Вектор-функция скалярного аргумента
Годограф вектор функции. Проекции вектора на оси прямоугольной декартовой системы координат в пространстве. Предел, непрерывность, производная вектор-функции. Правила дифференцирования. Касательная, нормаль к плоской кривой. Кривизна, радиус кривизны.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 02.10.2013 |
| Размер файла | 190,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. Вектор-функция скалярного аргумента
Определение. Если каждому значению параметра из некоторого промежутка отвечает определенный вектор (зависящий от ), то вектор называется векторной функцией (кратко вектор-функция) от скалярного аргумента и в этом случае пишут:
. (1.1)
При изменении аргумента вектор изменяется как по величине, так и по направлению. В дальнейшем будем предполагать, что изменяется в промежутке, конечном или бесконечном.
Будем считать, что вектор исходит из начала координат, т.е. ? радиус-вектор некоторой точки . В этом случае при изменении параметра конец вектора опишет линию , называемую годографом векторной функции . При этом начало координат называют полюсом годографа. Уравнение (1.1) называют векторным уравнением кривой (рис. 1.1).
Если у вектора меняется только модуль, то годографом его будет луч, исходящий из полюса. Если модуль вектора постоянен и меняется только его направление, то годограф есть линия, лежащая на сфере с центром в полюсе и радиусом, равным модулю вектора .
Рис. 1.1
Если через обозначить проекции вектора на оси прямоугольной декартовой системы координат в пространстве, то эти величины для каждого значения параметра в свою очередь принимают определенные числовые значения и поэтому являются скалярными функциями скалярного аргумента :
, , . (1.2)
И тогда
. (1.3)
Таким образом, задание векторной функции скалярного аргумента равносильно заданию трех скалярных функций того же аргумента. Т.к. уравнение (1.1) является уравнением некоторой кривой в пространстве, то ту же кривую задают уравнения (1.2). Уравнения (1.2) ? обычные параметрические уравнения кривой в пространстве.
Пример. Рассмотрим кривую, заданную параметрически с помощью уравнений
, , .
Эта кривая называется винтовой линией. Ее векторное уравнение
.
При любом значении параметра . Это означает, что винтовая линия расположена на цилиндре . Отсюда следует, что, когда точка движется по винтовой линии, ее проекция на плоскости перемещается по окружности радиуса и с центром в начале координат, причем является полярным углом точки . Когда точка описывает полную окружность, аппликата точки винтовой линии увеличивается на . Эта величина называется шагом винтовой линии.
Предел, непрерывность, производная вектор-функции
Пусть вектор-функция определена в окрестности точки , кроме самой точки .
Вектор называется пределом векторной функции при (или в точке ), если
. (1.4)
Если есть предел функции при , то это записывается так
. (1.5)
Если записать векторную функцию и вектор в проекциях
,
,
то получим
.(1.6)
Тогда из равенства (1.4) следует, что
, , .(1.7)
Свойства вектор-функции:
1. Если , то .
2. .
3. , ? скалярная функция.
4.
5. .
Вектор-функция , определенная в некоторой окрестности точки , называется непрерывной в точке , если .
Из равносильности (1.4) и (1.7) следует, что для того чтобы вектор-функция была непрерывной в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке были непрерывны функции .
Введем понятие производной векторной функции
. (1.8)
Предполагаем, что начало вектора находится в начале системе координат (рис. 1.2).
Рис. 1.2
Возьмем фиксированное значение параметра, соответствующее какой-либо точке определенной точке на кривой, заданной уравнением (1.8), и дадим параметру приращение . Тогда получим вектор:
,
который определяет некоторую точку . Найдем приращение вектора:
(1.9)
На рисунке, где , . Вектор приращения определяется вектором .
Рассмотрим отношение приращения вектор-функции к приращению скалярного аргумента; это есть вектор коллинеарный с вектором . При этом вектор в сторону, соответствующую возрастанию параметра .
Далее с учетом (1.9) вектор можно представить в виде
. (1.10)
Если функции имеют производные при выбранном значении параметра , то множители при в равенстве (1.10) в пределе при обратятся в производные .
Значит, .
Вектор, определяемый последним равенством, называется производной от вектора по скалярному аргументу . Ее обозначают или . Итак,
. (1.11)
Выясним направление вектора . Заметим, что при точка стремится к точке и поэтому секущая стремится к касательной в точке . Отсюда, производная является вектором, касательным к годографу вектор-функции , направленным в сторону, соответствующую возрастанию параметра .
Из (1.11) следует, что
. (1.12)
Дифференциал длины дуги кривой равен
,
откуда
. (1.13)
Из (1.12) и (1.13) имеем
. (1.14)
Таким образом, модуль производной вектор-функции равен производной от длины годографа по аргументу .
Правила дифференцирования вектор-функции:
1. Если - постоянный вектор, то .
2.
3. , где -скалярная функция.
4. , скалярное произведение.
5. , векторное произведение.
Последовательным дифференцированием можно найти производные высших порядков
и т.д.
Касательная. Нормаль к плоской кривой
Пусть в ДСК задана гладкая кривая, определяемая вектором , . Будем считать, что отсчет дуги выбран так, что ее длина возрастает вместе с возрастанием параметра . Положим и .
Вектор имеет направление касательной к кривой в точке и поэтому произвольная точка касательной определяется вектором
, (1.15)
где ? произвольное число (текущий параметр касательной) (рис. 1.3).
Равенство (1.15) ? уравнение касательной к кривой в точке в векторной форме.
Из (1.15) следует, что уравнения касательной в декартовой системе координат имеют вид:
, ,
или
. (1.16)
Рис. 1.3
Обозначим через углы, которые образует положительное направление касательной соответственно с положительными направлениями осей координат :
,
,
,
где обозначает, что в нужно подставить значение соответствующее . Перед корнем стоит знак плюс, т. к. мы согласились, что длина дуги возрастает вместе с . ? строго возрастающая функция, отображающая интервал изменения на некоторый интервал изменения .
Кривую, заданную в плоскости , можно рассматривать как частный случай кривой в пространстве, у которой . Поэтому соотношениям (1.16) в данном случае соответствует одно уравнение
.
В плоском случае можно определить понятие нормали в точке кривой, т.е. прямой, принадлежащей рассматриваемой плоскости и проходящей через точку перпендикулярно к касательной. Направление вектора нормали задается таким образом, чтобы вектор касательной и вектор нормали образовали систему направленную так же как и система координат (рис 1. 4,1.5).
Рис. 1.4 Рис. 1.5
Для пространственной кривой вводится понятие нормальной плоскости ? плоскость, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. Так как плоскость перпендикулярна касательной, то направляющий вектор последней будет являться нормальным вектором плоскости. Поэтому уравнение касательной плоскости будет иметь вид:
. (1.17)
годограф функция вектор скалярный
Кривизна, радиус кривизны, кручение кривой
Кривизной окружности радиуса называется число . Это число можно получить как отношение угла между касательными в концах какой-либо дуги окружности к длине этой дуги.
Последнее утверждение дает возможность определения кривизны для произвольной гладкой кривой.
Рассмотрим гладкую кривую . Угол называется углом смежности дуги . Отношение угла смежности дуги к ее длине называется средней кривизной дуги (рис. 1.6).
Рис. 1.6
Кривизной кривой в ее точке называется предел (конечный или бесконечный) отношения угла смежности дуги кривой к ее длине , когда последняя стремится к нулю
. (1.18)
Таким образом . По определению, величина называется радиусом кривизны в точке .
Угол смежности дуги равен углу между векторами и . Из векторной алгебры известно, что
. (1.19)
Знаменатель в выражении (1.19) не равен нулю. Поэтому при знаменатель стремится к , а числитель стремится к нулю.
Будем теперь предполагать, что радиус?вектор кривой имеет вторую производную , и при этом условии докажем существование конечной кривизны в точке .
В силу (1.18), (1.19) кривизна в точке равна
, (1.20)
. (1.21)
Кручением кривой называется величина равная
. (1.22)
Соприкасающаяся плоскость. Естественный трехгранник Френе
Соприкасающейся плоскостью к кривой в ее точке называется предельное положение касательной.
Если кривая имеет непрерывную производную в окрестности точки и вторую производную такую, что , то соприкасающаяся плоскость к этой кривой в точке существует и имеет уравнение
, (1.22)
Из точки кривой можно выпустить три единичных вектора , определяющих естественную прямоугольную систему координат в окрестности точки :
, , , (1.23)
где , , .
Здесь ? единичный вектор касательной, направление зависит от от параметра ;
? единичный вектор главной нормали, направлен в сторону вогнутости кривой;
? единичный вектор бинормали, определяется как перпендикуляр к векторам и , и направлен так, что вектора образуют правую тройку векторов.
Приложенные к движущейся по кривой точке векторы образуют естественный трехгранник Френе.
2. Практикум
Вектор-функция
Пример. Дан радиус-вектор движущийся в пространстве точки ( - время, и - постоянные). Найти годографы скорости и ускорения.
Скорость движущейся точки вычисляется по формуле
Чтобы построить годограф положим, что
, это параметрическое задание винтовой линии, т.е. годограф ? винтовая линия.
Найдем годограф ускорения
.
Следовательно, годограф линия заданная параметрически следующим образом , это параметрические задание окружности, т.е. годограф ускорения - окружность.
Пример. Дано . Найти производные
а) ; б) ; в)
а) Используем правило дифференцирования скалярного произведения
, т. к. , следовательно .
б) Аналогично примеру а) получаем
в) Используем правило дифференцирования векторного произведения
, тогда
т. к.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие и способы образования плоских и кривых линий. Примеры пересечения алгебраической кривой линии. Поверхность в геометрии. Аргументы вектор-функции. Уравнения семейства линий. Способ построения касательной и нормали в произвольной точке лемнискаты.
контрольная работа [329,5 K], добавлен 19.12.2014Вектор в декартовой системе координат как упорядоченная пара точек (начало вектора и его конец). Линейные операции с векторами. Базис на плоскости и в пространстве. Свойства скалярного произведения. Кривые второго порядка. Каноническое уравнение параболы.
учебное пособие [312,2 K], добавлен 09.03.2009Касательная прямая и нормальная плоскость кривой. Соприкасающаяся плоскость, кривизна и кручение, первая и вторая квадратичная форма, касательная плоскость и нормаль в выбранной и произвольной точке. Нахождение полной и средней кривизны поверхности.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 07.08.2013Векторы в трехмерном пространстве. Линейные операции над векторами. Общее понятие про скалярные величины. Проекции векторов, их свойства. Коммутативность скалярного произведения, неравенство Коши-Буняковского. Примеры скалярного произведения векторов.
контрольная работа [605,8 K], добавлен 06.05.2012Предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначения производной. Понятие дифференцирования функции производной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к кривой.
презентация [246,0 K], добавлен 21.09.2013Вычисление скалярного и векторного произведений векторов, заданных в прямоугольной декартовой системе координат. Расчет длины ребра пирамиды по координатам ее вершин. Поиск координат симметричной точки. Определение типа линии, описываемой уравнением.
контрольная работа [892,1 K], добавлен 12.05.2016Доказательство теоремы о линейно независимой системе векторов в пространстве Rn. Краткое рассмотрение базиса пространства Rn, в котором каждый вектор ортогонален остальным векторам базиса, особенности его представления на плоскости и в пространстве.
презентация [68,5 K], добавлен 21.09.2013Понятие метрического и топологического пространства. Расстояние между множествами. Диаметр множества. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм. Вектор-функция скалярного аргумента. Понятия пути и кривой. Гладкая и регулярная кривая, замена параметра.
курс лекций [134,0 K], добавлен 02.06.2013Схема полного исследования бесконечно больших и малых функций и построение их графика. Арифметические теоремы о пределе функции. Применение формулы Тейлора, Маклорена, Коши, Лопиталя-Бернулли. Теорема о производной вектор-функции постоянной длины.
курс лекций [1,3 M], добавлен 14.12.2012Введение рассматриваемых систем координат и их положение. Расположение магниторезистивных датчиков на осях. Расчёт проекции горизонтальной составляющей вектора напряженности магнитного поля. Обоснование необходимости использования акселерометра.
контрольная работа [68,2 K], добавлен 23.09.2011Определение точки пересечения высот треугольника и координат вектора. Сущность базиса системы векторов и его доказательство. Определение производных функций, исследование ее и построение графика. Неопределенные интегралы и их проверка дифференцированием.
контрольная работа [168,7 K], добавлен 26.01.2010Методика проверки совместности системы уравнений и ее решение. Вычисление параметров однородной системы линейных алгебраических уравнений. Нахождение по координатам модуля, проекции вектора, скалярного произведения векторов. Составление уравнения прямой.
контрольная работа [104,2 K], добавлен 23.01.2012Решение задач систем линейных алгебраических уравнений, матричных уравнений, методы Гаусса и Кремера. Нахождение длины и координат вектора и исчисление его скалярного произведения. Уравнение прямой и определение координат точек неравенства; пределы.
контрольная работа [220,9 K], добавлен 06.01.2011Свойства отражающей функции. Характеристика четной и нечетной вектор-функции, их отличительные черты. Семейства решений с постоянной четной частью. Примеры систем, решения которых имеют постоянную четную часть. Построение систем с заданной четной частью.
дипломная работа [180,7 K], добавлен 22.09.2009Основные определения и свойства скалярного произведения. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов. Проекция произвольного вектора. Геометрический смысл скалярного произведения. Проведение нормализации вектора, его направление.
курсовая работа [491,4 K], добавлен 13.01.2014Косвенный интеграл от функции, обращающейся в бесконечность в изолированной точке. Комплексный интеграл Пуассона. Абстрактный расходящийся ряд. Векторы. Аксиоматичный математический анализ. Эмпирический вектор. Экспериментальный интеграл Фурье.
реферат [24,3 K], добавлен 04.05.2008Схема и разность векторов. Умножение вектора на число. Координаты точки и вектора. Компланарные векторы и прямоугольная система координат. Длина, скалярное произведение, его свойства и угол между векторами. Переместительный и сочетательный законы.
творческая работа [481,5 K], добавлен 23.06.2009Функция распределения вероятностей двух случайных величин. Функция и плотность распределения вероятностей случайного вектора. Многомерное нормальное распределение. Коэффициент корреляции. Распределение вероятностей функции одной случайной величины.
реферат [241,8 K], добавлен 03.12.2007Функция многих переменных. Предел и непрерывность функции многих переменных. Частные производные. Дифференцируемость функции. Производная в направлении. Градиент. Локальные экстремумы. Интегральное исчисление функций. Неопределённный интеграл.
курс лекций [309,0 K], добавлен 08.04.2008Понятие ранга матрицы. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Свойства скалярного произведения. Разложение вектора по координатным осям. Минор и алгебраическое дополнение. Определители второго и третьего порядка. Плоскость и прямая в пространстве.
курс лекций [3,0 M], добавлен 30.10.2013
