Расчет вероятности по формуле Бернулли

n - число всех испытаний

k - число благоприятствующих исходов

р = Р(А герб), p⁵ - пять раз выпадет герб

q = Р(В решка), q³ - три раза выпадет решка

Подставим в формулу Бернулли:

P₈ (5) = С₈ ⁵ * p⁵ * q³ =

Ответ: вероятность, что герб выпадет 5 раз из 8 бросаний равна 0,21875.

2. В ящике 20 белых и 10 черных шаров. Вынимают подряд 4 шара, причем каждый раз вынутый шар возвращают в ящик перед извлечением следующего и шары перемешивают. Вероятность того, что из 4-х вынутых шаров окажутся 2 белых составляет…

Так как вынутые шары возвращают обратно в ящик, то вероятность извлечения белого шара каждый раз одинаковая

и вероятность извлечения черного шара тоже всегда одинаковая

Благоприятствующих исходов будет из четырех раз два:

С_n ^k = С₄ ²

р = Р(А белый шар) = 2/3, p² - два раза из четырех выпадет белый шар

q = Р(В черный шар)= 1/3, q² - два раза из четырех выпадет черный шар

По формуле Бернулли:

Ответ: вероятность, что из четырех вынутых шаров будет в двух случаях белый шар равна 0,29629.

3. Для нормальной работы автобазы на линии должно быть не меньше 9-ти автомобилей, а их на автобазе 10шт. Вероятность выхода каждой автомашины на линию равна 0,9. Вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день равна…

По условию задачи машин может быть 9 или 10.

Вероятность успешной работы, что из всех 10 машин выйдет 9 (как минимально допустимое число) или 10 (т.е. все машины выйдут в рейс) равна сумме двух вероятностей.

р = Р(А минимум 9 машин) = 9/10, p⁹ - девять машин из десяти выйдет в рейс.

q = Р (В 1 машина)= 1/10, q¹ - одна машина из десяти не выйдет в рейс.

q⁰ - не будет машины, не вышедшей в рейс (все вышли).

P₁₀ (9,10)= Р₁₀ (9) +Р₁₀ (10) = С₁₀ ⁹ * р⁹ * q¹ + С₁₀ ¹⁰ * р¹⁰ * q⁰ =

=

=

Ответ: вероятность, что база работает нормально равна 0,73609.

4. По цели стреляют 5 раз. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,2. Для поражения цели достаточно не менее трех попаданий. Вероятность поражения цели составляет…

Число попыток n=5.

Вероятность попадания р=0,2.

Вероятность промаха q= 1 - p = 1-0,2 = 0,8.

Цель будет поражена, если в нее попадут 3,4 или 5 раз из пяти выстрелов. Вероятность поражения цели состоит из сумм вероятностей попадания при 3, 4 или 5 выстрелах.

Р_цели = Р₅ (3) + Р₅ (4) + Р₅ (5)

По отдельности:

Р₅ (3) = С₅ ³ * p³ * q² (из 5 выстрелов попадают 3 раза и 2 промаха)

Р₅ (4) = С₅ ⁴ * p⁴ * q¹ (из 5 выстрелов попадают 4 раза и 1 промах)

Р₅ (5) = С₅ ⁵ * p⁵ * q⁰ (из 5 выстрелов попадают 5 раз, промахов нет)

Р₅ (3) = С₅ ³ * p³ * q² =

Р₅ (4) = С₅ ⁴ * p⁴ * q¹ =

Р₅ (4) = С₅ ⁵ * p⁵ * q⁰ =

Р_цели = Р₅ (3) + Р₅ (4) + Р₅ (5) = 0,0512 + 0,0064 + 0,00032 = 0,05792

Ответ: вероятность поражения цели равна 0,05792.

5. Играют два шахматиста одинаковой спортивной квалификации, т.е вероятность выиграть или проиграть одинакова. Для каждого из них вероятнее выиграть 2 партии из 4-х или 3 партии из 6-ти (без ничьих)...

Выигрыш любого шахматиста р, проигрыш - q. Вероятность выигрыша и проигрыша по условию задачи равны, значит задачи p = q = Ѕ = 0,5.

Безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии.

Считаем вероятность выигрыша двух партий из четырех (2 из 4):

Считаем вероятность выигрыша трех партий из шести (3 из 6):

вероятность выигрыша двух партий из четырех больше.

Ответ: две партии из четырех выиграть вероятнее, чем три из шести.

2.1 Определить вероятность того, что на экзамене первые два студента достанут билеты с нечётными номерами, а следующие четыре студента с чётными, если всего билетов 25 и все они тщательно перемешаны.

Общее число билетов n=25.

Число нечетных билетов k1 = 13.

Число четных билетов k2 = 12.

Всего студентов 6 (2 берут нечетные билеты, а 4 берут четные).

Вероятность, что 1-й студент возьмет нечетный билет p1 = 13/25.

Вероятность, что 2-й студент возьмет нечетный билет p2 = 12/24.

Вероятность, что 3-й студент возьмет четный билет p3 = 12/23.

Вероятность, что 4-й студент возьмет четный билет p4 = 11/22.

Вероятность, что 5-й студент возьмет четный билет p5 = 10/21.

Вероятность, что 6-й студент возьмет четный билет p6 = 9/20.

P== 0,01453

Число благоприятных исходов для студентов с нечетными билетами С₁₃^2.

Число благоприятных исходов для студентов с четными билетами С₁₂^4.

Число всех благоприятных исходов (6) С₂₅ ⁶.

Р=

= 0,21801

2.2 Определить вероятность того, что на экзамене первые три студента достанут билеты с чётными номерами, а следующие два студента с нечётными, если всего билетов 25 и все они тщательно перемешаны

Общее число билетов n=25.

Число нечетных билетов k1 = 13.

Число четных билетов k2 = 12.

Всего студентов 5 (3 берут нечетные билеты, а 2 берут четные).

Вероятность, что 1-й студент возьмет четный билет p1 = 12/25.

Вероятность, что 2-й студент возьмет четный билет p2 = 11/24.

Вероятность, что 3-й студент возьмет четный билет p3 = 10/23.

Вероятность, что 4-й студент возьмет нечетный билет p4 = 13/22.

Вероятность, что 5-й студент возьмет нечетный билет p5 = 12/21.

P== 0,032298

Число благоприятных исходов для студентов с четными билетами С₁₂³.

Число благоприятных исходов для студентов с четными билетами С₁₃².

Число всех благоприятных исходов (5) С₂₅ ⁵.

Р=

= = 0,322981 совпало

2.3 Студент выучил 25 из 30-ти экзаменационных вопросов. Экзамен считается сданным, если студент отвечает на три случайно выбранных вопроса. Если получен ответ на первый вопрос, то предлагается второй, а затем на тех же условиях третий. Какова вероятность того, что студент не ответит на третий вопрос?

Число благоприятных исходов для студента 3 из 25.

Число всех возможных вариантов 25 из 30.

Вероятность, что студент возьмет 1 выученный билет p1=25/30, что невыученный q=5/30.

Вероятность, что студент возьмет 2 выученный билет p2=24/29, что невыученный q=5/29.

Вероятность, что студент возьмет 3 выученный билет p3=23/28, что невыученный q=5/28.

Студент отвечает на первые два вопроса и не отвечает на третий:

Р= 0,12315

2.4 Среди 25-ти экзаменационных билетов имеются 5, вопросы в которых наименее сложные. Определить вероятность того, что они достанутся студентам, которые в порядке очереди будут брать билет с 11-го по 15-й, если всего в группе 25 человек

Простые билеты 5 из 25: 5/25.

Сложные билеты 20 из 25: 20/25.

1 студент сложный билет 20/25.

2 студент сложный билет 19/24.

3 студент сложный билет 18/23.

4 студент сложный билет 17/22.

5 студент сложный билет 16/21.

6 студент сложный билет 15/20.

7 студент сложный билет 14/19.

8 студент сложный билет 13/18.

9 студент сложный билет 12/17.

10 студент сложный билет 11/16.

11 студент простой билет 5/15.

12 студент простой билет 4/14.

13 студент простой билет 3/13.

14 студент простой билет 2/12.

15 студент простой билет 1/11.

Вероятность Р=

==0,0000022814

2.5 Студент знает ответы на 15 из 20-ти экзаменационных вопросов. Если на экзамене достаётся невыученный вопрос, студент экзамен не сдаёт, но затем дома обязательно этот вопрос выучивает. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан только с третьей попытки

Вероятность, что студент сдает экзамен Р=15/20, не сдает q=5/20.

Если он сдает с третьего раза, значит, первые два раза он вытащил билет, который не знает.

Р = 0,046875

2.6 В читальном зале библиотеки имеется 6 учебников по одному предмету, 3 из которых в жестком переплёте. Библиотекарь наугад выдаёт книги: сначала студенту Автомобильного института, а затем двум студентам ИПТМ. Какова вероятность того, что студент-автомобилист получит книгу в жестком переплёте, а студенты-механики без него

Вероятность выдать книгу в жестком переплете студенту АМИ

р=3/6 (без переплета q=3/6).

Вероятность выдать книгу в жестком переплете

1-му студенту ИПТМ р=2/5 (без переплета q=3/5).

2-му студенту ИПТМ р=1/4 (без переплета q=2/4).

Р = 0,1

2.7 В студенческой учебной группе 12 парней и 8 девушек. Наугад из списка группы выбрали двоих для работы в профкоме, а затем ещё двоих для участия в студсовете. Найти вероятность того, что в профкоме окажутся двое парней, а в студсовете две девушки

Всего 20 студентов.

Благоприятное число исходов для профкома 2 парня из 12: С₁₂².

Общее число исходов 12 парней из 20: С₂₀¹².

Р1=

=0,0002286

Теперь общее число студентов стало 18 (двоих уже выбрали).

Благоприятное число исходов для студсовета 2 девушки из 8: С₈².

Общее число исходов 8 девушек из 18: С₁₈⁸.

Р1=

= =0,0006398

2.8 В интернет-магазине имелось 10 ноутбуков одной модели, в четырёх из которых не было установлено антивирусной программы. Два наугад выбранных ноутбука были проданы, а затем ещё три отложены для следующей продажи. Найти вероятность того, что в проданных ноутбуках имелась антивирусная программа, а в отложенных нет

Всего 10 ноутбуков, в шести установлено программное обеспечение 6/10, а в четырех нет 4/10. Сначала берут два, а потом три ноутбука.

Благоприятный исход для двух ноутбуков с программным обеспечением 2 из 6: С₆².

Благоприятный исход для четырех ноутбуков без программного обеспечения 3 из 4: С₄³.

Всего берут в сумме 5 ноутов из 10: С₁₀⁵.

Вероятность

Р=0,23809

2.9 На складе имелось 15 планшетных компьютеров, 10 из которых на платформе Android, и 5 на платформе Windows. Случайным образом были выбраны два компьютера для продажи в Нижнем Новгороде, а затем ещё один для продажи в Москве. Найти вероятность того, что оба проданных в Нижнем Новгороде компьютера работают на Android, а проданный в Москве - на платформе Windows

10 из 15 Андроид: 10/15.

5 из 15 Видоус: 5/15.

Сначала выбирают два, затем один.

Благоприятный исход для двух планшетников Андроид 2 из 10: С₁₀².

Благоприятный исход для одного планшетника Виндоус 1 из 5: С₅^1.

Всего берут в сумме 3 планшетника из 15: С₁₅³.

Вероятность

Р=0,4945

2.10 В автосалоне готовы к продаже 10 автомобилей одной модели, на трёх из которых в качестве подарка установлено дополнительное оборудование. Найти вероятность того, что первым двум покупателям такой автомобиль не достанется, а третий покупатель его приобретёт

3 из 10 с доп. оборудованием: 3/10.

7 из 10 без доп. оборудования: 7/10.

Сначала продают два без доп. оборуд., затем один автомобиль с доп. оборудованием.

Благоприятный исход для двух автомобилей без доп. оборуд. 2 из 7: С₇².

Благоприятный исход для одного автомобиля с доп. оборуд. 1 из 3: С₃¹.

Всего берут в сумме 3 автомобиля из 10: С₁₀³.

Вероятность

Р=0,525

2.11 В автотранспортной компании имеется 6 самосвалов одинаковой грузоподъёмности, четыре из которых марки МАЗ, и два марки Volvo. Первая организация подала заявку на аренду трёх автомобилей, а затем вторая на аренду двух. Найти вероятность того, что первая организация получит три МАЗа, а вторая - два Volvo, если автомобили распределяются случайным образом

4 из 6 МАЗ: 4/6.

2 из 6 Вольво: 2/6.

Сначала берут в аренду три авто, затем два.

Благоприятный исход для трех автомобилей МАЗ 3 из 4: С₄³.

Благоприятный исход для двух автомобилей Вольво 2 из 2 (их всего два): С₂².

Всего берут в сумме 5 автомобилей из 6: С₆⁵.

Вероятность

Р=

2.12 В организацию, занимающуюся ремонтом оборудования, поступило семь заявок, из них четыре от клиентов, находящихся в городе, и три от клиентов из области. Слесари, приходящие на работу в случайной последовательности, сразу получают направление к клиенту. Найти вероятность того, что первый пришедший на работу слесарь поедет в область, а второй и третий будут работать в городе

Город 4 из 7: 4/7.

Область 3 из 7: 3/7.

1 слесарь направление в область: 3/7.

2 слесарь направление в город: 4/6.

3 слесарь направление в город: 3/5.

Вероятность Р= 0,171428

2.13 В лотерейном барабане находятся 20 пронумерованных шаров, два из которых имеют выигрышные номера. При остановке барабана извлекается один шар. Какова вероятность того, что первый выигрыш определится с четвёртой попытки?

Выигрыш шаров 2 из 20: 2/20.

Шаров без выигрыша 18 из 20: 18/20.

Три попытки неудачны, а четвертая с выигрышем:

1 раз вытаскиваем шар без выигрыша 18/20.

2 раз вытаскиваем шар без выигрыша 17/19.

3 раз вытаскиваем шар без выигрыша 16/18.

4 раз вытаскиваем шар с выигрышем 2/17.

Вероятность Р= 0,08421

2.14 Имеется колода из 36-ти хорошо перемешанных игральных карт. За один ход два игрока по очереди достают по одной карте. Выигрывает тот, кто первым достанет туза любой масти. Найти вероятность того, что первый игрок выиграет на третьем ходе

Вероятность вынуть туз 4/36, а любую другую карту 32/36.

1 ход: 1 игрок не вынул туз 32/36, второй игрок не вынул туз 31/35.

2 ход: 1 игрок не вынул туз 30/34, второй игрок не вынул туз 29/33.

3 ход: 1 игрок вынул туз 4/32 (осталось 32 карты), второй игрок проиграл.

Вероятность Р= = 0,076309

2.15 Какова вероятность того, что две карты, наугад извлечённые из колоды в 36 карт окажутся бубновой масти?

Число благоприятных исходов 2 из 9 (всего в колоде 9 карт одной масти): С₉².

Число всех возможных исходов 2 из 36 (всего в колоде 36 карт берут 2) С₃₆².

Вероятность: Р= =0,0571428

2.16 В турнире по шахматам принимают участие 12 одинаковых по силам команд, две из которых из Южной Америки. Найти вероятность того, что лучшая из южноамериканских команд будет только четвёртой

из Южной Америки 2 из 12: 2/12.

Остальной мир 10 из 12: 10/12.

1 место остальной мир 10 из 12: 10/12.

2 место остальной мир 9 из 11: 9/11.

3 место остальной мир 8 из 10: 8/10.

4 место из Южной Америки 2 из 9: 2/9.

Вероятность последовательности побед: Р= =0,121

2.17 В гонке принимают участие 14 автомобилей одинаковой мощности, 8 из которых имеют двигатель Mercedes. Какова вероятность того, что лучшая из таких машин будет на финише только третьей?

Мерседес 8 из 14: 8/14.

Остальные 6 из 14: 6/14.

1 место остальные: 6/14.

2 место остальные: 5/13.

3 место Мерседес: 8/12.

Вероятность: Р==0,10989

2.18 На автобазу в течении дня с равной возможностью может прибыть любая из пяти машин, следующих из Москвы, и любая из семи машин, следующих из Ярославля. Найти вероятность того, что первые две машины прибудут из Ярославля, и только третья из Москвы

Всего прибывает 5+7=12 машин.

Из Москвы 5 из 12: 5/12.

Из Ярославля 7 из 12: 7/12.

Благоприятный исход для машин из Ярославля две из семи: С₇².

Благоприятный исход для машин из Москвы одна из пяти: С₅¹.

Всего исходов (2+1=3) три машины из возможных 12: С₁₂³.

Вероятность

Р= =0,47727

2.19 На остановку могут прибывать автобусы десяти маршрутов, на трёх из которых пассажир может доехать до своей остановки. Считая, что за определённый промежуток времени к остановке равновозможен подход автобуса любого маршрута только по одному разу, определить вероятность того, что пассажир уедет только на четвёртом подошедшем автобусе

Всего 10 маршрутов. Нужный маршрут 3 из 10: 3/10. ненужный маршрут 7 из 10: 7/10.

1 автобус ненужный: 7/10.

2 автобус ненужный: 6/9.

3 автобус ненужный: 5/8.

4 автобус нужен пассажиру: 3/7.

Вероятность: Р==0,125

2.20 Известно, что среди семи приборов два дают неточные показания. Приборы проверяют с помощью эталона. Найти вероятность того, что с третьей попытки будет найден первый неисправный прибор

Бракованные приборы 2 из 7: 2/7.

Точные приборы 5 из 7: 5/7.

1 попытка верный прибор: 5/7.

2 попытка верный прибор: 4/6.

3 попытка бракованный прибор: 2/5.

Вероятность: Р= 0,190476

2.21 На складе автосервиса имеются 10 комплектов тормозных колодок, шесть из которых импортные. Для работы механику было выдано два случайно выбранных комплекта, а затем ещё два были отложены для следующего клиента. Найти вероятность того, что механик получил импортные комплекты, а отложенные комплекты были отечественные

Всего прибывает 10 комплектов.

Импортные 6 из 10: 6/10.

Отечественные 4 из 10: 4/10.

Благоприятный исход для механика два комплекта импорт из 6 возможных: С₆².

Благоприятный исход для клиента два комплекта отечественные из 4 возможных: С₄².

Всего исходов (2+2=4) реализованы четыре комплекта из возможных 10: С₁₀⁴.

Вероятность

Р= 0,1428

2.22 На склад доставили 10 генераторов, три из которых имеют скрытые дефекты. Найти вероятность того, что при поочерёдной проверке работоспособности только третий генератор окажется исправным

С дефектами генераторов 3 из 10: 3/10.

Исправных генераторов 7 из 10: 7/10.

1 проверка генератор с дефектом: 3/10.

2 проверка генератор с дефектом: 2/9.

3 проверка генератор исправный: 7/8.

Вероятность: Р= 0,058

2.23 В одном из отделов организации работает 8 человек: 5 экономистов и три юриста. Для проверки работы отдела случайным образом выбирают двух сотрудников. Какова вероятность того, что оба они окажутся юристами?

Экономистов 5 из 8: 5/8.

Юристов 3 из 8: 3/8.

Благоприятный исход для юристов 2 из 3: С₃².

Всего исходов С₈².

Вероятность: Р= = 0,1071428

2.24 В благотворительной лотерее разыгрываются 300 билетов, 50 из которых выигрышные. Какова вероятность того, что три купленных билета окажутся выигрышными?

Выигрышные билеты 50 из 300: 50/300.

Без выигрыша 250 из 300: 250/300.

Благоприятный исход для трех выигрышных из 50 возможных: С₅₀³.

Всего исходов 3 из 300: С₃₀₀³.

Вероятность: Р= = 0,004399

2.25 В салоне сотовой связи для реализации имеются 11 смартфонов Nokia одной модели, шесть из которых финской сборки, и пять венгерской. Какова вероятность того, что первые два покупателя приобретут финские смартфоны, а третий покупатель - венгерский?

Финской сборки 6 из 11: 6/11.

Венгерской сборки 5 из 11: 5/11.

1 покупатель берет финской сборки: 6/11.

2 покупатель берет финской сборки: 5/10.

3 покупатель берет венгерской сборки: 5/9.

Вероятность: Р= 0,1515

2.26 Какова вероятность, что три случайно выбранные карты из колоды в 36 карт окажутся тузами?

Вероятность вынуть три туза из 4-х возможных: С₄³.

Вероятность всех исходов: С₃₆³.

Вероятность: Р= = 0,0005602

2.27 Какова вероятность, что первые две случайно выбранные карты из колоды в 36 карт окажутся тузами, а третья - валетом?

Благоприятный исход 2 туза из 4 возможных: С₄².

Благоприятный исход 1 валет из 4 возможных: С₄¹.

Всего исходов (2+1=3) вынимаем 3 карты из 36: С₃₆³.

Вероятность

Р= 0,003361

2.28 В черном ящике находятся 3 белых шара, 2 черных, и 5 красных. Найти вероятность того, что при выборке без возвращения первым будет вынут белый шар, затем чёрный, а затем подряд два красных

Всего шаров 3+2+5=10.

Белых шаров 3 из 10: 3/10.

Черных шаров 2 из 10: 2/10.

Красных шаров 5 из 10: 5/10.

Вынимаем первый шар, вероятность, что он белый 3 из десяти: 3/10.

Вынимаем второй шар, вероятность, что он черный два из оставшихся 9: 2/9.

Вынимаем третий шар, вероятность, что он красный 5 из 8: 5/8.

Вынимаем четвертый шар, вероятность, что он красный 4 из 7: 4/7.

Вероятность: Р= 0,0238

2.29 Известно, что партия из 240 деталей содержит 5% бракованных изделий. Какова вероятность того, что первая случайно выбранная деталь окажется стандартной, а вторая бракованной?

Считаем бракованные детали: 240/100*5= 12 штук.

Бракованных деталей 12 из 240: 12/240.

Стандартных деталей 228 из 240: 228/240.

Выбираем первую деталь 12/240.

Выбираем вторую деталь 228/239 (одну уже взяли).

Вероятность: Р== 0,04769

2.30 Из чёрного ящика, содержащего 4 белых и 8 черных шаров, два игрока по очереди вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Выигрывает тот, кто раньше вынет белый шар. Найти вероятность того, что первый игрок выиграет на третьем круге

Всего шаров 4+8=12.

Белых шаров 4 из 12: 4/12.

Черных шаров 8 из 12: 8/12.

1 круг (без выигрыша): 1 игрок черный шар 8/12, второй игрок черный шар 7/11.

2 круг (без выигрыша): 1 игрок черный шар 6/10, второй игрок черный шар 5/9.

1 круг (выигрыш): 1 игрок белый шар 4/8, второй игрок проиграл.

Вероятность: Р= 0,0707

Размещено на Allbest.ru