Проверка вероятности теоремы Бернулли и закона больших чисел Чебышева
Определение и проверка вероятности предельных теорем, а именно теоремы Бернулли и закона больших чисел Чебышева. Определение коэффициентов простой линейной регрессии, полученных в ходе проведенных испытаний, анализ и проверка статистических гипотез.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 06.08.2013 |
| Размер файла | 57,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Федеральное агентство по образованию
Государственное Образовательное Учреждение Высшего Профессионального Образования
“Тверской государственный технический университет”
Кафедра Информационных систем
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине
«Теория вероятности и математическая статистика»
Выполнил студент 2 курса
Сотникова Н.В.
Проверил профессор кафедры ИС
Ветров А.Н.
Тверь 2012 г
1. Введение
Темой данной курсовой работы являлось определение и проверка вероятности предельных теорем, а именно Теоремы Бернулли и Закона больших чисел Чебышева, определения коэффициентов простой линейной регрессии, полученных в ходе проведённых испытаний и проверки статистических гипотез.
В проверки предельных теорем мы проведём тесты для определения вероятности выпадения «герба» с большим числом опытов (для Теоремы Бернулли это число составит 170 и 1850 опытов соответственно), а также проведём анализ Закона больших чисел с целью определения случайных величин.
Для уравнения линейной регрессии найдём коэффициенты a0и a1 а также найдём определим коэффициент корреляции ryx при помощи генерации числа случайным образом в интервале [0,1].В следствии чего проверим качество подгонки(степень тесноты) регрессионной модели к наблюдаемым данным по шкале Чеддока.
Для проверки статистических гипотез проведём несколько тестов для проверки двух собственных гипотез: «H0: mx=my и H1: mx?my».
И сделаем заключение по полученным данным.
2. Предельные теоремы
2.1 Теорема Бернулли
Если проводится n независимых испытаний случайного события A, вероятность которого P(A) = p, то относительная частота m/n появления события A (mчисло появлений A) при большом n приближенно равна вероятности p:
.
уточнение: будем писать
при ,
если для любого >0 и для достаточно больших n соотношение
(1)
выполняется с вероятностью, стремящейся к 1 с ростом n; запишем это так:
при .
fn- 0.5<0.1 при n = 170 и fn- 0.5<0.03 при n=1850.
|
N= 170 опытов |
||||||
|
Случай |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
кол-во выпадений “герба” |
92 |
77 |
89 |
76 |
93 |
|
|
вероятность выпадения |
0,052941 |
-0,04706 |
0,023529 |
-0,05294 |
0,047059 |
|
N= 1850 опытов |
||||||
|
Случай |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
кол-во выпадений “герба” |
922 |
911 |
918 |
917 |
898 |
|
|
вероятность выпадения |
-0,00162 |
0,00757 |
-0,00378 |
-0,00432 |
0,002162 |
Вывод. При n=170 теорема Бернулли выполняется в 5 опытах из 5, а при n=1850 в 5 опытах.
2.2 Закон больших чисел Чебышева
Одно из основных утверждений закона больших чисел состоит в том, что значение среднеарифметического случайных величин с равными математическими ожиданиями , при большом n оказывается приближенно равным a:
Будем писать
при ,
если для любого >0 и достаточно больших n соотношение
(2)
выполняется с вероятностью, стремящейся к 1 с ростом n; запишем это так:
при .
Проверяем (2) на достоверность:
|
N= 45 опытов |
||||||
|
Случай |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
кол-во выпадений “герба” |
24 |
25 |
23 |
28 |
26 |
|
|
вероятность выпадения |
1.01287 |
0.995678 |
0.991473 |
1.066514 |
1.050772 |
|
|
N= 1125 опытов |
||||||
|
Случай |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
кол-во выпадений “герба” |
559 |
515 |
570 |
553 |
540 |
|
|
вероятность выпадения |
1.000009 |
0.977476 |
1.005362 |
1.002459 |
0.984436 |
Вывод. Для N=45 закон больших чисел выполняется при P=-0.4475, для N=1125 при P=0.46954.
2.3 Простая линейная регрессия
Простая линейная регрессия используется для исследования зависимости двух переменных.
Для определения оценок параметров в уравнении используем метод наименьших квадратов (МНК).
yi = a0 + a1xi + iY = 11,5 + 1,4x + 2е
|
Y |
X |
2 |
|
|
21,464284 |
6,5 |
0,764000366 |
|
|
26,784284 |
10,3 |
0,201361126 |
|
|
23,144284 |
7,7 |
1,192968535 |
|
|
34,484284 |
15,8 |
1,798211615 |
|
|
22,724284 |
7,4 |
1,769219031 |
|
|
32,384284 |
14,3 |
1,916928617 |
|
|
33,924284 |
15,4 |
0,028992584 |
|
|
41,904284 |
21,1 |
0,814844203 |
|
|
43,304284 |
22,1 |
1,726493118 |
|
|
29,164284 |
12 |
0,277169103 |
|
|
25,664284 |
9,5 |
0,490066225 |
|
|
23,704284 |
8,1 |
0,090945158 |
|
|
24,124284 |
8,4 |
0,064760277 |
|
|
33,784284 |
15,3 |
0,328257088 |
|
|
18,384284 |
4,3 |
0,439222388 |
|
|
25,384284 |
9,3 |
0,034180731 |
|
|
20,344284 |
5,7 |
0,570085757 |
|
|
30,424284 |
12,9 |
0,686178167 |
|
|
19,504284 |
5,1 |
1,107272561 |
|
|
17,684284 |
3,8 |
0,714743492 |
|
|
36,304284 |
17,1 |
0,743675039 |
|
|
23,844284 |
8,2 |
0,711203345 |
|
|
23,704284 |
8,1 |
1,820612201 |
|
|
28,744284 |
11,7 |
0,932035279 |
|
|
30,564284 |
13 |
0,852320933 |
|
|
33,784284 |
15,3 |
0,607806635 |
|
|
31,264284 |
13,5 |
1,951414533 |
|
|
27,064284 |
10,5 |
1,613330485 |
|
|
22,584284 |
7,3 |
1,982482376 |
|
|
31,684284 |
13,8 |
0,512527848 |
|
|
26,924284 |
10,4 |
1,903378399 |
|
|
26,644284 |
10,2 |
0,10687582 |
|
|
37,564284 |
18 |
1,410077212 |
|
|
31,684284 |
13,8 |
1,633045442 |
|
|
20,764284 |
6 |
1,945005646 |
|
|
29,024284 |
11,9 |
0,93264565 |
|
|
25,524284 |
9,4 |
0,600421155 |
|
|
31,544284 |
13,7 |
1,500412 |
|
|
29,164284 |
12 |
0,702963347 |
|
|
28,604284 |
11,6 |
1,551316874 |
|
|
25,104284 |
9,1 |
0,148686178 |
|
|
21,604284 |
6,6 |
0,396862697 |
|
|
23,004284 |
8,1 |
0,128116703 |
|
|
26,224284 |
11,7 |
0,716696677 |
|
|
32,944284 |
13 |
0,974089785 |
ryx = a1sx/sy
sx =, sy =,
Xсредн= 11,07556
Yсредн=27,87006
a1=2.516358 a0=25.3537 Sx =3.327996 Sy=5.27921 R=ryx=1.586303 F=43
Y = 22.35+ 2.51xi
Полученное уравнение регрессии: Y = 22.35+ 2.51xi
Вывод. Степень связи R находиться в интервале 0,1-0,3. Это означает, что менее 50% вариации результирующей переменной объяснятся случайными факторами.
3. Проверка статистических гипотез
теорема бернулли линейный регрессия
Для проверки статистических гипотез применим:
H0: mx=myH1: mx?my
И проведём несколько тестов для их проверки.
3.1 Двухвыборочный z-тест для средних
Дисперсия для автомата 1: = 5 мм2.
Дисперсия для автомата 2: =7 мм2.
Уровень значимости = 0,05.
,
|
Автомат 1 |
182,3 |
183,0 |
181,8 |
181,4 |
181,8 |
181,6 |
183,2 |
182,4 |
182,5 |
179,7 |
179,9 |
181,9 |
182,8 |
183,4 |
|
|
Автомат 2 |
185,3 |
185,6 |
184,8 |
186,2 |
185,8 |
184,0 |
184,2 |
185,2 |
184,2 |
|
Двухвыборочный z-тест для средних |
|||
|
Переменная 1 |
Переменная 2 |
||
|
Среднее |
181,9786 |
185,0333 |
|
|
Известная дисперсия |
5 |
7 |
|
|
Наблюдения |
14 |
9 |
|
|
Гипотетическая разность средних |
0 |
||
|
z |
-2,86744 |
||
|
P(Z<=z) одностороннее |
0,002069 |
||
|
z критическое одностороннее |
1,644854 |
||
|
P(Z<=z) двухстороннее |
0,004138 |
||
|
z критическое двухстороннее |
1,959964 |
Вывод. Поскольку zкрит < zрасч, то гипотезу H0 (о равности средних значений) отвергаем и применяем гипотезу H1 (о их неравности) принимая во внимание мощность критерия (1-в) и двусторонний критерий при уровне значимости 0,05.
|
Старая технология |
308 |
308 |
307 |
308 |
304 |
307 |
307 |
308 |
307 |
|||||
|
Новая технология |
308 |
304 |
306 |
306 |
306 |
304 |
304 |
304 |
306 |
304 |
303 |
304 |
303 |
Уровень значимости = 0,05
3.2 Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями
|
Переменная 1 |
Переменная2 |
||
|
Среднее |
307,1111 |
304,5455 |
|
|
Дисперсия |
1,611111 |
1,472727 |
|
|
Наблюдения |
9 |
11 |
|
|
Объединенная дисперсия |
1,959829 |
||
|
Гипотетическая разность средних |
0 |
||
|
df |
18 |
||
|
t-статистика |
4,608459 |
||
|
P(T<=t) одностороннее |
0,00109 |
||
|
t критическое одностороннее |
1,734064 |
||
|
P(T<=t) двухстороннее |
0,000218 |
||
|
t критическое двухстороннее |
2,100922 |
||
|
Вывод. Поскольку tкрит<tрасч, то гипотезу H0отвергаем и применяем гипотезу H1при уровне значимости 0,05. |
|||
|
Двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями |
|||
|
Переменная 1 |
Переменная2 |
||
|
Среднее |
307,11 |
304,7692 |
|
|
Дисперсия |
1,6111 |
2,1923 |
|
|
Наблюдения |
9 |
13 |
|
|
Гипотетическая разность средних |
0 |
||
|
df |
19 |
||
|
t-статистика |
3,971849 |
||
|
P(T<=t) одностороннее |
0,000409 |
||
|
t критическое одностороннее |
1,729133 |
||
|
P(T<=t) двухстороннее |
0,000817 |
||
|
t критическое двухстороннее |
2,093024 |
||
|
Вывод. Поскольку tкрит<tрасч, то гипотезу H0отвергаем и применяем гипотезу H1при уровне значимости 0,05. |
|||
|
Двухвыборочный F-тест для дисперсии |
|||
|
Переменная 1 |
Переменная 2 |
||
|
Среднее |
307,1111 |
304,7692 |
|
|
Дисперсия |
1,611111 |
2,192308 |
|
|
Наблюдения |
9 |
13 |
|
|
df |
8 |
12 |
|
|
F |
0,734893 |
||
|
P(F<=f) одностороннее |
0,338654 |
||
|
F критическое одностороннее |
0,304512 |
Вывод. Поскольку Fкрит<Fрасч, то гипотезу H0отвергаем и применяем гипотезу H1при уровне значимости 0,05.
|
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
Низкая температура |
10,40 |
10,36 |
10,38 |
10,41 |
10,43 |
10,42 |
10,39 |
10,41 |
10,38 |
10,40 |
|
|
Высокая температура |
10,41 |
10,38 |
10,38 |
10,43 |
10,44 |
10,42 |
10,40 |
10,42 |
10,38 |
10,41 |
3.3 Парный двухвыборочный t-тест для средних
|
Переменная 1 |
Переменная 2 |
||
|
Среднее |
10,368 |
10,407 |
|
|
Дисперсия |
0,00044 |
0,000468 |
|
|
Наблюдения |
10 |
10 |
|
|
Корреляция Пирсона |
0,940464883 |
||
|
Гипотетическая разность средних |
0 |
||
|
df |
9 |
||
|
t-статистика |
--3,85714 |
||
|
P(T<=t) одностороннее |
0,001932 |
||
|
t критическое одностороннее |
1,833113 |
||
|
P(T<=t) двухстороннее |
0,003864 |
||
|
t критическое двухстороннее |
2,262158887 |
Вывод. Поскольку tкрит<tрасч, то гипотезу H0отвергаем и применяем гипотезу H1при уровне значимости 0,01.Поскольку p - уровень имеет маленькое значение (0,003863898). Следовательно, можно утверждать, что температура влияет на величину растяжения проволоки.
Заключение
В ходе выполнения данной курсовой работы мы провели большое количество опытов с целью проверки предельных теорем на достоверность. В ходе проверки была доказана Теорема Бернулли и Закон больших чисел Чебышева.
Из уравнения линейной регрессии мы доказали что число влияет на полученное в результате новое уравнение регрессии, но не значительно, т.е. коэффициент корреляции ryxсоставил 0,1586303, из чего следует что он не особо влияет на исходные данные.
Проведя массу тестов на проверку статистических гипотез, мы проверяли 2 гипотезы: H0: mx=myH1: mx?my
И в ходе проверки мы выяснили, что применяемая нами первая гипотеза во всех тестах отпадала, т.к. средние значения не были равными.
В заключении мы научились проверять различные теоремы на достоверность и проводить различные тесты для выборочных случайных чисел.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Представление доказательства неравенства Чебышева. Формулирование закона больших чисел. Приведение примера нахождения математического ожидания и дисперсии для равномерно распределенной случайной величины. Рассмотрение содержания теоремы Бернулли.
презентация [65,7 K], добавлен 01.11.2013Понятие вероятности, математического ожидания, закона больших чисел, динамика их развития. Введение аксиоматического определения понятия вероятности математического ожидания. Теоремы Бернулли и Пуассона как простейшие формы закона больших чисел.
дипломная работа [388,7 K], добавлен 23.08.2009Теорема Бернулли как простейшая форма закона больших чисел. Предельные теоремы теории вероятностей и объяснение природы устойчивости частоты появлений события. Качественные и количественные утверждения закона больших чисел, его практическое применение.
курсовая работа [75,2 K], добавлен 17.12.2009- Закон больших чисел. Проверка статистических гипотез (критерий согласия w2 Мизеса: простая гипотеза)
Предельные теоремы теории вероятностей. Сходимость последовательностей случайных величин и вероятностных распределений. Метод характеристических функций. Закон больших чисел. Особенности проверки статистических гипотез (критерия согласия w2 Мизеса).
курсовая работа [1,0 M], добавлен 27.01.2012 Определение вероятности случайного события, с использованием формулы классической вероятности, схемы Бернулли. Составление закона распределения случайной величины. Гипотеза о виде закона распределения и ее проверка с помощью критерия хи-квадрата Пирсона.
контрольная работа [114,3 K], добавлен 11.02.2014Проверка выполнимости теоремы Бернулли на примере вероятности прохождения тока по цепи. Моделирование дискретной случайной величины, имеющей закон распределения Пуассона. Подтверждение гипотезы данного закона распределения с помощью критерия Колмогорова.
курсовая работа [134,2 K], добавлен 31.05.2010Проверка выполнимости теоремы Бернулли на примере надёжности электрической схемы. Примеры решения задач с игральными костями, выигрыша в лотерею, вероятности брака и др. Биноминальный закон распределения: решение математического ожидания и дисперсии.
контрольная работа [74,4 K], добавлен 31.05.2010Правила применения уравнения Бернулли для определения возможности наступления события. Использование формул Муавра-Лапласа и Пуассона при неограниченном возрастании числа испытаний. Примеры решения задач с помощью теоремы Бернулли о частоте вероятности.
курсовая работа [265,6 K], добавлен 21.01.2011Сведения о семье Якоба Бернулли, его тайное увлечение математикой в юности и последующий вклад в развитие теории вероятности. Составление ученым таблицы фигурных чисел и выведение формул для сумм степеней натуральных чисел. Расчет значений чисел Бернулли.
презентация [422,7 K], добавлен 02.06.2013Закон распределения случайной величины дискретного типа (принимающей отдельные числовые значения). Предельные теоремы схемы Бернулли. Вычисление вероятности появления события по локальной теореме Муавра-Лапласа. Интегральная формула данной теоремы.
презентация [611,2 K], добавлен 17.08.2015Определение и оценка вероятности наступления заданного события. Методика решения задачи, с использованием теоремы сложения и умножения, формулы полной вероятности или Байеса. Применение схемы Бернулли при решении задач. Расчет квадратического отклонения.
практическая работа [55,0 K], добавлен 23.08.2015Случайные события, их классификация. Свойство статистической устойчивости относительной частоты события. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Аксиоматическое и геометрическое определение вероятности. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
реферат [1,4 M], добавлен 18.02.2014Изучение основных подгрупп алгоритмов проверки простоты больших чисел: детерминированные и вероятностные проверки. Исследование методов генерации и проверки на простоту больших чисел с помощью метода Ферма (малая теорема Ферма), составление программы.
лабораторная работа [11,7 K], добавлен 27.12.2010Возникновение и развитие теории вероятностей и ее приложений. Решение классических парадоксов игры в кости и "азартных игр". Парадокс закона больших чисел Бернулли и Бертрана, дня рождения и раздачи подарков. Изучение парадоксов из книги Г. Секея.
контрольная работа [64,8 K], добавлен 29.05.2016Определение вероятности наступления события по формуле Бернулли. Построение эмпирической функции распределения и гистограммы для случайной величины. Вычисление коэффициента корреляции, получение уравнения регрессии. Пример решения задачи симплекс-методом.
контрольная работа [547,6 K], добавлен 02.02.2012Распределение дискретной случайной величины по геометрическому закону распределения, проверка теоремы Бернулли на примере моделирования электрической схемы. Математическое моделирование в среде Turbo Pascal. Теоретический расчёт вероятности работы цепи.
контрольная работа [109,2 K], добавлен 31.05.2010Формулировка теоремы Бернулли, проверка ее с помощью программы. Моделирование случайной величины методом кусочной аппроксимации. График распределения Коши, построение гистограммы и нахождения числовых характеристик, составление статистического ряда.
курсовая работа [226,8 K], добавлен 31.05.2010Применение классического определения вероятности в решении экономических задач. Определение вероятности попадания на сборку бракованных и небракованных деталей. Вычисление вероятности и выборочного значения статистики при помощи формулы Бернулли.
контрольная работа [309,4 K], добавлен 18.09.2010Возникновение теории вероятности как науки. Классическое определение вероятности. Частость наступления события. Операции над событиями. Сложение и умножение вероятности. Схема повторных независимых испытаний (система Бернулли). Формула полной вероятности.
реферат [175,1 K], добавлен 22.12.2013Особенности выполнения теоремы Бернулли на примере электрической схемы. Моделирование случайной величины по закону распределения Пуассона, заполнение массива. Теория вероятности, понятие ожидания, дисперсии случайной величины и закон распределения.
курсовая работа [29,7 K], добавлен 31.05.2010
