Аксонометрические проекции

Сущность метода параллельного аксонометрического проецирования. Основная теорема аксонометрии (теорема Польке). Применение прямоугольных изометрии и диметрии. Построение аксонометрических изображений. Параллельное проецирование окружности на плоскость.

Рубрика Математика
Вид реферат
Язык русский
Дата добавления 11.12.2013
Размер файла 173,5 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство Российской Федерации по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям и ликвидации последствий стихийных бедствий.

ФГБОУ ВПО Ивановский институт ГПС МЧС России.

Кафедра Механики и инженерной графики.

Реферат

на тему: «Аксонометрические проекции»

Подготовил:

курсант 11курса 114 уч. гр.

Иванов К.В.

Иваново 2013 г.

Содержание

1. Аксонометрические проекции

2. Основная теорема аксонометрии (Теорема Польке)

3. Стандартные аксонометрические проекции

4. Окружность в аксонометрии

5. Построение аксонометрических изображений

Используемая литература

1. Аксонометрические проекции

Аксонометрические изображения широко применяются благодаря хорошей наглядности и простоте построений.

Слово «аксонометрия» в переводе с греческого означает измерение по осям. Аксонометрический метод может сочетаться и с параллельным, и с центральным проецированием при условии, что предмет проецируется вместе с координатной системой.

Сущность метода параллельного аксонометрического проецирования заключается в том, что предмет относят к некоторой системе координат и затем проецируют параллельными лучами на плоскость вместе с координатной системой.

На рисунке 1 показана точка А, отнесенная к системе прямоугольных координат xyz. Вектор S определяет направление проецирования на плоскость проекций П*.

Рисунок 1. Сущность метода аксонометрического проецирования

Аксонометрическую проекцию А1* горизонтальной проекции точки А принято называть вторичной проекцией.

Искажение отрезков осей координат при их проецировании на П' характеризуется так называемым коэффициентом искажения.

Коэффициентом искажения называется отношение длины проекции отрезка оси на картине к его истинной длине.

Так по оси x* коэффициент искажения составляет u=0*x*/0x, а по оси y* и z* соответственно х=0*y*/0y и щ=0*z*/0z.

В зависимости от отношения коэффициентов искажения аксонометрические проекции могут быть:

1. изометрическими, если коэффициенты искажения по всем трем осям равны между собой; в этом случае u=х=щ;

2. диметрическими, если коэффициенты искажения по двум любым осям равны между собой, а по третьей - отличается от первых двух;

3. триметрическими, если все три коэффициента искажения по осям различны.

Аксонометрические проекции различаются также и по тому углу ц, который образуется проецирующим лучом с плоскостью проекций. Если ц? 90o, то аксонометрическая проекция называется косоугольной, а если ц= 90o - прямоугольной.

2. Основная теорема аксонометрии (теорема Польке)

Рассмотрев общие сведения об аксонометрических проекциях, можно сделать следующие выводы:

· аксонометрические чертежи обратимы;

· аксонометрическая и вторичная проекции точки вполне определяют её положение в пространстве.

Аксонометрические проекции обратимы, если известна аксонометрия трех главных направлений измерений фигуры и коэффициенты искажения по этим направлениям.

Аксонометрические проекции фигуры являются её проекциями на плоскости произвольного положения при произвольно выбранном направлении проецирования.

Очевидно возможно и обратное. На плоскости можно выбрать произвольное положение осей с произвольными аксонометрическими масштабами.

В пространстве всегда возможно такое положение натуральной системы прямоугольных координат и такой размер натурального масштаба по осям, параллельной проекцией которых является данная аксонометрическая система.

Немецкий ученый Карл Польке (1810-1876) сформулировал основную теорему аксонометрии: три отрезка прямых произвольной длины, лежащих в одной плоскости и выходящих из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на координатных осях от начала.

Согласно этой теореме, любые три прямые в плоскости, исходящие из одной точки и не совпадающие между собой, можно принять за аксонометрические оси. Любые отрезки произвольной длины на этих прямых, отложенные от точки их пересечения, можно принять за аксонометрические масштабы. Эта система аксонометрических осей и масштабов является параллельной проекцией некоторой прямоугольной системы координатных осей и натуральных масштабов.

В практике построения аксонометрических изображений обычно применяют лишь некоторые определенные комбинации направлений аксонометрических осей и аксонометрических масштабов: прямоугольная изометрия и диметрия, косоугольная фронтальная диметрия, кабинетная проекция и др.

3. Стандартные аксонометрические проекции

Согласно ГОСТ 2.317-69, из прямоугольных аксонометрических проекций рекомендуется применять прямоугольные изометрию и диметрию.

Между коэффициентами искажения и углом ц, образованным направлением проецирования и картинной плоскостью, существует следующая зависимость:

u2+х2+щ2=2+ctq2ц,

если ц=90o, то u2+х2+щ2=2,

В изометрии u=х=щ и, следовательно, 3u2=2, откуда u=Ц2/3 ? 0,82.

Таким образом, в прямоугольной изометрии размеры предмета по всем трем измерениям сокращаются на 18 %. ГОСТ рекомендует изометрическую проекцию строить без сокращения по осям координат (рис.2), что соответствует увеличению изображения против оригинала в 1,22 раза.

Рисунок 2. Расположение осей в изометрии

При построении прямоугольной диметрической проекции сокращение длин по оси y' (рис.3) принимают вдвое больше, чем по двум другим, т.е. полагают, что

u=щ, а х=0,5u.

Тогда 2u2+(0,5u)2=2, откуда u2=8/9 и u?0,94, а х=0,47.

В практических построениях от таких дробных коэффициентов обычно отказываются, вводя масштаб увеличения, определяемый соотношением 1/0,94=1,06, и тогда коэффициенты искажения по осям x' и z' равны единице, а по оси y' вдвое меньше х=0,5.

Из косоугольных аксонометрических проекций ГОСТом предусмотрено применение фронтальной и горизонтальной изометрии и фронтальной диметрии (последнюю ещё называют кабинетной проекцией).

Рисунок 3. Расположение осей в диметрии

4. Окружность в аксонометрии

При параллельном проецировании окружности на какую-нибудь плоскость П* получаем ее изображение в общем случае в виде эллипса (рис. 4).

Как бы ни была расположена плоскость окружности, сначала целесообразно построить параллелограмм A*B*C*D* - параллельную проекцию квадрата ABCD, описанного около данной окружности, а затем с помощью восьми точек и восьми касательных вписать в него эллипс.

Точки 1, 3, 5 и 7 - середины сторон параллелограмма. Точки 2, 4, 6 и 8 расположены на диагоналях так, что каждая из них делит полудиагональ в соотношении 3:7.

Действительно, на основании свойств параллельного проецирования можно записать, что А2/1О=A*2*/2*O*, Но А1/1О=(rv2-r)/r?3/7.

Из восьми касательных к эллипсу первые четыре - это стороны параллелограмма, а остальные t2, t4, t6 и t8- прямые, параллельные его диагоналям. Так касательная t2* к эллипсу параллельна диагонали C*D*, Объясняется это тем, что t2* и C*D* являются проекциями двух параллельных прямых t2 и CD.

Рисунок 4. Проецирование окружности на плоскость

Графические построения, предшествующие вычерчиванию самого эллипса, целесообразно выполнять в следующей последовательности (рис.5):

1. построить аксонометрическую проекцию квадрата - параллелограмм A*B*C*D* и провести диагонали A*C* и B*D*;

2. отметить середины сторон параллелограмма - точки 1*, 3*, 5* и 7* ;

Рисунок 5. Построение эллипса

3. на отрезке 3*B*, как на гипотенузе, построить прямоугольный равнобедренный треугольник 3*KB*;

4. из точки 3* радиусом 3*K описать полуокружность, которая пересечет A*B* в точках L и M; эти точки делят отрезок 3*A* и равный ему отрезок 3*B* в отношении 3:7 ;

5. через точки L и М провести прямые параллельные боковым сторонам параллелограмма, и отметить точки 2*, 4*, 6* и 8* расположенные на диагоналях;

6. построить касательные к эллипсу в найденных точках. Касательных t2 и t6 параллельны BD, а касательных t4 и t8 параллельны AC.

7. получив восемь точек и столько же касательных, можно с достаточной точностью вычертить эллипс.

ГОСТ 2.317-69 определяет положение окружностей, лежащих в плоскостях, параллельных плоскостям проекций для прямоугольной изометрической проекции (рис.6) и для прямоугольной диметрии (рис.7).

Если изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям x, y, z, то большая ось эллипсов 1,2, 3 равна 1,22, а малая ось -0.71 диаметра окружности.

Рисунок 6. Изометрические проекции окружностей, расположенных в плоскостях параллельных плоскостям проекций

Рисунок 7. Диметрические проекции окружностей, расположенных в плоскостях параллельных плоскостям проекций

Если изометрическую проекцию выполняют с искажением по осям x, y, z, то большая ось ось эллипсов 1, 2, 3 равна диаметру окружности, а малая - 0.58 диаметра окружности.

Если димметрическую проекцию выполняют без искажения по осям x и z то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна 1,06 диаметра окружности, а малая ось эллипса 1 - 0.95, эллипсов 2 и 3 - 0.35 диаметра окружности.

Если диметрическую проекцию выполняют с искажения по осям x и z, то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна диаметру окружности, а малая ось эллипса 1 - 0.9, эллипсов 2 и 3 - 0,33 диаметра окружности.

1-эллипс (большая ось расположена под углом 900 к оси y); 2-эллипс (большая ось расположена под углом 900 к оси z); 3-эллипс (большая ось расположена под углом 900 к оси x).

5. Построение аксонометрических изображений

Переход от ортогональных проекций предмета к аксонометрическому изображению рекомендуется осуществлять в такой последовательности (рис. 8):

Рисунок 8. Построение аксонометрического изображения

1. На ортогональном чертеже размечают оси прямоугольной системы координат, к которой и относят данный предмет. Оси ориентируют так, чтобы они допускали удобное измерение координат точек предмета. Например, при построении аксонометрии тела вращения одну из координатных осей целесообразно совместить с осью тела.

2. Строят аксонометрические оси с таким расчетом, чтобы обеспечить наилучшую наглядность изображения и видимость тех или иных точек предмета.

3. По одной из ортогональных проекций предмета чертят вторичную проекцию.

4. Создают аксонометрическое изображение, для наглядности делают вырез четверти.

ГОСТ 2.317-69 определяет условности и способы нанесения размеров при построении аксонометрического изображения, основное внимание следует обратить на следующее:

Рисунок 9. Штриховка в аксонометрии

аксонометрия изометрия проецирование

· Линии штриховки сечения в аксонометрических проекциях наносят параллельно одной из диагоналей проекций квадратов, лежащих в соответствующих координатных плоскостях, стороны которых параллельны аксонометрическим осям.

· При нанесении размеров выносные линии проводят параллельно аксонометрическим осям, размерные линии - параллельно измеряемому отрезку.

· В аксонометрических проекциях спицы маховиков и шкивов, ребра жесткости и подобные элементы штрихуют.

Используемая литература

1. Начертательная геометрия: Учеб. для вузов/ Н.Н. Крылов, Г.С. Иконникова, В.Л. Николаев, Н.М. Лаврухина; Под ред. Н.Н. Крылова.- 6 изд., пепераб. И доп.- М.: Высш. шк.,1990.-240 с.:ил.

2. Королев Ю.И. Начертательная геометрия: Учеб. для вузов.- М.: Стройиздат, 1987.- 319 с.: ил.

3. Фролов С.А. Начертательная геометрия: Учебник для втузов. - М.: Машиностроение, 1978 - 240 с.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Ортогональное проецирование точки в разные плоскости. Проецирование прямой линии по плоскостям проекций. Плоскость на эпюре Монжа, позиционные и метрические задачи. Многогранники, кривые линии и аксонометрические поверхности, касательные и сечение.

    учебное пособие [3,6 M], добавлен 07.01.2012

  • Понятие и технологии проецирования, особенности применения компьютерных технологий в данном процессе, его типы и признаки. Свойства параллельного проецирования. Комплексный чертеж точки (эпюр Г. Монжа). Взаимное расположение точек, его принципы.

    контрольная работа [693,6 K], добавлен 22.11.2013

  • Вписанная и описанная окружности в треугольниках и четырехугольниках, их определение и построение. Теорема Пифагора. Определение площади треугольника, трапеции и параллелограмма. Решение типовых задач по изложенным темам с применением полученных знаний.

    реферат [187,3 K], добавлен 28.05.2009

  • Теорема о проецировании прямого угла, возможные три случая такого проецирования. Главные линии плоскости: линии уровня и линии наибольшего наклона. Прямая, перпендикулярная к плоскости и ее проекции. Условие взаимной перпендикулярности двух плоскостей.

    реферат [463,3 K], добавлен 17.10.2010

  • Элементарная теория сравнений. Диофантовы приближения. Определения и свойства сравнений. Теорема Эйлера, теорема Ферма. Китайская теорема об остатках, ее обобщение Цинь Цзюшао. Применение к решению олимпиадных задач. Применение к открытию сейфа в банке.

    курсовая работа [243,5 K], добавлен 29.09.2015

  • Задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Квадратурные формулы. Теоретические основы метода сеток для решения задачи Коши. Погрешность аппроксимации, устойчивость, основная теорема метода сеток. Схема предиктор-корректор 2-го порядка.

    реферат [47,4 K], добавлен 07.12.2013

  • Определение вписанной и описанной окружности, их свойства и признаки. Взаимное расположение прямой и окружности. Свойства прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. Задачи с окружностью, вписанной и описанной в треугольниках и четырехугольниках.

    реферат [298,7 K], добавлен 16.06.2009

  • Понятие аксонометрии как способа изображения предметов на чертеже при помощи параллельных проекций (проекция предмета на плоскости). Наглядность аксонометрических чертежей. Изометрия, диметрия и триметрия. Прямоугольное и косоугольное проецирование.

    презентация [1,7 M], добавлен 01.04.2013

  • Сущность и графическое отображение игры на преследование, ее математический смысл и формулирование соответствующих теорем. Стратегия параллельного сближения и ее обоснование. Порядок преследования на плоскости с одним или несколькими преследователями.

    творческая работа [24,9 K], добавлен 03.01.2010

  • Медианы треугольника и их свойства. Открытие немецкого математика Г. Лейбница. Применение медиан в математической статистике. Основная сущность понятия "медиана тетраедра". Шесть доказательств теоремы о медианах. Теорема о медианах треугольника.

    реферат [44,3 K], добавлен 05.01.2010

  • Теорема Піфагора - важливий інструмент геометричних обчислень, її простота, значення; історичні відомості. Теорема Піфагора на площині та у просторі, її стереометричний аналог; цілочислові прямокутні трикутники. Доведення теореми, класифікація задач.

    курсовая работа [2,5 M], добавлен 16.05.2011

  • Страницы биографии древнегреческого философа и математика Пифагора. Теорема Пифагора: основные формулировки и методы доказательства. Обратная теорема Пифагора. Примеры задач на применение теоремы Пифагора. "Пифагоровы штаны" и "тройка", "дерево Пифагора".

    научная работа [858,3 K], добавлен 29.03.2011

  • Условия отображения формы и размеров геометрического объекта при его моделировании. Виды проецирования, используемые при разработке графических моделей. Свойства ортогонального проецирования, отображение на комплексном чертеже точки, прямой и плоскости.

    реферат [1,2 M], добавлен 01.04.2011

  • Формулировки и доказательства китайской теоремы об остатках. Доказательство с помощью метода математической индукции. Конструктивный метод доказательства. Основные алгоритмы поиска решения. Применение китайской теоремы об остатках к открытию сейфа.

    курсовая работа [1,0 M], добавлен 08.01.2022

  • Плоскость как простейший вид поверхности, ее задание тремя точками. Основные геометрические фигуры на плоскости. Определение геометрического места точек, примеры для угла и окружности. Сущность использования метода геометрических мест при решении задач.

    курсовая работа [115,2 K], добавлен 10.01.2010

  • Определение развертки многогранника, теорема о развертке А.Д. Александрова. Теорема Д. Бликера, рассматривающая два правильных многогранника - куб и додекаэдр, условие треугольности граней как технический момент, позволивший доказать свою теорему.

    реферат [14,0 K], добавлен 25.09.2009

  • Теоретико-числовая база построения СОК. Теорема о делении с остатком. Алгоритм Евклида. Китайская теорема об остатках и её роль в представлении чисел в СОК. Модели модулярного представления и параллельной обработки информации. Модульные операции.

    дипломная работа [678,3 K], добавлен 24.02.2010

  • Исследование движения точки по отношению к двум системам координат. Абсолютная и относительная величины вектора. Теорема о сложении скоростей. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса). Применения правила Н.Е. Жуковского при нахождении ускорения.

    презентация [1,0 M], добавлен 24.10.2013

  • Понятие непрерывности функции. Понятие, физический и геометрический смысл производной. Локальный экстремум и теорема Ферма. Теорема Ролля о нулях производных. Формула конечных приращении Лагранжа. Обобщенная формула конечных приращении (формула Коши).

    курсовая работа [812,7 K], добавлен 17.03.2015

  • Краткая биографическая справка из жизни Пьера Ферма. Общее понятие про правильные многоугольники. Числа математика, их история. Великая теорема Ферма, случаи доказательства. Особенности облегченной и малой теоремы. Роль математики в деятельности Уайлсома.

    контрольная работа [501,2 K], добавлен 14.06.2012

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.