Арифметика чисел

Іншими словами, невід'ємне число, n-й степінь якого дорівнює невід'ємному числу а, називають арифметичним коренем n-го степеня з числа а.

Можна довести, що арифметичний корінь з невід'ємного числа завжди існує і єдиний.

З означення арифметичного кореня n-го степеня випливає: вираз може мати сенс лише при вираз може набувати лише невід'ємного значення; при будь-якому невід'ємному значенні а правильна рівність

. (2)

Корінь непарного степеня з від'ємного числа можна виразити через арифметичний корінь того самого степеня з числа, протилежного даному, тобто якщо і де -- натуральне число, то

(3)

Зауваження 1. Надалі запис означатиме лише арифметичний корінь n-го степеня з невід'ємного числа а.

Зауваження 2. Якщо то показник кореня не пишеться. Наприклад, замість пишуть і читають: «корінь квадратний із 7».

Арифметичний корінь n-го степеня має властивості, які подаються такими теоремами.

Теорема. Якщо і n -- натуральне число, то

Теорема. Якщо і то

(4)

тобто при будь-якому натуральному n корінь степеня n з дробу, чисельник якого невід'ємний, а знаменник додатний, дорівнює кореню степеня n з чисельника, діленому на корінь того самого степеня зі знаменника.

Теорема. Якщо і -- натуральні числа, то

(5)

Теорема. Якщо і -- натуральні числа, то

(6)

Іншими словами, для того щоб піднести арифметичний корінь степеня n до натурального степеня k, достатньо піднести до степеня k підкореневий вираз і зі здобутого результату добути корінь степеня n.

Таким чином, формули (4)--(6) визначають відповідно правила ділення коренів, добування кореня та піднесення кореня до степеня.

Зауваження. Якщо а -- невід'ємне число і n -- натуральне число, то виконується тотожність

(7)

Справді, згідно з означенням арифметичного кореня n-го степеня а згідно з попередньою теоремою 2.5 Отже,

Теорема. При будь-якому значенні а справджується тотожність

(8)

де k -- натуральне число.

Теорема. Якщо -- натуральні числа, то

(9)

Цю властивість іноді називають основною властивістю кореня.

Користуючись цією властивістю, корені з різними показниками завжди можна звести до одного й того самого показника.

Зведемо, наприклад, до одного й того самого показника корені та Згідно з формулою (9) дані корені можна звести до найменшого спільного показника, що дорівнює 6:

Теорема. Якщо і -- натуральні числа, причому ділиться на то

(10)

тобто щоб добути корінь зі степеня невід'ємного числа, показник якого ділиться на показник кореня, достатньо показник підкореневого виразу поділити на показник кореня, залишивши основу степеня незмінною.

Приклад. Знайти значення виразу

Підкореневий вираз можна подати у вигляді добутку множників, кожний з яких є квадратом цілого числа: Застосувавши теорему 2.3, дістанемо:

Приклад. Спростити вираз якщо

Оскільки то скористаємося послідовно теоремами 2.2 і 2.6: Оскільки то і, отже, Оскільки то і, отже, тому при і

Приклад. Спростити вираз при

Подамо даний вираз у вигляді . Оскільки при а то

Приклад. Добути корінь якщо

Застосовуючи послідовно відомі теореми, дістаємо:

Теорема. Якщо і -- невід'ємні числа, -- натуральне число, то

(11)

Перетворення кореня за формулою (11) називають внесенням множника під знак кореня.

Нехай дано вираз Якщо і то цей вираз можна записати у вигляді Таке перетворення називають винесенням множника з-під знака кореня.

Приклад. Внести множник під знак кореня у виразі де

За формулою (11), знаючи, що дістаємо:

Приклад. Внести множник під знак кореня у виразі

Від'ємний множник не можна подати у вигляді арифметичного квадратного кореня, і тому його не можна внести під знак кореня. Запишемо даний вираз у вигляді і внесемо під знак кореня додатний множник 5:

Приклад. Внести множник під знак кореня у виразі

У виразі множник може бути як від'ємним так і додатним, а тому якщо то Якщо то, вносячи множник під знак кореня, дістаємо:

Приклад. Винести множник з-під знака кореня у виразі

Зауважимо, що вираз має сенс лише при Подамо підкореневий вираз у вигляді добутку двох степенів так, щоб показник одного з них ділився б на показник кореня. У результаті дістанемо: де

Приклад. Винести множник з-під знака кореня у виразі

Виносячи множник з-під знак кореня, дістаємо:

Наведемо ще одну властивість арифметичного кореня: якщо то

Справді, припустивши, що і піднесши обидві частини нерівності до n-го степеня, дістаємо що суперечить умові

Правильне й обернене твердження: якщо то

2.4 Степінь із раціональним показником

Введемо поняття степеня з раціональним показником. Розширюючи поняття степеня числа, виходитимемо з такої умови: основна властивість ступенів що виконується для цілих і має зберігатися і для дробових показників.

Якщо -- довільне раціональне число, подане дробом , де -- ціле число, -- натуральне то за означенням

Якщо і -- дробове додатне число, то

Теорема. Якщо -- дробові раціональні показники, то

Наслідок. Для будь-якого додатного числа і раціонального числа

(1)

Теорема. Якщо -- раціональні числа, то

Наслідок. Якщо -- раціональне, -- натуральне і то

Теорема. Якщо і -- раціональне число, то

(2)

2.5 Перетворення числових та алгебраїчних виразів

Розв'язуючи майже будь-яку задачу, доводиться виконувати ті чи інші перетворення. Найчастіше складність самої задачі повністю визначається ступенем складності і обсягом відповідних перетворень.

Приклади на перетворення числових і алгебраїчних виразів важливі не самі по собі (хоча серед них багато і змістовних), а як засіб розвитку техніки, справжньої культури, перетворень.

Зауваження. Завдання «спростити вираз» вельми поширені в курсі елементарної математики. При цьому щоразу зрозуміло, як потрібно діяти. Здоровий глузд підказує, який вираз простіший, а який складніший і до якої межі слід спрощувати даний вираз.

1. Деякі практичні рекомендації. Не намагайтеся «згортати» викладки, виконуючи водночас кілька операцій. Виконуючи обчислення і перетворення послідовно, крок за кроком, на кожному етапі максимально спрощуючи здобутий вираз, ви зможете мінімізувати ймовірність помилки у перетвореннях, точніше вибрати наступну операцію і проаналізувати альтернативні ситуації, а при потребі, якщо вибраний шлях привів у глухий кут, -- повернутися назад.

Приклад. Спростити вираз

Грубою тактичною помилкою була б спроба додати відразу всі дроби, звівши їх до спільного знаменника. Додамо спочатку перші два:

До знайденої суми додамо третій дріб:

Діючи аналогічно, нарешті дістаємо

Зауваження. Легко перевірити, що Аналогічні рівності справджуються, очевидно, і для інших дробів. Замінивши кожний дріб, що входить у даний вираз, на відповідну різницю (замість того щоб додавати дроби, кожний замінюємо різницею!), дістанемо в результаті Очевидно, що за допомогою цього прийому можна знайти суму, подібну до розглянутої, з будь-якою кількістю доданків.

Важливим елементом культури перетворень, необхідним для розв'язання різноманітних задач із будь-яких розділів, є вміння розкладати на множники ті чи інші вирази. Як правило, мети досягаємо завдяки вдалому групуванню доданків.

Приклад. Спростити вираз

Спробуємо розкласти на множники чисельник і знаменник. Почнемо з чисельника. Маємо:

Розкладаючи на множники знаменник (зробіть аналогічні викладки самостійно), дістаємо Отже, даний дріб дорівнює

Зауваження. У чисельнику можна виділити множник на тій підставі, що чисельник дорівнює нулю при

Загалом із двох взаємно обернених операцій, як правило, виконання однієї набагато складніше, ніж виконання іншої. Це стосується, зокрема, множення алгебраїчних виразів та розкладання на множники або піднесення до степеня та добування кореня. Наприклад, легко встановити, що але значно важче прочитати цю рівність справа наліво.

Слід запам'ятати, що коли при розв'язанні задачі зустрічається вираз виду або необхідно спробувати добути відповідний корінь. Дуже часто це можна зробити. Якщо таке добування неможливе, то варто скористатися добором. Наприклад, щоб спростити вираз подамо його у вигляді звідки Пошук цілих (раціональних) і приводить до розв'язання системи У цьому разі пару цілих і легко дібрати: таким чином, У старих підручниках з алгебри наводиться рівність

правильність якої неважко перевірити. У деяких випадках вона корисна при спрощенні виразів, що містять квадратні радикали.

Приклад. Спростити вираз

Зауважимо, що (Ці рівності можна дістати добором, а можна скористатися наведеною щойно формулою). Таким чином, даний дріб зводиться до вигляду Домноживши чисельник і знаменник дробу на дістанемо

Зауваження. Зверніть увагу на останній етап наших перетворень. Тут використовується поширений прийом, який іноді називають множенням на спряжений вираз. У цьому разі знаменник має вигляд Множачи чисельник і знаменник на дістаємо в знаменнику вираз який дорівнює 1.

2. Заміна змінних. Умовні рівності. Перехід до нових позначень, заміна змінних -- найважливіший прийом і метод, за допомогою яких розв'язуються різні задачі як елементарної, так і вищої математики. Для деяких класів задач цей метод детально розроблено, наприклад для рівнянь.

Заміна змінних і перехід до нових позначень можуть використовуватися як прийом, що спрощує викладки й перетворює громіздкі алгебраїчні вирази на компактні і доступні для огляду. Дуже важливо, щоб обидва підходи були міцно засвоєні, оскільки ідея заміни змінних є наскрізною і в тому чи іншому вигляді фігурує практично в усіх наступних лекціях. Обмежимося розглядом одного прикладу.

Приклад. Довести, що коли то і Довести також, що із другої рівності випливає перша.

Позначимо Перейдемо до нових змінних У нових позначеннях перша з даних рівностей набере вигляду

Вона легко перетворюється:

Друга рівність матиме вигляд

Звідки

Коефіцієнт при буде такий (перевірте!)

Таким чином, оскільки при також а друга рівність після ділення обох частин на перетворюється до того самого вигляду, що й перша.

Наведене розв'язання містить підказку щодо іншого способу розв'язання: ліву частину другої рівності дістаємо з лівої частини першої множенням на

Справді,

Размещено на Allbest.ru