Аппроксимация функций
Сущность и содержание аппроксимации функций, ее основные методы и сравнительная характеристика: интерполяция и среднеквадратичное приближение. Интерполяция как один из способов аппроксимации функций. Разновидности многочленов и способы интерполяции.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 14.05.2013 |
| Размер файла | 403,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Аппроксимация функций
1. Зачем нужна аппроксимация функций?
В окружающем нас мире все взаимосвязано, поэтому одной из наиболее часто встречающихся задач является установление характера зависимости между различными величинами, что позволяет по значению одной величины определить значение другой. Математической моделью зависимости одной величины от другой является понятие функции y=f(x).
В практике расчетов, связанных с обработкой экспериментальных данных, вычислением f(x), разработкой вычислительных методов, встречаются следующие две ситуации:
1. Как установить вид функции y=f(x), если она неизвестна? Предполагается при этом, что задана таблица ее значений , которая получена либо из экспериментальных измерений, либо из сложных расчетов.
2. Как упростить вычисление известной функции f(x) или же ее характеристик , если f(x) слишком сложная?
Ответы на эти вопросы даются теорией аппроксимации функций, основная задача которой состоит в нахождении функции y=(x), близкой (т.е. аппроксимирующей) в некотором нормированном пространстве к исходной функции y=f(x). Функцию (x) при этом выбирают такой, чтобы она была максимально удобной для последующих расчетов.
Основной подход к решению этой задачи заключается в том, что (x) выбирается зависящей от нескольких свободных параметров , т.е. , значения которых подбираются из некоторого условия близости f(x) и (x).
Обоснование способов нахождения удачного вида функциональной зависимости и подбора параметров составляет задачу теории аппроксимации функций.
В зависимости от способа подбора параметров получают различные методы аппроксимации; наибольшее распространение среди них получили интерполяция и среднеквадратичное приближение, частным случаем которого является метод наименьших квадратов.
Наиболее простой, хорошо изученной и нашедшей широкое применение в настоящее время является линейная аппроксимация, при которой выбирают функцию , линейно зависящую от параметров , т.е. в виде обобщенного многочлена:
. (1)
Здесь - известная система линейно независимых (базисных) функций. В качестве в принципе могут быть выбраны любые элементарные функции, например: тригонометрические, экспоненты, логарифмические или комбинации таких функций. Важно, чтобы система базисных функций была полной, т.е. обеспечивающей аппроксимацию f(x) многочленом (3.1) с заданной точностью при .
Приведем хорошо известные и часто используемые системы. При интерполяции обычно используется система линейно независимых функций . Для среднеквадратичной аппроксимации удобнее в качестве брать ортогональные на интервале [ _1, 1] многочлены Лежандра:
;
.
Заметим, что если функция задана на отрезке [a, b], то при использовании этой системы необходимо предварительно осуществить преобразование координат , приводящее интервал к интервалу .
Для аппроксимации периодических функций используют ортогональную на [a, b] систему тригонометрических функций . В этом случае обобщенный многочлен (3.1) записывается в виде .
2. Что такое интерполяция?
Интерполяция является одним из способов аппроксимации функций. Суть ее состоит в следующем. В области значений x, представляющей некоторый интервал [a, b], где функции f и должны быть близки, выбирают упорядоченную систему точек (узлов) (обозначим ), число которых равно количеству искомых параметров . Далее параметры подбирают такими, чтобы функция совпадала с f(x) в этих узлах, (рис.3.1), для чего решают полученную систему из n алгебраических в общем случае нелинейных уравнений.
В случае линейной аппроксимации (1) система для нахождения коэффициентов линейна и имеет следующий вид:
(2)
Система базисных функций , используемых для интерполяции, должна быть чебышевской, т.е. такой, чтобы определитель матрицы системы (3.2) был отличен от нуля и, следовательно, задача интерполяции имела единственное решение.
Для большинства практически важных приложений при интерполяции наиболее удобны обычные алгебраические многочлены, ибо они легко обрабатываются.
Интерполяционным многочленом называют алгебраический многочлен степени n-1, совпадающий с аппроксимируемой функцией в выбранных n точках.
Общий вид алгебраического многочлена
. (3)
Матрица системы (2) в этом случае имеет вид
, (4)
и ее определитель (это определитель Вандермонда) отличен от нуля, если точки xi разные. Поэтому задача (3.2) имеет единственное решение, т.е. для заданной системы различных точек существует единственный интерполяционный многочлен.
Погрешность аппроксимации функции f(x) интерполяционным многочленом степени , построенным по n точкам, можно оценить, если известна ее производная порядка n, по формуле
(5)
Из (5) следует, что при h0 порядок погрешности p при интерполяции алгебраическим многочленом равен количеству выбранных узлов p=n. Величина может быть сделана малой как за счет увеличения n, так и уменьшения h. В практических расчетах используют, как правило, многочлены невысокого порядка (n 6), в связи с тем что с ростом n резко возрастает погрешность вычисления самого многочлена из-за погрешностей округления.
3. Какие бывают многочлены и способы интерполяции?
аппроксимация интерполяция многочлен среднеквадратичный
Один и тот же многочлен можно записать по-разному, например . Поэтому в зависимости от решаемых задач применяют различные виды представления интерполяционного многочлена и соответственно способы интерполяции.
Наряду с общим представлением (3) наиболее часто в приложениях используют интерполяционные многочлены в форме Лагранжа и Ньютона. Их особенность в том, что не надо находить параметры , так как многочлены в этой форме прямо записаны через значения таблицы .
Интерполяционный многочлен Ньютона (PN)
. (6)
Здесь - текущая точка, в которой надо вычислить значение многочлена, - разделенные разности порядка k, которые вычисляются по следующим рекуррентным формулам:
Схема расчета многочлена Ньютона представлена на рис. 2.
Линейная (PNL) и квадратичная(PNS) интерполяция
Вычисления по интерполяционной формуле (6) для n > 3 используют редко. Обычно при интерполяции по заданной таблице из m>3 точек применяют квадратичную n=3 или линейную n=2 интерполяцию. В этом случае для приближенного вычисления значения функции f в точке x находят в таблице ближайший к этой точке i-узел из общей таблицы, строят интерполяционный многочлен Ньютона первой или второй степени по формулам
(7)
и за значение f(x) принимают (линейная интерполяция) или (квадратичная интерполяция). Схема расчета для линейной и квадратичной интерполяции приведена на рис. 3.3.
Интерполяционный многочлен Лагранжа (PL)
(8)
Многочлены выбраны так, что во всех узлах, кроме k-го, они обращаются в ноль, в k-м узле они равны единице:
Поэтому из выражения (8) видно, что .
Схема расчета интерполяционного многочлена Лагранжа представлена на рис. 4.
Интерполяция общего вида, использующая прямое решение системы (2) методом Гаусса (POG)
Следует отметить, что ввиду громоздкости многочлены Ньютона и Лагранжа уступают по эффективности расчета многочлену общего вида (3.3), если предварительно найдены коэффициенты .
Поэтому когда требуется производить много вычислений многочлена, построенного по одной таблице, оказывается выгодно вначале один раз найти коэффициенты и затем использовать формулу (3). Коэффициенты находят прямым решением системы (2) c матрицей (4), затем вычисляют его значения по экономно программируемой формуле (алгоритм Горнера)
. (9)
Схема расчета интерполяционного многочлена общего вида по формуле (9) с прямым решением системы (2) приведена на рис. 5.
Интерполяция общего вида, использующая расчет коэффициентов многочлена (3) через многочлен Лагранжа (POL)
Находить коэффициенты многочлена (3) можно, не решая прямо систему (3.2), а используя разложение коэффициентов Лагранжа (8):
. (10)
Рекуррентные формулы для нахождения коэффициентов :
(11)
аппроксимация интерполяция многочлен среднеквадратичный
получаются из вида многочленов , если использовать очевидное представление
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Непрерывная и точечная аппроксимация. Интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона. Погрешность глобальной интерполяции, квадратичная зависимость. Метод наименьших квадратов. Подбор эмпирических формул. Кусочно-постоянная и кусочно-линейная интерполяции.
курсовая работа [434,5 K], добавлен 14.03.2014Вычислительные методы линейной алгебры. Интерполяция функций. Интерполяционный многочлен Ньютона. Узлы интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Интерполяция сплайнами. Коэффициенты кубических сплайнов.
лабораторная работа [70,5 K], добавлен 06.02.2004Интерполяция (частный случай аппроксимации). Аппроксимация функцией. Метод наименьших квадратов. Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей: аналитический, графический, табличный.
реферат [70,4 K], добавлен 26.05.2006Способы построения интерполяционных многочленов Лагранжа, основные этапы. Интерполирование функций многочленами Ньютона, способы построения графика. Постановка задачи аппроксимации функции одной переменной, предпосылки повышения точности расчетов.
презентация [204,5 K], добавлен 18.04.2013Роль интерполяции функций, значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Интерполирование функции полиномами, непосредственно непрерывных функций на отрезке и в точке. Определение понятия погрешности интерполяции.
курсовая работа [157,4 K], добавлен 10.04.2011Численные методы решения систем линейных уравнений: Гаусса, простой итерации, Зейделя. Методы аппроксимации и интерполяции функций: неопределенных коэффициентов, наименьших квадратов. Решения нелинейных уравнений и вычисление определенных интегралов.
курсовая работа [322,7 K], добавлен 27.04.2011Особенности метода аппроксимации табулированных функций. Рассмотрение преимуществ работы в среде математической программы Mathcad. Метод наименьших квадратов как наиболее распространенный метод аппроксимации экспериментальных данных, сферы применения.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 30.09.2012В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций. Формула Лагранжа. Интерполирование по схеме Эйткена. Интерполяционные формулы Ньютона для равноотстоящих узлов. Формула Ньютона с разделенными разностями. Интерполяция сплайнами.
контрольная работа [131,6 K], добавлен 05.01.2011Понятие интерполяций функций и их роль в вычислительной математике. Рассмотрение метода интерполяции кубическими сплайнами, составление алгоритма и программного модуля. Описание тестовых примеров. Достоинства и недостатки метода сплайн-интерполяции.
курсовая работа [195,1 K], добавлен 08.06.2013Разделенные разности и аппроксимация функций методом наименьших квадратов. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона. Экспериментальные данные функциональной зависимости. Система уравнений для полинома. Графики аппроксимирующих многочленов.
реферат [139,0 K], добавлен 26.07.2009Преобразование коэффициентов полиномов Чебышева. Функции, применяемые в численном анализе. Интерполяция многочленами, метод аппроксимации - сплайн-аппроксимация, ее отличия от полиномиальной аппроксимации Лагранжем и Ньютоном. Метод наименьших квадратов.
реферат [21,5 K], добавлен 27.01.2011Построить интерполяционный многочлен Ньютона. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа. Выполнить интерполяцию сплайнами третьей степени.
лабораторная работа [70,8 K], добавлен 06.02.2004Доказательство существования и единственности интерполяционного многочлена Лагранжа. Понятие лагранжевых коэффициентов. Способы задания наклонов интерполяционного кубического сплайна, его использование для аппроксимации функций на больших промежутках.
презентация [251,7 K], добавлен 29.10.2013Вычисление приближенных величин и погрешностей. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений, интерполяция функций и методы численного интегрирования. Применение метода наименьших квадратов к построению эмпирических функциональных зависимостей.
курсовая работа [378,5 K], добавлен 08.01.2013Построение массива конечных разностей. Выполнение экстраполяции. Вычисление приближенной функции с помощью многочлена Лагранжа. Определение значения функции с помощью формул Ньютона. Квадратичная сплайн-интерполяция. Среднеквадратичная аппроксимация.
контрольная работа [1004,9 K], добавлен 01.12.2009Задача нахождения экстремума: сущность и содержание, оптимизация. Решение методами квадратичной интерполяции и золотого сечения, их сравнительная характеристика, определение основных преимуществ и недостатков. Количество итераций и оценка точности.
курсовая работа [779,5 K], добавлен 25.08.2014Методы численного дифференцирования. Вычисление производной, простейшими формулами. Численное дифференцирование, основанное на интерполяции алгебраическими многочленами. Аппроксимация многочленом Лагранжа. Дифференцирование, с использованием интерполяции.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 15.02.2016Изучение понятия, классификации, свойств математических моделей. Особенности работы с функциями, переменными, графикой, программированием (интерполяция, регрессия) в системе MathCad. Проведение алгоритмического анализа задачи и аппроксимация результатов.
курсовая работа [4,5 M], добавлен 15.02.2010Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации. Полиномиальная интерполяция функции методом Ньютона с разделенными разностями. Среднеквадратическое приближение функции. Численное интегрирование функций методом Гаусса.
курсовая работа [2,4 M], добавлен 14.04.2009Осуществление интерполяции с помощью полинома Ньютона. Уточнение значения корня на заданном интервале тремя итерациями и нахождение погрешности вычисления. Применение методов Ньютона, Сампсона и Эйлера при решении задач. Вычисление производной функции.
контрольная работа [155,2 K], добавлен 02.06.2011
