Групи з невеликими комутантами

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

УДК 519. 41/47

ГРУПИ З НЕВЕЛИКИМИ КОМУТАНТАМИ

01. 01. 06 - алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

МАЗУРОК Олексій Олегович

Київ 2000

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті математики НАН України

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук КУЗЕННИЙ МИКОЛА ФЕОДОСІЙОВИЧ, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник

Офіційні опоненти: заслужений діяч науки і техніки України, доктор фізико-математичних наук, професор КУРДАЧЕНКО ЛЕОНІД АНДРІЙОВИЧ, Дніпропетровський державний університет, завідувач кафедри алгебри і геометрії;

кандидат фізико-математичних наук, доцент СЕМКО МИКОЛА МИКОЛАЙОВИЧ, Академія державної податкової служби України, доцент кафедри вищої математики та математичних методів в економіці

Провідна установа Львівський національний університет імені Івана Франка, кафедра алгебри і топології, Міністерство освіти і науки України, м. Львів

Захист відбудеться “28” квітня 2000 року о 14 годині 15 хвилин на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 252127, Київ-127, пр. академіка Глушкова, 6, механіко-математичний факультет, ауд. 44.

З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 62).

Автореферат розісланий 21 березня 2000 року

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Петравчук А.П.

Загальна характеристика роботи

комутант ненільпотентний добуток циклічний

Актуальність теми Групи зі скінченними комутантами природно виникають при переході від вивчення абелевих груп до близьких з ними неабелевих груп. Але цей маленький перехід дає принципово нову якість. Перший відомий класичний результат про групи зі скінченними комутантами - це теорема І. Шура (1904 р.) Велику роль для розвитку теорії груп зі скінченними комутантами мали роботи Р. Бера та Б. Неймана, у яких вивчались нові цікаві класи груп, що приводили до груп зі скінченними комутантами. Результати цих робіт стали основою для цілої серії робіт таких відомих алгебраїстів як Дж. Уайголд, І. Макдональд, Вохан-Лі, Д. Картврайт, М. Томкінсон, у яких вивчались різні комбінаторні характеристики груп зі скінченними комутантами.

Очевидно, якщо група має скінченний комутант, то вона буде скінченним розширенням підгрупи, комутант якої міститься у центрі. Інакше кажучи, виникає перша редукція до абелевих-над-центром груп. У свою чергу, вивчення таких груп зводиться до вивчення груп з циклічним комутантом (що міститься у центрі), і як перший етап такого вивчення виникають групи з центральним комутантом простого порядку. І нарешті - останній етап - редукція до екстраспеціальних груп, тобто до груп з центральним комутантом порядку р і елементарною абелевою фактор-групою за ним. Задача опису екстраспеціальних груп тісно пов'язана з задачею опису невироджених знакозмінних білінійних форм над простим полем. Оскільки скінченновимірний простір з такою формою розкладається у пряму суму гіперболічних площин, то відповідно скінченна екстраспеціальна група буде прямим добутком з об'єднаними центрами груп порядку р³. Це твердження може бути розширене на злічені екстраспеціальні групи. Але ситуація значно ускладнюється при переході до вивчення незлічених екстраспеціальних груп. Приклади екстраспеціальних груп, що не розкладаються у прямий добуток груп порядку р³ з об'єднаними центрами, зокрема збудований А. Еренфойхтом та В. Фабером приклад незліченої екстраспеціальної групи, всі абелеві підгрупи якої злічені, привернули до екстраспеціальних груп увагу багатьох відомих математиків, серед яких С. Шелах, У. Фельгнер, М. Томкінсон та інші. Виявилось, що теорія незліченних екстраспеціальних груп пов'язана не тільки з теорією білінійних форм, а також з математичною логікою і теорією множин.

Слід відзначити, що і зворотний перехід від екстраспеціальних груп до груп з комутантом простого порядку виявився також не дуже простим. Випадок ненільпотентних груп з комутантом простого порядку був повністю розглянутий В. Сергейчуком. Він також повністю описав нільпотентні скінченно породжені групи з комутантом порядку р.

Усе сказане вище свідчить про те, що вивчення груп з обмеженнями на порядок комутанту є актуальною задачею, яка мас виходи до інших дисциплін. Природним узагальненням груп з комутантами простих порядків будуть групи, порядок комутантів яких є “досить малим”. Дисертаційна робота присвячена дослідженню груп, комутанти яких мають порядок р, рq, рqr.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертації відноситься до планів теоретико-групових досліджень Інституту математики Національної академії наук України.

Мета і задачі дослідження. Як вже відзначалось, О. Гольдер описав групи порядків рq, рqr, р⁴. Всі групи порядків менше 216, окрім 192, описані А. Лунном та Дж. Сентором, Д. Таунт, М. Рум. В. Кумар описали групи, порядки яких не діляться на куб жодного простого числа, тобто порядки вільні від кубів. Скінченні біпримарні групи, що не мають нормальних силовських підгруп і порядок яких не ділиться на четвертий степінь жодного простого числа, описані М. Кузенним.

Природним узагальненням щойно згаданих результатів є задача опису груп, у яких комутант буде скінченною групою з вище наведеними обмеженнями на їх порядки. Дослідження такого роду здійснювались О. Гольдером, Л. Редеї, Н. Блекбурном, X. Бехтелем, О. Устюжаніновим, В. Сергейчуком, М. Семком, М. Кузенним, Я. Берковичем, Д. Требенком. X. Бехтель визначив властивості скінченної групи, необхідні для того, щоб вона була комутантом деякої іншої групи.

Метою дослідження даної дисертаційної роботи є конструктивний опис довільних груп, комутанти яких мають порядки р, рq, рqr, де р, q, r - не обов'язково різні прості числа. Задачею дослідження є конструктивний опис ненільпотентних об'єктів дослідження та нільпотентних об'єктів дослідження при умові, що їх фактори по комутантах є прямими добутками локально циклічних груп.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами дисертації є:

- опис нільпотентних груп певного класу з елементарним абелевим комутантом, у яких G/G' - прямий добуток локально циклічних груп (теорема 2.1.1.);

- опис ненільпотентних груп з довільним примарним циклічним комутантом (теорема 2.1.2.);

- опис скінченних р-груп G з комутантом типу (р, р), що містить всі елементи порядку р із G (теорема 3.1.1.);

- опис груп G з комутантом типу (р, р), у яких G/G' - прямий добуток локально циклічних груп (теорема 3.1.2.);

- опис р-груп G, що містять таку нормальну підгрупу <f> порядку р², для якої G/< f > - прямий добуток локально циклічних груп, а сама група G не має розкладу G = Х?Y, де f ? X, Y - неодинична локально циклічна р-група (теорема 3.2.2.);

- опис групи G з комутантом G' = < f > порядку р², у яких G/<f> - прямий добуток локально циклічних груп, у вигляді G = C * D, CD = < f > = G', | f | = p², , G_i = < f > ? X_i, X_i - примарна чи без скруту локально циклічна група, G/< f > - прямий добуток G_i /< f > (теорема 3.2.3.);

- опис ненільпотентних груп G з комутантом порядку р * q у вигляді G = <a>? B, | a | ? {p, p * q}, p > 2, В - нільпотентна група, | В' | ? {1, q}, С_В(<a>) = Z ? G, B/G - скінченна неодинична абелева метациклічна група, <а> Ч В' = G' - циклічна група, [<a>, В] = <a>, C_<a>(B) = 1 (теорема 3.2.4.);

- опис нільпотентних груп G з комутантом G' порядку р^. * q, p ? q, у яких G/ G' - прямий добуток локально циклічних груп (теорема 3.2.5.);

- опис ненільпотентних груп G з комутантом G' порядку р * q * r (теорема 4.2.1.);

- опис нільпотентних груп G з комутантом G' типу (р, р, q), у яких G/G' - прямий добуток локально циклічних груп, р і q - різні прості числа (теорема 4.3.1.).

Всі результати нові і мають строге доведення.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації поповнюють конкретну базу теорії абстрактних груп. Вони можуть бути використані в подальших дослідженнях цієї теорії. Деякі частини дисертації можна використовувати як основу для проведення спецкурсів та спецсемінарів для студентів математичних спеціальностей.

Особистий внесок здобувача і публікації. Всі основні результати одержані самостійно і опубліковані без співавторів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на

Міжнародних конференціях імені академіка М. Кравчука;

Міжнародній конференції пам'яті професора Л.М. Глускіна;

Другій міжнародній алгебраїчній конференції в Україні, присвяченії пам'яті професора Л.А. Калужніна;

науковому семінарі з алгебри Київського університету імені Тараса Шевченка;

звітних конференціях Інституту математики НАН України;

науковому алгебраїчному семінарі Національного педагогічного університету імені М.П. Драгоманова.

Публікації. Результати дисертаційного дослідження опубліковані у 9 роботах, з них 5 у фахових виданнях.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається з розділу позначення та терміни, вступу, чотирьох основних розділів, висновків та списку використаних джерел.

Дисертація має загальніш обсяг 125 сторінок, з яких основний зміст міститься на 117 сторінках, список використаних джерел із 79 найменувань міститься на 8 сторінках.

Основний зміст роботи

У вступі дисертації обгрунтована актуальність дослідження, визначено мету та задачі дослідження, подано короткий огляд робіт за темою дослідження, обгрунтована наукова новизна та практичне і теоретичне значення одержаних результатів. У розділі 1 здійснено огляд літератури близької до теми досліджень дисертації. Наведені результати інших авторів, що передують цим дослідженням.

У розділі 2 “Попередні результати” конструктивно описані групи з комутантом порядку р. Він також містить багато різноманітних як нових, так і відомих результатів, що використовуються в подальшому.

У підрозділі 2. 1 “Групи з комутантом порядку р” конструктивно описані групи з назви (теореми 2.1.1 і 2.1.2).

Теорема 2.1.1. Нехай комутант G' групи G є елементарною абелевою підгрупою порядку р^m, р - просте число, т > 0, { 1 = Z₄ ? Z₃ ? Z₂ ? Z₁ ? Z₀ = P} - центральний ряд силовської p - підгрупи Р із G, що містить G', G / G' - прямий добуток локально циклічних груп і справедлива хоча б одна з умов:

| Z₃ | = 1;

p > 2;

р = 2; Р/G' - елементарна абелева група або прямий добуток локально циклічних груп, порядок кожної з яких більше, ніж 4.

Тоді G = С * D, , G_{i =} G' ? Х_і, Х_і - локально циклічна група, D/G' - прямий добуток G_і / G' для всіх і ? І, І - деяка множина індексів, G' = С ? D, С - черніковська р-група, всі елементи порядку р із С належать G'.

Якщо т < 2, то С - локально циклічна група чи група кватерніонів. Зрозуміло, що при |G'| = р, тобто при т = 1, С - локально циклічна р-група чи група кватерніонів.

Теорема 2.1.2. Група G тоді і тільки тоді є ненільпотентною групою з циклічним комутантом порядку р^m, m > 0 (р - просте число), коли G = А ? D, [А, D] = А = G', | А | = р^т - непарне число, D = Z * <а>, Z = Z(С), Z ? < a > = <a^s>, s = t * p^a, 0 = a = m - 1, t > 1, p = 1(mod t), при т = 1, s = t. Ясно, що ненільпотентні групи з комутантом порядку р є частинним випадком груп із теореми 2.1.2 при m = 1.

В підрозділі 2.2 “Дещо про комутанти” встановлюються властивості комутантів груп при певних обмеженнях на них, а також вказуються деякі властивості групи Н, при яких вона не може бути комутантом жодної групи G. Для прикладу наведемо такі результати.

Теорема 2.2.1. Нехай періодичний комутант G' групи G містить нормальну в G локально скінченну підгрупу T з локально циклічними силовськими p-підгрупами для довільного р ? р(T). Тоді T - центральна в G' локально циклічна група.

Теорема 2.2.2. Не існує груп G з комутантом G' = <а>?В, [<а>, В] ? 1, р (<а>) ? р (В) = Ш, і при | а |= 8 централізатор, <а> в В не містить інволюцій.

Наслідок 2.2.3. Неабелева група порядку р³ не може бути комутантом нільпотентної групи.

Теорема 2.2.5. Нехай G - довільна група і F - така її скінченна нормальна підгрупа, що G/F - прямий добуток локально циклічних груп. Тоді G = С * D, С ? G, C - періодична черніковська р (F) - підгрупа, С ? D = F, , де G_i = F?X_i, X_i - примарна чи без скруту локально циклічна група, D/G' - прямий добуток всіх Gi/ G'

У розділі 3 “Групи з комутантом порядку pq” здійснюється конструктивний опис зазначених в назві груп.

В підрозділі 3.1 “Групи з комутантом типу (р, р)” описуються ненільпотентні групи з назви підрозділу (теорема 3.1.3) і конструктивно описуються нільпотентні групи G з комутантом G' типу (р, р), у яких G/G' - прямий добуток локально циклічних груп (теорема 3.1.2).

Теорема 3.1.2. Всі групи G з комутантом типу (р, р), у яких G/G' - прямий добуток локально циклічних груп, мають вигляд:

G = С * D, де С ? H = А?В ? <a>?<b> ? х = G', |а| = р^a, |b| = р ^в; а > 0, в > 0; б ? A, b ? В; H не містить підгруп діедра порядку 8; [a, b] ? ; кожна з підгруп А і В є локально циклічною р-групою чи групою кватерніонів, і, де G_i = G' ? Xi, Xi - примарна чи без скруту локально циклічна група, D/G' - прямий добуток всіх Gi/G', D ? С = G'; та вичерпуються групами, у яких С -підгрупа одного з типів:

С = Н = А?В;

С = Н * <х>, Н = <а> Ч <b>, |а| = |b| = 4, [a, х] = a², [b, x] = a² * b² = x^2;

C = H * X, H = <а> Ч <b>, X = <х> Ч <y> ? G; |a| = |b| = 4, a² = x² = [a, y] = [b, x], b² = y² = [a, x], a² * b² = [b, y]

C = H * <х>, H = <а> Ч <b>, |a| = |x| = 9, |b| = 3, [a, x] = b, [b, x] = a³ = x⁶;

C = H * <х>, H = <а> ? <b>, |a| = 8, |x|= 4, |b| = 2, [a, b] = x² = a⁴, [a, x] = b, [b, x] = 1.

Теорема 3.1.3. Ненільпотентні групи з комутантом типу (р, р) мають вигляд G = A?D, де |A| ? {р, р²}, G' = А Ч В, де В = D', |В| ? {1, p}, D - нільпотентна група, [A, D] = A, В ? Z(D), C_D(A) = C_D (G' ) = Z ? G, C_А (d) = 1 та вичерпуються групами типів:

|A| = |B| = р > 2, D = Z * <а>, Z ? <а> = <а^s>, s > 1, p=1 (mod s);

G' = A, A - елементарна абелева група порядку р², Z = Z(G), D/Z - скінченна неодинична абелева підгрупа із GL(2, p).

Наслідком основних результатів цього підрозділу є теорема 3.1.4, яка описує всі групи G з комутантом G' типу (р, р), всі елементи якої порядку р належать G'.

Теорема 3.1.4. Всі групи G з комутантом G' типу (р, р), який містить всі елементи порядку р із G (р - просте число) мають єдину силовську p-підгрупу Р і вичерпуються групами типів:

G = A?D, |А| = р > 2, [A, D] = A, D = Z * <а>, Z = С_D(А) ? G, Z ? <а> = <а^s>, s > 1, p= l (mod s), Р = A ЧU, де U - єдина силовська p-підгрупа із Z, що є локально циклічною р-підгрупою, D' = Z(D), |D| = p, C_А (D) = 1;

G = P?D, G' = P - елементарна абелева підгрупа порядку р², [Р, D] = Р, C_P(D) = 1, D не містить р-елементів, С_D(Р) = Z = Z(G), D/Z - неодинична абелева підгрупа із GL(2, p);

G - нільпотентна група, у якої підгрупа Р ізоморфна підгрупі С теореми 3.1.2 і має ті ж властивості, що й С.

В підрозділі 3.2 “Групи з циклічним комутантом порядку pq” здійснюється конструктивний опис зазначених в назві груп. Це наступні теореми.

Теорема 3.2.3. Всі групи G з комутантом G' = <f> порядку р², у яких G/<f> - прямий добуток локально циклічних груп, мають вигляд:

G = C * D, C?D = <f> = G', | f | = p², , де G_i = <f> ? X_i, X_i - примарна чи без скруту локально циклічна група, D/<f> - прямий добуток всіх G_i/<f>, та вичерпуються такими групами G, у яких С - повністю описана р-група одного з восьми типів, наприклад:

G - локально циклічна р-група порядку більше р;

G = U Ч <x>, U - локально циклічна р-група, |x| = р^д, д > 0, |U| > p^д+1, р - довільне просте число, f = u * х^pд-1, u ? U, |u| = p²;

6) G = <а> * <b>, |а| = 8, |b| = 2^в, в > 1, |<a>?<b>|= 2, b-¹ * а * b = a-¹, <f> = G';

Теорема 3.2.4. Ненільпотентні групи G з комутантом порядку р * q, мають вигляд G = <a>?B, |а| ? {р, р * q }, р > 2, В - нільпотентна група, |В'| ? {1, q}, С_B(<a>) = Z ? G, B/Z - скінченна неодинична абелева метациклічна група, <a> Ч В' = G' - циклічна група, [<a>, В] = <a>, С_<a>(В) = 1, та вичерпуються групами трьох типів:

|а| = р², В = Z * <x>, <x>? Z = <х^s>, s > 1, s/(p * (р -1)), s ? p, Z = Z(G);

|а| = р * q, q > 2, q ? p, Z = Z(G), |B/Z|/((p - l)(q - l)), B' = 1;

|а| = р, В = Z * <x>, Z ?<x> = <х^s>, s > 1, p = 1(mod s), |B'| = q.

Теорема 3.2.5. Нільпотентні групи G з комутантом G' порядку p * q, р ? q, у яких G/ G' - прямий добуток локально циклічних груп, мають вигляд: G = С * D, С ? D = G' = <f> = Z(G), |f| = р * q, підгрупа, де G_i = <f> Ч X_i, Х_i - примарна чи без скруту локально циклічна група, D/<f> - прямий добуток всіх G_i /<f>, вичерпуються групами G таких типів, у яких С = С₁ Ч С₂, де С₁ - локально циклічна р-група, С₂ - локально циклічна q-група чи група кватерніонів, р ? 2, <f> = щ(C).

Підрозділ завершує конструктивний опис всіх груп з комутантом порядку pq, оскільки за наслідком 2.2.3 неабелева група порядку pq не може бути комутантом жодної групи.

При доведенні основних результатів цього підрозділу використовуються теореми 3.2.1 і 3.2.2, що мають і самостійне значення. В теоремі 3.2.1 описуються всі метациклічні групи з комутантом порядку pq з виділенням десяти типів груп такого роду. В теоремі 3.2.2 повністю описані р-групи G, у яких G' = <f>, | f | = р², G/<f> - прямий добуток локально циклічних груп і G не мас власних доповнюваних підгруп, що містять f з виділенням восьми типів груп такого роду.

У розділі 4 “Групи з комутантом порядку pqr” конструктивно описані деякі класи груп з назви.

В підрозділі 4. 1 “Попередня інформація” описується структура групи Н порядку р * q * r, при якій Н може бути комутантом деякої групи G, і вказуються певні властивості групи G. Це наступні теореми.

Теорема 4.1.1. Нехай комутант G' групи G має порядок р * q * r. Тоді справедливе одне із тверджень:

G' - циклічна група;

G' - абелева нециклічна група порядку р² * q;

G' = A ?<b> - група без центру, А - група типу (р, р), |b| = q, p ? q, G = A ? D, D' = <b>;

G' - неабелева група порядку р³ (р > 2) чи група кватерніонів, і G - ненільпотентна група.

Теорема 4.1.2. Всі p-групи G, які мають таку нормальну підгрупу <f> порядку р³, |G'| < р³, що G/<f> - прямий добуток локально циклічних груп і G не мас власних доповнюваних підгруп, що містять f, вичерпуються групами 9-ти типів. Наведемо деякі з них:

5) G = (<a>?<x>) Ч <y>, |а| = p^б, |x| = p^?, |y| = р^д, б > ? + l, ? > д +1, д > 0, [a, x] = a^{p б - 1}, f = u * v * z, u ? <a>, |u| = р³, v ? <x>, |v| = p², z ? <z>, |z| = p;

8) G = <a> * <b> = <b> * <d>, |a| = p^б, |b| = p^в, |d| = p^{б - 1}, |<a> ? <b>| = p, <b>? <d> = 1, в > б > 2, p^{б- 2} > 2, b - ¹ * a * b = a^{1+pб - 2}, <f> - довільна підгрупа порядку р³ із G, що містить G', G'= <a^{pб - 2}>.

В підрозділі 4.2 “Ненільпотентні групи з комутантом порядку pqr” повністю описані групи з назви. Цей опис здійснюється в теоремі 4.2.1.

Теорема 4.2.1. Ненільпотентні групи G з комутантом G' порядку р * q * r мають вигляд G = А * D, де А - неодинична скінченна нормальна в G абелева підгрупа, що не може бути циклічною групою парного порядку, [A, D] = A, |A ? D| ? {1, r}, r - просте число, |D'| не ділиться на добуток трьох простих чисел, та вичерпуються групами 7-ми типів. Наведемо деякі з них:

1) G = A?D, |А| = р * q * r, р, q, r - не обов'язково різні прості числа, неодинична силовська 2-підгрупа з А не може бути циклічною групою, D' = 1, С_D(А) = Z(G);

4) G = A?D, A - група типу (p, p), D' = <b>, |b| = q, р, q - різні прості числа, <b> ? Z(D), A ?<b> - група без центру, С_D (А) = Z(G);

6) A - група кватерніонів, D' ? Ф(A).

В підрозділі 4.3 “Нільпотентні групи з комутантом порядку pqr” конструктивно описані деякі групи G з назви, у яких G/G' - прямий добуток локально циклічних груп. Згідно з теоремою 4.1.1, комутант розглядуваних тут груп може бути лише: циклічною групою; нециклічною групою типу (p, p, q), р ? q; групою типу (р², p) чи (р, р, р). Конструктивно описані групи G з циклічним комутантом (теорема 4.3.3) та групи з нециклічним комутантом типу (р, р, q) (теорема 4.3.1).

Теорема 4.3.1. Нільпотентні групи G з комутантом G' типу (p, p, q), у яких G/G' - прямий добуток локально циклічних груп, р і q - різні прості числа, мають вигляд: G = С * D, С ? D = G', , де G_i = G' ? X_i, X_i - примарна чи без скруту локально циклічна група, D/G' - прямий добуток всіх G_i/G'; С = Р Ч Q, Р - силовська р-підгрупа із С, Q - силовська q-підгрупа із С; p і q - різні прості числа; щ (P) Ч щ (Q) = G', щ (Q) ? Z(G), та вичерпуються групами G, у яких Q - неодинична локально циклічна група чи група кватерніонів, а Р - підгрупа одного з типів 1) - 5) теореми 3.1.2.

Для доведення теореми 4.3.3 використовується теорема 4.3.2, що має і самостійне значення.

Теорема 4.3.2. Всі p-групи G, у яких G' = <f>, | f | = р³, G/<f> - прямий добуток локально циклічних груп, G не мас власних доповнюваних підгруп, що містять <f>, вичерпуються групами 9-ти типів, наприклад:

3) G = <a>* <b>, |а| = 2⁴. |b| = 2^в, в = 4, |<a>?<b>| = 2, b-^\ * a * b = a^r, r ? {3, 7};

5) G = U * <x>, U = (<f> * <a>) ? G, |a| = |x| = 2^б, б ? {3, 4}, |f| = 2³, U ? <x> = <f> ? <a> = щ (<f>), [a, x] = f, <f> ? G; при б = 3 a-^l * f * a = f ^r, x-¹ * f * x = f ^r, r ? {3, -1};

9) G = F * Y, F = <a> * <x>, |a|= p ^б, |x| = p^?, p³ < p ^б < p^? < |Y|, [<a>, <x>] = <a^pб-³ > = <f> = G', <a> ? <x> = <f ^p>, p ^{б - 3} > 2, F ? Y = щ (<f>), Y - локально циклічна р-група

Теорема 4.3.3. Нехай G - нільпотентна група з комутантом G' = <f>, |f| = p * q * r, p, q, r - попарно різні прості числа, G/ G' - прямий добуток локально циклічних груп. Тоді G = G * D, С ? D = G', , де G_i = <f> ? X_i, X_i - примарна чи без скруту локально циклічна група, D/<f> - прямий добуток всіх G_i /<f>, C - черніковська група одного з типів:

C - група одного з типів леми 4.3.1;

<f> - група типу (p², q), C - група одного з типів леми 4.3.2;

|f| = p³, C - група одного з типів теореми 4.1.3 або група одного з типів теореми 4.3.2.

Висновки

Об'єктами дослідження дисертації є довільні, як скінченні так і нескінченні, групи G з комутантом порядку р, pq, pqr, де р, q, r - не обов'язково різні прості числа. Метою дослідження є знаходження будови груп такого роду у вигляді G = С * D, де С і D конструктивно задані підгрупи з G.

В дисертації встановлено, що в ненільпотентній групі G з примарним циклічним комутантом справедливо: С = G' = <a>, |а| = р^б, б > 0, р > 2, С ? D = 1.

Вперше доведено, що в групі G з комутантом G' порядку р, для якої G/G' -прямий добуток локально циклічних груп, маємо: С ? D = G', C - локально циклічна група чи група кватерніонів, , X_i - примарна чи без скруту локально циклічна група, D/G' - прямий добуток всіх G_i/G'. Одержаний розклад групи G можна вважати конструктивним описом досить широкого класу груп з комутантом порядку p.

Новими результатами є твердження, які встановлюють, що комутант G' досліджуваної групи G порядків р, pq, pqr може бути неабелевою групою лише коли G - ненільпотентна група і G' - група кватерніонів чи неабелева група порядку р³ експоненти р або G' - ненільпотентна група без центру порядку p²q з нормальною силовською р-підгрупою типу (р, р).

Розвивається ідея опису груп, які не мають нетривіального розщіплення над своїм комутантом.

В нільпотентній групі G з комутантом типу (р, р), для якого G/ G' - прямий добуток локально циклічних груп, маємо: підгрупа де G_i = G' ? Х_i, X_i - примарна чи без скруту локально циклічна група, D/ G' - прямий добуток всіх G_i/G', G ? D = G', підгрупа C - повністю описана р-група одного з 5-ти типів, що не має власних доповнюваних в C підгруп, які містять G'.

В згаданій групі G з циклічним комутантом порядку р², де G_i = G' ? Х_i, X_i - примарна чи без скруту локально циклічна група, D/ G' - прямий добуток всіх G_i/G', G ? D = G', і C - цілком описана р-група одного з 8-ми типів, в якій немає власних доповнюваних підгруп, що містять G'. В нільпотентній групі з комутантом порядку pq, p ? q, C є прямим добутком локально циклічної р-підгрупи і силовської q-підгрупи, що є локально циклічною групою чи групою кватерніонів.

Опис ненільпотентних груп з комутантом порядку pq зводиться до конструкції G = C?D, де С = G', |С| > 2, D - нільпотентна група, |D'| ? {1, q}, p i q - не обов'язково різні прості числа. В конструктивному описі ненільпотентних груп з комутантом порядку pqr С = G', |D ? С | ? {1, q}, |D| ? {1, р, r, q, qr}, і D може бути ненільпотентною групою лише, коли |D'| = q, С - група типу (р, р), C?D' = G' - група без центру.

Опис нільпотентних груп G з комутантом G' порядку pqr здійснюється при умові, що G/G' - прямий добутко локально циклічних груп. В цьому описі де G_i = G' ? Х_i, X_i - примарна чи без скруту локально циклічна група, D/ G' - прямий добуток всіх G_i/G', G ? D = G', С - черніковська група, що не має власних доповнюваних підгруп, які містять G'.

Публікації автора за темою дисертації

Мазурок O.O. Про групи з елементарним абелевим комутантом порядку не більше ніж р² // Класи груп з обмеженнями для підгруп. К.: Ін-т математики НАН України, 1997. С. 59-63.

Мазурок O.O. Класифікація груп з комутантом порядку pq // Класи груп з обмеженнями для підгруп. К.: Ін-т математики НАН України. 1997. С. 64-66.

Мазурок O.O. Нерозв'язні групи з деякими обмеженнями для комутантів // Класи груп з обмеженнями для підгруп. К.: Ін-т математики НАН України, 1997. С. 113-119.

Мазурок O.O. Групи з елементарним абелевим комутантом порядку не більше ніж р² // Укр. мат. журн. 1998. N4. С. 534-539.

Мазурок O.O. Групи з комутантом порядку р * q * r // Доп. НАН України. 1999. N2. С. 15-18.

Класифікація груп з деякими обмеженнями для комутантів порядку р * q // O.O. Мазурок; Ін-т математики НАН України. Київ, 1997. 48 с. Укр. -Деп. в ДНТБ України 21.04.97, N311-Ук97 // Анот. в РЖ “Депоновані наукові роботи”, N1, 1998.

Мазурок O.O. Нерозв'язні групи з деякими обмеженнями для комутантів // Міжнародна алгебраїчна конференція, присвячена пам'яті професора Л.М. Глускіна. К.: Ін-т математики НАН України. 1997. С. 58-59.

Мазурок O.O. Розщіплюваність в групах з елементарним комутантом // Тези V Міжнародної наукової конференції ім. акад. М. Кравчука. -.: Віпол, 1996. С. 267.

Мазурок O.O. Ненільпотентні групи з комутантом порядку р * q * r // Друга міжнародна алгебраїчна конференція в Україні, присвячена пам'яті професора Л.А. Калужніна. Вінниця: Вінницький державний педагогічний університет імені Михайла Коцюбинського. 1999. С. 93.

Анотація

Маузурок О.О. Групи з невеликими комутантами - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2000.

В роботі повністю описані ненільпотентні групи з циклічним комутантом порядку p^б, б > 0 і конструктивно описані нільпотентні групи G з циклічним комутантом G' порядків р, p², p³, p²q, pqr, у яких G/G' - прямий добуток локально циклічних груп. Повністю описані також ненільпотентні групи з комутантом порядку pq та pqr. Конструктивно описані нільпотентні групи G, у яких G' - група типу (p, p, q) і G/G' - прямий добуток локально циклічних груп.

Ключові слова: нормальна підгрупа, локально циклічна група, черніковська група, комутант.

Аннотация

Мазурок А.О. Группы с небольшими коммутантами. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - aлге6pa и теория чисел. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2000.

В работе осуществлено:

описание нильпотентных групп некоторого класса с элементарным абелевым коммутантом, у которых G/G' - прямое произведение локально циклических групп;

описание ненильпотентных групп с произвольным примарным циклическим коммутантом;

описание конечных р-групп G с коммутантом типа (р, р), который содержит все элементы порядка р из G;

описание групп G с коммутантом типа (р, р), у которых G/G' - прямое произведенне локально циклических групп;

описание р-групп G, которые содержат такую нормальную подгруппу <f> порядка p², для которой G/<f> - прямое произведение локально циклических групп, а сама группа G не имеет разложения G = X?Y, где f ? X, Y - неединичная локально циклическая р-группа;

описание групп G с коммутантом G' = <f> порядка p², у которых G/<f> -прямое произведение локально циклических групп, в виде G = С * D, С ? D = <f> = G', |f| = p², , G_i = <f> ? X_i, X_i - примарная или без кручення локально циклическая группа, G/<f> - прямое произведение G_i /<f>;

описание ненильпотентных групп G с коммутантом порядка p * q в виде G = <а>? В, |a| ? {p, p* q}, p > 2, B - нильпотентная группа, |B'| ? {1, q}, C_B(<a>) = Z ? G, B/Z - конечная неединичная абелевая метациклическая группа, <a> Ч B' = G' - циклическая группа, [<a>, B] = <a>, C_<a>(B) = 1;

описание нильпотентных групп G с коммутантом G' порядка p * q, p ? q, у которых G/G' - прямое произведение локально циклических групп;

описание ненильпотентных групп G с коммутантом G' порядка р * q * r;

описание нильпотентных групп G с коммутантом G' типа (p, p, q), у которых G/G' - прямое произведение локально циклических групп, р и q - различные простые числа.

Ключевые слова: нормальная подгруппа, локально циклическая группа, черниковская группа, коммутант.

Annotation

Mazurok A.U. Groups with small commutators subgroups. - Manuscript.

Dissertation for the Doctor Degree of Philosophical science in speciality 01.01.06 - algebra and number theore, Kiev National University named after Taras Shevchenko, Kiev, 2000.

In the Dissertation there are described nonnilpotent groups with cyclic commutators subgroups of the order p^б, б > 0 there are constructure described nilpotent groups G with commutators subgroups of order p, p², p³, p²q, pqr, in wich G/G' - product of locally cyclic groups. The description of nonnilpotent groups with commutators subgroups of order pq and pqr is given too. There are constructure described nilpotent groups G in wich G' - group of type (p, p, q) and G/G' - product of locally cyclic groups.

Key words: invariant subgroup, locally cyclic group, Chernikov - subgroup, commutators subgroup.

Размещено на Allbest.ru

...