Эвклидовы пространства

Анализ способов определения скалярного произведения. Характеристика ортогональных векторов. Линейный оператор как обобщение линейной числовой функции на случай более общего множества аргументов и значений. Знакомство с примерами евклидовых пространств.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 12.11.2013
Размер файла 186,5 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

скалярной произведение евклидовый пространство

Множество всевозможных систем действительных (комплексных) чисел называется n-мерным действительным (комплексным) пространством и обозначается через . Каждую систему мы будем обозначать одной (жирной) буквой без индекса: и называть точкой или вектором (пространства ). Числа называют координатами точки (вектора) или еще компонентами вектора Две точки считаются равными, если их соответствующие координаты равны. В других случаях и различны . Системы (векторы) , можно складывать, вычитать и умножать на числа - действительные, если есть действительное пространство, и комплексные, ели - комплексное пространство. По определению суммой векторов и называется вектор

,

1)а разностью - вектор

. (2)

Произведением же числа на вектор или вектора на число называется вектор

Наконец, вектор определяется равенством.

Вводится еще понятие нулевого вектора, компоненты которого равны нулю:. Очевидно, выполняются свойства:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

где - числа, а , .

Пространство называется линейным пространством, потому что для него выполняются перечисленные выше свойства 1) - 8), см. ниже замечание 1. Число (неотрицательное)

(3)

называется длиной или нормой вектора в пространстве .

Расстояние между точками и действительного пространства определяется по формуле

. (4)

1.Скалярное произведение

Определение. Пусть X -- векторное пространство (над R). Скалярное произведение в

X -- это функция , обладающая свойствами:

(1) Симметричность: hx; yi = hy; xi для любых x; y 2 X.

(2) Линейность по каждому аргументу (билинейность): hax; yi = ahx; yi, hx + y; zi =

hx; zi + hy; zi для любых x; y; z 2 X, a 2 R. Линейность по второму аргументу следует из симметричности.

(3) Положительная определенность: hx; xi > 0 при всех x 2 X n f0g,

Евклидово пространство -- это векторное пространство с заданным на нем скалярным

произведением.

Примеры. 1. Стандартное скалярное произведение в определяется равенством

где x (x1; : : : ; xn), y = (y1; : : : ; yn).

2. Любое подпространство евклидова пространства -- тоже евклидово пространство (с

тем же скалярным произведением, ограниченным на это подпространство).

3. Пусть X = C[0; 1] -- пространство непрерывных функций [0; 1] ! R. Можно определить скалярное произведение на нем формулой

Пусть Можно определить скалярное произведение формулой

5. Обобщение: зафиксируем числа a; b; c, такие, что a > 0, b > 0, ab c

задает скалярное произведение.

Задача: любое скалярное произведение в представляется в таком виде.

2. Длина вектора

Определение. Пусть X -- евклидово пространство. Длина (норма) вектора определяется равенством

Свойства. 1. Положительность:

2. Симметричность: для любого

3. Положительная однородность:

4. Неравенство , причем равенство достигается тогда и только тогда, когда x и y пропорциональны. (Доказательство: посчитаемдискриминант трехчлена

5. Неравенство треугольника: , причем равенство достигается тогда и только тогда, когда x и y сонаправлены.

6. Скалярное произведение выражается через длину:

3.Ортогональные векторы. Ортонормированный базис

Определение. Два вектора называются ортогональными, если угол междуними равен прямому углу, т.е. .

Обозначение: - векторы и ортогональны.

Определение. Тройка векторов называется ортогональной, если эти векторы попарно ортогональны друг другу, т.е. , .

Определение. Тройка векторов называется ортонормированной, если она ортогональная и длины всех векторов равны единице: .

Замечание. Из определения следует, что ортогональная и, следовательно, ортонормированная тройка векторов является некомпланарной.

Определение. Упорядоченная некомпланарная тройка векторов , отложенных от одной точки, называется правой (правоориентированной), если при наблюдении с конца третьего вектора на плоскость, в которой лежат первые два вектора и , кратчайший поворот первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой (левоориентированной).

Рис.6.

Здесь, на рис.6 изображена правая тройка векторов . На следующем рис.7 изображена левая тройка векторов :

Рис.7.

Определение. Базис векторного пространства называется ортонормированным, если ортонормированная тройка векторов.

Обозначение. В дальнейшем мы будем пользоваться правым ортонормированным базисом , см. следующий рисунок:

Рис.9

Любой вектор можно разложить по этому базису:

.

Оператором называется правило, по которому каждому элементу x некоторого непустого множества X ставится в соответствие единственный элемент y некоторого непустого множества Y. Говорят, что оператор действует из X в Y.

Действие оператора обозначают y = A(x), y -- образ x, x -- прообраз y.

Если каждый элемнт y из Y имеет единственный прообраз x из X, y= A(x), оператор называют взаимно однозначным отображением X в Y или преобразованием X, X -- область определения оператора.

Пусть X и Y два линейные пространства. Оператор A, действующий из X в Y, называется линейным оператором, если для любых двух элементов u и v из X и любого числа б справедливо:

A(u + v) = A(u ) + A(v) , A(б·u) = б· A(u).

Линейное отображение, линейный оператор -- обобщение линейной числовой функции (точнее, функции ) на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные операторы, в отличие от нелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин.

Размещено на Allbest

...

Подобные документы

  • Основные определения и свойства скалярного произведения. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов. Проекция произвольного вектора. Геометрический смысл скалярного произведения. Проведение нормализации вектора, его направление.

    курсовая работа [491,4 K], добавлен 13.01.2014

  • Векторы в трехмерном пространстве. Линейные операции над векторами. Общее понятие про скалярные величины. Проекции векторов, их свойства. Коммутативность скалярного произведения, неравенство Коши-Буняковского. Примеры скалярного произведения векторов.

    контрольная работа [605,8 K], добавлен 06.05.2012

  • Понятие собственных векторов и собственных значений, их свойства и характеристики, порядок нахождения собственных векторов оператора. Критерии определения независимости и ортогональности собственных векторов. Факторы и теоремы положительных матриц.

    реферат [350,1 K], добавлен 22.04.2010

  • Аксиомы линейного векторного пространства. Произведение любого вектора на число 0. Аксиомы размерности, доказательство теоремы. Дистрибутивность скалярного произведения векторов относительно сложения векторов. Требования, предъявляемые к системе аксиом.

    реферат [80,9 K], добавлен 28.03.2014

  • Понятия пространств в изучении компактных операторов. Линейный оператор и линейный функционал, сопряженный оператор, компактный множество. Основные свойства компактного операторов. Компактность оператора Вольтерра. Примеры некомпактного оператора.

    реферат [173,1 K], добавлен 27.05.2008

Работа, которую точно примут
Сколько стоит?

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.