Запровадження скiнченних гiбридних iнтегральних перетворень

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

ЧЕРНІВЕЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМ. Ю.ФЕДЬКОВИЧА

Мороз Володимир Вікторович

УДК 517.958

ЗАПРОВАДЖЕННЯ СКІНЧЕННИХ ГІБРИДНИХ ІНТЕГРАЛЬНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ

01.01.02 диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Чернівці 1999



Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано на кафедрі вищої математики та комп'ютерних застосувань Технологічного університету Поділля (м.Хмельницький) Міністерства освіти України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,

Ленюк Михайло Павлович,

професор кафедри диференціальних рівнянь

Чернівецького державного університету

ім. Ю.Федьковича.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор Городецький Василь Васильович,

завідувач кафедри алгебри і геометрії

Чернівецького державного університету

ім. Ю.Федьковича;

кандидат фізико-математичних наук,

Конет Іван Михайлович,

професор кафедри геометрії та методики викладання

математики Кам'янець-Подільського педагогічного університету.

Провідна установа: Національний університет ім. Тараса Шевченка,

кафедра диференціальних та інтегральних рівнянь,

Міністерство освіти України, Київ.

Захист відбудеться “___” ___________ 1999 року о __ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 76.051.02 в Чернівецькому державному університеті ім. Ю.Федьковича за адресою:

274012, м.Чернівці, вул. Університетська, 28.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Чернівецького державного унівеситету ім. Ю.Федьковича (вул. Лесі Українки, 23).

Автореферат розісланий “___”__________ 1999 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Садов'як А.М.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

Актуальність теми. Розвиток і вдосконалення виробництва на сучасному етапі науково-технічного прогресу пов'язані з широким застосуванням композитних матеріалів у різного роду технологічних процесах, зварному виробництві, атомній енергетиці та космічній техніці, радіотехніці та радіоелектроніці, будівництві споруд та будинків. Серед численних задач, які виникають при розрахунках на міцність, надійність і довговічність в експлуатації конструкційних елементів машин та механізмів, при конструюванні машин і проектуванні інженерних споруд важливе місце займають задачі розрахунку температурних полів і викликаних ними температурних напружень, а також задачі дослідження напруженого стану тонкостінних елементів конструкцій, які працюють на кручення. Крім того, останнім часом методи математичного моделювання активно застосовуються при розв'язанні задач промислової екології (наприклад, при розробці технологій вилучення домішок в гетерогенних системах).

Якщо вважати, що: а) дослідження кінетики цілого ряду фізичних і хіміко-технологічних процесів еквівалентне задачам стаціонарної або нестаціонарної теплопровідності; б) композити - це, як правило, обмежені кусково-однорідні тіла, які складаються з декількох матеріалів, що мають різні фізико-механічні характеристики, - то ми приходимо до необхідності розв'язання лінійних диференціальних рівнянь з розривними (кусково-постійними) коефіцієнтами в обмежених областях.

Одним з ефективних методів розв'язання такого класу задач є метод скінченних інтегральних перетворень. Найбільш поширеними серед них є скінченні інтегральні перетворення Фур'є, Ганкеля, Лежандра, Ерміта, Вебера та ін. Вони дозволяють будувати точні аналітичні розв'язки задач математичної фізики неоднорідних середовищ.

Проблемі запровадження відсутніх в математичній літературі скінченних гібридних інтегральних перетворень для розв'язання задач математичної фізики неоднорідних (кусково-однорідних) середовищ і присвячена дана кандидатська дисертація.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Теоретичні та практичні завдання дисертаційної роботи виконувались згідно плану наукових досліджень пріоритетного напрямку розвитку науки і техніки Технологічного університету Поділля (м.Хмельницький) в рамках науково-дослідної теми: “Екологічно чиста енергетика та ресурсозберігаючі технології” (постанова Верховної Ради України, №2705-XІ від 16.10.92) та плану наукових досліджень кафедри диференціальних рівнянь Чернівецького державного університету ім. Ю.Федьковича в рамках науково-дослідної теми: “Нерегулярні крайові задачі для параболічних рівнянь математичної фізики неоднорідних середовищ”, № держреєстрації 0197V014404.

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є побудова та математичне обгрунтування скінченних гібридних інтегральних перетворень (ГІП), породжених на ()-складовому сегменті гібридним диференціальним оператором штурма-ліувіллівського типу, та їх застосування для розв'язання типових задач математичної фізики неоднорідних структур. В основу проведених досліджень покладено спектральну теорію розгортання за власними функціями задачі Штурма-Ліувілля для звичайних диференціальних рівнянь з неперервними коефіцієнтами. Математичне обгрунтування скінченних ГІП ґрунтується на основних положеннях теорії узагальнених функцій, математичного та функціонального аналізу, теорії крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь.

Наукова новизна дисертаційної роботи полягає в наступному:

побудовано власні елементи узагальнено самоспряженої задачі Штурма-Ліувілля на -складовому сегменті для звичайного диференціального рівняння другого порядку з кусково-неперервними коефіцієнтами;

вивчено властивості власних елементів задачі Штурма-Ліувілля: сформульовано і доведено теорему про дискретний спектр, теореми про узагальнену ортогональність та повноту відповідної йому системи власних вектор-функцій;

сформульовано і доведено аналог теореми Стєклова В.А. про розвинення вектор-функції в абсолютно й рівномірно збіжний ряд Фур'є за системою власних вектор-функцій задачі Штурма-Ліувілля на кусково-однорідному сегменті;

сформульовано і доведено теорему про наявність основної тотожності інтегрального перетворення гібридного диференціального оператора, що дає можливість побудувати алгебру гібридного диференціального оператора, а значить виключити його із розгляду;

встановлено асимптотичні формули та рівняння для знаходження власних елементів задачі Штурма-Ліувілля на кусково-однорідному сегменті;

запроваджено всеможливі скінченні гібридні інтегральні перетворення з операторами Фур'є та Бесселя, що чергуються на кусково-однорідному сегменті;

одержані скінченні гібридні інтегральні перетворення застосовано для розв'язання типових задач математичного аналізу та математичної фізики неоднорідних середовищ:

а) задачі про підсумовування поліпараметричних функціональних рядів, що містять тригонометричні функції та функції Бесселя;

б) задачі про структуру пружних полів, які виникають при крученні кусково-однорідного циліндричного стержня у результаті дії зосередженого осесиметричного навантаження;

в) задачі про структуру нестаціонарних температурних полів, які виникають в кільцевидній кусково-однорідній пластині у результаті дії зосередженого на кожній ділянці теплового джерела;

г) задачі про структуру хвиль, які виникають при коливанні кусково-однорідної струни у результаті дії на її кожну ділянку збурених сил.

Практичне значення. Запроваджені в дисертації скінченні гібридні інтегральні перетворення можуть бути застосовані для побудови точних аналітичних розв'язків алгоритмічного характеру достатньо широкого класу задач теплопровідності, пружності, гідромеханіки, електростатики, задач теорії коливань, задач кручення неоднорідних об'єктів та ін. з метою вивчення впливу степеня неоднорідності.

Апробація результатів дисертації. Основні результати, одержані в дисертаційній роботі, доповідались на наукових семінарах кафедри вищої математики та комп'ютерних застосувань Технологічного університету Поділля (м.Хмельницький), на кафедрі диференціальних рівнянь Чернівецького державного університету ім. Ю.Федьковича, на Сьомій міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (м.Київ, КПІ, 1998р.), Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми математики” (м.Чернівці, ЧДУ, 1998р.), науковій конференції викладачів, співробітників та студентів, присвяченої 120-річчю заснування Чернівецького університету (м.Чернівці, ЧДУ, 1995р.), науково-практичній конференції “Наукові основи сучасних прогресивних технологій” (м.Хмельницький, 1994р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у наукових працях [1-12], список яких подано в кінці автореферату.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертації є новими і належать автору. З 12 публікацій, що відображають основний зміст дисертації, чотири [6, 8-10] написано у співавторстві з доктором фіз-мат. наук, проф. М.П.Ленюком. Співавтору належить постановка задач та обговорення результатів.

Структура, зміст та обсяг дисертаційної роботи. Дисертація складається із вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації - 128 сторінок друкованого тексту. Список літератури містить 84 найменування.



ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі до дисертації обгрунтовано актуальність теми, зроблено короткий огляд літератури за тематикою дисертації, а також подано загальну характеристику дисертації.

У першому розділі зроблено постановку задачі Штурма-Ліувілля на -складовому сегменті, вивчено властивості власних елементів цієї задачі (виписана структура власних вектор-функцій та характеристичне рівняння для знаходження власних чисел, доведено теорему про диск-ретний спектр), сформульовано і доведено аналог теореми Стєклова В.А. про розвинення вектор-функції в абсолютно й рівномірно збіжний ряд Фур'є за системою власних вектор-функцій задачі Штурма-Ліувілля, сформульовано і доведено теорему про наявність основної тотожності інтегрального перетворення гібридного диференціального оператора, встановлено асимптотику власних чисел та власних вектор-функцій задачі Штурма-Ліувілля.

Розглянемо на множині

задачу Штурма-Ліувілля: побудувати обмежений розв'язок сепаратної системи лінійних однорідних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку:

(1)

за крайовими умовами

(2)

та умовами спряження

, , . (3)

У рівностях (1)-(3) - числовий параметр, оператор , функції , , - дійсні функції дійсної змінної, . При цьому будемо вважати, що , , - неперервні на інтервалі функції, , , , , , .

Означення 1. Розв'язком крайової задачі (1)(3) називається така вектор-функція , кожна компонента якої є двічі неперервно диференційовною на інтервалі функцією, задовольняє рівняння (1), в точках спряження компоненти та задовольняють умови спряження (3), а компоненти і крайові умови (2) на кінцях інтервалу і .

Означення 2. Ті значення параметра , при яких існують нетривіальні розв'язки крайової задачі (1)(3), називаються власними числами, а відповідні їм вектор-функції власними вектор-функціями.

Розв'язок крайової задачі (1)(3) будується методом функцій Коші і має вигляд:

(4)

,

в припущенні, що корінь характеристичного рівняння

.(5)

У рівностях (4), (5) приймають участь величини та функції:

, (6)

,

,

,

, - фундаментальна система розв'язків -го рівняння системи (1), - довільна стала.

Означення 3. Крайова задача (1)(3) називається узагальнено самоспряженою, якщо для двох довільних двічі неперервно диференційовних на вектор-функцій та , що задовольняють крайові умови (2) та умови спряження (3), існують додатні числа , такі що

. (7)

Теорема 1. Для того, щоб крайова задача (1)(3) була узагальнено самоспряженою необхідно й досить, щоб числа () визначались із рекурентних співвідношень

. (8)

Доведення теореми одержується інтегруванням двічі частинами лівої частини рівності (7) та врахування крайових умов та умов спряження.

Теорема 2. Система власних вектор-функцій крайової задачі (1)(3) узагальнено ортогональна на множині з вагою , тобто

(9)

Тут - квадрат норми вектор-функції , - вагова функція.

Доведення теореми випливає із узагальненої самоспряженості задачі (1)(3).

Теорема 3. Кожному власному числу крайової задачі (1)(3) відповідає тільки одна власна вектор-функція.

Доведення теореми проводиться методом від супротивного.

Теорема 4. Корені рівняння утворюють дискретний спектр: прості, дійсні, симетрично розташовані відносно точки , їх модулі утворюють монотонно зростаючу послідовність з єдиною граничною точкою в плюс нескінченності.

Те, що корені утворюють монотонно зростаючу послідовність, випливає з того, що нулі цілої аналітичної функції не мають скінченної граничної точки. Дійсність коренів одержується із протиріччя, яке виникає, якщо припустити, що корінь комплексний. Простота коренів доводиться методом від супротивного. Протиріччя встановлюється із системи тотожностей , у випадку двократного кореня.

Теорема 5 (Стєклова В.А.). Довільна, двічі неперервно диференційовна на множині вектор-функція, що справджує крайові умови (2) та умови спряження (3) крайової задачі (1)(3) може бути розвинена в абсолютно й рівномірно збіжний на кожному компакті множини ряд Фур'є за системою власних вектор-функцій цієї задачі.

Доведення. Вважаємо, що система власних вектор-функцій нормована. Оскільки , , то можемо записати рівності:

, , (10)

де - деяка цілком певна, визначена з допомогою вектор-функції , та оператора , неперервна на множині вектор-функція.

Оскільки вектор-функція справджує умови спряження і крайові умови задачі (1) (3), то за допомогою функцій впливу () цієї задачі одержуємо рівності

або після перемноження їх на рівності

(11)

гібридний інтегральний задача вектор

Тут

(12)

ядра інтегрального оператора в (11).

Поставимо тепер крайову задачу (1) (3) в інтегральній формі відносно функцій за допомогою функцій впливу

.

Ця постановка означає, що власні числа та власні вектор-функції задачі (1)(3) є відповідно характеристичними числами і з точністю до множника характеристичними вектор-функціями системи інтегральних рівнянь



. (13)

Характеристичні вектор-функції цієї системи, очевидно, узагальнено ортонормовані з вагою . Дійсно, , де узагальнено ортонормовані з вагою власні вектор-функції крайової задачі. Тому

.

Ядра (12) системи інтегральних рівнянь (13) неперервні при , рівномірно обмежені по , а отже, інтегровні з квадратом за змінною , так що

. (14)

Як функції змінної їх можна формально розвинути в ряд Фур'є за системою характеристичних вектор-функцій, тобто

,

де за означенням



,

бо, згідно з (13)

. (15)

Отже, маємо співвідношення

, . (16)

При цьому для ряду в правій частині співвідношення (16) виконується нерівність Бесселя

,

яка з урахуванням (14) у цьому випадку набуває вигляду

. (17)

Неперервну на вектор-функцію в (11) також можна формально розвинути в ряд Фур'є за системою ортонормованих вектор-функцій :

, . (18)

При цьому в зв'язку з нерівністю Бесселя

, (19)

тобто ряд з членами збігається.

Розвинемо формально в ряд Фур'є за системою вектор-функцій також ліву частину рівності (11). Матимемо співвідношення:

, (20)

де за означенням

. (21)

Тут - коефіцієнти Фур'є, які визначаються за допомогою рівності (18). При встановленні рівності (21) враховано неперервність функцій, змінено порядок інтегрування, використано тотожність (15) та симетричність ядер (12).

Співвідношення (20) з урахуванням (21) запишеться у вигляді

, . (22)

Доводиться, що цей ряд збігається абсолютно й рівномірно та має своєю сумою функцію , тобто, що

.

Отже, враховуючи рівність і скоротивши останню рівність на , матимемо

, (23)

,

де ряд (23) збігається до .

Теорема доведена.

Теорема 6. Ортонормована з вагою система власних вектор-функцій крайової задачі (1)(3) повна на множині інтегровних з квадратом вектор-функцій.

Доведення. Нехай довільна, кусково-неперервна вектор-функція, інтегровна з квадратом на множині . Побудуємо двічі неперервно-диференційовну на цій множині вектор-функцію , яка справджує крайові умови (2) і з заданою точністю апроксимує в середньому функцію , тобто виконується нерівність

.

Така функція завжди існує і практично може бути побудована, як наприклад, інтерполяційний кубічний сплайн.

Для вектор-функції існує рівномірно апроксимуючий многочлен власних нормованих функцій

, ,

тобто для виконується рівномірна нерівність

.

Використовуючи нерівність і взявши , , після множення на та інтегрування від до , одержимо нерівності.



,

що й треба було довести, оскільки при цьому при .

Ряд Фур'є (23) визначає пряме й обернене скінченне ГІП, породжене на -складовому сегменті гібридним диференціальним оператором :

, (24)

. (25)

З метою застосування скінченних ГІП до розв'язання відповідних задач математичної фізики неоднорідних структур наведемо основну тотожність інтегрального перетворення гібридного диференціального оператора, замінивши в (1) на (,) і ввівши до розгляду характеристичну функцію .

Теорема 7. Нехай вектор-функція двічі неперервно-диференційовна на , задовольняє умови спряження (3) та крайові умови

, . (26)

Тоді справедлива основна тотожність інтегрального перетворення гібридного диференціального оператора:



(27)

.

Доведення теореми одержується безпосередньо, якщо проінтегрувати двічі частинами ліву частину (27) і врахувати властивості вектор-функцій , і .

У другому розділі запроваджено скінченні ГІП, породжені на кусково-однорідному сегменті всеможливими розташуваннями диференціальних операторів Фур'є та Бесселя , що чергуються, починаючи з диференціального оператора Фур'є або Бесселя. Внаслідок ідентичності наведемо результати підрозділу 2.5.

Розглянемо задачу побудови обмеженого на множині

нетривіального розв'язку сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь

, , (28)

, ,

за крайовими умовами



, (29)

та умовами спряження

, ; .(30)

У рівностях (28)-(30) , , , , , , , .

Безпосередньо перевіряється, що за комноненти розв'язку крайової задачі (28)-(30) можна взяти функції:

,

(31)

, ;

,

.

Побудуємо спектральну функцію

і вагову функцію

.

Теорема 8. Якщо функція , задовольняє крайові умови (2) та умови спряження (3), то справджується формула розвинення функції за системою в рівномірно й абсолютно збіжний ряд Фур'є

. (32)

Ряд Фур'є (32) породжує пряме та обернене cкінченне ГІП Фур'є - Бесселя - Фур'є - ... - Бесселя - Фур'є на множині :

(33)

. (34)

При цьому справджується основна тотожність інтегрального перетворення гібридного диференціального оператора :



(35)

.

Третій розділ носить прикладний характер. Він складається з чотирьох підрозділів.

У першому підрозділі методом скінченного ГІП Ганкеля 1-го роду - Фур'є-Бесселя-...-Фур'є-Бесселя підсумовано одну сім'ю поліпараметричних функціональних рядів, що містять тригонометричні та циліндричні функції Бесселя. Сформульовано і доведено теорему, яка обгрунтовує одержані формули підсумовування.

У другому підрозділі методом скінченного ГІП Фур'є-Бесселя-Фур'є-...-Бесселя-Фур'є розв'язано задачу про структуру пружних полів, які виникають при крученні жорстко закріпленого кусково-однорідного циліндричного стержня в результаті дії зосередженого на кожній ділянці бічної поверхні осесиметричного навантаження.

Третій підрозділ присвячений дослідженню структури нестаціонарних температурних полів у кільцевидній кусково-однорідній пластині, які виникають у результаті дії зосередженого на кожній ділянці теплового джерела, методом ГІП Ганкеля 2-го роду - Фур'є - Бесселя - ... - Бесселя - Фур'є.

Четвертий підрозділ присвячений побудові розв'язку задачі про коливання обмеженої кусково-однорідної струни, один кінець якої не закріплений, в результаті дії на її кожну ділянку масових сил методом ГІП Ганкеля 2-го роду Фур'є Бесселя ... Фур'є Бесселя.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Мороз В.В. Скінченні гібридні інтегральні перетворення Фур'є - Бесселя - Фур'є- ... - Фур'є - Бесселя // Доп. НАН України. - 1998. - N10. - С. 44-48.

2. Ленюк М.П., Мороз В.В. Конечные гибридные интегральные преобразования Ханкеля первого рода - Фурье - Бесселя - ... - Бесселя - Фурье // Дифференц. уравнения. - 1998. - Т.34. - N9. - C. 1286-1288.

3. Мороз В.В. Скінченні гібридні інтегральні перетворення Фур'є - Бесселя - Фур'є- ... - Бесселя - Фур'є // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. - 1998. Вип. 2. - С. 101-106.

4. Мороз В.В. Один клас скінченних гібридних інтегральних перетворень // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. - Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. - C. 189-191.

5. Мороз В.В. Теорема Стєклова про розвинення в ряд Фур'є вектор-функцій // Інтегральні перетворення та їх застосування. - Київ: Ін-т математики НАН України, 1996. - C. 159-168.

6. Мороз В.В. Скінченні гібридні інтегральні перетворення Ганкеля 2-го роду - Фур'є - Бесселя - ... - Бесселя - Фур'є // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач. - Київ: Ін-т математики НАН України, 1997. - Вип. 15. - C. 139-144.

7. Ленюк М.П., Мороз В.В. Підсумовування однієї сім'ї поліпараметричних функціональних рядів методом скінченного гібридного інтегрального перетворення Ганкеля 1-го роду - Фур'є - Бесселя - ... - Фур'є - Бесселя // Крайові задачі для диференціальних рівнянь: Зб. наук. пр. - Київ: Ін-т математики НАН України. 1998. - Вип. 1(17). - C. 136 - 153.

8. Мороз В.В. Скінченні гібридні інтегральні перетворення Ганкеля 2-го роду - Фур'є - Бесселя - ... - Фур'є - Бесселя // Вісник Технологічного університету Поділля. Серія 3. Соціально-гуманітарні і природничі науки - 1997, N 1. - С. 74-79.

9. Мороз В.В., Ленюк М.П. Скінченні гібридні інтегральні перетворення. - Київ, 1997. - 42 c. (Препр. / НАН України. Ін-т математики; 97.7).

10. Ленюк М.П., Мороз В.В. Про розвинення в ряд Фур'є вектор-функцій. // Мат. наукової конференції викладачів, співробітників та студентів, присвяченої 120-річчю заснування Чернівецького університету, Чернівці, 1995. - Т.2. - C.95.

11. Мороз В.В. Запровадження скінченних гібридних інтегральних перетворень типу (Фур'є, Бесселя, Фур'є, ... Бесселя, Фур'є) // Матеріали Сьомої Міжнародної конференції ім. академіка М.Кравчука. Київ, КПІ, 1998. - С. 349.

12. Мороз В.В. Інтегральні перетворення, породжені диференціальним оператором 2-го порядку з кусково-неперервними коефіцієнтами // Cучасні проблеми математики: Мат. Міжн. наук. конф. Част. 2. - Київ: Ін-т математики НАН України, 1998. - C. 142144.



АНОТАЦІЇ

Мороз В.В. Запровадження скінченних гібридних інтегральних перетворень. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Чернівецький державний університет ім. Ю. Федьковича. Міністерство освіти України, Чернівці, 1999.

Запроваджено та математично обґрунтовано скінченні гібридні інтегральні перетворення на () - складовому сегменті, породжені диференціальними операторами штурма-ліувіллівського типу. Застосовано одержані скінченні гібридні інтегральні перетворення до розв'язання типових задач математичної фізики неоднорідних структур.

Ключові слова: скінченні гібридні інтегральні перетворення, дискретний спектр, спектральна функція, узагальнена самоспряженість, узагальнена ортогональність.

Moroz V.V. Іntroductіon of fіnіte hybrіd іntegral transforms. - Manuscrіpt.

Thesіs for to obtaіnіng of the degree of Candіdate of Physіcs and Mathematіcs Scіences on specіalіty 01.01.02 Dіfferentіal equatіons, 1999.

The fіnіte hybrіd іntegral transforms іn reference to ()-constіtuent segment, that were born by dіfferentіal operators of Shturma-Lіuvіll's type, are іntroduced and substantіated mathematіcally іn the thesіs. The obtaіned fіnіte hybrіd іntegral transforms have been used for the solutіon on typycal problems of mathematіcal physіcs of non-gomogeneous structures.

Key words: fіnіte hybrіd іntegral transforms, dіscrete spectrum, spectral functіon, generalіzed self-conjugency, generalіzed orthogonalіty.

Мороз В.В. Введение конечных гибридных интегральных преобразований. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 дифференциальные уравнения. Черновицкий государственный университет им. Ю.Федьковича. Министерство образования Украины, Черновцы, 1999.

Одним из эффективных методов решения задач математической физики является метод интегральных преобразований. Для решения линейных задач математической физики с непрерывными коэффициентами широко применяются классические интегральные преобразования Фурье, Ханкеля, Лежандра, Ермита, Вебера и др. В связи с широким применением композитных материалов в технике и технологиях возникла острая необходимость в построении таких интегральных преобразований, которые давали бы возможность алгебраизации дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными коэффициентами.

Это и определило направление диссертационной работы, посвященной построению и математическому обоснованию гибридных интегральных преобразований, порожденных на ()-составном сегменте гибридным дифференциальным оператором штурма-лиувилливского типа, и их применению к решению типичных задач математической физики неоднородных структур.

Научная новизна полученных в дисертации результатов сводится к следующему:

- найдены собственные элементы обобщенно самосопряженной задачи Штурма-Лиувилля на -составном сегменте для обычного дифференциального уравнения второго порядка с кусочно-неперерывными коэффициентами;

- изучены свойства собственных элементов задачи Штурма-Лиувилля: сформулирована и доказана теорема о дискретном спектре, теоремы об обобщенной ортогональности и полноте соответствующей ему системы собственных вектор-функций;

- сформулирован и доказан аналог теоремы Стеклова В.А. о разложении вектор-функции в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по системе собственных вектор-функций задачи Штурма-Лиувилля на кусочно-однородном сегменте;

- сформулирована и доказана теорема об основном тождестве интегрального преобразования гибридного диференциального оператора, что позволяет построить его алгебру и, следовательно, исключить из рассмотрения;

- получены асимптотические формулы и уравнения для собственных элементов задачи Штурма-Лиувилля на кусочно-однородном сегменте;

- введены всевозможные конечные гибридные интегральные преобразования с чередующимися на кусочно-однородном сегменте операторами Фурье и Бесселя;

- введенные конечные гибридные интегральные преобразования применены к решению типичных задач математического анализа и математической физики неоднородных сред:

а) задачи о суммировании полипараметрических функциональных рядов, содержащих тригонометрические функции и функции Бесселя;

б) задачи о структуре упругих полей, возникающих при кручении кусочно-однородного цилиндрического стержня в результате действия сосредоточенной осесимметричной нагрузки;

в) задачи о структуре нестационарных температурных полей возникающих в кусочно-однородной пластине в результате действия сосредоточенного на каждом участке теплового источника;

г) задачи о структуре волн, возникающих при колебании кусочно-однородой струны в результате действия на ее каждый участок возмущенных сил.

Ключевые слова: конечные гибридные интегральные преобразования, дискретный спектр, спектральная функция, обобщенная самосопряженность, обобщенная ортогональность.

Размещено на Allbest.ru

...