главнаяреклама на сайтезаработоксотрудничество Библиотека Revolution
 
 
Сколько стоит заказать работу?   Искать с помощью Google и Яндекса
 




Свойства и признаки сходимости

Необходимые условия и достаточные признаки сходимости ряда. Гармонический ряд, формула для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Исследование знакопеременных рядов на абсолютную сходимость. Расходимость знакопеременных рядов.

Рубрика: Математика
Вид: доклад
Язык: русский
Дата добавления: 16.01.2013
Размер файла: 950,8 K

Полная информация о работе Полная информация о работе
Скачать работу можно здесь Скачать работу можно здесь

рекомендуем


Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже.

Название работы:
E-mail (не обязательно):
Ваше имя или ник:
Файл:


Cтуденты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны

Подобные документы


1. Сходимость рядов
Решение неравенств и определение области сходимости рядов по признаку Даламбера и теореме Лейбница для знакопеременных рядов. Условия и пределы сходимости ряда. Исследование границ интервала. Проверка условия Лейбница при знакочередующемся ряде.
контрольная работа [127,2 K], добавлен 07.09.2010

2. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
Описание признака сходимости числовых рядов Даламбера, решение задач на исследование сходимости. Формулировка радикального признака сходимости Коши знакоположительного ряда в предельной форме. Доказательство знакочередующихся и знакопеременных рядов.
реферат [190,9 K], добавлен 06.12.2010

3. Знакопеременные ряды
Основные понятия числового и знакопеременного ряда. Необходимые и достаточные признаки сходимости. Признак Лейбница. Исследование на абсолютную и условную сходимость ряда. Действия с суммой бесконечного числа слагаемых, расстановка скобок. Формула Эйлера.
курсовая работа [501,8 K], добавлен 12.06.2014

4. Числовые ряды
Определение числового ряда, его основные свойства. Ряды геометрической прогрессии. Исследование на сходимость гармонического ряда. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница.
лекция [137,2 K], добавлен 27.05.2010

5. Числовые и функциональные ряды
Исследование сходимости числового ряда. Использование признака Даламбера. Исследование на сходимость знакочередующегося ряда. Сходимость рядов по признаку Лейбница. Определение области сходимости степенного ряда. Сходимость ряда на концах интервала.
контрольная работа [131,9 K], добавлен 14.12.2012

6. Степенные ряды
Понятие и особенности определения функциональных рядов. Специфика выражения радиуса сходимости степенного ряда через его коэффициенты. Способы нахождения его области и интервала сходимости. Логический ход математического доказательства теоремы Абеля.
презентация [86,5 K], добавлен 18.09.2013

7. Сходимость ряда на концах интервала. Дифференциальные уравнения. Задачи на неопределённый интеграл
Определение интервала сходимости ряда. Сходимость ряда на концах интервала по второму признаку сравнения положительных рядов и по признаку Лейбница. Решение дифференциальных уравнений по методу Бернулли. Методы нахождения неопределённого интеграла.
контрольная работа [73,0 K], добавлен 24.04.2013

8. Прикладные задачи математики
Исследование числовых рядов на сходимость. Область сходимости для разных степенных рядов. Разложение функции в ряд Тейлора. Нормы сеточной функции. Исследование устойчивости разностной схемы для однородного уравнения. Совокупность разностных уравнений.
курсовая работа [586,9 K], добавлен 19.04.2011

9. Критерий сходимости Коши
Рассмотрение особенностей сравнения рядов. Характеристика признаков сходимости Даламбера. Критерий Коши как ряд утверждений в математическом анализе. Анализ геометрической интерпретации интегрального признака. Способы определения сумы числового ряда.
контрольная работа [214,6 K], добавлен 01.03.2013

10. Степенные ряды
Определение степенного ряда. Теорема Абеля как определение структуры области сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора, Маклорена для функций. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Приложения степенных рядов.
реферат [89,3 K], добавлен 08.06.2010


Другие документы, подобные Свойства и признаки сходимости


Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство труда, занятости и социальной защиты РТ

Государственное автономное образовательное учреждение

Среднее профессиональное образование (ГАОУ СПО)

"Международный колледж сервиса"

Тема: "Свойства и признаки сходимости"

2012

Содержание

Введение

1. Основные определения и понятия

2. Свойства сходящихся числовых рядов

3. Необходимое условие сходимости ряда

4. Достаточные признаки сходимости знакоположительного ряда

5. Первый, второй и третий признаки сравнения

6. Признак Даламбера

7. Радикальный признак Коши

8. Интегральный признак Коши

9. Признак Раабе

10. Исследование знакопеременных рядов на абсолютную сходимость

11. Расходимость знакопеременных рядов

12. Достаточные признаки условной сходимости числового ряда

Введение

I Цель: нахождение решений практически любого примера по теме числовые ряды, от нахождения суммы ряда до исследования его на сходимость.

II Начнем с определений знакоположительного, знакопеременного ряда и понятия сходимости. Далее рассмотрим стандартные ряды, такие как гармонический ряд, обобщенно гармонический ряд, вспомним формулу для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. После этого перейдем к свойствам сходящихся рядов, остановимся на необходимом условии сходимости ряда и озвучим достаточные признаки сходимости ряда. Теорию будем разбавлять решением характерных примеров с подробными пояснениями.

III Формирование умений и способов действий.

1. Основные определения и понятия

Пусть мы имеем числовую последовательность , где .

Приведем пример числовой последовательности: .

Числовой ряд - это сумма членов числовой последовательности вида

.

В качестве примера числового ряда можно привести сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = -0.5: .

называют общим членом числового ряда или k-ым членом ряда.

Для предыдущего примера общий член числового ряда имеет вид .

Частичная сумма числового ряда - это сумма вида

,

где n - некоторое натуральное число. называют также n-ой частичной суммой числового ряда.

К примеру, четвертая частичная сумма ряда есть .

Частичные суммы образуют бесконечную последовательность частичных сумм числового ряда.

Для нашего ряда n -ая частичная сумма находится по формуле суммы первых n членов геометрической прогрессии

,

то есть, будем иметь следующую последовательность частичных сумм: .

Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм . Если предел последовательности частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Суммой сходящегося числового ряда называется предел последовательности его частичных сумм, то есть, .

В нашем примере , следовательно, ряд сходится, причем его сумма равна шестнадцати третьим: .

В качестве примера расходящегося ряда можно привести сумму геометрической прогрессии со знаменателем большем, чем единица: . n-ая частичная сумма определяется выражением

,

а предел частичных сумм бесконечен:

.

Еще одним примером расходящегося числового ряда является сумма вида . В этом случае n-ая частичная сумма может быть вычислена как

.

Предел частичных сумм бесконечен

.

Сумма вида

называется гармоническим числовым рядом.

Сумма вида

,

где s - некоторое действительное число, называется обобщенно гармоническим числовым рядом.

Приведенных определений достаточно для обоснования следующих очень часто используемых утверждений, рекомендуем их запомнить.

Гармонический ряд является расходящимся.

Докажем расходимость гармонического ряда.

Предположим, что ряд сходится. Тогда существует конечный предел его частичных сумм. В этом случае можно записать

и ,

что приводит нас к равенству

.

С другой стороны,

Не вызывают сомнения следующие неравенства

.

Таким образом,

.

Полученное неравенство

указывает нам на то, что равенство

не может быть достигнуто, что противоречит нашему предположению о сходимости гармонического ряда.

Вывод: гармонический ряд расходится.

Сумма геометрической прогрессии вида

со знаменателем q является сходящимся числовым рядом, если , и расходящимся рядом при .

Докажем это.

Мы знаем, что сумма первых n членов геометрической прогрессии находится по формуле

.

При справедливо

что указывает на сходимость числового ряда.

При q = 1 имеем числовой ряд

.

Его частичные суммы находятся как

,

а предел частичных сумм бесконечен

,

что указывает на расходимость ряда в этом случае.

Если q = -1, то числовой ряд примет вид

.

Частичные суммы принимают значение для нечетных n, и для четных n. Из этого можно сделать вывод, что предел частичных сумм не существует и ряд расходится.

При справедливо

что указывает на расходимость числового ряда.

Обобщенно гармонический ряд сходится при s > 1 и расходится при .

Доказательство.

Для s = 1 получим гармонический ряд , а выше мы установили его расходимость.

При s < 1 справедливо неравенство для всех натуральных k. В силу расходимости гармонического ряда можно утверждать, что последовательность его частичных сумм неограниченна (так как не существует конечного предела). Тогда последовательность частичных сумм числового ряда тем более неограниченна (каждый член этого ряда больше соответствующего члена гармонического ряда), следовательно, обобщенно гармонический ряд расходится при s < 1.

Осталось доказать сходимость ряда при s > 1.

Запишем разность :

Очевидно, что

,

тогда

Распишем полученное неравенство для n = 2, 4, 8, 16, …

Используя эти результаты, с исходным числовым рядом можно провести следующие действия:

Выражение представляет собой сумму геометрической прогрессии, знаменатель которой равен . Так как мы рассматриваем случай при s > 1, то . Поэтому

.

Таким образом, последовательность частичных сумм обобщенно гармонического ряда при s > 1 является возрастающей и в тоже время ограниченной сверху значением , следовательно, она имеет предел, что указывает на сходимость ряда . Доказательство завершено.

Числовой ряд называется знакоположительным, если все его члены положительны, то есть, .

Числовой ряд называется знакочередующимся, если знаки его соседних членов различны. Знакочередующийся числовой ряд можно записать в виде или , где .

Числовой ряд называется знакопеременным, если он содержит бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов.

Знакочередующийся числовой ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Ряды

являются знакоположительным, знакочередующимся и знакопеременным соответственно.

Для знакопеременного ряда существует понятие абсолютной и условной сходимости.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из абсолютных величин его членов, то есть, сходится знакоположительный числовой ряд .

К примеру, числовые ряды и абсолютно сходятся, так как сходится ряд , являющийся суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если ряд расходится, а ряд сходится.

В качестве примера условно сходящегося числового ряда можно привести ряд . Числовой ряд , составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, расходящийся, так как является гармоническим. В то же время, исходный ряд является сходящимся, что легко устанавливается с помощью признака Лейбница. Таким образом, числовой знакочередующийся ряд условно сходящийся.

2. Свойства сходящихся числовых рядов

сходимость гармонический прогрессия знакопеременный

Если сходится числовой ряд , то сходящимся будет и ряд . Другими словами, сходящимся будет и ряд без первых m членов. Если к сходящемуся числовому ряду добавить несколько членов (от первого до m-ого), то полученный ряд также будет сходящимся.

Если сходится числовой ряд и его сумма равна S, то сходящимся будет и ряд , причем

,

где A - произвольная постоянная.

Если сходятся числовые ряды и , их суммы равны A и B соответственно, то сходящимися будут ряды и , причем их суммы будут равны A + B и A - B соответственно.

Пример.

Докажите сходимость числового ряда .

Решение.

Запишем ряд в другом виде

.

Числовой ряд сходится, так как обобщенно гармонический ряд является сходящимся при s > 1, а в силу второго свойства сходящихся числовых рядов будет сходится и ряд с числовым коэффициентом .

Пример.

Сходится ли числовой ряд .

Решение.

Преобразуем исходный ряд:

.

Таким образом, мы получили сумму двух числовых рядов и причем каждый из них сходится (смотрите предыдущий пример). Следовательно, в силу третьего свойства сходящихся числовых рядов, сходится и исходный ряд.

Пример.

Докажите сходимость числового ряда и вычислите его сумму.

Решение.

Данный числовой ряд можно представить в виде разности двух рядов:

Каждый из этих рядов представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, следовательно, является сходящимся. Третье свойство сходящихся рядов позволяет утверждать, что исходный числовой ряд сходится. Вычислим его сумму.

Первый член ряда есть единица, а знаменатель соответствующей геометрической прогрессии равен 0.5, следовательно, .

Первым членом ряда является 3, а знаменатель соответствующей бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен 1/3, поэтому .

Воспользуемся полученными результатами для нахождения суммы исходного числового ряда:

3. Необходимое условие сходимости ряда

Если числовой ряд сходится, то предел его k-ого члена равен нулю: .

При исследовании любого числового ряда на сходимость в первую очередь следует проверять выполнение необходимого условия сходимости. Невыполнение этого условия указывает на расходимость числового ряда, то есть, если , то ряд расходится.

С другой стороны нужно понимать, что это условие не является достаточным. То есть, выполнение равенства не говорит о сходимости числового ряда . К примеру, для гармонического ряда необходимое условие сходимости выполняется , а ряд расходится.

Пример.

Исследовать числовой ряд на сходимость.

Решение.

Проверим необходимое условие сходимости числового ряда:

Предел n-ого члена числового ряда не равен нулю, следовательно, ряд расходится.

4. Достаточные признаки сходимости знакоположительного ряда

При использовании достаточных признаков для исследования числовых рядов на сходимость постоянно приходится сталкиваться с вычислением пределов, так что рекомендуем обращаться к этому разделу при затруднениях.

Необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительного числового ряда

Для сходимости знакоположительного числового ряда

необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.

Начнем с признаков сравнения рядов. Их суть заключается в сравнении исследуемого числового ряда с рядом, сходимость или расходимость которого известна.

5. Первый, второй и третий признаки сравнения

Первый признак сравнения рядо.

Пусть и - два знакоположительных числовых ряда и выполняется неравенство для всех k = 1, 2, 3, ... Тогда из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость .

Первый признак сравнения используется очень часто и представляет собой очень мощный инструмент исследования числовых рядов на сходимость. Основную проблему представляет подбор подходящего ряда для сравнения. Ряд для сравнения обычно (но не всегда) выбирается так, что показатель степени его k-ого члена равен разности показателей степени числителя и знаменателя k-ого члена исследуемого числового ряда. К примеру, пусть

,

разность показателей степени числителя и знаменателя равна 2 - 3 = -1, поэтому, для сравнения выбираем ряд с k-ым членом

,

то есть, гармонический ряд. Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Установить сходимость или расходимость ряда .

Решение.

Так как предел общего члена ряда равен нулю

,

то необходимое условие сходимости ряда выполнено.

Несложно заметить, что справедливо неравенство

для всех натуральных k. Мы знаем, что гармонический ряд расходится, следовательно, по первому признаку сравнения исходный ряд также является расходящимся.

Пример.

Исследуйте числовой ряд на сходимость.

Решение.

Необходимое условие сходимости числового ряда выполняется, так как

.

Очевидно выполнение неравенства

для любого натурального значения k. Ряд сходится, так как обобщенно гармонический ряд является сходящимся для s > 1. Таким образом, первый признак сравнения рядов позволяет констатировать сходимость исходного числового ряда.

Пример.

Определите сходимость или расходимость числового ряда .

Решение.

,

следовательно, необходимое условие сходимости числового ряда выполнено. Какой ряд выбрать для сравнения? Напрашивается числовой ряд , а чтобы определиться с s, внимательно исследуем числовую последовательность

.

Члены числовой последовательности возрастают к бесконечности. Таким образом, начиная с некоторого номера N (а именно, с N = 1619), члены этой последовательности будут больше 2. Начиная с этого номера N, справедливо неравенство

.

Числовой ряд сходится в силу первого свойства сходящихся рядов, так как получается из сходящегося ряда отбрасыванием первых N - 1 члена. Таким образом, по первому признаку сравнения сходящимся является ряд , а в силу первого свойства сходящихся числовых рядов сходится будет и ряд .

Второй признак сравнения

Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если

,

то из сходимости ряда следует сходимость . Если

,

то из расходимости числового ряда следует расходимость .

Следствие.

Если

и ,

то из сходимости одного ряда следует сходимость другого, а из расходимости следует расходимость.

Исследуем ряд на сходимость с помощью второго признака сравнения. В качестве ряда возьмем сходящийся ряд . Найдем предел отношения k-ых членов числовых рядов:

Таким образом, по второму признаку сравнения из сходимости числового ряда следует сходимость исходного ряда.

Пример.

Исследовать на сходимость числовой ряд .

Решение.

Проверим необходимое условие сходимости ряда

.

Условие выполнено. Для применения второго признака сравнения возьмем гармонический ряд . Найдем предел отношения k-ых членов:

Следовательно, из расходимости гармонического ряда следует расходимость исходного ряда по второму признаку сравнения.

Для информации приведем третий признак сравнения рядов.

Третий признак сравнения

Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если с некоторого номера N выполняется условие

,

то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость .

6. Признак Даламбера

Пусть - знакоположительный числовой ряд. Если

,

то числовой ряд сходится, если

,

то ряд расходится.

Замечание.

Признак Даламбера справедлив, если предел бесконечен, то есть, если

,

то ряд сходится, если

,

то ряд расходится.

Если

,

то признак Даламбера не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование.

Пример.

Исследуйте числовой ряд на сходимость по признаку Даламбера.

Решение.

Проверим выполнение необходимого условия сходимости числового ряда, предел вычислим по правилу Лопиталя:

Условие выполнено.

Воспользуемся признаком Даламбера:

Таким образом, ряд сходится.

Пример.

Проверьте расходимость числового ряда .

Решение.

Воспользуемся признаком Даламбера для исследования сходимости числового ряда:

Следовательно, ряд расходится. В последнем переходе мы использовали второй замечательный предел.

7. Радикальный признак Коши

Пусть - знакоположительный числовой ряд. Если

,

то числовой ряд сходится, если

,

то ряд расходится.

Замечание.

Радикальный признак Коши справедлив, если предел бесконечен, то есть, если

,

то ряд сходится, если

,

то ряд расходится.

Если

,

то радикальный признак Коши не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование.

Обычно достаточно легко разглядеть случаи, когда лучше всего использовать радикальный признак Коши. Характерным является случай, когда общий член числового ряда представляет собой показательно степенное выражение. Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Исследовать знакоположительный числовой ряд на сходимость с помощью радикального признака Коши.

Решение.

Необходимое условие сходимости ряда выполнено, так как

.

По радикальному признаку Коши получаем

.

Следовательно, ряд сходится.

Пример.

Сходится ли числовой ряд

.

Решение.

Воспользуемся радикальным признаком Коши

,

следовательно, числовой ряд сходится.

8. Интегральный признак Коши

Пусть - знакоположительный числовой ряд. Составим функцию непрерывного аргумента y = f(x), аналогичную функции . Пусть функция y = f(x) положительная, непрерывная и убывающая на интервале , где ). Тогда в случае сходимости несобственного интеграла сходится исследуемый числовой ряд. Если же несобственный интеграл расходится, то исходный ряд тоже расходится.

При проверке убывания функции y = f(x) на интервале Вам может пригодится теория из раздела возрастание и убывание функции.

Пример.

Исследуйте числовой ряд с положительными членами на сходимость.

Решение.

Необходимое условие сходимости ряда выполнено, так как

.

Рассмотрим функцию

.

Она положительная, непрерывная и убывающая на интервале . Непрерывность и положительность этой функции не вызывает сомнения, а на убывании остановимся чуть подробнее. Найдем производную:

.

Она отрицательная на промежутке , следовательно, функция убывает на этом интервале.

Таким образом, функция

удовлетворяет всем условиям интегрального признака Коши. Воспользуемся им:

То есть, несобственный интеграл расходится, следовательно, расходящимся является исходный числовой ряд.

Пример.

Докажите сходимость числового ряда .

Решение.

Так как

,

то необходимое условие сходимости числового ряда выполнено.

Начиная с k = 4, справедливо неравенство

.

Таким образом, если доказать сходимость ряда

,

то в силу первого признака сравнения будет сходиться ряд

,

тогда из первого свойства сходимости рядов последует сходимость исходного числового ряда.

Итак, осталось доказать сходимость числового ряда

.

Так как функция

положительная, непрерывная и убывающая на интервале (проверить эти факты оставляем Вам), то можно воспользоваться интегральным признаком Коши:

Таким образом, несобственный интеграл

сходится, следовательно, сходится ряд

.

Этим доказана сходимость исходного числового ряда.

К началу страницы

9. Признак Раабе

Пусть - знакоположительный числовой ряд. Если

,

то числовой ряд расходится, если

,

то ряд сходится.

Признак Раабе обычно применяется тогда, когда рассмотренные выше достаточные признаки сходимости числовых рядов не приводят к результату.

10. Исследование знакопеременных рядов на абсолютную сходимость

Проще всего исследовать знакопеременный числовой ряд на абсолютную сходимость. В этом случае берем знакоположительный ряд , составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, и применяем к нему подходящий достаточный признак сходимости из рассмотренных выше. Если ряд сходится, то исходный ряд является абсолютно сходящимся.

Пример.

Докажите, что знакопеременный числовой ряд

абсолютно сходится.

Решение.

Соответствующих знакоположительный ряд будет иметь вид

.

Для него выполняется необходимое условие сходимости ряда, так как

.

Возьмем сходящийся знакоположительный ряд и воспользуемся вторым признаком сравнения:

.

Следовательно, ряд

сходящийся, поэтому, исходный ряд сходится абсолютно.

11. Расходимость знакопеременных рядов

Если ряд расходится, то соответствующий знакопеременный ряд может, либо расходится, либо сходится условно.

Только признак Даламбера и радикальный признак Коши позволяют сделать вывод о расходимости знакопеременного ряда по расходимости ряда из модулей . Ряд также расходится, если не выполняется необходимое условие сходимости, то есть, если .

Пример.

Проверьте расходимость знакопеременного числового ряда .

Решение.

Модуль k-ого члена имеет вид . Исследуем ряд

на сходимость по признаку Даламбера:

.

Следовательно, ряд

расходится и можно утверждать, что исходный знакопеременный числовой ряд тоже расходится.

Пример.

Сходится ли знакочередующийся числовой ряд .

Решение.

Проверим выполнение необходимого условия сходимости числового ряда:

.

Условие не выполняется, следовательно, ряд

расходится. Предел был вычислен по правилу Лопиталя.

Осталось разобраться с условной сходимостью знакочередующихся рядов.

12. Достаточные признаки условной сходимости числового ряда

Признак Лейбница

Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда монотонно убывают и предел модуля общего члена ряда равен нулю при , то ряд сходится.

Пример.

Определите характер сходимости знакочередующегося числового ряда

.

Решение.

Ряд из абсолютных величин членов имеет вид

.

Для него выполняется необходимое условие сходимости

.

Возьмем гармонический ряд и воспользуемся вторым признаком сравнения:

Таким образом, ряд из модулей

- расходящийся.

В свою очередь, знакочередующийся ряд

сходится, так как выполняются условия признака Лейбница: последовательность монотонно убывает и

.

Следовательно, исходный ряд условно сходящийся.

К началу страницы

Признак Абеля-Дирихле

Числовой ряд сходится условно, если последовательность является невозрастающей и бесконечно малой, а последовательность частичных сумм числового ряда ограничена.

Пример.

Исследуйте числовой ряд на сходимость.

Решение.

Представим числовой ряд в виде

где - невозрастающая и бесконечно малая, а последовательность имеет ограниченную последовательность частичных сумм . Следовательно, условия признака Абеля-Дирихле выполнены и ряд условно сходится.

Признак Лейбница является частным случаем признака Абеля-Дирихле при или .

Размещено на Allbest.ru

...

Скачать работу можно здесь Скачать работу "Свойства и признаки сходимости" можно здесь
Сколько стоит?

Рекомендуем!

база знанийглобальная сеть рефератов