Швидкості збіжності рядів Тейлора і рядів фабера на класах –інтегралів функцій комплексної змінної

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Швидкості збіжності рядів Тейлора і рядів фабера на класах-інтегралів функцій комплексної змінної

Автореферат дисертації

на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. В дисертації вивчається швидкість Збіжності рядів Тейлора і рядів Фабера для класів -інтегралів функцій, аналітичних відповідно в крузі і в області .

Поняття -інтеграла сумовної - періодичної функції введено О.І. Степанцем. На основі цього поняття здійснено розбиття множини L сумовних - періодичних функцій на класи . Ці класи стали природним і у певному розумінні остаточним узагальненням класів - - диференційовних функцій, що були введені О.І. Степанцем раніше, ним же отримано узагальнення на класи більшості результатів про наближення сумами Фур'є, котрі були відомі для класів . Зокрема, знайдено розв'язки задачі Колмогорова - Нікольського, а також одержано аналог відомої нерівності Лебега.

Викликає природний інтерес задача про поширення цих результатів на комплексну область, а саме, на ряди Тейлора та їх узагальнення - ряди Фабера.

Дослідження у цьому напрямку є продовженням досліджень, проведених Е. Ландау, С.Б. Стєчкіним, Л.В. Тайковим, П.К. Суєтіним, О.І. Степанцем, В.С. Романюком та іншими математиками.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.
Робота проводилась згідно з загальним планом досліджень відділу теорії функцій Інституту математики НАН України.

Мета і задачідослідження

1. На основі поняття -інтегралу -періодичної сумовної функції, введеного О.І. Степанцем, провести розбиття множини інтегралів типу Коші вздовж замкненої жорданової спрямлюваної кривої Г на підмножини (класи) , і одержати інтегральні зображення відхилень алгебраїчних многочленів , що породжуються даним -методом підсумовування р - фаберових рядів від фунуцій .

2. Дослідити швидкість збіжності рядів Тейлора для функцій із класів , а саме, встановити асимптотичні рівності для верхніх граней залишків рядів Тейлора, а також отримати аналог нерівності Лебега-Ландау.

3. Отримати точні порядкові оцінки наближень функцій із класів , частинними сумами їх р-фаберових рядів.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати дисертації є новими. До них відносяться:

1. Інтегральні зображення відхилень алгебраїчних многочленів, що породжуються лінійними методами підсумовування р-фаберових рядів від -інтегралів функції, аналітичних в області .

2. Асимптотичні зображення залишків рядів Тейлора на класах -інтегралів.

3. Аналог нерівності Лебега-Ландау на класах -інтегралів.

4. Аналог теореми про середнє для аналітичних функцій.

5. Порядкові оцінки відхилень -інтегралів функцій, аналітичних в області від частинних сум їх р-фаберових рядів.

Практичне значення одержаних результатів. Одержані результати мають теоретичний характер і можуть бути застосованими для подальшого розвитку теорії наближення функцій.

Особистий внесок здобувача. Постановка задач належить науковому керівникові. Основні результати отримано автором самостійно.

Апробація результатів роботи. Основні результати доповідалися на:

- семінарах відділу теорії функцій інституту математики НАН України;

- об'єднаному семінарі з теорії функцій (інститут математики НАН України);

- другій математичній школі «Ряди Фур'є: теорія і застосування» (Україна, м. Кам'янець-Подільський, 30 червня - 5 липня 1997 р.).

Публікації. По темі дисертації опубліковано 5 робіт.

Список опублікованих робіт наведено нижче.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, що містять 14 параграфів, списку основних позначень та списку цитованої літератури, що містить 64 найменування. Обсяг роботи складає 125 сторінок машинописного тексту.

Основний зміст дисертації

коші тейлор інтеграл

У вступі обґрунтовано актуальність і важливість питань, що розглядаються в дисертації, проведено стислий огляд близьких за напрямком робіт, сформульована мета досліджень та їх новизна, викладено зміст роботи за розділами.

Нехай T - одиничне коло, реалізоване як відрізок [0; 2] з ототожненими кінцями; D:={z:|z|<1} - одиничний круг; -замкнена жорданова спрямлювана крива (з.ж.с.к.); G:= int - внутрішність кривої ;:=ext - зовнішність кривої ; - замикання області G; замикання області G;() - конформне відображення ext на ext T нормоване умовами ()= , '()>0; () - конформне відображення, обернене до ; - p_фаберові многочлени.

Будемо позначати через C(), L(), L(), A(G), 1<p<, відповідно множини функцій, неперервних на , сумовних в p_тому степені на , обмежених на , та множину інтегралів типу Коші в області G зі щільностями з L().

Нехай далі f:=f('),1<p< - функція, визначена на колі T, що породжується функцією f L(). Тоді через L()₊, 1< p<, позначатимемо підмножину функцій f L(), для яких ряд Фур'є функції f має вигляд S[f]= . а через A(G)₊ - множину інтегралів типу Коші в області зі щільностями з L()₊.

В 1 першого розділу наведено ряд допоміжних тверджень про множини інтегралів типу Коші і , більшість з яких є об'єднанням різних фактів з теорії просторів та їх переформулюванням у зручній для нас формі. Для повноти ці твердження супроводжуються короткими спрощеними доведеннями.

В 2 вводиться поняття аналога -інтеграла і -похідної функцій, сумовних на кривій Г.

Нехай - пара довільних фіксованих систем чисел ₁і, k=. Будемо казати, що функція fL(), 1< p<,є аналогом -інтеграла функції L() і писатимемо f=, якщо

S[f]= ₁ (|k|) - i sign k(|k|)) c_ke^ikt,

де c_k=c_k() - коефіцієнти Фур'є функції ; функція fL() є аналогом -похідної функції fL(), якщо і

S[f]= ₁ (|k|) - i sign k(|k|)) c_ke^ikt,

де c_k=c_k(f) - коефіцієнти Фур'є функції f.

На основі цих понять означаються класи (Г) - функцій, сумовних в р-тому степені на Г, та класи() - інтегралів типу Коші зі щільностями із (Г).

Показано, що елементи множин () є згортками за Дзядиком інтегралів типу Коші в області G з ядрами

.

В п. 2.4. 2 більш детально розглянуто випадок коли область G є одиничний круг D. Показано, що при елементи множин є інтегралами дробового порядку r Рімана-Ліувілля. Встановлено зв'язок між цими множинами та класами

В 3 першого розділу знайдено інтегральні зображення відхилень функцій з множин і від многочленів, породжених лінійними методами підсумовування їх рядів по многочленах .

Нехай , - довільна нескінченна трикутна числова матриця. Кожній функції на основі її розкладу в ряд по многочленах поставимо у відповідність многочлен

.

Нехай далі - функції, неперервні на , причому . Покладемо

, (1)

.

Надалі під послідовностями , і=1,2 що визначають множини , будемо розуміти сліди на множині деяких функцій , неперервних на .

В прийнятих позначеннях має місце така

Теорема 1. Якщо функції , означенні формулами (1), є такими, що їх перетворення Фур'є

,

абсолютно сумовні на , то , в кожній точці має місце рівність

,

(2)

Для функцій з множин існують інші, більш зручні в застосуваннях, зображення величин .

Покладемо

, (3) .

Теорема 2. 1) Якщо косинус перетворення Фур'є функції , означеної формулою (3), абсолютно сумовне на (()), то , в кожній точці виконується рівність (2), в якій

;

2) Якщо косинус і синус перетворення Фур'є функції абсолютно сумовні на (()), то , в кожній точці виконується рівність (2), в якій



В 4 першого розділу на основі теорем 1.3.1., 1.3.2. знайдено інтегральні зображення залишків рядів по многочленах для функцій з множин і .

У другому розділі досліджується швидкість збіжності рядів Тейлора для класів в просторах .

Нехай - множина опуклих неперервних на спадних до нуля функцій;

,

і

,

де - константи, які можуть залежати від .

Далі, якщо і то

Позначимо через A() - простір функцій, аналітичних в крузі D і неперервних в , з нормою ||_C; H_p,1<p<- простір Харді функцій, аналітичних в крузі D, з нормою ||_p; X⁰() - підмножину функцій f X(), що ортогональні константі; S_X - одиничну кулю в просторі X; B_p:= S - одиничну кулю в просторі H_p; S_n(f; z) - частинну суму порядку nZ⁺

(S₀(f; z)=0) ряду Тейлора функції f; r_n(f; z) - залишок порядку n ряду Тейлора функції f; E_n(f)_X - найкраще наближення функції f X алгебраїчними многочленами степеня <n в просторі X;

Основним результатом 1 є наступна

Теорема 3. Нехай . Тоді і для будь-якого многочлена в кожній точці

де - величина, рівномірно обмежена відносно.

Зазначимо, що типовими представниками множини ₀ є функції

.

Зокрема при , з теореми 3 випливає асимптотична рівність для залишків функцій класу :

При натуральних ця рівність доведена С.Б. Стєчкіним.

В 2 на основі теореми 2.1.1. отримано асимптотичні рівності для величин ₀, а також :

.

В п. 2.2. 2 розглянуто поведінку залишків для індивідуальних функцій. Виходячи із співвідношення (4) доведено такі твердження

Теорема 4. Нехай ₀. Тоді

(5)

.

Теорема 5. Нехай , ₀. Тоді

.

Для будь-якої послідовності додатних чисел , знайдеться функція така, що для деякої нескінченної послідовності номерів виконується співвідношення

Теорема 5 і співвідношення (10) при ⁺, доведенні С.Б. Стєчкіним.

В 3 доведено таке твердження.

Теорема 6. Нехай і - довільна послідовність дійсних чисел таких, що . Тоді, якщо , то в кожній точці

де

- многочлен найкращого рівномірного наближення функції,

O(1) - величина, незалежна від .

Зазначимо, що типовими представниками множини є функції та інші, множини -функції та інші.

З теореми 6 випливає така оцінка

(7)

О.І. Степанцем показано, якщо у ролі взяти послідовність , то _, виконуватиметься нерівність

де К - константа, не залежна від n. В цьому випадку з (7) випливає оцінка

де O(1) - величина, рівномірно обмежена відносно n.

В 4 доводяться аналоги нерівності Лебега-Ландау для функцій з множин

Теорема 7. Нехай ₀. Тоді при кожному

(8)

де O(1) - величина, рівномірно обмежена відносно .

Для будь-якої функції при кожному існує функція така, що і для неї переходить в рівність.

Теорема 8. Нехай . Тоді при кожному

,

де O(1) - величина, рівномірно обмежена відносно f і n.

В 5 отримано аналоги тверджень з попередніх параграфів в метриці простору Н₁.

Результати 6 стосуються оцінок величин

 (9)

для функцій з класів у випадку, коли .

Оцінки величин випливають з результатів попередніх параграфів і наступного твердження.

Теорема 9. Нехай f. Тоді при кожному

. (10)

В 7 досліджується поведінка залишків для функцій з множин у випадку, коли де

У цьому випадку множини складаються з цілих функцій

Теорема 10. Нехай . Тоді, якщо , то , справедлива нерівність

Теорема 11. Нехай . Тоді при

Ці теореми є аналогами результатів О.І. Степанця про збіжність рядів Фур'є на класах цілих -періодих функцій.

Основний результат 8 є, по суті, аналогом теореми про середнє (формули скінченних приростів) для аналітичних функцій.

Теорема 12. Нехай - функція, аналітична в замкненому крузі , деякого радіуса R, R>0, з центром в точці . Тоді для кожного ⁺, існує , яке може залежати тільки від функції f, таке, що для будь-яких точок z₀, z₁ із круга , для яких , в крузі , знайдеться принаймні одна точка така, що виконується рівність

.

Один з наслідків теореми 12 описує поведінку в околі точки залишку ряду Тейлора непарної, аналітичної в функції.

Наслідок. Нехай - непарна функція, аналітична в крузі , . Тоді для кожного ⁺ існує , таке що

,

де - деяка точка з круга .

Основні результати другого розділу опубліковано в роботах [1-4].

У третьому розділі досліджується швидкість збіжності рядів по многочленах функцій із класів і , .

В 1 отримано поточкові в області оцінки залишків у випадку коли .

Теорема 13. Нехай Г - з.ж.с.к., ₀, ₀. Тоді , в кожній точці має місце нерівність

(11)

де , O(1) - величина, рівномірно обмежена відносно n.

Зазначимо, що за умов теореми 13 граничні значення функції

не обов'язково сумовні (неперервні) на (це видно на прикладі класів ), що, в свою чергу, не дає змоги довести оцінку (11) при .

Якщо в теоремі 3.1.1. _c, то, як показано О.І. Степанцем, існує константа C>0 така, що

.

В такому разі при нерівність (11) набуде вигляду

(12)

Якщо при цьому

₀, ,

то оцінка (12) при співпадає з оцінкою, доведеною О.І. Степанцем і В.С. Романюком.

В 2 даються оцінки залишків , у випадку коли область є р-фаберовою.

Нагадаємо, що область , обмежена з.ж.с.к. Г, називається р-фаберовою, , якщо виконується умова

,

де С - константа, що може залежати тільки від кривої Г.

Для р-фаберових областей справедливе включення

,

а також наступне твердження.

Теорема 14. Нехай - р-фаберова область, . Тоді , функція

належить і виконується нерівність

,

де

(13)

З цього твердження, на основі результатів другого розділу про поведінку залишків рядів Тейлора для функцій класів легко отримати відповідні результати і для рядів Фабера.

Наведемо один з результатів 2.

Теорема 15. Нехай , - р-фаберова область, ₀. Тоді , виконується нерівність

,

де

С - константа, що визначається рівністю (13), О(1) - величина, рівномірно обмежена відносно f і n.

Висновки

1. Знайдено інтегральні зображення відхилень алгебраїчних многочленів, що породжуються лінійними методами підсумовування p_фаберових рядів від -інтегралів функцій, аналітичних в області G.

2. Знайдено асимптотичні зображення залишків рядів Тейлора на класах -інтегралів.

3. Доведено аналог нерівності Лебега-Ландау на класах -інтегралів.

4. Доведено аналог теореми про середнє для аналітичних функцій.

5. Отримано порядкові оцінки відхилень -інтегралів функцій, аналітичних в області G, від частинних сум їх p_фаберових рядів

Основні результати дисертації опубліковано в наступних роботах

1. Савчук В.В. До теореми про середнє для аналітичних функцій // Укр. мат. журн. - 1997. - 49, №8. - С. 1143-1147.

2. Савчук В.В. Асимптотика залишку ряду Тейлора для аналітичних функцій // Ряди Фур'є: теорія і застосування / Праці Ін-ту математики НАН України. - 1998. - 20. - С. 263-279.

3. Савчук В.В. Поведінка залишку ряду Тейлора на класах цілих функцій // Ряди Фур'є: теорія і застосування / Праці Ін-ту математики НАН України. -1998. - 20.-С. 280-285.

4. Савчук В.В. Швидкість збіжності ряду Тейлора для деяких класів аналітичних функцій // Укр. мат. журн. - 1998. - 50, №7. - С. 1001-1003.

5. Савчук В.В. Наближення функцій класів сумами Фабера в жорданових областях // ІІ школа «Ряди Фур'є: теорія і застосування» (Кам'янець-Подільський, 30 червня_5 липня 1997 р.): Тези доп. - Київ, 1997.-С. 112-113.

Размещено на Allbest.ru

...