходные характеристики по каналу возмущающего воздействия

Таблица 3 Параметры качества САР по каналу возмущающего воздействия

	ymax	ymax2	yуст	у,%	Е?	tp	tн	tmax	ж	T	щ	n
П-рег	0,916	0,716	0,675	35.7	0,675	61.8	6.42	15.4	5,87	28.1	0.224	1.5
ПИ рег	0,862	0,407	0	Inf	0	214	0	14.4	2.11	29.1	0.216	1.5
ПИД рег	0.667	0.125	0	Inf	0	77.2	0	13.3	5.336	29.6	0.212	1.5

Вывод: П-регулятор имеет лучшее время быстродействия, но у него большая погрешность. ПИ-регулятор имеет самую большую величину перерегулирования у и наибольшее время быстродействия, хотя нулевую погрешность. ПИД-регулятор как и ПИ-регулятор имеет нулевую погрешность, лучшее быстродействие по сравнению с ПИ-регулятором, но хуже чем П-регулятор и меньшую величину перерегулирования.

3. Оценка управляемости и наблюдаемости линейной САР

Для анализа управляемости и наблюдаемости САР необходимо математическую модель (ММ) системы привести к виду "вход-состояние-выход"

(6)

так как исследуемые свойства системы непосредственно связаны со структурой матриц А, В, С уравнений состояния.

Понятие наблюдаемости связано с возможностью определения переменных состояния по результатам измерения выходных переменных Y.

Понятие управляемости связано с возможностью приведения системы в заданное состояние с помощью управляющих (входных) воздействий U.

Для оценки управляемости САР вводят в рассмотрение матрицу управляемости:

Y=[B АВ A2B…An-1B] (7)

Первая теорема Калмана устанавливает условие управляемости: САУ полностью управляема тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости Y равен размерности вектора переменных состояния n.

Для оценки наблюдаемости САР вводят в рассмотрение матрицу наблюдаемости: калман линейный регулирование

H=[CT ATCT AT2CT…AT n-1CT] (8)

Вторая теорема Калмана устанавливает условие наблюдаемости: САУ вполне наблюдаема тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости H равен n.

3.1 Оценка управляемости и наблюдаемости линейной САР с П-регулятором

" b2=0.825; b1=6.38; b0=3.74; a3=280; a2=131.8; a1=26.38; a0=5.04;

" A=[0 1 0;0 0 1;-a0/a3 -a1/a3 -a2/a3]

A =

0 1.0000 0

0 0 1.0000

-0.0180 -0.0942 -0.4707

" B=[0;0;1];

" C=[b0/a3 b1/a3 b2/a3]

C =

0.0134 0.0228 0.0029

" D=0;

" sys=ss(A,B,C,D)

a =

x1 x2 x3

x1 0 1 0

x2 0 0 1

x3 -0.018 -0.09421 -0.4707

b =

u1

x1 0

x2 0

x3 1

c =

x1 x2 x3

y1 0.01336 0.02279 0.002946

d =

u1

y1 0

" Y=[B A*B A^2*B]

Y =

0 0 1.0000

0 1.0000 -0.4707

1.0000 -0.4707 0.1274

" r1=rank(Y)

r1 = 3

Следовательно, согласно критерию управляемости Калмана исследуемая САР полностью управляема, так как n=3.

" d1=det(Y)

d1 = -1

Так как определитель не равен нулю, матрица управляемости является не вырожденной. Это также означает, что САР полностью управляема.

" H1=[C;C*A;C*A^2]

H1 =

0.0134 0.0228 0.0029

-0.0001 0.0131 0.0214

-0.0004 -0.0021 0.0030

" r11=rank(H1)

r11 = 3

Следовательно, согласно критерию наблюдаемости Калмана исследуемая САР полностью наблюдаема, так как n=3.

" d11=det(H1)

d11 = 9.4771e-007

Так как определитель не равен нулю, матрица наблюдаемости является не вырожденной. Это также означает, что САР полностью наблюдаема

3.2 Оценка управляемости и наблюдаемости линейной САР с ПИ-регулятором

" b3=0.84; b2=6.515; b1=3.953; b0=0.085; a4=280; a3=131.8; a2=26.51; a1=5.253; a0=0.085;

" A=[0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;-a0/a4 -a1/a4 -a2/a4 -a3/a4]

A =

0 1.0000 0 0

0 0 1.0000 0

0 0 0 1.0000

-0.0003 -0.0188 -0.0947 -0.4707

" B=[0;0;0;1];

" C=[b0/a4 b1/a4 b2/a4 b3/a4]

C =

0.0003 0.0141 0.0233 0.0030

" C=[b0/a4 b1/a4 b2/a4 b3/a4]

C =

0.0003 0.0141 0.0233 0.0030

" D=0;

" Y2=[B A*B A^2*B A^3*B]

Y2 =

0 0 0 1.0000

0 0 1.0000 -0.4707

0 1.0000 -0.4707 0.1269

1.0000 -0.4707 0.1269 -0.0339

" d21=det(Y2)

d21 =1

Так как определитель не равен нулю, матрица управляемости является не вырожденной. Это также означает, что САР полностью управляема.

" r21=rank(Y2)

r21 = 4

Следовательно, согласно критерию управляемости Калмана исследуемая САР полностью управляема, так как n=4.

" H2=[C;C*A;C*A^2;C*A^3]

H2 =

0.0003 0.0141 0.0233 0.0030

-0.0000 0.0002 0.0138 0.0219

-0.0000 -0.0004 -0.0018 0.0035

-0.0000 -0.0001 -0.0007 -0.0035

" r22=rank(H2)

r22 = 4

Следовательно, согласно критерию наблюдаемости Калмана исследуемая САР полностью наблюдаема, так как n=4.

" d22=det(H2)

d22 = -9.9331e-013

Так как определитель не равен нулю, матрица наблюдаемости является не вырожденной. Это также означает, что САР полностью наблюдаема

3.3 Оценка управляемости и наблюдаемости линейной САР с ПИД-регулятором

b4=1.269; b3=13.47; b2=31.27; b1=10.1; b0=0.407;

a4=351.3; a3=168.5; a2=53.27; a1=11.5; a0=0.407;

" B0=b4/a4= 0.038

" B1=(b3-B0*a3)/a4=0.0307

" B2=(b1-B0*a2-B1*a3)/a4=0.0017

" B3=(b1-B0*a1-B1*a2-B2*a3)/a4=0.0130

" B4=(b0-B0*a0-B1*a1-B2*a2-B3*a3)/a4= -0.0063

" Apid=[0 0 0 -a0/a4;1 0 0 -a1/a4;0 1 0 -a2/a4;0 0 1 -a3/a4]

Apid =

0 0 0 -0.0010

1.0000 0 0 -0.0220

0 1.0000 0 -0.1153

0 0 1.0000 -0.4988

" Bpid=[B1;B2;B3;B4]

Bpid =

0.0307

0.0017

0.0130

-0.0063

" Cpid=[0 0 0 1];

" Dpid=0;

" Ypid=[Bpid Apid*Bpid Apid^2*Bpid Apid^3*Bpid]

Ypid =

0.0307 0.0000 -0.0000 0.0000

0.0017 0.0308 -0.0003 0.0001

0.0130 0.0024 0.0290 0.0003

-0.0063 0.0161 -0.0056 0.0318

" rpid=rank(Ypid)

rpid = 4

Следовательно, согласно критерию управляемости Калмана исследуемая САР полностью управляема, так как n=4.

" dpid=det(Ypid)

dpid = 8.7167e-007

Так как определитель не равен нулю, матрица управляемости является не вырожденной. Это также означает, что САР полностью управляема.

" Hpid=[Cpid;Cpid*Apid;Cpid*Apid^2;Cpid*Apid^3]

Hpid =

0 0 0 1.0000

0 0 1.0000 -0.4988

0 1.0000 -0.4988 0.1335

1.0000 -0.4988 0.1335 -0.0311

" dpid1=det(Hpid)

dpid1 = 1

Так как определитель не равен нулю, матрица управляемости является не вырожденной. Это также означает, что САР полностью управляема.

" rpid1=rank(Hpid)

rpid1 = 4

Следовательно, согласно критерию управляемости Калмана исследуемая САР полностью управляема, так как n=4.

4. Анализ нелинейной САР методом гармонической линеаризации

Предположим, что система автоматического регулирования, рассмотренная выше, имеет регулирующий орган с нелинейной характеристикой.

Метод гармонической линеаризации основан на предположении, что колебания на входе нелинейного звена являются синусоидальными, т.е.что

X(t)=Asinщat,

Где А-амплитуда; щa-частота этих колебаний.

Рисунок 16. Структурная схема нелинейной САУ

Рисунок 17. Статическая характеристика нелинейного усилителя

; ; b=3.8; k=tgб;

Рисунок 18. Структурная схема линеаризованной САУ

W(S)=WOP*WAP (10)

(11)

где

при А>b

Условие возникновения автоколебаний:

Wnon(A)W(jщ)=-1 или ; W(jщ)=Z(A);

Где

Уравнениние

W(jщ)=Z(A)

решают графически, необходимо построить на одной комплексной плоскости годограф W(jщ) и

,

если точка АЧХ Z(A), соответствующая увеличенной амплитуде А+?А, охватывается АЧФХ линейной части W(jщ), то рассматриваемые колебания устойчивы, в противном случае они не устойчивы.

В MATLAB

" w=0.25:0.01:10;

" W=(0.825.*(w*j).^2+6.38.*w*j+3.74)./(280.*(w*j).^3+131.*(w*j).^2+20.*w*j+1.3);

" re=real(W);

" im=imag(W);

" plot(re,im)

Рисунок 19. Годограф Найквиста

" A=5:0.1:15;

" Kg=(2*B/b*pi)./(asin(b./A)+(b./A).*sqrt(1-b^2./A.^2));

" K=Kg+j.*Kg1;

" Z=-1./K;

" Re=real(Z);

" Im=imag(Z);

" plot(Re,Im)

Рисунок 20. Годограф Гольдфарба линейной части САУ

" plot(re,im,Re,Im)

Рисунок 21. Годограф линеаризованной САУ

Вывод: Точка АЧХ Z(A), соответствующая увеличенной амплитуде А+?А, не охватывается АЧФХ линейной части W(jщ), поэтому рассматриваемые колебания не устойчивы.

Список литературы

1. Методическое пособие "Линейные и нелинейные системы" специальность 2102

2. А.А. Воронов. Основы теории автоматического регулирования и управления. Учебное пособие для вузов Москва, "Высшая школа", 1977-519с.

Размещено на Allbest.ru

...