Основні тригонометричні рівняння
Лінійне тригонометричне рівняння. Зведення тригонометричного рівняння до алгебраїчного. Розклад рівняння на множники. Рівність однойменних функцій. Перетворення добутків на суми, сум на добутки. Системи тригонометричних рівнянь. Вправи для розв’язування.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 24.01.2014 |
| Размер файла | 333,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
218
К. Г. Валєєв, І. А. Джалладова
1. Основні найпростіші тригонометричні рівняння
Обернені тригонометричні функції використовуються для розв'язування тригонометричних рівнянь. Розглянемо найпростіші способи розв'язування тригонометричних рівнянь.
1. Рівняння , має розв'язки, які можна визначити за формулою
(1)
Розв'язування ілюструє рис. 1.
Рис. 1
Невідомий кут позначають, як правило, буквою Рівняння при має розв'язок При існує інший симетричний відносно осі розв'язок Якщо ці симетричні розв'язки однакові. Щоб уникнути повторення розв'язків при користуються іншими формулами:
При розв'язки рівняння можна записати у вигляді (1):
або, у рівносильній формі:
При рівняння не має дійсних розв'язків.
Приклад. Знайти розв'язок рівняння
За формулою (1) маємо:
Приклад. Розв'язати рівняння
Оскільки дістаємо:
2. Рівняння , має такі розв'язки (рис. 2):
(2)
Шукані кути симетричні відносно осі
Рис. 2
Рівняння мають такі розв'язки:
Приклад. Знайти розв'язки рівняння
За формулою (2) маємо:
Приклад. Розв'язати рівняння
3. Рівняння має такі розв'язки (рис. 3):
(3)
Рис. 3
Приклад. Розв'язати рівняння
За формулою (3) знаходимо:
Приклад. Розв'язати рівняння
Подавши рівняння у вигляді дістанемо:
2. Лінійне тригонометричне рівняння
Тригонометричне рівняння
(1)
називається лінійним. Воно зводиться до найпростіших рівнянь.
Поділимо обидві частини рівняння на вираз
Уведемо допоміжний кут такий що
Рівняння набирає вигляду:
Або
звідки дістаємо розв'язок
Умова, за якої рівняння (1) можна розв'язати, така:
(2)
Приклад. Розв'язати рівняння
Поділимо обидві частини рівняння на
Або
Остаточно маємо:
3. Зведення тригонометричного рівняння до алгебраїчного
Тригонометричне рівняння перетворюють до виду де -- тригонометричний вираз, наприклад
Приклад. Розв'язати рівняння
Усі члени рівняння подамо через функцію
рівняння тригонометричне лінійне система
Рівняння має такий розв'язок:
Рівняння виду
(31)
називається однорідним. Якщо розподілимо обидві частини рівняння на
Приклад. Розв'язати тригонометричне рівняння
Запишемо рівняння у вигляді
Або
Це рівняння однорідне, і його можна подати у вигляді:
Маємо два розв'язки:
Наведемо в загальному вигляді типові заміни:
4. Розклад рівняння на множники
Якщо ліву частину рівняння вдається подати у вигляді добутку двох множників:
то можна окремо розв'язувати кожне з рівнянь
і
Приклад. Розв'язати рівняння
Розкладемо рівняння на множники:
Оскільки
то рівняння набирає вигляду
і зводиться до двох рівнянь:
Рівняння має ті самі розв'язки, що й рівняння
5. Рівність однойменних функцій
На практиці доволі часто доводиться розв'язувати рівняння виду Розглянемо способи їх розв'язування.
1. Щоб розв'язати рівняння виконаємо такі перетворення:
Отже, вихідне рівняння зводиться до рівнянь:
(1)
Приклад. Розв'язати рівняння
З формул (1) знаходимо розв'язки:
Приклад. Розв'язати рівняння
Запишемо рівняння у вигляді і знайдемо його розв'язки, скориставшись формулами (1):
2. Рівняння можна подати у вигляді Далі маємо:
Звідки
(2)
Приклад. Розв'язати рівняння
Згідно з формулами (2) дістаємо:
3. Рівняння можна подати у вигляді:
= 0,
Таким чином, рівняння зводиться до рівняння
(3)
Приклад. Розв'язати рівняння
Згідно з формулою (3) дістаємо При непарному вирази не мають змісту. Отже, маємо остаточний розв'язок:
Приклад. Розв'язати рівняння
Записавши рівняння у вигляді
і скориставшись залежністю (3), дістанемо:
Приклад. Розв'язати рівняння
Згідно з формулами (3) маємо:
Квадратне рівняння
має дійсний розв'язок за умови
Ця нерівність виконується, якщо
При цьому дістаємо рівняння
Остаточно знаходимо розв'язок, що залежить від двох цілих чисел
6. Перетворення добутків на суми, а сум на добутки
Часто розв'язування тригонометричного рівняння спрощується завдяки перетворенню добутків тригонометричних функцій на суми або сум на добутки.
Приклад. Розв'язати рівняння
Перетворюємо добутки на суми:
З рівняння знаходимо два розв'язки:
Розв'язок містить розв'язок
Приклад. Розв'язати рівняння
Перетворюємо добутки на суми:
Дістаємо рівняння
Перетворюємо суми на добутки:
Остаточно маємо рівняння
Послідовно знаходимо його розв'язки:
7. Розв'язування, що ґрунтується на властивості обмеженості функцій
Розглянемо кілька рівнянь, під час розв'язування яких скористаємося обмеженістю тригонометричних функцій.
Приклад. Розв'язати рівняння
Оскільки значення косинуса обмежені одиницею, то дане рівняння зводиться до системи рівнянь:
Приклад. Розв'язати рівняння
Дане рівняння зводиться до системи рівнянь:
Щоб система рівнянь мала розв'язок, необхідне виконання такої умови:
Добираємо частинний розв'язок рівняння для цілих чисел Нехай тоді
Виконуємо заміну
Дістаємо рівняння для
Знаходимо і розв'язок
8. Системи тригонометричних рівнянь
Під час розв'язування систем тригонометричних рівнянь, часто є сенс вивести невідоме з-під знака тригонометричних функцій, скориставшись їхніми властивостями.
Приклад. Розв'язати систему рівнянь
Додаючи і віднімаючи рівняння почленно, дістаємо систему рівнянь
Або
Звідси маємо:
Додаючи і віднімаючи почленно ці рівняння, знаходимо невідомі
Приклад. Розв'язати систему рівнянь
Щоб виключити піднесемо обидві частини рівняння до квадрата і додамо:
Розглядаємо два випадки:
1)
2)
Остаточно маємо:
Приклад. Знайти всі значення при яких система рівнянь
має розв'язки, і розв'язати її.
Додаючи і віднімаючи рівняння почленно, дістаємо:
Ці рівняння мають розв'язки, якщо виконуються нерівності:
Звідси Отже, дістаємо систему рівнянь:
Або
Додаючи і віднімаючи почленно рівняння останньої системи, знаходимо шукані розв'язки:
Приклад. Розв'язати систему рівнянь
Перетворюємо перше рівняння:
Остаточно маємо систему:
Звідки
Приклад. Розв'язати систему рівнянь
Згідно з умовою маємо:
1)
2)
Значення не задовольняє рівняння, а отже, дістаємо:
Приклад. Розв'язати систему рівнянь
Позначивши дістанемо
Переходячи до початкових позначень, знаходимо розв'язки даної системи:
1)
2)
Приклад. Розв'язати систему рівнянь
Записавши друге рівняння системи у вигляді , дістанемо:
Звідси знаходимо розв'язки даної системи:
Приклад. Розв'язати систему рівнянь
Відшукуємо розв'язки, розглядаючи такі випадки:
1)
2)
Приклад. Розв'язати систему рівнянь
Згідно з умовою маємо:
1)
2)
Значення не задовольняє систему, а отже, дістаємо:
9. Вправи для самостійного розв'язування
Побудувати графіки функцій (1--6).
4.
5.
6.
Обчислити значення виразів (7--17). Відповідь
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
Довести рівність (18--22)
Розв'язати рівняння (23--48)
23.
24.
25.
26. .
27.
28. .
29.
30.
31. .
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
Розв'язати рівняння і знайти корені, розміщені на заданих інтервалах (49--55)
49.
50. .
51. .
52. .
53. .
54. .
55. .
Розв'язати рівняння (56--93)
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63. 4
64.
65.
66. .
67. .
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74. .
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94. Скільки розв'язків в інтервалі має рівняння 3
95. Скільки розв'язків в інтервалі має рівняння 10
96. Розв'язати рівняння
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Основні поняття теорії диференціальних рівнянь. Лінійні диференціальні рівняння I порядку. Рівняння з відокремлюваними змінними. Розв’язування задачі Коші. Зведення до рівняння з відокремлюваними змінними шляхом введення нової залежної змінної.
лекция [126,9 K], добавлен 30.04.2014Лінійні діофантові рівняння. Невизначені рівняння вищих порядків. Невизначене рівняння Ферма. Приклади розв’язання лінійних діофантових рівнянь та системи лінійних діофантових рівнянь. Алгоритми знаходження всіх цілочисельних розв’язків рівнянь.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 29.12.2010Етапи розв'язування задачі дослідження певного фізичного явища чи процесу, зведення її до диференціального рівняння. Методика та схема складання диференціальних рівнянь. Приклади розв'язування прикладних задач за допомогою диференціального рівняння.
контрольная работа [723,3 K], добавлен 07.01.2016Системи лінійних рівнянь з двома змінними з параметром. Тригонометричні рівняння та системи тригонометричних рівнянь з параметрами. Лінійні та квадратні нерівності. Застосування графічних методів паралельного переносу в розв’язанні задач з параметрами.
дипломная работа [1,3 M], добавлен 16.06.2013Умова існування цілих розв’язків лінійних діофантових рівнянь, алгоритм Евкліда. Розв’язування лінійних рівнянь з двома змінними в цілих числах. Методика вивчення діофантових рівнянь в загальноосвітніх школах. Діофантові рівняння вищих порядків.
курсовая работа [758,4 K], добавлен 15.05.2019Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.
контрольная работа [170,2 K], добавлен 16.05.2010Теоретичні основи розв’язування рівнянь з параметрами. Функція пряма пропорційність. Загальне поняття про аналітичний та графічний метод. Дробово-раціональні рівняння з параметрами, що зводяться до лінійних. Система розв’язування задач для 9 класу.
курсовая работа [596,8 K], добавлен 21.03.2013Задача Коші і крайова задача. Двоточкова крайова задача для диференціального рівняння другого порядку. Види граничних умов. Метод, заснований на заміні розв’язку крайової задачі розв’язком декількох задач Коші. Розв'язування систем нелінійних рівнянь.
презентация [86,2 K], добавлен 06.02.2014Поняття особливої точки системи або рівняння. Пошук розв’язку характеристичного рівняння. Стійкий та нестійкий вузли, типові траєкторії. Дослідження особливої точки рівняння, способи побудови інтегральних кривих. Власний вектор матриці коефіцієнтів.
контрольная работа [511,4 K], добавлен 18.07.2010Класичні та сучасні наближені методи розв'язання диференціальних рівнянь та їх систем. Класифікація наближених методів розв'язування. Розв'язування трансцендентних, алгебраїчних і диференціальних рівнянь, методи чисельного інтегрування і диференціювання.
отчет по практике [143,9 K], добавлен 02.03.2010Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають пониження порядку. Лінійні диференціальні рівняння II порядку зі сталими коефіцієнтами. Метод варіації довільних сталих як загальний метод розв’язування та й приклад розв’язання задачі Коші.
лекция [202,1 K], добавлен 30.04.2014Функціональні методи рішення тригонометричних і комбінованих рівнянь. Рішення тригонометричних нерівностей графічним методом. Відомість тригонометричних рівнянь до алгебраїчних. Перетворення й об'єднання груп загальних рішень тригонометричних рівнянь.
дипломная работа [773,7 K], добавлен 25.02.2011Розгляд теоретичних основ рівнянь з параметрами. Основні види даних рівнянь. Аналітичний та графічний методи розв’язування задач із використанням формул, властивостей функцій. Ознайомлення із системою розв’язування задач з параметрами для 9 класу.
курсовая работа [605,9 K], добавлен 29.04.2014Розв’язання системи рівнянь методом Крамера, методом оберненої матриці та методом Гаусса. Розрахунок довжини ребра, кута між ребрами, рівняння висоти, рівняння площини грані і кута між ребром та гранню. Дослідження функції та побудува її графіку.
контрольная работа [397,0 K], добавлен 30.10.2011Ознайлення з базовими поняттями, фактами, методами та найпростішими застосуваннями рівняння Пфаффа. Виконання завдань щодо розв’язання рівнянь Пфаффа. Аналітичний запис задачі про відшукання інтегральних поверхонь максимально можливої вимірності.
курсовая работа [489,2 K], добавлен 30.12.2013Основні етапи розв'язування алгебраїчних рівнянь: аналіз задачі, пошук плану розв'язування та його здійснення; перевірка та розгляд інших способів виконання. Раціоналізація розв'язування алгебраїчних рівнянь вищих степенів методом заміни змінних.
курсовая работа [229,8 K], добавлен 13.05.2013Схема класифікації та методи розв'язування рівнянь. Метод половинного ділення. Алгоритм. Метод хорд, Ньютона, їх проблеми. Граф-схема алгоритму Ньютона. Метод простої ітерації. Питання збіжності методу простої ітерації. Теорема про стискаючі відображення.
презентация [310,1 K], добавлен 06.02.2014Вивчення методів розв'язання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші. Переваги та недоліки інших методів: прицілювання, колокацій, Гальоркіна, найменших квадратів та ін. Пошук єдиного розв'язку звичайного диференціального рівняння.
курсовая работа [419,2 K], добавлен 29.08.2010Чисельні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь: лінійні і нелінійні рівняння, метод простих ітерацій, метод Ньютона. Практичне використання методів та особливості розв’язання систем нелінійних рівнянь у пакеті Mathcad, Excel та на мові С++.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 30.11.2010Прийоми розв’язання задач в першому і другому степені на Далекому Сході та Греції. Досягнення арабських математиків в області алгебраїчних рівнянь. Розв'язання похідного кубічного рівняння. Найвидатніші теореми про радикали вищих степенів, їх розв’язання.
курсовая работа [536,1 K], добавлен 23.02.2014
