главнаяреклама на сайтезаработоксотрудничество Библиотека Revolution
 
 
Сколько стоит заказать работу?   Искать с помощью Google и Яндекса
 



Теория вероятностей и математическая статистика

Определение вероятности случайного события; вероятности выиграшных лотерейных билетов; пересечения двух независимых событий; непоражения цели при одном выстреле. Расчет математического ожидания, дисперсии, функции распределения случайной величины.

Рубрика: Математика
Вид: контрольная работа
Язык: русский
Дата добавления: 29.06.2010
Размер файла: 480,0 K

Полная информация о работе Полная информация о работе
Скачать работу можно здесь Скачать работу можно здесь

рекомендуем


Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже.

Название работы:
E-mail (не обязательно):
Ваше имя или ник:
Файл:


Cтуденты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны

Подобные работы


1. Несовместные и достоверные события. Случайные величины
Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.
контрольная работа [97,1 K], добавлена 26.02.2012

2. Определение вероятности событий
Решение задач по определению вероятности событий, ряда и функции распределения с помощью формулы умножения вероятностей. Нахождение константы, математического описания и дисперсии непрерывной случайной величины из функции распределения случайной величины.
контрольная работа [57,3 K], добавлена 07.09.2010

3. Определение вероятностей различных событий
Определение вероятностей различных событий по формуле Бернулли. Составление закона распределения дискретной случайной величины, вычисление математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины, плотностей вероятности.
контрольная работа [344,8 K], добавлена 31.10.2013

4. Определение вероятности события и статистического распределения
Алгоритм определения вероятности события и выполнения статистических ожиданий. Оценка возможных значений случайной величины и их вероятности. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Анализ характеристик признака.
контрольная работа [263,8 K], добавлена 13.01.2014

5. Вычисление вероятности случайного события
Нахождение вероятности события, используя формулу Бернулли. Составление закона распределения случайной величины и уравнения регрессии. Расчет математического ожидания и дисперсии, сравнение эмпирических и теоретических частот, используя критерий Пирсона.
контрольная работа [167,7 K], добавлена 29.04.2012

6. Теория вероятности и математическая статистика
Особенности выполнения теоремы Бернулли на примере электрической схемы. Моделирование случайной величины по закону распределения Пуассона, заполнение массива. Теория вероятности, понятие ожидания, дисперсии случайной величины и закон распределения.
курсовая работа [29,7 K], добавлена 31.05.2010

7. Примеры решения задач по математической статистике и теории вероятности
Определение вероятности определенного события. Вычисление математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично. Расчет корреляционных признаков.
контрольная работа [725,5 K], добавлена 12.02.2010

8. Теория вероятности
Дискретные случайные величины и их распределения. Формула полной вероятности и формула Байеса. Общие свойства математического ожидания. Дисперсия случайной величины. Функция распределения случайной величины. Классическое определение вероятностей.
контрольная работа [33,8 K], добавлена 13.12.2010

9. Нахождение вероятности событий
Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Методы решения задач по теории вероятности, определение математического ожидания и дисперсии.
контрольная работа [157,5 K], добавлена 04.02.2012

10. Законы распределения случайных величин. Доверительный интервал
Определение вероятности появления события в каждом из независимых испытаний. Случайные величины, заданные функцией распределения (интегральной функцией), нахождение дифференциальной функции (плотности вероятности), математического ожидания и дисперсии.
контрольная работа [59,7 K], добавлена 26.07.2010


Другие документы, подобные Теория вероятностей и математическая статистика


Министерство высшего образования Украины

Национальный Технический Университет Украины

“Киевский политехнический институт”

Кафедра автоматизированных систем обработки информации и управления

К о н т р о л ь н а я р а б о т а

по дисциплине :

“ Теория вероятностей и математическая статистика”

Вариант № 24

Выполнил студент гр. ЗІС - 91

ІІI курса факультета ФИВТ

Луцько Виктор Степанович

2009г.

Задача 1

Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что:

а) сумма числа очков не превосходит N;

б) произведение числа очков не превосходит N;

в) произведение числа очков делится на N.

Исходные данные: N=18.

Решение задачи:

Вероятностью случайного события А называется отношение числа равновозможных элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий пространства Е, определяемого данным испытанием.

Р(А) =

m

n

где: n - число всех равновозможных элементарных событий, вытекающих из условий данного испытания;

m - число равновозможных событий, которые благоприятствуют событию А.

а) при сумме числа очков (N = 18), не превосходящих N:

n = 36;m = 36

Р(А) =

36

=

1 ;

36

б) при произведении числа очков, не превосходящих N:

n = 28;m = 36

Р(А) =

28

=

7

0,778 ;

36

9

в) при произведении числа очков, делящихся на N:

n = 3;m = 36

Р(А) =

3

=

1

0,083 .

36

12

Ответы:

а) Р(А) = 1 ;

б) Р(А) = 7/9 0,778 ;

в) Р(А) = 1/12 0,083.

Задача 2

Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий i-го сорта равно =1, 2, 3, 4. Для контроля наудачу берутся т изделий. Определить вероятность того, что среди них т1 первосортных, т2, т3 и т4 второго, третьего и четвертого сорта соответственно .

Исходные данные: n1 = 3; n2 = 1; n3 = 6; n4 = 2;m1 = 2; m2 = 1; m3 = 3; m4 = 1.

Решение задачи.

Определяем количество способов нужной комбинации:

С = Сn1 m1 x Сn2 m2 x Сn3 m3 x Сn4 m4 = С3 2 x С1 1 x С6 3 x С2 1 ;

Определяем количество всех возможных способов:

С = Сn1+n2+n3+n4 m1+m2+m3+m4 = С12 7 ;

3) Определяем вероятность Р согласно условия задачи:

Р =

С3 2 x С1 1 x С6 3 x С2 1

=

3 х 1 х

4 х 5 х 6

х 2

=

2 х 3

С12 7

8 х 9 х 10 х 11 х 12

2 х 3 х 4 х 5

=

3 х 5

=

5

0,15

9 х 11

33

Ответ: Р = 5/33 0,15 .

Задача 3

Среди п лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли т билетов. Определить вероятность того, что среди них выигрышных.

Исходные данные: n = 8; l = 3; m = 5; k = 4.

Решение задачи.

Общее число случаев, очевидно, равно Сn m , число благоприятных случаев Сk l x Сn-k m-l , откуда:

Р(А) =

Сk l x Сn-k m-l

=

С4 3 x С8-4 5-3

=

3

0, 4286 .

Сn m

С8 5

7

Ответ: Р(А) = 3/7 0, 4286 .

Задача 7

В круге радиуса R наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны S1 и S2. Исходные данные:R =14; S1 = 2,6; S2 = 5,6.

Решение задачи

P(A) =

S

.

R2

P(A1) =

S1

=

2,6

0,0042246 ;

R2

3,14 x 142

P(A2) =

S2

=

5,6

0,0090991 ;

R2

3,14 x 142

P(A) =

S1+ S2

=

2,6 + 5,6

=

8,2

0,013324 .

R2

3,14 x 142

615,44

Ответ: Р(А) 0,013324 .

Задача 8

В двух партиях k1 и k2 % доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:

а) хотя бы одно бракованное;

б) два бракованных;

в) одно доброкачественное и одно бракованное?

Исходные данные: k1 = 81; k2 = 37.

Решение задачи

События А и В называются независимыми, если выполняется соотношение:

Р(А/В) = Р(А) / Р(В) .

Для любых событий А и В имеет место формула:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) .

Обозначения:

Событие А - выбрали бракованное изделие из 1-й партии (1 - k1) ;

Событие B - выбрали бракованное изделие из 2-й партии (1 - k2) .

События А и В - независимые.

а) Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = (1 - k1) + (1 - k2) - (1 - k1)(1 - k2) =

= 0,19 + 0,63 - 0,19 х 0,63 0,82 - 0,12 0,70 .

б) Вероятность пересечения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ) = Р(А) х Р(В) = (1 - k1)(1 - k2) = 0,19 х 0,63 0,12 .

в) Р = Р(А) х Р(В) + Р(В) х Р(А) = (1 - k1)k2 + (1 - k2)k1 =

= 0,19 х 0,37 + 0,63 x 0,81 0,07 + 0,51 0,58 .

Ответы:

а) 0,70;

б) 0,12;

в) 0,58.

Задача 9

Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком р1 вторым -- р2 . Первый сделал n1, второй -- n2 выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.

Исходные данные: p1 = 0,33; p2 = 0,52; n1 = 3; n2 = 2.

Решение задачи.

Обозначения:

А - вероятность непоражения цели при одном выстреле первым стрелком (1 - р1) ;

В - вероятность непоражения цели при одном выстреле вторым стрелком (1 - р2) ;

Р - цель не поражена в результате общего количества испытаний.

Р = (1 - р1)n1 x (1 - р2)n2 = (1 - 0,33)3 x (1 - 0,52)2 = 0,673 x 0,482 0,30 x 0,23 0,069 0,07 .

Ответ: 0,07 .

Задача 12

Из 1000 ламп ni принадлежат i-й партии, i=1, 2, 3, . В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа -- бракованная.

Исходные данные: n1 = 350; n2 = 440.

Решение задачи

Рассмотрим три гипотезы:

Н1 - выбор лампы из первой партии;

Н2 - выбор лампы из второй партии;

Н3 - выбор лампы из третьей партии;

а также событие А - выбор бракованной лампы.

Учитывая то, что Н1, Н2, Н3 - полная группа попарно несовместимых событий, причем Р(Нi) 0, i = 1,2,3, то для любого события А имеет место равенство (формула полной вероятности):

3

Р(А) =

P(Hi) x P(A/Hi) .

i=1

Тогда:
P(H1) = 350/1000 = 7/20 ;
P(H2) = 440/1000 = 11/25 ;
P(H3) = 210/1000 = 21/100 .
Р(А) = 7/20 х 0,06 + 11/25 х 0,05 + 21/100 х 0,04 = 42/2000 + 55/2500 + 84/10000 = 514/10000 = 0,0514 .
Ответ: Р(А) = 0,0514 .
Задача 18
На каждый лотерейный билет с вероятностью p1 может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью р2. -- мелкий выигрыш и с вероятностью р3 билет может оказаться без выигрыша, . Куплено n билетов. Определить вероятность получения n1 крупных выигрышей и n2 мелких.
Исходные данные: n = 14; n1 = 5; n2 = 4;p1 = 0,25; p2 = 0,35.
Решение задачи
Для решения данной задачи используем формулу для полиномиального распределения вероятностей, т.к. события - является ли і-тый билет выигрышным (и насколько) или невыигрышным - независимы (для разных і):

Pn(m1,m2,…,mk) =

n!

p1m1 p2m2 … pkmk .

m1! m2!…mk!

В задаче: А1 - билет оказался с крупным выигрышем;
А2 - билет оказался с мелким выигрышем;
А3 - билет оказался без выигрыша.

Р14(5,4,5) =

14!

х (0,25)5 х (0,35)4 х (0,4)5 =

6х7х8х9х10х11х12х13х14

х

5! 4! 5!

2х3х4х2х3х4х5

х 0,0009765 х 0,015 х 0,01024 = 2 х 7 х 9 х 11 х 13 х 14 х 0,0009765 х 0,015 х
х 0,01024 0,0378.
Ответ: Р 0,0378 .
Задача 19
Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна р. Поступило п вызовов. Определить вероятность m «сбоев».
Исходные данные: m = 9; N = 500; p = 0,01.
Решение задачи
q = 1 - p = 1 - 0,01 = 0,99 .
Так как n - большое число (n = N = 500), а npq 5, т.е. npq < 9 , то применяем формулы Пуассона:

Рn(m)

am

e-a , a = np .

m!

Подсчет вручную дает следующие результаты:

Рn(m)

59

х

1

58

х

1

2х3х4х5х6х7х8х9

е5

2х3х4х6х7х8х9

2,75

390625

390625

0,03751 .

72576 х 143,5

10 413 862

Но, при известных а = 5 и m = 9 результат формулы Пуассона следует брать из таблицы III, где
Рn(m) 0,03627 .
Ответ: Рn(m) 0,03627 .
Задача 20
Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна р. Определить вероятность того, что число т наступлений события удовлетворяет следующему неравенству.
Варианты 22--31:
Исходные данные: n = 100; P = 0,3; k1 = - ; k2 = 40.
Решение задачи
Вероятность Рn(m) того, что в результате этих n опытов событие А произойдет m раз (наступит m успехов), определяется по формуле Бернулли:
Pn(m) = Cnmpmqn-m, m = 0,1,2,…,n (1)
где q = 1 - p - вероятность наступления противоположного события А при единичном испытании.
Совокупность чисел, определяемых формулой (1), называется биномиальным распределением вероятностей.
При больших значениях п (порядка десятков, сотен) для биномиального распределения применяют следующие приближенные формулы:
(2)
где:
(3)

где:

(4)

(5)

(6)

Формула (2) основана на локальной теореме Муавра--Лапласа, (3) -- на интегральной теореме Муавра--Лапласа, (5) и (6) -- на формуле Пуассона. Асимптотику Муавра--Лапласа [формулы (2) и (3)] рекомендуется применять в случае, когда npq>9. В противном случае более точные результаты дает асимптотика Пуассона [формулы (5) и (6)].

З а м е ч а н и е 1. Приближенная формула (3) остается в силе и в том случае, когда входящие в нее неравенства являются строгими.

З а м е ч а н и е 2. Вычисления по формулам (2), (3), (5), (6) выполняются с использованием таблиц I--IV соответственно (см. приложение).

В данной задаче n = 100, т.е. n - число большое.

npq = 21, следовательно npq > 9.

При этом q = 1 - p = 0,7 ;np = 30 .

Наши рассуждения приводят к тому, что данную задачу следует решать с помощью формул Муавра-Лапласа, а именно с помощью формулы (3).

Тогда:

k2 - np

40 - 30

10

2,18 .

npq

4,58

4,58

k1 - np

0 - 30

-30

- 6,55 .

npq

4,58

4,58

Pn(m k2) Ф(х2) - Ф(х1) Ф(2,18) - Ф(- 6,55) Ф(2,18) + Ф(6,55)

0,48537 + 0,5 0,98537 .

Ответ: Pn(m 40) 0,98537 .

Задача 21

Дана плотность распределения р (х) случайной величины . Найти параметр , математическое ожидание М дисперсию D, функцию распределения случайной величины вероятность выполнения неравенства х1 < < х2

Варианты 17-24:

Исходные данные: a = -1,5; b = 1; x1 = -1; x2 = 1.

Решение.

Р(х) =

, х [-1,5, 1],

0, x [-1,5, 1].

Найдем . Должно выполняться соотношение:F(+) = 1;

p(x)dx = 1;

dx = 1;

x

1

= 1;

*(1+1,5) = 1;

=

1

=2/5 .

-1,5

2,5

-

-1,5

1

Найдем: М =

х 2/5 dx =

2 х2

1

=

1/5 (1-2,25) =

-1,25

= -0,25 .

5 2

-1,5

5

-1,5

1

Найдем: D = М2 - (М)2 =

2/5 x2 dx - 0,0625 = 2/5

x3

1

- 0,0625 =

3

-1,5

-1,5

= 2/5 (1/3 + 3,375/3) - 0,0625 = 0,4 * 1,4583 - 0,0625 = 0,5833 - 0,0625 = 0,5208 .

0 ,

x < -1,5;

x

x

Найдем: F (x)=

p(х) dx =

dt ,

-1,5 x < 1;

-

-1,5

1 ,

x 1 .

x

x

dt =

t

=

x + 1,5 =

2/5x + 0,6 .

-1,5

-1,5

Найдем: P{-1<<1} = F (1) - F (-1) = 1 - (-2/5 + 0,6) = 7/5 - 3/5 = 4/5 .

Ответы: 1) = 2/5; 2) М = - 0,25; 3) D = 0,5208; 4) F (x) = 0,4x + 0,6; 5) P{-1<<1} = 4/5.

Список использованной литературы

Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Т.1: Пер.с англ. - М.: Мир, 1994. - 528 с.

Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб.для вузов. - 6-е изд.стер. - М.: Высш.шк., 1999. - 576 с.

Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под редакцией А.А. Свешникова. - М.: Наука, 1998. - 656 с.

Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей. - М.: Просвещение, 1998. - 160 с.

... читать дальше >>>

Поcмотреть текст работы Поcмотреть полный текст
Скачать работу можно здесь Скачать работу "Теория вероятностей и математическая статистика" можно здесь
Сколько стоит?

Рекомендуем!

база знанийглобальная сеть рефератов