Доказательство теоремы Ферма

Размещено на http://www.allbest.ru/

10

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доказательство теоремы Ферма

Ларцев Вадим Викторович

В журнале "Техника-молодежи" № 10,1993 г., с. 26-29, и в "ТМ" № 3, 2002 г., с.10 /1, 2/ рассказывается о доказательстве теоремы Ферма, представленном английским математиком Эндрю Уайльсом в 1989 году на 200 страницах. Здесь же приводятся доказательства наших соотечественников. Однако если рассуждать по этому поводу, то возникает вопрос, а сам Ферма, имел ли он такое же доказательство. Если он имел доказательство своей теоремы в таком же объёме, в объеме 200 страниц, то, кажется, он бы не стал упоминать о своей теореме всего лишь однажды, только на полях знаменитой книги.

Её формулировка на полях книги Диофанта «Арифметика» выглядит так: «Невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем:

Хⁿ + Yⁿ ? Zⁿ, при n>2 ,

P. Fermat.»

Складывается такое впечатление, что из всех вещей и предметов, принадлежавших Ферма, нам, современникам, известна только книга Диофанта «Арифметика», на полях которой написаны были его рукой кое-какие математические теоремы и высказывания.

Как он мог, написав на полях книги формулировку своей знаменитой теоремы, иметь при этом её доказательство на 200-ах страницах. Возникает вполне обоснованный вопрос, неужели доказательство самого Ферма также размещалось на 200 страницах?

Исходя из этих рассуждений, возникает мысль, что доказательство этой теоремы было очень простым, что позволило её автору написать её формулировку на полях книги. Как вы думаете, мог бы автор так пренебрежительно отнестись к полученной теореме, если бы он долго мучился и написал её доказательство в объёме большой книги, а затем, просто так, между делом, написать её формулировку на полях интересной для него книги. В том то и дело, что доказательство её было «в одно касание», а, убедившись в её доказуемости, автор, между делом, и написал её формулировку на полях книги.

Если бы Ферма имел такое же объёмное доказательство своей теоремы, то где же ссылки на эту рукопись объёмом в 200 страниц. А дело в том, что пришло оно к Ферма вот именно между делом. Так что, написав свой вывод на первом попавшемся листке бумаги, а затем вывод на полях книги Диофанта, он переключил своё внимание на другой вопрос. Лист же черновика, на котором были написаны его рассуждения данного доказательства, со временем, конечно же, затерялся, а книга, на полях которой сохранилось это утверждение, сохранилась. Вот именно, что затерялся всего лишь лист бумаги, но никак не 200-страничный труд. Да, и если бы Ферма так много времени и внимания уделил бы данному вопросу, стал бы он так пренебрежительно относиться к самой теме, которой он посвятил столько много времени и не делал бы он какие бы ещё заметки по этому поводу.

Таким образом, доказательства теоремы Ферма очень просты и основываются они, прежде всего, не на математической стороне дела, а на геометрической. Доказательства данной теоремы становятся, буквально, очевидны, если приложить к ней понятия геометрии. «Ферма, который, собственно, и создал аналитическую геометрию, безусловно, хорошо пользовался и геометрическими объектами». /2, с.10 / Однако, об этом, об использовании геометрических объектов, при проведении доказательств его теоремы, не сообщается. Не сообщается об этом и, в частности, в доказательствах Э. Уайльса. /1/

Однако геометрический смысл в числах и в действиях над ними видели многие древние математики. Например, Евклид.

«Страница из первого печатного издания «Начал» Евклида, выпущенного в 1492 г. в Венеции. Чертежи на полях поясняют задачу превращения одних фигур в другие, им равновеликие. При этом Евклид оперирует самими площадями фигур, а не числами, их выражающими, и получает геометрическим путем результат, который мы сегодня находим при помощи алгебры. Извлечение квадратного корня из числа, например, для него, означало построение стороны квадрата, площадь которого равна площади данного многоугольника». / 3, с. 58/

Итак, Ферма пишет:

Хⁿ + Yⁿ ? Zⁿ, при n > 2. (1)

Однако Х² + Y² = Z², (2)

Второе выражение (2) из его теоремы, как видно, это формулировка закона Пифагора. Он же имеет самое непосредственное отношение к геометрии. Если не сказать, что это выражение относится к прямоугольному треугольнику, то без этого упоминания оно теряет всякий смысл. Действительно, в непрямоугольном треугольнике оно не выполняется. И только в прямоугольном треугольнике известно, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

При описании доказательств, приведенных в /1, 2/, в частности, при описании доказательства Э. Уайльса, не рассматриваются геометрические объекты, не учитывается геометрический смысл самих математических выражений, а начинаются математические рассуждения, которые уводят нас все дальше и дальше вглубь. Между тем, перед нами «чисто» геометрическая задача, написанная математическими символами, и без геометрии она теряет всякий смысл, как и теряет смысл вышеприведенное равенство в непрямоугольном треугольнике. Таким образом, и решение она имеет чисто геометрическое.

Итак, в прямоугольном треугольнике, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. С геометрической точки зрения, Х², Y², Z² - это же не что иное, как обозначение площадей квадратов, имеющих соответственно стороны, равные Х, Y, Z. (См фиг.1, 2) Таким образом, данное выражение теоремы Пифагора сообщает, что площади квадратов, имеющих стороны, равные сторонам катетов, в сумме дают площадь квадрата со стороной равной величине гипотенузы в этом прямоугольном треугольнике. (См фиг.3)

Геометрический смысл теоремы Пифагора - сумма площадей двух квадратов, со сторонами, равными по величине катетам в прямоугольном треугольнике, равна площади квадрата, со стороной равной по величине гипотенузе в этом же прямоугольном треугольнике.

Фиг. 1

Фиг. 2

Фиг. 3

Для следующей степени, n=3, утверждение теоремы Ферма имеет вид:

Х³ + Y³ ? Z³ .

В данном случае, геометрически оно обозначает, что теперь не площадь, а объем куба со стороной, равной по величине гипотенузе в прямоугольном треугольнике, однако уже не равен сумме объёмов двух кубов со сторонами, равными по величине катетам в прямоугольном треугольнике. (См. фиг. 4, 5. Для удобства рассмотрения, гипотенузу проецируем на линию, параллельную одному из катетов).

Для доказательства этого утверждения, используя вышеприведенные рассуждения, делаем вывод о том, что теперь нам необходимо доказать, что объем куба со стороной, равной по величине гипотенузе в прямоугольном треугольнике, не равен сумме объёмов 2-х кубов со сторонами, равными по величине катетам в том же самом прямоугольном треугольнике. Это же явно геометрическая задача. Для вычисления объёма куба со стороной, равной по величине гипотенузе, можно воспользоваться решением предыдущей задачи.

Мы знаем теперь, что данная гипотенуза равна по теореме Пифагора:

Z = = (Х² + Y² ) ^1/2, так как Z² = Х² + Y².

Фиг. 4

Фиг. 5

Подставив это значение, получим, что объём куба, со стороной равной по величине гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равен:

Z³ = (Х² + Y²) ^3/2.

Теперь подставим данное значение Z в неравенство теоремы Ферма и получим:

Х³ + Y³ ? (Х² + Y²) ^3/2

Что и доказывает неравенство:

Х³ + Y³ ? Z³

Для других степеней n получаем обобщенный вариант

Х^п + Yⁿ ? Zⁿ ,

так как

Хⁿ + Yⁿ никогда, при любой степени n не равно (Х² + Y²) ^n/2.

Таким образом, вывод теоремы Ферма, формулируется следующим образом:

Теорема Ферма:

Х² + Y² = Z², однако,

Х^п + Yⁿ ? Zⁿ, при n >2, так как:

Хⁿ + Yⁿ ? (Х² + Y²) ^n/2

При n = 2, выражение

Хⁿ + Yⁿ ? (Х² + Y²) ^n/2 = Zⁿ,

переходит в теорему Пифагора: Х² + Y² = (Х² + Y²) ^2/2 = Z²,

Х² + Y² = (Х² + Y²) ¹ = Z²;

Х² + Y² = Х² + Y² = Z².

Геометрически выражение Х^п + Yⁿ ? Zⁿ, при n >2, обозначает, что n-мерный «объём» фигуры, со стороной равной по величине гипотенузе в прямоугольном треугольнике не равен сумме n-мерных «объёмов» двух фигур, имеющих стороны, равные по величине катетам в этом же прямоугольном треугольнике.

«Объём» взят в кавычки, так как для n-мерной фигуры, такая её геометрическая характеристика, вроде объёма для трёхмерной фигуры, не получила пока своего лингвистического определения.

Действительно, как объём, понятие, характеризующее 3-х мерное пространство, бессмысленен для характеристики двухмерной фигуры (плоскости), так и 4-мерный «объём», как понятие, характеризующее 4-мерное пространство, бессмысленен для характеристики трехмерной фигуры. Однако 3-мерным, обычным объемом можно померить часть 4-мерного объёма, также как, используя понятие площади можно померить часть трехмерной фигуры.

При рассмотрении теоремы Ферма, со степенью переменной, n>3, мы сталкиваемся уже с понятием многомерных пространств. Действительно, изобразить геометрически фигуру с размерностью n >3 представляется сложным, так как эта фигура имеет помимо ширины, высоты, длины ещё одну характеристику, с которой мы в нашем 3-х мерном мире уже не сталкиваемся.

Хотя многие поэты и художники говорят, что у этого произведения «такая внутренняя глубина», «такая высота», у физических предметов мы реально пока данные измерения не наблюдаем.

Описать, для нас геометрически, живущих в 3-х мерном мире, 4-х, 5-ти и далее n-мерные фигуры довольно сложно. Можно представить, что 4-х мерная фигура, это трехмерная фигура, к которой добавлена ещё одна такая величина, как глубина. (Ширина ширины). Однако, степень мерности n > 3, n = 4 означает, вот именно, что у объекта характеризующегося 3-мя параметрами, появляется еще такая величина, как глубина. Каждая точка этого объекта имеет ещё одну характеристику, «глубину», расположенную вне пространства «первичных» 3-х измерений. При n>3 объект имеет измеряемые параметры, расположенные вне пространства «первичных» 3-измерений. Так, например, 4-х мерное пространство образовано «расширением» каждой точки 3-х мерного пространства до линии пересекающей её под определенным углом, расположенной вне первичного 3-х мерного пространства.

К понятию n-мерного «объема» фигуры можно попытаться перейти, рассматривая само развитие понятий измерений пространства, начиная с 1-го мерного. Рассмотрение N-мерного пространства приводится в статье /4/.

теорема ферма геометрический многомерный

Список литературы

1. «Математики не чаяли узнать разгадку до конца своей жизни», журнал “Техника - молодежи” № 10, 1993 .- 64 с., с. 26.

2. В. Едемский «А если спросить у Ферма?», журнал “Техника - молодежи” № 3, 2002 .- 64 с., с. 10.

3. «Число пи и квадратура круга», Наука и жизнь № 7, 1996 г, с. 58.

4. В. Ларцев "N-мерное пространство", Техника-молодежи № 9, 2005 г.

Размещено на Allbest.ru