главнаяреклама на сайтезаработоксотрудничество Библиотека Revolution
 
 
Сколько стоит заказать работу?   Искать с помощью Google и Яндекса
 



Решение одного нелинейного уравнения

Методы решения одного нелинейного уравнения: половинного деления, простой итерации, Ньютона, секущих. Код программы решения перечисленных методов на языке программирования Microsoft Visual C++ 6.0. Применение методов к конкретной задаче и анализ решений.

Рубрика: Математика
Вид: реферат
Язык: русский
Дата добавления: 24.11.2009
Размер файла: 28,4 K

Полная информация о работе Полная информация о работе
Скачать работу можно здесь Скачать работу можно здесь

рекомендуем


Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже.

Название работы:
E-mail (не обязательно):
Ваше имя или ник:
Файл:


Cтуденты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны

Подобные работы


1. Решение нелинейных уравнений
Графическое решение нелинейного уравнения. Уточнение значение одного из действительных решений уравнения методами половинного деления, Ньютона–Рафсона, секущих, простой итерации, хорд и касательных, конечно-разностным и комбинированным методом Ньютона.
лабораторная работа [32,7 K], добавлена 11.06.2011

2. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений
Приближенные значения корней. Метод дихотомии (или деление отрезка пополам), простой итерации и Ньютона. Метод деления отрезка пополам для решения уравнения. Исследование сходимости метода Ньютона. Построение нескольких последовательных приближений.
лабораторная работа [151,3 K], добавлена 15.07.2009

3. Нелинейные уравнения
Анализ особенностей разработки вычислительной программы. Общая характеристика метода простых итераций. Знакомство с основными способами решения нелинейного алгебраического уравнения. Рассмотрение этапов решения уравнения методом половинного деления.
лабораторная работа [463,7 K], добавлена 28.06.2013

4. Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): Гаусса и Холецкого, их применение к конкретной задаче. Код программы решения перечисленных методов на языке программирования Borland C++ Builder 6. Понятие точного метода решения СЛАУ.
реферат [58,5 K], добавлена 24.11.2009

5. Численные методы решения трансцендентных уравнений
Трансцендентное уравнение: понятие и характеристика. Метод половинного деления (дихотомии), его сущность. Применение метода простой итерации для решения уравнения. Геометрический смысл метода Ньютона. Уравнение хорды и касательной, проходящей через точку.
курсовая работа [515,8 K], добавлена 28.06.2013

6. Математическое программирование
Теория математического программирования. Методы поиска глобального экстремума функции нескольких переменных. Угловые точки допустимых множеств. Постановка общей задачи нелинейного программирования. Решения уравнения f(x)=0 методом простой итерации.
контрольная работа [775,4 K], добавлена 05.01.2013

7. Нелинейное уравнение и интервал изоляции корня
Изучение методов уточнения корней нелинейных уравнений (половинного деления, хорд, касательных, простой итерации). Метод хорд и касательных дает высокую скорость сходимости при решении уравнений, и небольшую - метод половинного деления и простой итерации.
контрольная работа [58,6 K], добавлена 20.11.2010

8. Линейные диофантовые уравнения
Теория решения диофантовых уравнений. Однородные уравнения. Общие линейные уравнения. Единственности разложения натурального числа на простые множители. Решение каждой конкретной задачи в целых числах с помощью разных методов. Основные неизвестные х и у.
материалы конференции [554,8 K], добавлена 13.03.2009

9. Исследование метода простой итерации и метода Ньютона для решения систем двух нелинейных алгебраических уравнений
Сравнение методов простой итерации и Ньютона для решения систем нелинейных уравнений по числу итераций, времени сходимости в зависимости от выбора начального приближения к решению и допустимой ошибки. Описание программного обеспечения и тестовых задач.
курсовая работа [3,1 M], добавлена 26.02.2011

10. Численные методы
Особенности решения алгебраических, нелинейных, трансцендентных уравнений. Метод половинного деления (дихотомия). Метод касательных (Ньютона), метод секущих. Численные методы вычисления определённых интегралов. Решение различными методами прямоугольников.
курсовая работа [473,4 K], добавлена 15.02.2010


Другие документы, подобные Решение одного нелинейного уравнения


2

Реферат

на тему:

Решение одного нелинейного уравнения

Введение

Данная лабораторная работа включает в себя четыре метода решения одного нелинейного уравнения.

Использующиеся методы решения одного нелинейного уравнения:

Метод половинного деления.

Метод простой итерации.

Метод Ньютона.

Метод секущих.

Также данная лабораторная работа включает в себя: описание метода, применение метода к конкретной задаче (анализ), код программы решения вышеперечисленных методов на языке программирования Microsoft Visual C++ 6.0.

Описание метода:

Пусть задана функция f (x) действительного переменного. Требуется найти корни уравнения f (x) =0 (1) или нули функции f (x).

Нули f (x) могут быть как действительными, так и комплексными. Поэтому наиболее точная задача состоит в нахождении корней уравнения (1), расположенных в заданной области комплексной плоскости. Можно рассматривать также задачу нахождения действительных корней, расположенных на заданном отрезке.

Задача нахождения корней уравнения (1) обычно решается в 2 этапа. На первом этапе изучается расположение корней и проводится их разделение, т.е. выделяются области в комплексной области, содержащие только один корень. Тем самым находятся некоторые начальные приближения для корней уравнения (1). На втором этапе, используя заданное начальное приближение, строится итерационный процесс, позволяющий уточнить значение отыскиваемого корня.

Численные методы решения нелинейных уравнений являются, как правило, итерационными методами, которые предполагают задание достаточно близких к искомому решению начальных данных.

Существует множество методов решения данной задачи. Но мы рассмотрим наиболее используемые методы решения по поиску корней уравнения (1): метод половинного деления (метод бисекции), метод касательных (метод Ньютона), метод секущих и метод простой итерации.

Теперь отдельно по каждому методу:

1. Метод половинного деления (метод бисекции)

Более распространенным методом нахождения корней нелинейного уравнения является метод деления пополам. Предположим, что на интервале [a, b] расположен лишь один корень x уравнения (1). Тогда f (a) и f (b) имеют различные знаки. Пусть для определения f (a) >0, f (b) <0. Положим x0= (a + b) /2 и вычислим f (x0). Если f (x0) <0, то искомый корень находится на интервале [a, x0], если же f (x0) >0, то x принадлежит [x0, b]. Далее из двух интервалов [a, x0] и [x0, b] выбираем тот на границах, которого функция f (x) имеет различные знаки, находим точку x1 - середину выбранного интервала, вычисляем f (x1) и повторяем указанный процесс. В результате получаем последовательность интервалов, содержащих искомый корень x, причем длина каждого последующего интервала вдвое меньше, чем предыдущего. Процесс заканчивается, когда длина вновь полученного интервала станет меньше приближенной точности (>0), и в качестве корня x, приближенного принимается середина этого интервала.

2. Метод касательных (метод Ньютона)

Пусть начальное приближение x0 известно. Заменим f (x) отрезком ряда Тейлора

f (x) ? H1 (x) = f (x0) + (x - x0) f ' (x0) и за следующее приближение x1 возьмем корень уравнения H1 (x) = 0, т.е. x1=x0 - f (x0) / f ' (x0).

Вообще, если итерация xk известна, то следующее приближение xk+1 в методе Ньютона определяется по правилу xk+1=xk-f (xk) /f' (xk), k=0, 1, … (2)

Метод Ньютона называют также методом касательных, так как новое приближение xk +1 является абсциссой точки пересечения касательной, проведенной в точке (xk, f (xk)) к графику функции f (x) с осью Ox.

Особенность метода:

во-первых, метод имеет квадратичную сходимость, т.е. в отличие от линейных задач погрешность на следующей итерации пропорциональна квадрату погрешности на предыдущей итерации: xk+1-x=O ( (xk-x) І);

во-вторых, такая быстрая сходимость метода Ньютона гарантируется лишь при очень хороших, т.е. близких к точному решению, начальных приближениях. Если начальное приближение выбрано неудачно, то метод может сходиться медленно, либо не сойдется вообще.

3. Метод секущих

Этот метод получается из метода Ньютона заменой f' (xk) разделенной разностью f (xk) - f (xk-1) /xk-xk-1, вычисленной по известным значениям xk и xk-1. В результате получаем итерационный метод , k=1, 2, … (3), который в отличие от ранее рассмотренных методов является двухшаговым, т.е. новое приближение xk+1 определяется двумя предыдущими итерациями xk и xk-1. В методе необходимо задавать два начальных приближения x0 и x1.

Геометрическая интерпретация метода секущих состоит в следующем. Через точки (xk-1, f (xk-1)), (xk, f (xk)) проводится прямая, абсцисса точки пересечения этой прямой с осью Ox и является новым приближением xk+1. Иначе говоря, на отрезке [xk-1, xk] функция f (x) интерполируется многочленом первой степени и за очередное приближение xk+1 принимается корень этого многочлена.

4. Метод простой итерации

Этот метод заключается в замене уравнения (1) эквивалентным ему уравнением вида (4) после этого строится итерационный процесс (5). При некотором заданном значении для приведения выражения (1) к требуемому виду (4) можно воспользоваться простейшим приёмом

, .

Если в выражении (4) положить, можно получить стандартный вид итерационного процесса для поиска корней нелинейного уравнения:

.

Иначе можно получить уравнение (4) следующим способом: левую и правую часть уравнения (1) умножить на произвольную константу ? и прибавить к левой и правой части х, т.е. получаем уравнение вида: (6), где .

На заданном отрезке [a; b] выберем точку х0 - нулевое приближение - и найдем: х1 = f (x0), потом найдем: х2 = f (x1), и т.д. Таким образом, процесс нахождения корня уравнения сводится к последовательному вычислению чисел: хn = f (xn-1) n = 1,2,3… Если на отрезке [a; b] выполнено условие: |f ' (x) |<=q<1 то процесс итераций сходится, т.е. . Процесс итераций продолжается до тех пор, пока |xn - xn-1|<=?, где ? - заданная абсолютная погрешность корня х. При этом будет выполняться: .

Применение метода к конкретной задаче (анализ).

Дано уравнение вида xІ - ln (1+x) - 3 = 0 при x [2,3]. Задача состоит в том, чтобы решить это нелинейное уравнение 4 известными способами: метод половинного деления, метод касательных, метод секущих и метод простой итерации.

Изучив методы и применив их к данному уравнению приходим к такому выводу: при решении данного уравнения 4 известными способами результат одинаков во всех случаях. Но количество итераций при прохождении метода значительно отличается. Зададим приближенную точность = . Если в случае половинного деления количество итераций составляют 20, при методе простых итераций равно 6, при методе секущих они составляют 5, а при методе касательных их количество равно 4. Из полученного результата видно, что более эффективным методом является метод касательных. В свою очередь метод половинного деления является более неэффективным, затрачивающий больше времени на выполнение, но являющийся самым простым из всех перечисленных методов при исполнении. Но не всегда результат будет таковым. Подставляя другие нелинейные уравнения в программу, в результате получается, что при методе простой итерации при разных видах уравнений количество итераций колеблется. Количество итераций может быть значительно больше, чем в методе половинного деления и меньше, чем в методе касательных.

Листинг программы:

1. Метод половинного деления

#include <stdio. h>

#include <math. h>

#include <conio. h>

#define e 0.000001

double func (double x)

{

return ( ( ( (x*x) - (log (1+x))) - 3));

}

void main ()

{

FILE *res;

res=fopen ("bisekciy. txt","w");

int x1,x2;

double x;

int k;

k=0;

x1=2;

x2=3;

x=0;

double a,b,c;

a=x1;

b=x2;

while (fabs (a-b) >e)

{

c= (a+b) /2;

if ( (func (c) *func (a)) <0) b=c;

else a=c;

k++;

}

printf ("Funkciya prinimaet znachenie na intervale: [%d,%d] \n",x1,x2);

printf ("Otvet:%f\n",a);

printf ("Kol-vo iteraciy:%d \n",k);

printf ("Takge smotri otvet v file bisekciy. txt\n");

fprintf (res,"Результат решения уравнения методом половинного деления! \n");

fprintf (res,"Корень уравнения x =%f\nКоличество итераций =%d",a,k);

fclose (res);

getch ();

}

2. Метод касательных (метод Ньютона)

#include <stdio. h>

#include <math. h>

#include <conio. h>

#define e 0.000001

double func (double x)

{

return ( ( ( (x*x) - (log (1+x))) - 3));

}

double dif (double x)

{

return ( (2*x) - (1/ (1+x)));

}

void main ()

{

FILE *res;

res=fopen ("kasatelnih. txt","w");

int x1,x2,k;

double a,b;

x1=2;

x2=3;

k=0;

a=x1;

b=x2;

while (fabs (a-b) >=e)

{

a=a-func (a) /dif (a);

b=b-func (b) /dif (b);

k++;

}

printf ("Funkciya prinimaet znachenie na intervale: [%d,%d] \n",x1,x2);

printf ("Otvet:%f\n",a);

printf ("Kol-vo iteraciy:%d \n",k);

printf ("Takge smotri otvet v file kasatelnih. txt\n");

fprintf (res,"Результат решения уравнения методом Ньютона! \n");

fprintf (res,"Корень уравнения x =%f\nКоличество итераций =%d",a,k);

fclose (res);

getch ();

}

3. Метод секущих

#include <stdio. h>

#include <math. h>

#include <conio. h>

#define e 0.000001

double func (double x)

{

return ( ( ( (x*x) - (log (1+x))) - 3));

}

void main ()

{

FILE *res;

res=fopen ("sekushih. txt","w");

int k=0,x1=2,x2=3;

double a,b,c;

a=x1;

b=x2;

while (fabs (a-b) >e)

{

c= (a*func (b) - b*func (a)) / (func (b) - func (a));

a=b;

b=c;

k++;

}

printf ("Funkciya prinimaet znachenie na intervale: [%d,%d] \n",x1,x2);

printf ("Otvet:%f\n",a);

printf ("Kol-vo iteraciy:%d \n",k);

printf ("Takge smotri otvet v file sekushih. txt\n");

fprintf (res,"Результат решения уравнения методом секущих! \n");

fprintf (res,"Корень уравнения x =%f\nКоличество итераций =%d",a,k);

fclose (res);

getch ();

}

4. Метод простой итерации

#include <stdio. h>

#include <math. h>

#include <conio. h>

#define e 0.000001

double func (double x)

{

return ( ( ( (x*x) - (log (1+x))) - 3));

}

double x_vir (double x)

{

return (sqrt (log (1+x) +3));

}

void main ()

{

FILE *res;

res=fopen ("itteraciy. txt","w");

int x1,x2,k;

double x;

k=0;

x1=2;

x2=3;

x=0;

double a,b,c;

a=x1;

b=x2;

while (fabs (a-b) >e)

{

b=x_vir (a);

c=b;

b=a;

a=c;

k++;

}

printf ("Funkciya prinimaet znachenie na intervale: [%d,%d] \n",x1,x2);

printf ("Otvet:%f\n",a);

printf ("Kol-vo iteraciy:%d \n",k);

printf ("Takge smotri otvet v file itteraciy. txt\n");

fprintf (res,"Результат решения уравнения методом простой итерации! \n");

fprintf (res,"Корень уравнения x =%f\nКоличество итераций =%d",a,k);

fclose (res);

}

Результаты расчета:

На интервале x [2,3] функции xІ - ln (1+x) - 3 = 0 корень уравнения x = 2.026689. Количество итераций при приближенной точности = в методе половинного деления составляет 20, в методе касательных составляет 4, в методе секущих составляет 5 и в методе простых итераций составляет 6.

... читать дальше >>>

Поcмотреть текст работы Поcмотреть полный текст
Скачать работу можно здесь Скачать работу "Решение одного нелинейного уравнения" можно здесь
Сколько стоит?

Рекомендуем!

база знанийглобальная сеть рефератов