Понятие векторного (линейного) пространства
Аксиомы линейного пространства. Операции сложения и умножения элемента на число. Линейная комбинация векторов с коэффициентами. Определение координат вектора относительно базиса. Разложение элемента по базису. Понятие линейной векторной зависимости.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.09.2013 |
| Размер файла | 74,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция
Понятие векторного (линейного) пространства
Определение 1
Упорядоченная система чисел , называется -мерным вектором. Каждое число называется -той координатой (или компонентой) вектора .
Примеры векторов:
а) векторы-отрезки, выходящие из начала координат на плоскости или в трехмерном пространстве;
б) коэффициенты любого линейного уравнения с неизвестными составляют -мерный вектор;
в) если дана матрица из строк и столбцов, то ее столбцы будут -мерными, а столбцы -мерными векторами.
Понятие линейного (многомерного векторного) пространства является одним из основных в современной математике.
Пусть, -некоторое множество, - элементы , , причем,
вектор базис линейный
1)
2)
Потребуем, чтобы эти операции удовлетворяли следующим аксиомам:
аксиомы линейного пространства:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) .
Определение 2
Множество элементов , в котором определены операции сложения и умножения элемента на число, удовлетворяющие аксиомам (1-8), называется линейным (векторным) пространством.
Элементы множества называют векторами.
Определение 3
Линейной комбинацией векторов с коэффициентами называется выражение вида: .
Определение 4
Вектора называются линейно зависимыми, если , из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие что линейная комбинация с этими является нулевым вектором V, т.е. (6.1).
Если , то вектора называются линейно независимыми.
Из данного определения вытекают следующие утверждения:
1) Если среди векторов есть нуль-вектор, то они линейно зависимы.
Доказательство
Пусть, например, , тогда, , так как не все равны нулю, выполняется равенство (6.1).
2) Если часть векторов линейно зависима, то и все вектора линейно зависимы.
Доказательство
Пусть .
Среди есть неравные нулю, то есть выполняется тождество (6.1) и для всех векторов.
3) Теорема 6.1
Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией всех других.
Доказательство
линейно зависимы, то есть выполняется равенство (6.1).
Пусть , тогда - линейная комбинация.
Пусть - линейная комбинация, тогда , то есть выполняется равенство (6.1), а это значит, что вектора линейно зависимы.
Базис линейного пространства
Определение 5
Совокупность векторов называют базисом в , если:
1. вектора - линейно независимы;
2. для найдутся , такие, что
. (6.2)
При этом равенство (6.2) называется разложением элемента по базису , а называются координатами относительно базиса .
Пример 1
Пусть . Показать, что вектора линейно независимы.
,
,
то есть данные вектора линейно независимы.
Добавим к этой системе векторов еще один вектор: .
Легко убедиться, что - линейная комбинация,
т.е. - линейно зависимые вектора.
Теорема 6.2 (о единственности разложения по базису).
Любой элемент может быть единственным образом разложен по базису , т.е. .
Координаты вектора относительно базиса определяются однозначно.
Доказательство.
Пусть и . Тогда . В силу линейной независимости .
Теорема 6.3 (операции над векторами, заданными своими координатами).
При сложении любых двух векторов , их координаты (относительно любого фиксированного базиса в ) складываются.
При умножении на все координаты вектора умножаются на это число.
Доказательство.
Пусть - базис в , , . Тогда в силу аксиом линейного пространства , . В силу единственности разложения по базису что теорема доказана.
Определение 6
Линейное пространство называется n-мерным, если
1. В нем существуют n линейно независимых векторов.
2. Любой -й вектор линейно зависим.
Если задана система векторов
,
где , , а координаты заданы в одном и том же базисе,
то - матрица системы векторов, где в -м столбце стоят координаты вектора .
Теорема 6.4
Для того, чтобы векторов -мерного линейного пространства были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен .
Следствие 1
линейно независимы тогда и только тогда, когда для данных векторов .
Следствие 2
Если ранг матрицы системы векторов линейного пространства равен , то максимальное число линейно независимых векторов этой системы также равно .
Пример 2
, , .
, таким образом, векторы - линейно зависимы.
.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Аксиомы линейного векторного пространства. Произведение любого вектора на число 0. Аксиомы размерности, доказательство теоремы. Дистрибутивность скалярного произведения векторов относительно сложения векторов. Требования, предъявляемые к системе аксиом.
реферат [80,9 K], добавлен 28.03.2014Понятие и характеристика линейного пространства, его главные свойства и особенности. Исследование аксиом векторного пространства. Анализ отличий и признаков векторного подпространства. Базис и формулы линейного пространств, определение его размерности.
реферат [249,4 K], добавлен 21.01.2011Доказательство теоремы о линейно независимой системе векторов в пространстве Rn. Краткое рассмотрение базиса пространства Rn, в котором каждый вектор ортогонален остальным векторам базиса, особенности его представления на плоскости и в пространстве.
презентация [68,5 K], добавлен 21.09.2013Наделение множества метрикой, основные аксиомы метрического пространства. Равномерная метрика, нормы элементов и линейное пространство. Фундаментальная последовательность элементов линейного нормированного пространства. Понятие банахова пространства.
реферат [375,9 K], добавлен 04.12.2011Определение собственного вектора матрицы как результата применения линейного преобразования, задаваемого матрицей (умножения вектора на собственное число). Перечень основных действий и описание структурной схемы алгоритма метода Леверрье-Фаддеева.
презентация [55,2 K], добавлен 06.12.2011Общее понятие вектора и векторного пространства, их свойства и дополнительные структуры. Графический метод в решении задачи линейного программирования, его особенности и область применения. Примеры решения экономических задач графическим способом.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 14.11.2010Векторы на плоскости и в пространстве. Расстояние между началом и концом. Коллинеарные и нулевые векторы. Условие коллинеарности и перпендикулярности векторов. Определение суммы и разницы векторов. Свойства операций сложения и умножения вектора на число.
презентация [98,6 K], добавлен 21.09.2013Изучение свойств геометрических объектов при помощи алгебраических методов. Основные операции над векторами. Умножение вектора на отрицательное число. Скалярное произведение векторов. Нахождение угла между векторами. Нахождение координат вектора.
контрольная работа [56,3 K], добавлен 03.12.2014Отношения зависимости. Произвольные пространства зависимости. Транзитивные и конечномерные пространства зависимости. Существование базиса в транзитивном пространстве зависимости. Связь транзитивных отношений зависимости с операторами замыкания. Матроиды.
дипломная работа [263,2 K], добавлен 27.05.2008Многочлены над числовыми полями. Теорема о делении с остатком. Основные алгебраические структуры. Понятие линейного пространства, его базис и изоморфизм. Матрица линейного оператора в конечномерном линейном пространстве. Ранг и дефект линейного оператора.
учебное пособие [342,8 K], добавлен 02.03.2009Системы линейных уравнений и интерпретация их решений как пересечение гиперплоскостей в n-мерном координатном пространстве. Размерность и подпространства линейного пространства. Оптимизационные задачи линейного программирования. Суть симплекс-метода.
курсовая работа [132,2 K], добавлен 10.01.2014Понятие собственных векторов и собственных значений, их свойства и характеристики, порядок нахождения собственных векторов оператора. Критерии определения независимости и ортогональности собственных векторов. Факторы и теоремы положительных матриц.
реферат [350,1 K], добавлен 22.04.2010Вектор - элемент векторного пространства (некоторого множества с двумя операциями на нем, которые подчиняются восьми аксиомам). Свободный и связанный векторы. Евклидовая норма и правило параллелограмма. Скалярное произведение и умножение вектора на число.
контрольная работа [102,6 K], добавлен 03.07.2011Система линейных неравенств, определяющих треугольник. Доказательство базиса четырехмерного пространства и определение координат вектора. Исследование функций на периодичность, монотонность и экстремум. Площади фигуры, ограниченной графиками функций.
контрольная работа [174,5 K], добавлен 26.01.2010Определение точки пересечения высот треугольника и координат вектора. Сущность базиса системы векторов и его доказательство. Определение производных функций, исследование ее и построение графика. Неопределенные интегралы и их проверка дифференцированием.
контрольная работа [168,7 K], добавлен 26.01.2010Схема и разность векторов. Умножение вектора на число. Координаты точки и вектора. Компланарные векторы и прямоугольная система координат. Длина, скалярное произведение, его свойства и угол между векторами. Переместительный и сочетательный законы.
творческая работа [481,5 K], добавлен 23.06.2009Нахождение собственных значений и векторов линейного преобразования, заданных в некотором базисе матрицей. Составление характеристического уравнения и нахождение семейства векторов и их значения при решении, корни характеристического уравнения.
контрольная работа [44,9 K], добавлен 29.05.2012Особенности неподвижного геометрического трехмерного пространства, его отличительные признаки от подвижного пространства. Отличия физической сущности скорости от математической. Понятие производной вектора по времени, методика и этапы ее определения.
статья [174,3 K], добавлен 25.12.2010Сущность линейного программирования. Изучение математических методов решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейной целевой функцией. Нахождение точек наибольшего или наименьшего значения функции.
реферат [162,8 K], добавлен 20.05.2019Понятие линейного программирования и его основные методы. Формулировка задачи линейного программирования в матричной форме и ее решение различными методами: графическим, табличным, искусственного базиса. Особенности решения данной задачи симплекс-методом.
курсовая работа [65,3 K], добавлен 30.11.2010
