Еволюційні рівняння з псевдо-Бесселевими операторами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ЕВОЛЮЦІЙНІ РІВНЯННЯ З ПСЕВДО-БЕССЕЛЕВИМИ ОПЕРАТОРАМИ

Спеціальність: Диференціальні рівняння

ЛЕНЮК ОЛЕГ МИХАЙЛОВИЧ

Чернівці, 2008 рік

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Останнi десятилiття інтенсивно розвивається теорiя псевдодиференцiальних операторiв (ПДО), якi формально можна подати у виглядi:

$F_{\sigma\tox}^{-1}[a(t,x;\sigma)F_{x\to\sigma}]$

$\{x,\sigma\}\subset \mathbb{R}^{n}$,

Де:

$a$\ - функцiя (символ), що задовольняє певнi умови %;

$\ - пряме та обернене перетворення Фур'є.

Iмпульсом для такого розвитку послужив той факт, що ПДО тiсно пов'язанi з важливими задачами аналiзу i сучасної математичної фiзики. Серед нових роздiлiв цiєї теорії особливої уваги заслуговує теорiя рiвнянь з ПДО, побудованими за негладкими однорiдними символами. Випадок однорiдних символiв має важливi застосування в теорiї випадкових процесiв. Теорiя ПДО з негладкими символами тiсно пов'язана також iз сучасною теорією фракталiв.

Дослiдженням ПДО та задачi Кошi для еволюцiйних рiвнянь з ПДО займалось багато математикiв, використовуючи рiзнi методи i пiдходи (M. Nagase, R. Shinkai, C. Tsutsumi, М.А. Шубiн, М. Тейлор, Л. Хермандер, Ю.А. Дубiнський, Б.Й. Пташник та iн.), при цьому одержанi значнi i важливi результати про розв'язнiсть задачi Кошi у рiзних функцiональних просторах.

У теорiї задачi Кошi для параболiчних псевдо диференціальних рiвнянь (ППДР) на теперiшнiй час добре вiдомi результати про будову та оцiнки фундаментальних розв'язкiв задачi Кошi (ФРЗК), за допомогою яких одержанi iнтегральнi зображення розв'язкiв. Якщо символ не залежить вiд $t$, $x$, то задача Кошi коректно розв'язна в просторi узагальнених функцiй типу розподiлiв; при цьому розв'язок подається у виглядi згортки ФРЗК з початковою умовою, яка є узагальненою функцiєю. Дослiдженi якiснi властивостi розв'язкiв ППДР та систем таких рiвнянь (зокрема, поведiнка розв'язкiв при необмеженому зростаннi часової змiнної, їх невiд'ємнiсть, стiйкiсть за Ляпуновим, теореми типу Лiувiлля).

Цi результати є науковим надбанням ряду вiтчизняних та зарубiжних математикiв, зокрема, С.Д. Ейдельмана, Я.М. Дрiня, М.В. Федорюка, А.Н. Кочубея, В.В. Городецького, В.А. Лiтовченка, Р.Я. Дрiня та iн.

До псевдо диференцiальних рiвнянь формально можна вiднести i сингулярнi еволюцiйнi рiвняння з оператором Бесселя ($B$-параболiчнi рiвняння), який вироджується по певнiй просторовiй змiннiй, а саме рiвняння при цьому вироджується на межi областi, оскiльки оператор Бесселя:

$B_{\nu}=\frac{d^2}{dx^2}+\frac{2\nu+1}{x}\frac{d}{dx}$

$\nu>-\frac{1}{2}$

Що можна визначити за допомогою вiдношення:

$B_{\nu}\varphi=-F_{B_{\nu}}^{-1}[\sigma^2F_{B_{\nu}}[\varphi]]$

$F_{B_{\nu}}$, $F_{ B_{\nu}}^{-1}$\

- пряме та обернене перетворення Бесселя, $\varphi$\,- елемент простору, в якому вказане перетворення визначене. Класична теорiя задачi Кошi та крайових задач для сингулярних параболiчних рiвнянь побудована в працях I.А. Кiпрiянова, В.В. Катрахова, М.I. Матiйчука, В.В. Крехiвського, С.Д. Iвасишена, В.П. Лавренчука, I.I. Веренич та iн. Задача Кошi для сингулярних параболiчних рiвнянь у класах розподiлiв та у класах узагальнених функцiй вивчалась Я.I. Житомирським, В.В. Городецьким, I.В. Житарюком, В.П. Лавренчуком, О.В. Мартинюк.

До класу псевдодиференцiальних рiвнянь природно вiднести еволюцiйнi рiвняння з оператором:

$A=F_{B_{\nu}}^{-1}[a\cdotF_{B_{\nu}}]$

Де:

$a$\ - однорiдний негладкий у точцi $0$ символ.

Для таких рiвнянь задача Кошi не вивчена. Оператор $A$ надалi називатимемо псевдо-Бесселевим оператором. Отже, актуальним є питання про розвиток теорiї задачi Кошi (та двоточкової задачi) для еволюцiйного рiвняння вигляду:

$$\frac{\partial u(t,x)}{\partial t}+Au(t,x)=0,\hspace{0.3cm}t\in(0,T)

x\in \mathbb{R}_+, \eqno$$ (1)

Для таких рiвнянь результатiв, подiбних до вiдомих у теорiї задачi Кошi для параболiчних псевдодиференцiальних рiвнянь зi сталим символом (\sigma)$ та початковими умовами, якi є узагальненими функцiями типу розподiлiв. Одним з основних методiв дослiдження задачi Кошi для (1) є метод перетворення Бесселя, тому важливим є питання побудови теорiї такого перетворення вiдповiдних просторiв основних та узагальнених функцiй одночасно з теорiєю задачi Кошi для (1).

Властивостi простору основних функцiй iстотно залежать від властивостей символа оператора $A$\, - функцiї $a$.

Якщо позначити цей простiр через:

$\stackrel{o}{\Phi}$$$\stackrel{o}{\Phi}=\left\{\varphi\inC^{\infty}(\mathbb{R})|\forall\alpha\in\mathbb{Z}_+\

exists c_{\alpha}>0\,:\

|D_x^{\alpha}\varphi(x)|\le c_{\alpha}(1+|x|)^{-(\alpha+\gamma_0)}

x\in \mathbb{R}\right\}$$

Дисертацiйна робота присвячена розв'язанню вказаних проблем для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами в класах початкових даних, якi є узагальненими функцiями з простору:

$(\stackrel{o} {\Phi})^{\prime}$

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацiя виконана в рамках науково-дослiдних робіт ``Нерегулярні крайові задачі для параболічних рівнянь та рівнянь математичної фізики'' (номер держреєстрацiї 0197U014404) та ``Дослідження коректності сингулярних параболічних крайових задач, задач для псевдодиференціальних операторів нескінченного порядку та їх застосування'' (номер держреєстрацiї 0105U002886) кафедри диференцiальних рiвнянь Чернiвецького нацiонального унiверситету iменi Юрiя Федьковича.

Мета i завдання дослiдження. Метою роботи є розвиток теорії задачi Кошi та двоточкової задачi для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами в класах початкових умов, якi є узагальненими функцiями з простору:

$(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$

Одержання для таких рiвнянь результатiв, подiбних до вiдомих у теорiї задачi Кошi для параболiчних псевдодиференцiальних рiвнянь зi сталим символом та початковими умовами, якi є узагальненими функцiями типу розподiлiв.

Безпосереднiми основними задачами дослiдження є:

- вивчення властивостей перетворення Бесселя функцiй та оператора узагальненого зсуву аргументу в просторi;

- дослiдження властивостей перетворення Бесселя узагальнених функцiй з простору, згорток, згортувачiв та мультиплiкаторiв;

- встановлення коректної розв'язностi задачi Кошi для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами у просторi узагальнених функцій:

$(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$

- встановлення коректної розв'язностi двоточкової задачi для вказаних рiвнянь у просторi узагальнених функцій:

$(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$

Наукова новизна одержаних результатiв. Для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами у дисертації вперше одержано такi результати:

- доведено теореми про перетворення Бесселя простору, описана топологiчна структура простору, який є образом простору основних функцій при перетвореннi Бесселя;

- доведено, що операцiя узагальненого зсуву аргументу визначена i нескiнченно диференцiйовна у просторi, тобто граничнi спiввiдношення вигляду:

$(T_x^{\xi+\Delta\xi}\varphi-T_x^{\xi}\varphi)(\Delta\xi)^{-1}\to{\frac{\partial}{\partial\xi}}T_x^{\xi}\varphi$$\Delta\xi\to 0$

Що справджуються у просторi:

$\stackrel{o}{\Phi}$$\varphi\in\stackrel{o}{\Phi}$$T_x^{\xi}$\

- оператор узагальненого зсуву аргументу, який вiдповiдає оператору Бесселя;

- узагальнених функцiй iз простору;

- знайдено необхiднi i достатнi умови, якi характеризують клас згортувачiв,

- дослiдженi властивості перетворення Бесселя таких узагальнених функцiй;

- досліджені властивостi фундаментального розв'язку задачi Кошi (ФРЗК) як абстрактної функцiї часового параметра iз значеннями у просторi, встановленi оцiнки похiдних ФРЗК, доведена диференцiйовнiсть (по $t$) згортки ФРЗК з довiльною узагальненою функцiєю з простору.

- дослiджено властивості фундаментального розв'язку двоточкової задачi для еволюційного рiвняння з псевдо-Бесселевим оператором, встановлено коректну розв'язнiсть цiєї задачi у випадку, коли гранична функцiя є узагальненою функцiєю з простору.

При одержаннi цих результатiв модифiкованi методи теорiї задачi Кошi для сингулярних та псевдодиференцiальних параболічних рiвнянь.

Практичне значення одержаних результатiв. Дослiдження мають теоретичний характер. Їх результати можуть знайти застосування у теорiї параболiчних псевдо диференціальних рiвнянь, теорiї перетворення Бесселя, теорiї узагальнених функцiй.

Особистий внесок здобувача. Основнi результати дисертації одержанi автором самостiйно. У спільних з науковим керівником працях В.В. Городецькому належить постановка задач та аналіз отриманих здобувачем результатів.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати досліджень, включені до дисертації, доповідались на: VII Мiжнародній науковій конференцiї iменi академiка М. Кравчука (Київ, 1998 р.), Мiжнародній конференції імені Й.П. Шаудера (Львів, 1999 р.), Мiжнародній конференцiї "Диференціальні рівняння та їх застосування", присвяченій 60-річчю кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Київ, 2005 р.), Міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробагатька (Дрогобич, 2007 р.), XIV Всеукраїнській науковій конференції "Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики", присвяченій 90-річчю з дня народження проф. О.М. Костовського (Львів, 2007 р.), IV Міжнародній науково-практичній конференції "Наука: теорія і практика - 2007" (Пшемисль (Польща), 2007 р.), наукових семінарах кафедри диференціальних рівнянь та факультету прикладної математики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (Чернівці, 2007 р.).

Публiкацiї. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в 12 працях, з них 3 - у наукових журналах, 3 - у збірниках наукових праць і 6 - у матеріалах конференцій. Серед публікацій 5 праць у наукових фахових виданнях з переліку № 1, затвердженого ВАК України від 9.06.1999 р.

Структура i обсяг роботи.

Дисертація складається з вступу, п'яти розділів, висновку та списку використаних джерел, який містить 112 найменувань. Повний обсяг роботи становить 142 сторінки.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівникові професору Городецькому Василю Васильовичу за допомогу при написанні роботи, корисні поради та цікаві ідеї.

2. ЗМICТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми дослідження, сформульовано мету і задачі дослідження, вказується на зв'язок дисертації з науковими темами кафедри, де вона виконувалася, наводяться основні результати, відзначається їх новизна, практичне значення та апробація.

У першому розділі наведені основні результати, відомі на теперішній час стосовно задачі Коші та крайових задач для сингулярних та псевдо диференціальних параболічних рівнянь, зроблено огляд наукових праць, безпосередньо пов'язаних з дисертацією і з яких запозичуються методи досліджень та результати яких поширюються на більш загальні об'єкти.

У розділі 2 вивчаються властивості перетворення Бесселя функцій з простору:

${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$

Досліджена топологічна структура простору:

${\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}=F_B[{\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}]$

Доведено, що операція узагальненого зсуву аргументу диференційовна (нескінченно диференційовна) у просторі:

${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$

Досліджені властивості перетворення Бесселя узагальнених функцій з простору:

$({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$

Що є згортком узагальнених функцій з основними.

У підрозділі 2.1 наведено означення та топологічна структура просторів $\Phi$.

Елементами простору $\Phi$, за означенням, є нескінченно диференційовані.

У просторі $\Phi$ визначені і неперервні операції зсуву аргументу та операція диференціювання.

Символом $, позначатимемо сукупність усіх парних функцій з простору.

У підрозділі 2.2 наведені твердження, які стосуються основних властивостей перетворення Бесселя просторів:

${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$

У підрозділі 2.3 розглядається оператор узагальненого зсуву аргументу в просторі:

${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$

Позначимо оператор узагальненого зсуву аргументу, який відповідає оператору Бесселя:

$$ T_x^{\xi} \varphi(x) = b_{\nu} \intl_{0}^{\pi} \varphi(\sqrt{x^2+\xi^2 - 2x \xi \cos \omega})\sin^{2\nu} \omega d\omega, \quad \varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}

$$ де $b_{\nu} = \Gamma(\nu+1)/(\Gamma(1/2) \Gamma(\nu+1/2))$

Лема - Оператор узагальненого зсуву аргументу $T_x^{\xi}$ визначений і неперервний у просторі. Наслідок - Операція узагальненого зсуву аргументу нескінченно диференційовна у просторі.

У підрозділі 2.4 розглядається простір узагальнених функцій:

$({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$

Що є перетворення Бесселя узагальнених функцій з простору. Вивчаються властивості згорток, згортувачів та мультиплікаторів. Позначатимемо простір усіх лінійних неперервних функціоналів над відповідним простором основних функцій зі слабкою збіжністю, а його елементи називатимемо узагальненими функціями. Оскільки в просторі визначена операція узагальненого зсуву аргументу, то згортку узагальненої функції з основною функцією задамо формулою:

$ (f*\varphi)(x) = <f_{\xi}, T_{x}^{\xi}\varphi(x)>$

Правильними є наступні твердження.

Теорема 2.1 Якщо узагальнена функція:

$f\in ({\mathop{\Phi} \limits^{\circ}})' $\

Теорема 2.2 Якщо узагальнена функція:

$f \in ({\mathop{\Phi} \limits^{\circ}})'$\

- мультиплікатор у просторі, то її перетворення Бесселя - згортувач у просторі.

Зауваження 2.3 Результати, одержані в теоремах 2.1, 2.2 можна сформулювати так: для того, щоб узагальнена функція:

$f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$

- є згортувачем у просторі.

У розділі 3 досліджується коректна розв'язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами та початковими умовами з простору узагальнених функцій:

$(\mathop{\Phi}\limits^{\circ})'$

У підрозділі 3.1 досліджуються структура та властивості фундаментального розв'язку задачi Кошi.

Нехай:

$a$: $\mathbb{R} \to [0, +\infty)$\

- неперервна, парна на $\R$ функціяє

1) нескінченно диференційовна;

2) похідні функції $a$ задовольняють умову:

$$ \forall k \in \N \enskip \exists c_k > 0 \enskip \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}: \,\, |D_{x}^k a(x)| \leq c_k |x|^{\gamma-k}$$

Зазначимо, що $G$\,- парна функція аргументу $\sigma$ при фіксованому $t, і нескінченно диференційована по $\sigma$. Основні властивості функції $G$ описують наступні твердження.

2. ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

Дисертацiя присвячена розвитку теорiї задачi Кошi та доточкової задачi для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами в класах початкових умов, якi є узагальненими функцiями типу розподiлiв. Такi рiвняння утворюють новий клас псевдодиференцiальних рiвнянь i є важливими з точки зору застосувань у теорiї параболiчних псевдодиференцiальних рiвнянь та рiвнянь з частинними похiдними, теорiї перетворення Фур'є-Бесселя.

У дисертацiйнiй роботi вперше одержано такi результати:

- доведено теореми про перетворення Бесселя простору, описана топологiчна структура простору, який є образом простору основних функцiй при перетвореннi Бесселя;

- доведено, що операцiя узагальненого зсуву аргументу диференцiйовна (нескiнченно диференцiйовна) у просторi основних функцiй;

- дослiдженi властивостi перетворення Бесселя узагальнених функцiй з простору, згорток узагальнених функцiй з основними;

- знайдено умови, якi характеризують клас згортувачiв,

- узагальнених функцiй iз простору мультиплiкаторiв;

- дослiдженi властивостi фундаментального розв'язку задачi Кошi (ФРЗК) як абстрактної функцiї часового параметра $t$ iз значеннями у просторi;

- встановленi оцiнки похiдних ФРЗК, доведена диференцiйовнiсть (по $t$) згортки ФРЗК з довiльною узагальненою функцiєю з простору;

- вивчена поведiнка вказаних згорток при $t\to +0$ у просторi узагальнених функцій:

$(\stackrel{o}\Phi)^{\prime}$

Одержанi результати мають теоретичний характер. Вони можуть знайти застосування i подальший розвиток у теорiї параболічних псевдодиференцiаль-них рiвнянь, теорiї перетворення Фур'є-Бесселя, теорiї узагальнених функцiй.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1. Городецький В.В., Ленюк О.М. Про дробове диференціювання у просторах типу $S'$ // Доп. НАН України. - 1998. - № 11. - С. 20-24.

2. Городецький В.В., Ленюк О.М. Еволюційні рівняння з псевдо-Бесселевими операторами // Доп. НАН України. - 2007. - № 8. - С. 11-15.

3. Городецький В.В., Ленюк О.М. Двоточкова задача для одного класу еволюційних рівнянь // Математичні студії. - 2007. - Т.28, № 2. - С. 175-182.

4. Ленюк О.М. Перетворення Бесселя одного класу узагальнених функцій типу розподілів // Науковий вiсник Чернiвецького унiверситету: Зб. наук. пр. Вип. 336-337. Математика. - Чернiвцi: Рута, 2007. - С. 95-102.

5. Ленюк О.М. Задача Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами // Науковий вiсник Чернiвецького унiверситету: Зб. наук. пр. Вип. 349. Математика. - Чернiвцi: Рута, 2007. - С. 55-65.

6. Городецький В.В., Ленюк О.М. Перетворення Фур'є-Бесселя одного класу нескінченно-диференційовних функцій // Крайові задачі для диферен-ціальних рівнянь: Зб. наук. пр. - Чернівці: Прут, 2007. - Вип. 15.

7. Городецький В., Ленюк О. Задача Кошi для одного класу параболiчних псевдодиференцiальних рiвнянь // VII Мiжнародна наукова конференцiя iменi академiка М. Кравчука (14-16 травня 1998 р., Київ). Матерiали конференцiї. - С. 121. задача рівняння математичний

8. Lenyuk O. Boundary Properties of Smooth Solutions of One Parabolic Pseudodifferential Equation // International Conference Dedicated to J.P. Schauder. Book of Abstracts. - Lviv, 1999 (August 23-29). - P. 127.

9. Ленюк О.М. Граничні властивості гладких розв'язків для параболічних рівнянь з оператором Бесселя дробового диференціювання // Мiжнародна конференцiя "Диференціальні рівняння та їх застосування", присвячена 60-річчю кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка (6-9 червня 2005 р., м. Київ). Тези доповiдей. - Київ, 2005. - С. 54.

10. Городецький В., Ленюк О. Задача Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробагатька (24-28 вересня 2007 р., Дрогобич, Україна). Тези доповідей. - Львів, 2007. - С. 74.

11. Городецький В.В., Ленюк О.М. Двоточкова задача для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами // Materialy szwartej Miedzynarodowej naukowi-praktycznej konferencji "Nauka: teoria i praktyka - 2007". Tym 6. Matematyka. Fizuka. Nowoczesne informacijne technologie: Przemysl. Nauka i studia. - С. 7-11.

12. Ленюк О.М. Властивості розв'язків еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами // XIV Всеукраїнська наукова конференція "Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики", присвячена 90-річчю з дня народження проф. О.М. Костовського (2-4 жовтня 2007 р.). Матеріали конференції. - Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2007. - С. 90-91.

Размещено на Allbest.ru

...