Основные вопросы начертательной геометрии
Ломаная линия как линия, состоящая из отрезков прямой, расположенных в пространстве под некоторым углом друг к другу. Знакомство с классификацией поверхностей. Рассмотрение основных способов построения линий на гранных поверхностях, анализ особенностей.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курс лекций |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 09.10.2013 |
| Размер файла | 1013,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1.Ломаные и кривые линии (плоские и пространственные). винтовая линия
ломаный линия гранный поверхность
Точку, прямую и плоскость называют элементарными геометрическими фигурами. Из них могут быть созданы все остальные геометрические фигуры.
Приняв в качестве элементарной фигуры точку, можно рассматривать любую линию как множество последовательных положений движущейся точки - траекторию точки.
Ломаная линия - линия, состоящая из отрезков прямой, расположенных в пространстве под некоторым углом друг к другу.
Кривые линии - могут быть плоскими, когда все точки кривой лежат в одной плоскости, и пространственными - когда точки кривой не лежат в одной плоскости.
К плоским кривым относятся кривые второго порядка: окружность, эллипс, парабола, гипербола, синусоида, циклоида и т.д. Прямая, лежащая в плоскости этих линий, может пересечь любую из них лишь дважды. С построением этих линий вы уже ознакомились при выполнении задания №1 "Геометрическое черчение" в курсе машиностроительного черчения.
Из пространственных кривых наиболее часто встречается на практике цилиндрическая винтовая линия. Если точка совершает равномерное движение по прямой, которая в свою очередь совершает равномерное вращение вокруг параллельной ей оси, то она (точка) опишет пространственную кривую - цилиндрическую винтовую линию (рисунок 5-1).
2.Кинематическое образование кривых поверхностей и их изображение на комплексном чертеже. Классификация поверхностей
Поверхность - множество точек, имеющее два измерения вдоль каких-либо линий этой поверхности.
В начертательной геометрии пользуются, в основном, кинематическим способом образования поверхностей, т.е. движением линии (рисунок 5-2). Поверхность Ф представляет собой множество последовательных положений l1, l2, l3 и т.д. линии l , форма и движение которой подчинены некоторому закону. Линия l называется образующей. Линии, по которым она движется, называют направляющими -m1, m2, m3 и т.д.
Но в таком виде на чертеже поверхность обычно не задают.
Краткости и достаточной емкости геометрической информации о поверхности служат понятия определителя и ее каркаса.
Определитель поверхности - это минимальная, но достаточная информация о поверхности, необходимая для построения на ней любой ее точки.
Каркасом поверхности называют множество ее линий (например l и m, рисунок 5-2).
На комплексном чертеже поверхность обычно задают проекциями ее направляющих, и указывается способ построения ее образующих. Для придания чертежу большей наглядности строят на нем очерк поверхности.
Очерк поверхности - проекция ее контурной линии.
Или иначе - это граница, отделяющая проекцию поверхности от остальной части плоскости.
Примеры задания поверхностей вращения определителем представлены на рисунке 5-3.
Примеры чертежей поверхностей заданных очерком (рисунок 5- 4).
Для удобства изучения поверхностей их обычно делят на ряд классов. На примере поверхностей, которые встречаются в практике наиболее часто, рассмотрим эту классификацию.
3.Поверхности вращения
Это поверхности, которые описываются какой-либо линией при ее вращении вокруг неподвижной оси.
а) При вращении прямой образуются:
цилиндр вращения (прямая параллельна оси вращения);
конус вращения (прямая пересекается с осью вращения).
б) При вращении окружности образуется:
сфера (вращением окружности вокруг диаметра);
тор (вращением окружности вокруг оси, лежащей в
плоскости окружности, но не проходящей через ее центр);
в) При вращении кривой второго порядка образуются:
эллипсоид вращения (вращением эллипса);
параболоид вращения (вращением параболы);
однополостный гиперболоид;
2-х полостной гиперболоид.
4.Линейчатые поверхности
Это поверхности, описываемые какой -либо прямой (образующей) при ее движении в пространстве по какому-нибудь закону:
цилиндрическая поверхность (образуется движением прямой линии по некоторой кривой линии, при этом прямая имеет постоянное направление);
коническая поверхность (образуется движением прямой линии, проходящей через неподвижную точку, по некоторой кривой линии, называемой направляющей);
торс и т.д.
Если направляющая линия является ломаной линией, то образуются:
призматическая поверхность (образующая имеет постоянное направление);
пирамидальная поверхность (образующая проходит через неподвижную точку).
Имеются и более сложные линейчатые поверхности:
цилиндроид;
коноид;
косая плоскость и т. д.
Всякая прямая пересекается с такой поверхностью в двух точках, а плоскость пересекает ее по кривой второго порядка.
5.Поверхности второго порядка
коническая поверхность (конус вращения и эллиптический конус, получаемый деформацией параллелей конуса вращения в эллипсы);
цилиндрическая поверхность (цилиндр вращения, эллиптический, параболический и гиперболический цилиндры.
эллиптический цилиндр может быть получен из цилиндра вращения деформацией его параллелей в эллипсы);
эллипсоид (эллипсоид вращения, в частности сфера; трехосный эллипсоид, получаемый из эллипсоида вращения деформацией его параллелей в эллипсы);
параболоид, гиперболоиды и др.
6.Винтовые поверхности
Они описываются какой-либо линией (образующей) при ее винтовом движении. Если образующая винтовой поверхности прямая линия, то поверхность называется линейчатой винтовой поверхностью или геликоидом (пример - шнек). Различают прямой и наклонный геликоиды. В первом случае образующая во всех положениях перпендикулярна оси t, во втором - пересекает ось геликоида под постоянным углом отличным от прямого.
7.Циклические поверхности
Они описываются какой-либо окружностью (образующей) постоянного или переменного радиуса при ее произвольном движении.
К циклическим можно отнести все поверхности вращения и те из поверхностей второго порядка, которые имеют круговые сечения. Кроме этих к циклическим относят каналовые и трубчатые поверхности.
Каналовые поверхности (рисунок 5-5) образуются движением окружности переменного радиуса, центр которой 0 перемещается по заданной кривой (направляющей l ), а плоскость окружности остается перпендикулярной этой кривой.
Трубчатая поверхность образуется движением окружности постоянного радиуса - в этом ее отличие от каналовой поверхности.
8.Топографические поверхности
Образование их не подчинено какому-либо закону. К таким поверхностям относятся поверхности земной коры, корпуса судов, обшивки самолетов, автомобилей.
На чертеже эти поверхности изображаются при помощи семейства некоторых линий (рисунок 5-6).
Из сказанного выше видно, что некоторые поверхности могут быть отнесены к нескольким классам одновременно
9.Взаимопринадлежность точки и поверхности, линии и поверхности
Для построения точки на любой поверхности необходимо провести на этой поверхности произвольную линию и на ней взять точку.
В качестве такой вспомогательной линии следует брать графически простые линии, т.к. это упрощает решение.
На многогранных и линейчатых поверхностях в качестве вспомогательных линий лучше выбирать прямые линии, а на поверхностях вращения - окружности (параллели).
Для построения произвольной линии или фигуры, лежащей на поверхности, необходимо построить несколько точек этой фигуры (линии), а затем их последовательно соединить, учитывая при этом их принадлежность одной грани и видимость.
10.Построение линий на гранных поверхностях
Примеры построений представлены на рисунке 5-7. Пусть положение линий MN задано на видах спереди
Так как поверхности гранные, то линии MN в обоих случаях будут ломаными и точки излома принадлежат ребрам поверхностей, с которыми линии MN пересекаются на видах спереди. Такими точками являются точки 3 (в примере «а») и 2(в примере «б»). Эти точки на видах сверху находятся просто - способом принадлежности.
Пример а) Для построения точек M и N проведем на поверхности призмы вспомогательные прямые параллельные боковым ребрам и проходящие через точки М и N. Эти прямые с помощью точек 1 и 2 несложно построить на виде сверху, а затем определить на них проекции точек М и N.
Рисунок 5-7
Полученные на виде сверху точки соединяем отрезками прямых. Участок М-3 принадлежит грани АВЕD, которая на виде сверху видима, следовательно и этот участок будет видимым. Участок 3-N принадлежит грани ВСFЕ которая на виде сверху невидима, следовательно отрезок 3-N так же будет невидимым.
Пример б) Построение линии МN на поверхности пирамиды так же начинаем с нахождения на виде сверху точки излома (т.2). Для построения точки М на поверхности пирамиды проведена вспомогательная прямая 1-2, принадлежащая грани АВS, а для нахождения т. N - линия S-3, принадлежащая грани ВСS. Точки 1 и 3 легко находятся на виде сверху, после чего построение точек М и N не вызывает затруднений.
11.Построение линий на поверхностях вращения
Примеры построений показаны на рисунке 5-8. Вид спереди этих линий задан. Необходимо достроить данные линии на видах сверху.
Пример а) Для построения линии АВ принадлежащей поверхности прямого кругового цилиндра в общем случае необходимо использовать горизонтали h или образующие l.
В данном же случае целесообразно использовать вырожденный вид цилиндрической поверхности, где вся боковая поверхность цилиндра проецируется в окружность. Линия АВ при этом совпадает с окружностью и находится на передней ее части.
Пример б) Построение линии на поверхности конуса вращения начинаем с нахождения точек А и С, лежащих на контурных (очерковых) образующих конуса, которые на виде сверху находим без дополнительных построений.
Т.к. участок линии АВ параллелен основанию конуса, проводим через него горизонталь h (параллель).
Для построения участка ВС необходимо найти ряд дополнительных точек. Показано построение точки 2 при помощи образующей S-1 , но эту же точку можно построить и с помощью параллели (горизонтали) поверхности.
Пример в) Построение линии на поверхности сферы начато с нахождения точек А и С, лежащих на главном меридиане. Для построения участка линии ВС и промежуточной точки 1 использованы параллели поверхности (горизонтали h1 и h2).
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие начертательной геометрии, ее сущность и особенности, предмет и методы изучения, история зарождения и развития. Цели и задачи начертательной геометрии, ее структура и элементы. Прямая и варианты ее расположения, разновидности и методы определения
лекция [451,3 K], добавлен 21.02.2009Основные положения теоретического курса по начертательной геометрии. Эпюры - примеры построения, а также подробные описания методов решения. Описание решения типовых задач по каждой теме начертательной геометрии и их основные теоретические положения.
учебное пособие [8,1 M], добавлен 16.10.2011Теоремы Паскаля, Брианшона для пятиугольника, четырехугольника, треугольника. Их использование для решения задач конструктивного типа проективной геометрии линий 2-го порядка на расширенной прямой, связанные с построением точек и касательных к ним.
курсовая работа [967,1 K], добавлен 02.06.2013Общее и каноническое уравнение прямой, декартова прямоугольная система. Перпендикулярность вектора к прямой и параметрические уравнения. Угловой коэффициент и наклон прямой к оси. Тангенс угла наклона и представление отрезка, отсекаемого линией.
лекция [124,0 K], добавлен 17.12.2011Цепочка теорем, которая охватывает весь курс геометрии. Средняя линия фигур как отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Свойства средних линий. Построение различных планиметрических и стереометрических фигур, рациональное решение задач.
научная работа [2,0 M], добавлен 29.01.2010Линия - общая часть двух смежных областей поверхности. Характеристика спиралей – плоских кривых линий. Кардиоида как плоская линия, описываемая фиксированной точкой окружности. Описание циклоида и астроида. Синусоидальная спираль как семейство кривых.
контрольная работа [268,4 K], добавлен 17.11.2010Представление о взаимном расположении поверхностей в пространстве. Линейчатые и нелинейчатые поверхности вращения. Пересечение кривых поверхностей. Общие сведения о поверхностях. Общий способ построения линии пересечения одной поверхности другою.
реферат [5,4 M], добавлен 10.01.2009Понятие и способы образования плоских и кривых линий. Примеры пересечения алгебраической кривой линии. Поверхность в геометрии. Аргументы вектор-функции. Уравнения семейства линий. Способ построения касательной и нормали в произвольной точке лемнискаты.
контрольная работа [329,5 K], добавлен 19.12.2014Общая характеристика примеров нахождения точки пересечения двух прямых. Знакомство с условиями параллельности и перпендикулярности прямых, рассмотрение особенностей решения уравнений. Анализ способов нахождения углового коэффициента искомой прямой.
презентация [97,6 K], добавлен 21.09.2013Рассмотрение основных способов решения задач на вычисление неопределенных и определенных интегралов по формулам Ньютона-Лейбница и Симпсона. Ознакомление с примерами нахождения области, ограниченной линиями, и объема тела, ограниченного поверхностями.
контрольная работа [194,2 K], добавлен 28.03.2014Различные способы задания прямой на плоскости и в пространстве. Конструктивные задачи трехмерного пространства. Изображения фигур и их правильное восприятие и чтение. Использование в геометрии монографического и математического метода исследования.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 22.09.2014Треугольник как геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки. Основные элементы данной фигуры: вершины и стороны. Классификация и разновидности треугольников по различным признакам.
презентация [343,2 K], добавлен 28.11.2013Метод координат как глубокий и мощный аппарат. Основные особенности декартовых координат на прямой, на плоскости и в пространстве. Понятие вектора как направленного отрезка. Рассмотрение координат вектора и важнейших в аналитической геометрии вопросов.
курсовая работа [573,7 K], добавлен 27.08.2012Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского: вопрос о ее непротиворечивости. Инверсия, ее аналитическое задание. Преобразование окружности и прямой, сохранение углов при инверсии. Инвариантные прямые и окружности. Система аксиом геометрии Лобачевского.
дипломная работа [1,3 M], добавлен 10.09.2009Ортогональное проецирование точки в разные плоскости. Проецирование прямой линии по плоскостям проекций. Плоскость на эпюре Монжа, позиционные и метрические задачи. Многогранники, кривые линии и аксонометрические поверхности, касательные и сечение.
учебное пособие [3,6 M], добавлен 07.01.2012Элементы аналитической геометрии и линейной алгебры. Методы построения графика функции. Предел и непрерывность функции. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Определители и системы уравнений. Построение прямой и плоскости в пространстве.
методичка [1,0 M], добавлен 24.08.2009Характеристика семейства поверхностей. Касательная прямая и плоскость. Криволинейные координаты. Вычисление длины дуги кривой на поверхности и ее площади. Угол между двумя линиями на поверхности. Нормальная кривизна линий, расположенных на поверхности.
дипломная работа [2,0 M], добавлен 18.05.2013Изучение некоторых методов построения отрезков, равных произведению или отношению двух других отрезков, с помощью циркуля и линейки. Использование произвольно выбранного единичного отрезка, а также определение произведения и деления этих отрезков.
творческая работа [936,4 K], добавлен 04.09.2010Метод координат. Основные задачи аналитической геометрии на прямой и на плоскости. Основные линии второго порядка. Алгебраическая и геометрическая интерпретация векторов. Уравнение поверхности и уравнение линии в пространстве. Общее уравнение плоскости.
учебное пособие [687,5 K], добавлен 04.05.2011Способы определения плоскости. Прямые в пространстве, признаки их параллельности, пересечения, скрещивания. Принадлежность прямой плоскости, их параллельность и скрещивание. Перпендикулярность прямой и плоскости. Взаимодействие плоскостей в пространстве.
презентация [1,4 M], добавлен 13.04.2016
