Автоматизация обработки биомедицинской информации

Матрица расстояний, рассчитанная по формуле Евклида. Отношение объекта к классам. Матрица расстояний между центрами классов и объектами. Расчет по методу среднего подпространства и по методу функционала качества разбиения. Первая производная функционала.

Рубрика Математика
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 13.04.2013
Размер файла 141,3 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1. Задание к курсовой работе

2. Основная часть, расчеты

2.1 Расчет по методу k-внутригрупповых средних

2.2 Расчет по методу среднего подпространства

2.3 Расчет по методу функционал качества разбиения

3. Список используемой литературы

1. Задание к курсовой работе

Данная курсовая работа рассчитывается по 10 варианту.

Будут изучаться следующие методы:

№ 5 - k-внутригрупповых средних,

№ 9 - Среднего подпространства,

№ 10 - Функционал качества разбиения.

Исходные данные в Таблице 1.1 (строки Ni - объекты, столбцы Lj - параметры, итого в задании 10 объектов по 5 параметров).

Таблица 1.1

Ni

Вариант № 10

1

53,26

6,29

-2,91

14,75

4,77

2

51,18

91,42

-1,06

2,48

85,61

3

51,11

8,76

10,45

8,74

4,70

4

50,72

97,54

8,57

4,36

83,96

5

48,39

11,72

5,56

13,36

5,14

6

57,97

89,78

-2,40

4,36

84,85

7

55,35

59,72

3,61

-0,40

15,72

8

50,09

60,91

0,15

1,56

15,27

9

51,78

56,60

7,28

5,88

15,53

10

52,16

58,65

9,90

14,33

15,53

Данные курсовой работы рассчитывались в программе Microsoft Excel.

2. Основная часть, расчеты

2.1 Расчет по методу k-внутригрупповых средних

Данный алгоритм относится к статистическим алгоритмам и предполагает многократное использование алгоритма при различных начальных установках.

На первом этапе рассчитывается матрица расстояний. Данные представлены в Таблице 2.1.1.

Таблица 2.1.1. Расчет расстояний между точками

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

0,00

118,07

15,01

121,84

11,27

116,25

57,02

57,33

53,21

54,98

2

118,07

0,00

116,41

11,69

114,01

7,40

77,05

76,69

78,77

79,04

3

15,01

116,41

0,00

119,11

7,85

114,98

53,54

54,68

49,24

51,37

4

121,84

11,69

119,11

0,00

116,93

15,29

78,46

78,35

79,77

79,36

5

11,27

114,01

7,85

116,93

0,00

112,62

51,55

51,90

46,82

48,42

6

116,25

7,40

114,98

15,29

112,62

0,00

75,82

75,84

77,72

77,84

7

57,02

77,05

53,54

78,46

51,55

75,82

0,00

6,72

8,68

16,37

8

57,33

76,69

54,68

78,35

51,90

75,84

6,72

0,00

9,54

16,36

9

53,21

78,77

49,24

79,77

46,82

77,72

8,68

9,54

0,00

9,09

10

54,98

79,04

51,37

79,36

48,42

77,84

16,37

16,36

9,09

0,00

Для представления расстояния между объектами воспользуемся матрицей расстояния, рассчитанной по формуле Евклида

.

Формула для расчета в Excel: =КОРЕНЬ(СТЕПЕНЬ(C4-C5;2)+СТЕПЕНЬ(D4-D5;2)+СТЕПЕНЬ(E4-E5;2)+СТЕПЕНЬ(F4-F5;2)+СТЕПЕНЬ(G4-G5;2)),

где C4, D4, E4, F4, G4 и т.д. - адрес ячеек, где содержаться данные варианта; СТЕПЕНЬ(…;2) - возведение во 2-ю степень; КОРЕНЬ - извлечение корня.

Для стандартизации таблицу расстояний можно нормировать, например, поделив все расстояния на наибольшее расстояние. В Таблице 2.1.1 максимальное расстояние между объектами 1 и 4, равно 121,84; каждое полученное число из Таблице 2.1.1 делится на 121,84. Нормированная матрица расстояний представлена в Таблице 2.1.2.

Таблица 2.1.2. Нормирование расстояния на 121,84

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

0,00

0,97

0,12

1,00

0,09

0,95

0,47

0,47

0,44

0,45

2

0,97

0,00

0,96

0,10

0,94

0,06

0,63

0,63

0,65

0,65

3

0,12

0,96

0,00

0,98

0,06

0,94

0,44

0,45

0,40

0,42

4

1,00

0,10

0,98

0,00

0,96

0,13

0,64

0,64

0,65

0,65

5

0,09

0,94

0,06

0,96

0,00

0,92

0,42

0,43

0,38

0,40

6

0,95

0,06

0,94

0,13

0,92

0,00

0,62

0,62

0,64

0,64

7

0,47

0,63

0,44

0,64

0,42

0,62

0,00

0,06

0,07

0,13

8

0,47

0,63

0,45

0,64

0,43

0,62

0,06

0,00

0,08

0,13

9

0,44

0,65

0,40

0,65

0,38

0,64

0,07

0,08

0,00

0,07

10

0,45

0,65

0,42

0,65

0,40

0,64

0,13

0,13

0,07

0,00

В Excelе для получения автоматически данных пишем формулу: =L3/$O$15, где первая ссылка на ячейку из Таблицы 2.1.1, а вторая ссылка на нужное число, поставив знак $ делаем данную ссылку постоянной, и при «протягивании» данная ссылка остается постоянной во всех формулах.

Выбираем количество классов с начальными центрами. Выбираются наиболее удалённые объекты с использованием матрицы расстояний - это будут Х1 и Х4, расстояние между которыми равно 1. Эти объекты назначаются начальными центрами классов S1 и S2. Но необходимо найти еще один класс. Найдём его из расчёта, что он будет расположен далее всех от классов S1 и S2. Сделать это можно по следующему алгоритму. Рассчитываем сумму расстояний от каждого объекта, не являющегося центром класса, и центрами класса. Данные представлены в Таблица 2.1.3.

Таблица 2.1.3. Сумма расстояний между центром S1 и S2 и Х10

Сумма расстояний между объектом Хi и центром S1=X1 и S2=X4

Результат

2

d2=d2-1+d2-4=

0,97

+

0,10

1,07

3

d3=d3-1+d3-4=

0,12

+

0,98

1,10

5

d5=d5-1+d5-4=

0,09

+

0,96

1,05

6

d6=d6-1+d6-4=

0,95

+

0,13

1,08

7

d7=d7-1+d7-4=

0,47

+

0,64

1,11

8

d8=d8-1+d8-4=

0,47

+

0,64

1,11

9

d9=d9-1+d9-4=

0,44

+

0,65

1,09

10

d10=d10-1+d10-4=

0,45

+

0,65

1,10

Формула: =P31+R31, сложение двух величин вычисленных ранее.

Из полученных данных выбираем наибольшее значение - это самый удаленный объект от центров классов S1 и S2. Данный объект становится новым центром класса S3.

Относим все оставшиеся объекты по классам по следующему правилу: объект относится к тому классу, к центру которого он ближе. Результат отнесения объектов по классам сведён в Таблице 2.1.4.

Таблица 2.1.4. Отношение объекта к классам

S1 - X1

S2 - X4

S3 - X8

Х2

0,97

0,10

0,63

Х3

0,12

0,98

0,45

Х5

0,09

0,96

0,43

Х6

0,95

0,13

0,62

Х7

0,47

0,64

0,06

Х9

0,44

0,65

0,08

Х10

0,45

0,65

0,13

Получаем разбиение S1 = {X1, X3, Х5}; S2 = {X4, X2, X6}; S3 = {X7, X8, X9, X10}. Находим центры полученных классов. Данные в Таблице 2.1.5.

Таблица 2.1.5. Центры классов

S

x

y

z

k

l

1

50,92

8,923

4,367

12,28

4,87

2

53,29

92,91

1,703

3,733

84,81

3

52,35

58,97

5,235

5,343

15,51

Формула: =(C4+C6+C8)/3, где ссылки в скобках это объекты отнесенные к конкретному классу и поделенные на их количество.

Рассчитываем матрицу расстояний между центрами классов и всеми объектами. Результат сведён в Таблицу 2.1.6.

Таблица 2.1.6. Матрица расстояний между центрами классов и всеми объектами

Объекты

Класс S1

Класс S2

Класс S3

Х1

8,45

118,54

55,19

Х2

115,98

4,07

77,56

Х3

7,05

116,64

51,75

Х4

119,12

8,73

78,66

Х5

4,11

114,33

49,20

Х6

114,42

7,00

76,47

Х7

53,66

76,81

6,73

Х8

54,26

76,66

7,01

Х9

49,37

78,46

3,23

Х10

51,21

78,45

10,13

Формула: =КОРЕНЬ(СТЕПЕНЬ(C4-$K$54;2)+СТЕПЕНЬ(D4-$L$54;2)+СТЕПЕНЬ(E4-$M$54;2)+СТЕПЕНЬ(F4-$N$54;2)+СТЕПЕНЬ(G4-$O$54;2)).

Относим объекты к соответствующим классам (в таблице объекты выделены жирным шрифтом). Получаем новое разбиение: S1 = {X1, X3, Х5}; S2 = {X4, X2, X6}; S3 = {X7, X8, X9, X10}.

В данном случае разбиение в Таблице 2.1.6 совпало с разбиением в Таблице 2.1.4. Алгоритм разбиения закончен.

2.2 Расчет по методу среднего подпространства

Воспользуемся разбиением на классы из предыдущего метода, тогда получим:

NS1 + NS2 + NS3 = N - вся выборка разделена на классы, где

S1 = {X1, X3, Х5}; S2 = {X4, X2, X6}; S3 = {X7, X8, X9, X10}

Центры тяжести каждого класса тоже были рассчитаны в предыдущем методе:

Таблица 2.2.1. Центры тяжести классов

S

x

y

z

k

l

1

50,92

8,923

4,367

12,28

4,87

2

53,29

92,91

1,703

3,733

84,81

3

52,35

58,97

5,235

5,343

15,51

Принимаем за базисные для R2 вектора и . Получим = 118,07 и = 15,01. Эти векторы лежат в многомерном пространстве RL, но и принадлежат плоскости, описываемой векторами и . На плоскость Р спроектируем исходную совокупность векторов . Так как векторы и могут быть не ортогональны, то нужно сделать новую систему координат ортогональной и ортонормированной.

Используем процедуру Грамма-Шмидта, проводим ортогонализацию векторов и . Получаем новую совокупность векторов по формуле: , где ? = 0, а ? = 15,01 => [0 ; 15,01]

Ортонормируем полученные векторы и переходим к ортонормированному для R2 базису: => = 0, = 1.

Убеждаемся, что полученный базис является ортогональным. Для этого воспользуемся скалярным произведением векторов и , которое должно быть равно нулю: , (0 · 1) = 0

Используя полученный базис , определяем проекции совокупности L-х исходных векторов в R2 пространстве:

Уп1 = · Хтп = 0, т.к. = (0; 0; 0; 0; 0;) Уп2 = · Хтп = (415,49; 528,81; 44,97; 39,92; 321,54)

Опять воспользуемся разбиением на классы из предыдущего метода, тогда получим:

S0 = (X1, X3, Х5); S1 = (X4, X2, X6); S2 = (X7, X8, X9, X10)

Центры тяжести каждого класса тоже были рассчитаны в предыдущем методе, данные в Таблице 2.2.1.

Х0 = (50,92; 8,92; 4,37; 12,28; 4,87)

Х1 = (53,29; 92,91; 1,7; 3,73; 84,81)

Х2 = (52,35; 58,97; 5,24; 5,34; 15,51)

Примем векторы за базисные векторы для R2:

а1 = Х1-Х0 = (2,37; 83,99; -2,66; -8,55; 79,94)

а2 = Х2-Х0 = (1,43; 50,05; 0,87; -6,94; 10,64)

Используя процедуру Гамма-Шмидта и учитывая, что , получаем следующие значения:

5

5

У (а1l · а2 l ) = 5115

У ( а? 1l)2 = 13530

L=1

L=1

Тогда: а?2l = а2l - 0,38 · а?1l

В итоге получаем следующие координаты для вектора :

= (0,52; 18,13; 1,88; -3,692; -19,73)

Проортонормируем полученные вектора и перейдём к ортонормированному для R базису, для чего воспользуемся одним из предыдущих выражений:

5

5

У (а?1l)2 = 116,32

У ( а? 2l)2 = 33,54

L=1

L=1

Получаем следующие значения для векторов и :

= (3,15; 101,92; -3,54; -11,37; 105,3)

= (0,7; 24,11; 2,4; -4,91; -23,81)

Проверим, что полученный базис является ортогональным:

( · ) = 3,15 * 0,7 + 101,92 * 24,11 + (-3,54) * 2,4 + (-11,37) * (-4,91) + 105,3 * (-23,81) = -0,01 ? 0

Используя полученный базис , определим проекции исходных пятимерных векторов в пространство R2 используя выражения выше.

Результаты сведены в Таблицу 2.2.2.

Таблица 2.2.2.

У1

У2

У3

У4

У5

У6

У7

У8

У9

У10

х1

2,12

4,12

2,54

4,15

1,97

4,79

7,81

8,3

8,4

8,47

у2

-2,36

-3,77

-2,63

-3,86

-2,15

-3,64

-3,24

-2,7

-2,78

-3,59

Расположение образов , представлено на Рисунке 2.2.1.

Рисунок 2.2.1.

Полученные результаты согласуются с теоретическими ожиданиями.

2.3 Расчет по методу функционал качества разбиения

Требуется разбить анализируемое множество данных F = {f1,f2,…,fN} на К непересекающихся подмножеств F1, F2, …, FN, формирующих классы S1, S2, …, Sk. Чтобы поставить задачу разбиения, определяем функционал критерия Qw, который измеряет качество группировки любой группы анализируемых наблюдений. При этом под наилучшим разбиением понимается то разбиение Sw, на котором достигается глобальный экстремум выбранного функционала качества разбиения.

Воспользуемся наиболее распространённым критерием качества разбиения - суммой квадратов ошибок:

где Nm - число объектов наблюдения в m классе Sm, центр тяжести m класса (средний вектор).

Для класса Sm средний вектор лучше всего представляет наблюдения Xi Sm, то есть он минимизирует - сумму квадратов длины векторов Xi. Таким образом, функционал Qw измеряет общую квадратную ошибку, вносимую при представлении N наблюдений , центрами K групп . Значения Qw зависят от того, каким образом наблюдения сгруппированы, а оптимальным разделением считается то, которое минимизирует Qw.

Для расчётов воспользуемся результатами разбиения алгоритмов иерархической группировки ближний сосед. Рассчитаем Qw для каждого шага объединения.

Рассматриваем расстояния между объектом 4 и всеми остальными и между 6 и всеми остальными. По названию метода понятно, что из каждой пары расстояний выбирается минимальное. Матрица представлена в Таблице 2.3.1 (рассматриваемые колонки выделены желтым цветом, а минимальные расстояния в каждой паре выделены жирным шрифтом), а полученный результаты в последующих таблицах.

Таблица 2.3.1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

0,00

0,97

0,12

1,00

0,09

0,95

0,47

0,47

0,44

0,45

2

0,97

0,00

0,96

0,10

0,94

0,06

0,63

0,63

0,65

0,65

3

0,12

0,96

0,00

0,98

0,06

0,94

0,44

0,45

0,40

0,42

4

1,00

0,10

0,98

0,00

0,96

0,13

0,64

0,64

0,65

0,65

5

0,09

0,94

0,06

0,96

0,00

0,92

0,42

0,43

0,38

0,40

6

0,95

0,06

0,94

0,13

0,92

0,00

0,62

0,62

0,64

0,65

7

0,47

0,63

0,44

0,64

0,42

0,62

0,00

0,06

0,07

0,13

8

0,47

0,63

0,45

0,64

0,43

0,62

0,06

0,00

0,08

0,13

9

0,44

0,65

0,40

0,65

0,38

0,64

0,07

0,08

0,00

0,07

10

0,45

0,65

0,42

0,65

0,40

0,64

0,13

0,13

0,07

0,00

1

2

3

4-6

5

7

8

9

10

1

0,00

0,97

0,12

0,95

0,09

0,47

0,47

0,44

0,45

2

0,97

0,00

0,96

0,06

0,94

0,63

0,63

0,65

0,65

3

0,12

0,96

0,00

0,94

0,06

0,44

0,45

0,40

0,42

4-6

0,95

0,06

0,94

0,00

0,92

0,62

0,62

0,64

0,65

5

0,09

0,94

0,06

0,92

0,00

0,42

0,43

0,38

0,40

7

0,47

0,63

0,44

0,62

0,42

0,00

0,06

0,07

0,13

8

0,47

0,63

0,45

0,62

0,43

0,06

0,00

0,08

0,13

9

0,44

0,65

0,40

0,64

0,38

0,07

0,08

0,00

0,07

10

0,45

0,65

0,42

0,64

0,40

0,13

0,13

0,07

0,00

1

2

3

4-6

5

7-8

9

10

1

0,00

0,97

0,12

0,95

0,09

0,47

0,44

0,45

2

0,97

0,00

0,96

0,06

0,94

0,63

0,65

0,65

3

0,12

0,96

0,00

0,94

0,06

0,44

0,40

0,42

4-6

0,95

0,06

0,94

0,00

0,92

0,62

0,64

0,65

5

0,09

0,94

0,06

0,92

0,00

0,42

0,38

0,40

7-8

0,47

0,63

0,44

0,62

0,42

0,00

0,07

0,13

9

0,44

0,65

0,40

0,64

0,38

0,07

0,00

0,07

10

0,45

0,65

0,42

0,64

0,40

0,13

0,07

0,00

1-3

2

4-6

5

7-8

9

10

1-3

0,00

0,97

0,95

0,09

0,47

0,44

0,45

2

0,97

0,00

0,06

0,94

0,63

0,65

0,65

4-6

0,95

0,06

0,00

0,92

0,62

0,64

0,65

5

0,09

0,94

0,92

0,00

0,42

0,38

0,40

7-8

0,47

0,63

0,62

0,42

0,00

0,07

0,13

9

0,44

0,65

0,64

0,38

0,07

0,00

0,07

10

0,42

0,65

0,64

0,40

0,13

0,07

0,00

1-3

2

4-6

5

7-8-9-10

1-3

0,00

0,97

0,95

0,09

0,44

2

0,96

0,00

0,06

0,94

0,63

4-6

0,94

0,06

0,00

0,92

0,62

5

0,09

0,94

0,92

0,00

0,38

7-8-9-10

0,44

0,63

0,62

0,38

0,00

1-3

2-4-6

5

7-8-9-10

1-3-5

2-4-6

7-8-9-10

1-3

0,00

0,95

0,09

0,44

1-3-5

0,00

0,92

0,38

2-4-6

0,96

0,00

0,92

0,62

2-4-6

0,92

0,00

0,62

5

0,09

0,92

0,00

0,38

7-8-9-10

0,38

0,62

0,00

7-8-9-10

0,44

0,62

0,38

0,00

1-3-5

2-4-6-10

1-3-5

0,00

0,38

2-4-6-10

0,38

0,00

Итак, на последнем шаге все объекты объединились в один класс.

На первом шаге объединились объекты 4 и 6. Центр полученного класса имеет координаты:

X4-6 = 1/2*(Х4 + Х6) = 1/2*(50,72 + 57,97) = 54,35;

Y4-6 = 1/2*(Y4 + Y6) = 1/2*(97,54 + 89,78) = 93,66;

Z4-6 = 1/2*(Z4 + Z6) = 1/2*(8,57 + (-2,4)) = 3,09;

K4-6 = 1/2*(K4 + K6) = 1/2*(4,36 + 4,36) = 4,36;

L4-6 = 1/2*(L4 + L6) = 1/2*(83,96 + 84,85) = 84,41.

Функционал качества разбиения на этом шаге равен:

Qw (4,6) = ((Х4 - Х4 6)2 + (Х6 - Х4 6)2) + ((Y4 - Y4 6)2 + (Y6 - Y4 6)2) + ((Z4 - Z4 6)2 + (Z6 - Z4 6)2) + ((K4 - K4 6)2 + (K6 - K4 6)2) + ((L4 - L4 6)2 + (L6 - L4 6)2) =

= ((50,72 - 54,35)2 + (57,97 - 54,35)2) + ((97,54 - 93,66)2 + (89,78 - 93,66)2) + ((8,57 - 3,09)2 + (-2,4 - 3,09)2) + ((4,36 - 4,36)2 + (4,36 - 4,36)2) + ((83,96 - 84,41)2 + (84,85 - 84,41)2) = 116,96.

Функционал качества разбиения на первом шаге равен: Qw1 = Qw(4,5).

На следующем шаге объединяются объекты 7 и 8. Центр полученного класса:

X7-8 = 1/2*(Х7 + Х8) = 1/2*(55,35 + 50,09) = 52,72;

Y7-8 = 1/2*(Y7 + Y8) = 1/2*(59,72 + 60,91) = 60,32;

Z7-8 = 1/2*(Z7 + Z8) = 1/2*(3,61 + 0,15) = 1,88;

K7-8 = 1/2*(K7 + K8) = 1/2*(-0,4 + 1,56) = 0,58;

L7-8 = 1/2*(L7 + L8) = 1/2*(15,72 + 15,27) = 15,5.

Функционал качества разбиения на этом шаге равен:

Qw (7,8) = ((Х7 - Х7 8)2 + (Х8 - Х7 8)2) + ((Y7 - Y7 8)2 + (Y8 - Y7 8)2) + ((Z7 - Z7 8)2 + (Z8 - Z7 8)2) + ((K7 - K7 8)2 + (K8 - K7 8)2) + ((L7 - L7 8)2 + (L8 - L7 8)2) =

= ((55,35 - 52,72)2 + (50,09 - 52,72)2) + ((59,72 - 60,32)2 + (60,91 - 60,32)2) + ((3,61 - 1,88)2 + (0,15 - 1,88)2) + ((-0,4 - 0,58)2 + (1,56 - 0,58)2) + ((15,72 - 15,)2 + (15,27 - 15,)2) = 22,55

На следующем шаге получаем результат:

X1-3 = 1/2*(Х1 + Х3) = 1/2*(53,26 + 51,11) = 52,19;

Y1-3 = 1/2*(Y1 + Y3) = 1/2*(6,29 + 8,76) = 7,53;

Z1-3 = 1/2*(Z1 + Z3) = 1/2*(-2,91 + 10,45) = 3,77;

K1-3 = 1/2*(K1 + K3) = 1/2*(14,75 + 8,74) = 11,75;

L1-3 = 1/2*(L1 + L3) = 1/2*(4,77 + 4,7) = 4,74.

Функционал качества разбиения на этом шаге равен:

Qw (1,3) = ((Х1 - Х1 3)2 + (Х3 - Х1 3)2) + ((Y1 - Y1 3)2 + (Y3 - Y1 3)2) + ((Z1 - Z1 3)2 + (Z3 - Z1 3)2) + ((K1 - K1 3)2 + (K3 - K1 3)2) + ((L1 - L1 3)2 + (L3 - L1 3)2) =

= ((53,26 - 52,19)2 + (51,11 - 52,19)2) + ((6,29 - 7,53)2 + (8,76 - 7,53)2) + ((-2,91 - 3,77)2 + (10,45 - 3,77)2) + ((14,75 - 11,75)2 + (8,74 - 11,75)2) + ((4,77 - 4,74)2 + (4,7 - 4,74)2) = 112,67

На следующем шаге получаем результат:

X1 3-5 = 1/2*(Х1 3 + Х5) = 1/2*(52,19 + 48,39) = 50,29;

Y1 3-5 = 1/2*(Y1 3 + Y5) = 1/2*(7,53 + 11,72) =9,62;

Z1 3-5 = 1/2*(Z1 3 + Z5) = 1/2*(3,77+ 5,56) =4,67;

K1 3-5 = 1/2*(K1 3 + K5) = 1/2*(11,75 + 13,36) =12,55;

L1 3-5 = 1/2*(L1 3 + L5) = 1/2*(4,74 + 5,14) =4,94.

Функционал качества разбиения на этом шаге равен:

Qw (1,3,5) = = ((Х1 3 - Х1 3 5)2 + (Х5 - Х1 3 5)2) + ((Y1 3 - Y1 3 5)2 + (Y5 - Y1 3 5)2) + ((Z1 3 - Z1 3 5)2 + (Z5 - Z1 3 5)2) + ((K1 3 - K1 3 5)2 + (K5 - K1 3 5)2) + ((L1 3 - L1 3 5)2 + (L5 - L1 3 5)2) =

= ((52,19 - 50,29)2 + (48,39 - 50,29)2) + ((7,53 - 9,62)2 + (11,72 - 9,62)2) + ((3,77 - 4,67)2 + (5,56 - 4,67)2) + ((11,75 - 12,55)2 + (13,36 - 12,55)2) + ((4,74 - 4,94)2 + (5,14 - 4,94)2) = 18,99

На следующем шаге получаем результат:

X2-4 6 = 1/2*(Х2 + Х4 6) = 1/2*(51,18 + 54,35) =52,76;

Y2-4 6 = 1/2*(Y2 + Y4 6) = 1/2*(91,42 + 93,66) =92,54;

Z2-4 6 = 1/2*(Z2 + Z4 6) = 1/2*(-1,06 + 3,09) =1,01;

K2-4 6 = 1/2*(K2 + K4 6) = 1/2*(2,48 + 4,36) =3,42;

L2-4 6 = 1/2*(L2 + L4 6) = 1/2*(85,61 + 84,41) =85,01.

Функционал качества разбиения на этом шаге равен:

Qw (2,4,6) = ((Х2 - Х2 4 6)2 + (Х4 6 - Х2 4 6)2) + ((Y2 - Y2 4 6)2 + (Y4 6 - Y2 4 6)2) + ((Z2 - Z2 4 6)2 + (Z4 6 - Z2 4 6)2) + ((K2 - K2 4 6)2 + (K4 6 - K2 4 6)2) + ((L2 - L2 4 6)2 + (L4 6 - L2 4 6)2) =

= ((51,18 - 52,76)2 + (54,35 - 52,76)2) + ((91,42 - 92,54)2 + (93,66 - 92,54)2) + ((-1,06 - 1,01)2 + (3,09 - 1,01)2) + ((2,48 - 3,42)2 + (4,36 - 3,42)2) + ((85,61 - 85,01)2 + (84,41 - 85,01)2) = 18,6

На следующем шаге получаем результат:

X7 8-9 10 = 1/2*(Х7 + Х8) = 1/2*(55,35 + 50,09) = 52,72;

Y7 8-9 10 = 1/2*(Y7 + Y8) = 1/2*(59,72 + 60,91) = 60,32;

Z7 8-9 10 = 1/2*(Z7 + Z8) = 1/2*(3,61 + 0,15) = 1,88;

K7 8-9 10 = 1/2*(K7 + K8) = 1/2*(-0,4 + 1,56) = 0,58;

L7 8-9 10 = 1/2*(L7 + L8) = 1/2*(15,72 + 15,27) = 15,5.

Функционал качества разбиения на этом шаге равен:

Qw (7,8,9,10) = ((Х7 8 - Х7 8 9 10)2 + (Х9 10 - Х7 8 9 10)2) + ((Y7 8 - Y7 8 9 10)2 + (Y9 10 - Y7 8 9 10)2) + ((Z7 8 - Z7 8 9 10)2 + (Z9 10 - Z7 8 9 10)2) + ((K7 8 - K7 8 9 10)2 + (K9 10 - K7 8 9 10)2) + ((L7 8 - L7 8 9 10)2 + (L9 10 - L7 8 9 10)2) = ((55,35 - 52,72)2 + (50,09 - 52,72)2) + ((59,72 - 60,32)2 + (60,91 - 60,32)2) + ((3,61 - 1,88)2 + (0,15 - 1,88)2) + ((-0,4 - 0,58)2 + (1,56 - 0,58)2) + ((15,72 - 15,5)2 + (15,27 - 15,5)2) = 71,77

На следующем шаге получаем результат:

X1 3 5-2 4 6 = 1/2*(Х1 3 5 + Х2 4 6) = 1/2*(50,29 + 52,76) = 51,53;

Y1 3 5-2 4 6 = 1/2*(Y1 3 5 + Y2 4 6) = 1/2*(9,62 + 92,54) = 51,08;

Z1 3 5-2 4 6 = 1/2*(Z1 3 5 + Z2 4 6) = 1/2*(4,67 + 1,01) = 2,84;

K1 3 5-2 4 6 = 1/2*(K1 3 5 + K2 4 6) = 1/2*(12,55 + 3,42) = 7,99;

L1 3 5-2 4 6 = 1/2*(L1 3 5 + L2 4 6) = 1/2*(4,94 + 85,01) = 44,97.

Функционал качества разбиения на этом шаге равен:

матрица расстояние функционал производный

Qw (1,2,3,4,5,6) = ((Х1 3 5 - Х1 3 5 2 4 6)2 + (Х2 4 6- Х1 3 5 2 4 6)2) + ((Y1 3 5 - Y1 3 5 2 4 6)2 + (Y2 4 6- Y1 3 5 2 4 6)2) + ((Z1 3 5 - Z1 3 5 2 4 6)2 + (Z2 4 6- Z1 3 5 2 4 6)2) + ((K1 3 5 - K1 3 5 2 4 6)2 + (K2 4 6- K1 3 5 2 4 6)2) + ((L1 3 5 - L1 3 5 2 4 6)2 + (L2 4 6- L1 3 5 2 4 6)2) = ((50,29 - 51,53)2 + (52,76- 51,53)2) + ((9,62 - 51,08)2 + (92,54- 51,08)2) + ((4,67 - 2,84)2 + (1,01- 2,84)2) + ((12,55 - 7,99)2 + (3,42- 7,99)2) + ((4,94 - 44,97)2 + (85,01- 44,97)2) = 6694,69

Таблица 2.3.2

Шаг

Центр класса

Объединение объектов

Функционал качества объединяемого класса

Общий функционал качества объединения

1

(52,76; 92,54; 1,01; 3,42; 85,01)

4-6

18,6

Qw1 = Q46 = 18,6

2

(50,29; 9,62; 4,67; 12,55; 4,94)

1-3

18,99

Qw2 = Q46 + Q13 = 37,59

3

(52,72; 60,32; 1,88; 0,58; 15,50)

7-8

22,55

Qw3 = Q13 + Q78 = 41,54

4

(51,97; 57,63; 8,59; 10,11; 15,53)

9-10

41,31

Qw4 = Q910 + Q78 = 63,89

5

(52,35; 58,97; 5,24; 5,34; 15,51)

7-8-9-10

71,77

Qw5 = Q910 + Q78109 = 112,42

6

(52,19; 7,53; 3,77; 11,75; 4,74)

1-3-5

112,67

Qw6 = Q78910 + Q135 = 184,44

7

(54,35; 93,66; 3,09; 4,36; 84,41)

2-4-6

116,96

Qw7 = Q246 + Q135 = 229,34

8

(51,94; 55,03; 4,04; 6,66; 30,24)

1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

471,76

Qw8 = 471,76

Результаты критерия качества разбиения отобразим на графике. Резкое возрастание функции соответствует искусственному объединению классов. Можно рассмотреть первую производную функционала качества разбиения. При этом можно воспользоваться формулой:

График 2.3.1

Глядя на график можно сделать вывод, что результатом объединения являются следующие классы:

S1 = {X1,X3,Х5}, S2 = {X2,X4,X6}, S2 = {X7,X8,X9,X10}.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Особенности выполнения задачи минимизации функционала. Свойства билинейной формы. Формулирование обобщенного способа решения вариационной задачи для краевых задач с самосопряженным дифференциальным оператором (вследствие квадратичности функционала).

    презентация [79,5 K], добавлен 30.10.2013

  • Понятие функционала и оператора. Задачи, приводящие к экстремуму функционала, и необходимые условия его минимума. Связь между вариационной и краевой задачами. Функционалы, зависящие от нескольких функций. Вариационные задачи с подвижными границами.

    курсовая работа [313,3 K], добавлен 23.05.2010

  • Ненулевые элементы поля. Таблица логарифма Якоби. Матрица системы линейных уравнений. Перепроверка по методу Евклида. Формула быстрого возведения. Определение матрицы методом Гаусса. Собственные значений матрицы. Координаты собственного вектора.

    контрольная работа [192,1 K], добавлен 20.12.2012

  • Решение системы уравнений по методу Крамера, Гаусса и с помощью обратной матрицы. Общее число возможных элементарных исходов для заданных испытаний. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения, график функции.

    контрольная работа [210,4 K], добавлен 23.04.2013

  • Понятие "матрица" в математике. Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число. Операция и свойства умножения двух матриц. Транспонированная матрица – матрица, полученная из исходной матрицы с заменой строк на столбцы.

    контрольная работа [26,2 K], добавлен 21.07.2010

  • Понятия и термины вариационного исчисления. Понятие функционала, его первой вариации. Задачи, приводящие к экстремуму функционала, условия его минимума. Прямые методы вариационного исчисления. Практическое применение метода Ритца для решения задач.

    курсовая работа [1,3 M], добавлен 08.04.2015

  • Модельная задача уравнения колебаний струны и деформации системы из трех струн. Вариационные методы решения: экстремум функционала, пробные функции, метод Ритца. Подпространства сплайнов и тестирование программы решения системы алгебраических уравнений.

    дипломная работа [1,1 M], добавлен 29.06.2012

  • Методика расчета скалярного произведения заданных векторов. Расчет определителей и рангов матриц, нахождение обратных матриц. Разрешение уравнений по методу Крамера, обратной матрицы, а также встроенной функции lsolve. Анализ полученных результатов.

    лабораторная работа [86,8 K], добавлен 13.10.2014

  • Отношение Р и наличие стандартных свойств: рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность. Графы и матрицы замыканий отношения Р. Таблица значений, граф и матрица функции f. Исследование М на линейность (полноту).

    контрольная работа [3,3 M], добавлен 06.06.2011

  • Примеры операций над матрицами. Ранг матрицы. Обратная матрица. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений, две его составляющие: прямой и обратный ходы. Решение системы по формулам Крамера. Построение параболы.

    контрольная работа [33,2 K], добавлен 05.02.2009

  • Определение среднего квадратичного отклонения. Расчет значения критерия Стьюдента, значения доверительных границ с его учетом. Обоснование выбора математической модели прогнозирования. Параметры по методу наименьших квадратов, наработка до отказа.

    контрольная работа [394,1 K], добавлен 18.06.2014

  • Использование метрики Чебышева. Формулы для нахождения расстояний между точками. Использование евклидовой метрики. Центры тяжести кластеров. Разбивка массивов точек на классы. Суммарная выборочная дисперсия разброса элементов относительно центров классов.

    методичка [950,4 K], добавлен 20.05.2013

  • Метод Форда-Беллмана для нахождения расстояния от источника до всех вершин графа. Алгоритмы поиска расстояний и отыскания кратчайших путей в графах. Блочно-диагональный вид и матрица в исследовании системы булевых функций и самодвойственной функции.

    курсовая работа [192,1 K], добавлен 10.10.2011

  • Решение системы линейных уравнений методами Крамера, обратной матрицы и Гаусса. Расчет длин и скалярного произведения векторов. Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору. Расчет производных функций одной и двух переменных.

    контрольная работа [984,9 K], добавлен 19.04.2013

  • Прямоугольная таблица, составленная из чисел или матрица. Произвольная квадратная матрица, ее численная характеристика (определитель). Определители первого и второго порядка. Понятие минора элемента матрицы. Свойства определителей, транспонирование.

    реферат [56,8 K], добавлен 19.08.2009

  • Теоретико-множественная и геометрическая форма определения графов. Матрица смежностей вершин неориентированного и ориентированного графа. Элементы матрицы и их сумма. Свойства матрицы инцидентности и зависимость между ними. Подмножество столбцов.

    реферат [81,0 K], добавлен 23.11.2008

  • Построение логических взаимосвязей между цветами при помощи аппарата дискретной математики. Структуры объекта в виде множеств, граф отношений между ними. Исследование на рефлексивность, транзитивность, симметричность. Матрицы смежности и инцидентности.

    контрольная работа [129,4 K], добавлен 07.06.2010

  • Теоретико-числовая база построения СОК. Теорема о делении с остатком. Алгоритм Евклида. Китайская теорема об остатках и её роль в представлении чисел в СОК. Модели модулярного представления и параллельной обработки информации. Модульные операции.

    дипломная работа [678,3 K], добавлен 24.02.2010

  • Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гауса. Граф состояний марковской системы. Составление уравнений Колмогорова. Предельные вероятности состояний системы. Матричный метод, матрица треугольная, матрица квадратная и решение системы.

    контрольная работа [84,5 K], добавлен 20.07.2010

  • Поняття та значення симплекс-методу як особливого методу розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального рішення. Розв'язання задачі з використанням програми Simplex Win.

    лабораторная работа [264,1 K], добавлен 30.03.2015

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.