Эвклидовы пространства

Анализ способов определения скалярного произведения. Характеристика ортогональных векторов. Линейный оператор как обобщение линейной числовой функции на случай более общего множества аргументов и значений. Знакомство с примерами евклидовых пространств.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 12.11.2013
Размер файла 186,5 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.


Подобные документы

  • Основные определения и свойства скалярного произведения. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов. Проекция произвольного вектора. Геометрический смысл скалярного произведения. Проведение нормализации вектора, его направление.

    курсовая работа [491,4 K], добавлен 13.01.2014

  • Векторы в трехмерном пространстве. Линейные операции над векторами. Общее понятие про скалярные величины. Проекции векторов, их свойства. Коммутативность скалярного произведения, неравенство Коши-Буняковского. Примеры скалярного произведения векторов.

    контрольная работа [605,8 K], добавлен 06.05.2012

  • Понятие собственных векторов и собственных значений, их свойства и характеристики, порядок нахождения собственных векторов оператора. Критерии определения независимости и ортогональности собственных векторов. Факторы и теоремы положительных матриц.

    реферат [350,1 K], добавлен 22.04.2010

  • Аксиомы линейного векторного пространства. Произведение любого вектора на число 0. Аксиомы размерности, доказательство теоремы. Дистрибутивность скалярного произведения векторов относительно сложения векторов. Требования, предъявляемые к системе аксиом.

    реферат [80,9 K], добавлен 28.03.2014

  • Понятия пространств в изучении компактных операторов. Линейный оператор и линейный функционал, сопряженный оператор, компактный множество. Основные свойства компактного операторов. Компактность оператора Вольтерра. Примеры некомпактного оператора.

    реферат [173,1 K], добавлен 27.05.2008

  • Методика расчета скалярного произведения заданных векторов. Расчет определителей и рангов матриц, нахождение обратных матриц. Разрешение уравнений по методу Крамера, обратной матрицы, а также встроенной функции lsolve. Анализ полученных результатов.

    лабораторная работа [86,8 K], добавлен 13.10.2014

  • Знакомство с уравнениями линейной регрессии, рассмотрение распространенных способов решения. Общая характеристика метода наименьших квадратов. Особенности оценки статистической значимости парной линейной регрессии. Анализ транспонированной матрицы.

    контрольная работа [380,9 K], добавлен 05.04.2015

  • Понятие и характеристика линейного пространства, его главные свойства и особенности. Исследование аксиом векторного пространства. Анализ отличий и признаков векторного подпространства. Базис и формулы линейного пространств, определение его размерности.

    реферат [249,4 K], добавлен 21.01.2011

  • Алгоритм упорядочивания множества. Определение декартового произведения, его графическая интерпретация. Обратное декартово произведение множеств. Проецирование на оси координат и на координатные плоскости. Область определения и область значений.

    лекция [126,5 K], добавлен 18.12.2013

  • Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц. Нетривиальное решение однородной системы линейных алгебраических уравнений. Метод нахождения характеристического многочлена, предложенный А.М. Данилевским. Получение формы Жордано: form.exe.

    курсовая работа [53,4 K], добавлен 29.08.2010

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

скалярной произведение евклидовый пространство

Множество всевозможных систем действительных (комплексных) чисел называется n-мерным действительным (комплексным) пространством и обозначается через . Каждую систему мы будем обозначать одной (жирной) буквой без индекса: и называть точкой или вектором (пространства ). Числа называют координатами точки (вектора) или еще компонентами вектора Две точки считаются равными, если их соответствующие координаты равны. В других случаях и различны . Системы (векторы) , можно складывать, вычитать и умножать на числа - действительные, если есть действительное пространство, и комплексные, ели - комплексное пространство. По определению суммой векторов и называется вектор

,

1)а разностью - вектор

. (2)

Произведением же числа на вектор или вектора на число называется вектор

Наконец, вектор определяется равенством.

Вводится еще понятие нулевого вектора, компоненты которого равны нулю:. Очевидно, выполняются свойства:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

где - числа, а , .

Пространство называется линейным пространством, потому что для него выполняются перечисленные выше свойства 1) - 8), см. ниже замечание 1. Число (неотрицательное)

(3)

называется длиной или нормой вектора в пространстве .

Расстояние между точками и действительного пространства определяется по формуле

. (4)

1.Скалярное произведение

Определение. Пусть X -- векторное пространство (над R). Скалярное произведение в

X -- это функция , обладающая свойствами:

(1) Симметричность: hx; yi = hy; xi для любых x; y 2 X.

(2) Линейность по каждому аргументу (билинейность): hax; yi = ahx; yi, hx + y; zi =

hx; zi + hy; zi для любых x; y; z 2 X, a 2 R. Линейность по второму аргументу следует из симметричности.

(3) Положительная определенность: hx; xi > 0 при всех x 2 X n f0g,

Евклидово пространство -- это векторное пространство с заданным на нем скалярным

произведением.

Примеры. 1. Стандартное скалярное произведение в определяется равенством

где x (x1; : : : ; xn), y = (y1; : : : ; yn).

2. Любое подпространство евклидова пространства -- тоже евклидово пространство (с

тем же скалярным произведением, ограниченным на это подпространство).

3. Пусть X = C[0; 1] -- пространство непрерывных функций [0; 1] ! R. Можно определить скалярное произведение на нем формулой

Пусть Можно определить скалярное произведение формулой

5. Обобщение: зафиксируем числа a; b; c, такие, что a > 0, b > 0, ab c

задает скалярное произведение.

Задача: любое скалярное произведение в представляется в таком виде.

2. Длина вектора

Определение. Пусть X -- евклидово пространство. Длина (норма) вектора определяется равенством

Свойства. 1. Положительность:

2. Симметричность: для любого

3. Положительная однородность:

4. Неравенство , причем равенство достигается тогда и только тогда, когда x и y пропорциональны. (Доказательство: посчитаемдискриминант трехчлена

5. Неравенство треугольника: , причем равенство достигается тогда и только тогда, когда x и y сонаправлены.

6. Скалярное произведение выражается через длину:

3.Ортогональные векторы. Ортонормированный базис

Определение. Два вектора называются ортогональными, если угол междуними равен прямому углу, т.е. .

Обозначение: - векторы и ортогональны.

Определение. Тройка векторов называется ортогональной, если эти векторы попарно ортогональны друг другу, т.е. , .

Определение. Тройка векторов называется ортонормированной, если она ортогональная и длины всех векторов равны единице: .

Замечание. Из определения следует, что ортогональная и, следовательно, ортонормированная тройка векторов является некомпланарной.

Определение. Упорядоченная некомпланарная тройка векторов , отложенных от одной точки, называется правой (правоориентированной), если при наблюдении с конца третьего вектора на плоскость, в которой лежат первые два вектора и , кратчайший поворот первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой (левоориентированной).

Рис.6.

Здесь, на рис.6 изображена правая тройка векторов . На следующем рис.7 изображена левая тройка векторов :

Рис.7.

Определение. Базис векторного пространства называется ортонормированным, если ортонормированная тройка векторов.

Обозначение. В дальнейшем мы будем пользоваться правым ортонормированным базисом , см. следующий рисунок:

Рис.9

Любой вектор можно разложить по этому базису:

.

Оператором называется правило, по которому каждому элементу x некоторого непустого множества X ставится в соответствие единственный элемент y некоторого непустого множества Y. Говорят, что оператор действует из X в Y.

Действие оператора обозначают y = A(x), y -- образ x, x -- прообраз y.

Если каждый элемнт y из Y имеет единственный прообраз x из X, y= A(x), оператор называют взаимно однозначным отображением X в Y или преобразованием X, X -- область определения оператора.

Пусть X и Y два линейные пространства. Оператор A, действующий из X в Y, называется линейным оператором, если для любых двух элементов u и v из X и любого числа б справедливо:

A(u + v) = A(u ) + A(v) , A(б·u) = б· A(u).

Линейное отображение, линейный оператор -- обобщение линейной числовой функции (точнее, функции ) на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные операторы, в отличие от нелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин.

Размещено на Allbest

...
Работа, которую точно примут
Сколько стоит?

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.