Аксонометрические проекции, многогранные и кривые поверхности

Размещено на http://www.allbest.ru/

План

аксонометрическая проекция многогранник

Сущность аксонометрических проекций и их виды

Прямоугольная аксонометрия

Косоугольная аксонометрия

Общие сведения о многогранниках

Построение проекций многогранника и развертка

Общие сведения о кривых поверхностях

Построения проекций кривых поверхностей и развертка

Сущность построения аксонометрических проекций

Отнесем точку А пространства к натуральной системе координат OXYZ (рис. 53). Построим горизотальную проекцию а и тем самым закрепим положение точки А относительно системы координат. Спроецируем затем точки А и а вместе с осями координат в направлении s на произвольную плоскость Р. Натуральная система координат OXYZ спроецируется в аксонометрическую систему oxyz точки А и а соответственно в точки Аp и аp.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Плоскость Р называют плоскостью аксонометрических проекций, прямые ОpXp, ОpУp, ОpZp аксономет

рическими осями, точку Аp «первичной» аксонометрической и точку ар вторичной горизонтальной проекциями точки А.

Назовем X, Y, Z натуральными координатами точки А, а хр, ур, zр аксонометрическими координатами.

Пространственная координатная ломаная ОахаА натуральной системы спроецируется в плоскую координатную ломаную Оpахp, арАp аксонометрической системы. Отрезки натуральной координатной ломаной параллельны соответствующим осям координат, поэтому и отрезки аксонометрической координатной ломаной оказываются параллельными аксонометрическим осям, т. е. ахp, ар ¦ ОpУp и арАp¦ ОpZp.

Если принять координатные плоскости хOу, хOz., УOz за плоскости проекций Н, V и W и спроецировать на них с помощью прямоугольных лучей точку А (рис. 53), то получится горизонтальная а, фронтальная а' и профильная а'' проекции этой точки соответственно. При проецировании всей системы на аксонометрическую плоскость проекций Р спроецируется вместе с оригиналом и ее прямоугольные проекции. В результате аксонометрическое изображение становится обратимым.

Виды аксонометрических проекций. Зададимся натуральным масштабом е (натуральной единицей измерения) и отложим ею на всех трех прямоугольных осях (рис. 65). При проецировании натуральных осей координат в аксонометрические получаются аксонометрические масштабы ех, еу, ег. Аксонометрические масштабы в общем случае не равны натуральному, так как при проецировании происходит определенное искажение.

Отношения аксонометрических масштабов к натуральному называют коэффициентами искажения по осям (k). Таким образом, коэффициент искажения по оси ох kx=, по оси оу ky= и по оси oz. оу kz=.

Следовательно, для получения аксонометрических координат заданной точки А необходимо умножить каждую ее натуральную координату на коэффициент искажения вдоль соответствующей оси, учитывая, что xp=Opaxp=x·kx, yP=axpap=y·ky и zp=apAp=z·kp. Ломаная линия 0РахрарАр позволяет построить аксонометрическую проекцию заданной точки по ее координатам (рис. 54).

Размещено на http://www.allbest.ru/

В зависимости от соотношения коэффициентов искажения по осям различают следующие виды аксонометрических проекций:

1) изометрические kx = ky = kz (коэффициенты искажения по осям одинаковы) ;

2) диметрические kx= k z? ky (равны коэффициенты искажения по двум осям) ;

3) триметрические кх?ку?кг (коэффициенты искажения по осям разные).

В зависимости от направления проецирования различают два вида аксонометрических проекций:

1) прямоугольные - проецирующие лучи перпендикулярны плоскости аксонометрических проекций (sP) ;

2) косоугольные - проецирующий луч составляет острый угол с плоскостью проекций (s не перпендикулярен Р).

Так как плоскость Р может занимать любое положение, а проецирующий луч иметь с ней любой угол, то аксонометрических проекций может быть очень много.

Для практических целей стандартом отобраны из них лишь те, которые обладают наилучшей наглядностью и просты по построению.

ГОСТ 2. 317-69 «Аксонометрические проекции» рекомендует применять следующие пять видов аксонометрических проекций:

1) прямоугольную изометрическую;

2) прямоугольную диметрическую;

3) косоугольную фронтальную изометрическую;

4) косоугольную горизонтальную изометрическую;

5) косоугольную фронтальную диметрическую.

Прямоугольная аксонометрия

Изометрическая аксонометрия. В изометрической проекции коэффициенты искажения по всем трем осям одинаковые, т. е. kx=ky=kz. Если подставить их в уравнение

Kx2+ Ky2+ Kz2=2, то получится 3kx2=2 или Kx= .

Это значит, что при изображении предмета в изометрической проекции необходимо его размеры вдоль осей Орхр, Орур и OpZp брать равными 0, 82 истинной величины.

В прямоугольной изометрической проекции треугольник следов РхРуРz равносторонний. Следовательно, аксонометрические оси, являющиеся его высотами, располагаются под углами 120° друг к другу (рис. 55, а).

В дальнейшем будем аксонометрические оси обозначать без индексов, одной строчной буквой: х, у, z, как принято по ГОСТ 2. 317-69.

На практике при построении изображений в аксонометрической проекции использовать действительные коэффициенты искажения затруднительно, поэтому их заменяют приведенными коэффициентами, т. е. приравненными к единице: Кх=Ку=Kz=1 (будем обозначать их заглавными буквами). В этом случае изображение получается увеличенное в = 1, 22 раза.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Однако на наглядности такое увеличение не отражается, построение же с применением приведенных коэффициентов искажения значительно упрощается, так как при откладывании размеров вдоль осей исключаются дополнительные расчеты.

Оси эллипсов - изображений окружностей, лежащих в плоскостях Н, V и W (или им параллельных), - имеют определенные размеры и положение относительно аксонометрических осей (рис. 55, 6). Так, большая ось эллипса - изображения окружности, лежащей в плоскости Н, - всегда перпендикулярна оси оz, а малая - ей параллельна. Большая ось эллипса - изображения окружности, лежащей в плоскости V, - перпендикулярна оси оу, а эллипса - изображения окружности, лежащей в плоскости W, - перпендикулярна оси ох.

При использовании действительных коэффициентов искажения большая ось эллипса равна диаметру (D) изображаемой окружности, а малая ось - 0, 58D. Если применяются приведенные коэффициенты искажения, то размеры осей эллипса увеличиваются в 1, 22 раза и получаются равными: большая ось - 1, 22 D, а малая ось - 0, 71D (см. рис. 55).

Прямоугольная диметрическая аксонометрия. В диметрической проекции два коэффициента искажения одинаковые, а третий может быть любым. Наиболее удобна для практических целей и наглядна прямоугольная диметрическая проекция, у которой коэффициенты искажения kx=kz и ky=kx. Если подставить их в уравнение kx2=ky2=kz2=2, то получится kx2+kx2+ =2, или 9kx2=8, откуда kx ===0, 94.

Таким образом, действительные коэффициенты искажения kx=kz=0, 94 и ку=0, 47. Это значит, что, изображая предмет в прямоугольной диметрической проекции, необходимо его размеры вдоль осей ох и оz брать равными 0, 94, а вдоль оси оу - равными 0, 47 истинной величины (рис. 56).

Размещено на http://www.allbest.ru/

При таких коэффициентах искажения угол между аксонометрическими осями ох и оz равен 97°10', а между осями оу и оz равен 131о25'. Ось оу направлена по биссектрисе угла xOz. Если провести прямую, перпен-дикулярную оси оz, то оси ох и оу будут располагаться к ней соответственно под углами 7°10' и 41о25' (рис. 56). Эти углы можно построить при помощи прямоугольных треугольников АВО и СЕО, у которых катеты имеют отношение, =, =.

На практике использовать действительные коэффициенты искажения трудно, поэтому их заменяют приведенными коэффициентами, принимая Kx = Kz=1 и Ку=0, 5. В этом случае изображение получается увеличенным в 1, 06 раза. Однако на его наглядности такое увеличение не отражается. Построения же по осям с применением приведенных коэффициентов значительно упрощаются, так как исключаются дополнительные расчеты.

Косоугольная аксонометрия

Фронтальная изометрическая проекция. Этот вид аксонометрических проекций получается в случае, если плоскость Р расположена параллельно плоскости V (фронтально). Тогда угол между аксонометрическими осями ох н оz равен 90°, а коэффициенты искажения по этим осям равны 1, kx=kz=1.

Направление проецирования в этом случае выбирают таким, чтобы коэффициент искажения по оси оу тоже был равен 1 (ky=1), а сама ось располагалась под углом 45° к продолжению оси ох (рис. 57, а).

Во фронтальной изометрической проекции окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскости V, проецируются на аксонометриическую плоскость в окружности, а лежащие в плоскостях, параллельных горизонтальной и профильной плоскостям проекций, - в эллипсы Одинаковой формы (рис. 57, б). Большая ось этих эллипсов равна 1, 3D малая - 0, 54D.

Допускается применять фронтальные изометрические проекции с углами наклона оси оу, равными 30 или 60°.

Косоугольная горизонтальная изометрическая аксонометрия. Этот вид аксонометрических проекций получается в случае, когда плоскость Р расположена параллельно плоскости Н (горизонтально). При таком положении плоскости Р угол между аксонометрическими осями ох и оу равен 90°, а коэффициенты искажения по осям ох и оу равны 1, т. е. kx=kv=1.

Направление проецирования в этом случае выбирают таким, чтобы коэффициент искажения по оси oz тоже был равен 1 (kz=1), а углы между осями соответствовали рис. 58, а.

В горизонтальной изометрической проекции окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскости Н, проецируются на аксонометри-ческую плоскость проекций в окружности, а лежащие в плоскостях; параллельных фронтальной и профильной плоскостям проекций, - в эллипсы (Рис. 58, б). Большая ось эллипса I равна 1, 37D, а малая ось - 0, 37 D; большая ось эллипса III равна 1, 22D, а малая ось - 0, 71 D.

Допускается применять горизонтальные изометрические проекции с углами наклона оси оу, равными 45 или 60°, сохраняя угол менаду осями ох и оу, равным 90°.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Косоугольная фронтальная диметрическая аксонометрия. Фронтальная косоугольная диметрическая проекция отличается от фронтальной косоугольной изометрической коэффициентом искажения по оси оу, который равен (ку =) и формой эллипсов, в которые проецируются окружности.

Положение аксонометрических осей показано на рис. 59, а. Угол наклона оси оу равен 45°, но допускается применять и фронтальные диметрические проекции с углом наклона оси оу, равным 30 или 60°.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Во фронтальной диметрической проекции окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в окружности, а лежащие в горизонтальных и профильных плоскостях- в эллипсы (рис. 59, 6). Большая ось эллипсов II и III равна 1, 07D, а малая ось - 0, 33D.

Общие сведения о многогранниках

Многогранником называется тело, ограниченное плоскими многоугольни-ками. Стороны многоугольников называются ребрами, а заключенные между ними плоские многоугольники - гранями. Вершины граней являются вершинами многогранника.

Многогранники подразделяются на правильные (например, тетраэдр, куб) и неправильные (например, наклонные призма и пирамида). У правильного многогранника все грани, ребра и углы соответственно равны между собой.

Из многогранных поверхностей рассмотрим только пирамидальные и призматические.

Пирамидальную поверхность (рис. 60) можно рассматривать как поверхность, полученную перемещением прямой SA, называемой образующей, по направляющей ломаной MN, если эта образующая во всех своих положениях проходит через одну точку S. Если образующая АВ во время движения по ломаной MN остается параллельной сама

себе, то получается призматическая поверхность (рис. 60). При пересечении замкнутой пирамидальной поверхности плоскостью, не проходящей через вершину S, получается многогранник, называемый пирамидой. Многоугольник, полученный в секущей плоскости, называется основанием пирамиды. Боковые грани пирамиды представляют собой треугольники. Пирамиду называют правильной, если основанием являяется правильный многоугольник, а ее высота проходит через центр этого многоугольника.

При пересечении замкнутой призматической поверхности двумя взаимно параллельными плоскостями получается многогранник, называемый призмой. Многоугольники, получаемые в секущих плоскостях, - основания призмы. Боковые грани призмы представляют собой параллелограммы. Призма прямая, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. Прямая призма, основанием которой является прямоугольник, называется параллелепипедом. Прямая призма правильная, если ее основание - правильный многоугольник.

Общее название призмы и пирамиды определяется формой их основания, например треугольная пирамида (рис. 61) или треугольная призма (рис. 62).

Построение проекций многогранника и развертка

На чертеже построение проекций многогранника сводится к построению проекций его вершин и соединению их отрезками прямых (рис. 61). Поскольку плоскости (грани) принято считать непрозрачными, то проекции некоторых ребер и граней будут невидимыми. Невидимые ребра определяют при помощи конкурирующих точек и показывают штриховыми линиями. Очерк многогранника всегда будет видимым.

Недостающие проекции точки, лежащей на поверхности многогранника, строят следующим образом:

1) через заданную проекцию точки проводят проекцию произвольной прямой, принадлежащей соответствующей грани;

2) находят вторую проекцию этой прямой;

3) с помощью линии связи находят недостающую проекцию точки на найденной проекции прямой.

На рис. 61 показано построение горизонтальной проекции k точки К, лежащей на грани SAB, по заданной фронтальной проекции k'.

Призма и ее развертка. На рис. 62 показаны чертеж, аксонометрическая проекция призмы и развертка ее поверхности. По чертежу нетрудно установить форму и положение призмы. Призма треугольная, правильная, ее боковые ребра (и грани) перпендикулярны к плоскости Н, а основания - равносторонние треугольники, расположенные в горизонтальных плоскостях.

Задняя грань призмы параллельна плоскости V и проецируется на нее в истинную величину - в прямоугольник. Основания проецируются на плоскость Н в истинную величину - в треугольник abc. Стороны этого треугольника одновременно являются горизонтальными проекциями боковых граней.

Построение аксонометрической проекции призмы начинают с нанесения на чертеже (рис. 62 а) осей прямоугольных координат, к которым относят призму. Затем строят аксонометрические оси и аксонометрическую проекцию нижнего основания по координатам вершин с учетом коэффициентов искажения (рис. 62 б). Из вершин фигуры основания проводят прямые параллельно оси оz и откладывают на них высоту призмы, определив ее по фронтальной проекции, получают аксонометрические проекции ребер. Соединяя найденные точки отрезками прямых, завершают построение призмы в аксонометрической проекции. На рис. 62, б построена фронтальная косоугольная диметрическая проекция призмы.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Разверткой поверхности многогранника называется плоская фигура, получающаяся в результате совмещения с плоскостью всех его граней. Чертежи разверток необходимы при изготовлении моделей и изделий из листового материала.

Построение развертки поверхности многогранника сводится к построению изображений граней в истинную величину. Это легко осуществить путем определения длины ребер многогранника, а в случае необходимости и длины диагоналей граней. Полная развертка поверхности призмы состоит из развертки ее боковой поверхности и оснований. Боковые грани прямой треугольной призмы - прямоугольники, поэтому развертка ее боковой поверхности представляет собой прямоугольник, длина которого равна периметру основания, а высота - высоте призмы (рис. 62, в) к развертке боковой поверхности пристраивают основания призмы - равносторонние треугольники.

На поверхности призмы построены две точки: точка К на переднем ребре и точка М на левой грани. Соответствующие им точки Ко и М0 нанесены и на развертку. Точку Ко строят по высоте h, а точку М0 определяют с помощью высоты h1 и расстояния l от одной из вертикальных сторон (ребер) грани, взятого с горизонтальной проекции.

Пирамида и ее развертка. На рис. 75 даны чертеж, аксонометрическая проекция и развертка поверхности пирамиды по чертежу устанавливают, что пирамида четырехугольная, правильная, так как ее основание ABCD - квадрат, лежащий в горизонтальной плоскости, а высота OS проецируется в центр основания. Две стороны основания - AD и ВС - параллельнь плоскости V. Боковые грани - равные между собой равнобедренные треугольники, причем наклонены к плоскости Н под одинаковыми углами. Левая и правая грани - фронтально-проецирующие.

Пирамида проецируется на плоскость V в треугольник. Боковые ребра равны между собой и проецируются на плоскость Н в диагонали квадрата abсd, являющегося горизонтальной проекцией основания. Ни одна из проекций боковых ребер и граней не равна их истинной величине.

Для удобства построения аксонометрической проекции начало О осей выбрано в центре основания, а ось оz совмещена с высотой пирамиды. На рис. 63, б показано построение фронтальной косоугольной диметрической проекции пирамиды Сначала изображено основание: вдоль оси ох симметрично О отложен отрезок, равный длине стороны основания, а вдоль оси оу - половине ее длины. Через полученные на осях ох и оу точки проведены прямые, параллельные этим осям, до взаимного их пересечения, в результате чего найдены вершины А, В, С и D основания. Затем вдоль оси оz от точки О отложена высота OS пирамиды. Точка S соединена с точками А, В, С и D основания. Аналогично строят и другие виды аксонометрических проекций пирамиды.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Построение развертки боковой поверхности пирамиды сводится к построению по трем сторонам примыкающих друг к другу треугольников (боковых граней) с общей вершиной So (рис. 63, в). Длину бокового ребра (стороны треугольника) можно определить любым способом, например способом вращения (рис. 63, а). Затем из произвольной точки S0 радиусом, равным длине ребра, проводят дугу и строят четыре хорды, равные стороне основания пирамиды. Соединив концы хорд с точкой So, получают развертку боковой поверхности пирамиды. К одному из треугольников пристраивают изображение основания.

Если ребра имеют разную длину, то для построения развертки пирамиды необходимо найти длину каждого ребра в отдельности.

Аксонометрическую проекцию точки, лежащей на поверхности пирамиды, строят по координатам или при помощи вспомогательной прямой. На рис. 63 показано построение точки К, лежащей на передней грани пирамиды. Для построения ортогональных проекций k и k', аксонометрической проекции К и точки Ко на развертке использована горизонталь MN грани. На аксонометрической проекции (рис. 63, б) сначала найдена вторичная проекция тп горизонтали, а затем - проекция MN. Точка К находится на расстоянии I от точки М, которое измеряется по горизонтальной проекции горизонтали (рис. 63, б). На развертке прямую MоNо определяют, откладывая от точки S0 отрезки SоMо и SоNо равные натуральной величине соответственно s' m' и s m (рис. 63, а).

Общие сведения о кривых поверхностях

В начертательной геометрии все поверхности исследуют по чертежу. Для простоты изображения кривую поверхность рассматривают как совокупность последовательных положений какой-либо линии - образующей, движущейся в пространстве по определенному закону. Закон перемещения образующей задают неподвижными прямыми или кривыми - направляющими линиями.

Способы образования кривой поверхности движением линии могут быть различны. Например, поверхность кругового цилиндра может быть образована двумя способами: вращением прямой АВ вокруг параллельной ей неподвижной оси или поступательным движением окружности, центр которой перемещается по прямой (оси), перпендикулярной к плоскости окружности (рис. 64).

Размещено на http://www.allbest.ru/

По виду образующей поверхности разделяют на линейчатые и нелинейчатые. Линейчатые поверхности получаются в результате перемещения прямой линии. Однако необходимо иметь в виду, что любая поверхность может быть получена несколькими способами, так как образующие можно принять за направляющие. Поэтому линейчатая поверхность может быть получена и перемещением кривой линии по прямым направляющим. Линейчатая поверхность в общем случае образуется движением прямолинейной образующей по трем криволинейным направляющим. Нелинейчатые поверхности могут быть получены только в результате перемещения кривой линии (сфера, парабалоид и др.), они относятся к неразвертывающимся - их нельзя совместить с плоскостью без разрывов и складок.

Линейчатые поверхности разделяют на развертывающиеся и неразвертывающиеся.

К развертывающимся поверхностям относятся конические, цилиндри-ческие и торсы (поверхности с ребром возврата).

Коническая поверхность (рис. 65, а) образуется движением прямой, про-ходящей через неподвижную точку S (вершину) и скользящей по разомкнутой или замкнутой кривой MN. Если направляющей служит произвольная кривая, окружность, эллипс и др., получается коническая поверхность соответственно произвольного вида, круговая, эллиптическая и др. Образующие проходят в обе стороны от вершины S, поэтому коническая поверхность имеет две полости.

Построение проекций кривых поверхностей и развертка

Прямой круглый цилиндр и его развертка. Прямой круговой цилиндр с осью, перпендикулярной какой-либо плос-кости проекций, проецируется на нее в окружность диаметра, равного диаметру основания. На другие плоскости проекций - в прямоугольники, высота которых равна высоте цилиндра, а ширина - диаметру основания. На рис. 66 даны чертеж, прямоугольная изометрическая проекция и развертка поверхности прямого кругового цилиндра, ось которого перпендикулярна плоскости Н. Горизонтальную проекцию а точки А, лежащей на цилиндрической поверхнос-ти, по заданной фронтальной проекции а' находят при помощи линии связи на окружности, в которую проецируется поверхность на плоскость Н.

Строить аксонометрическую проекцию начинают с изображения нижнего основания (рис. 66, б). Затем вдоль оси оz откладывают высоту и строят аксонометрическую проекцию верхнего основания. Завершают построение изображением контурных образующих. Точку А переносят на аксонометрическую проекцию при помощи координат х, у, z, взятых с ортогональных проекций.

Развертка поверхности цилиндра состоит из прямоугольника (боковой поверхности) и двух кругов (оснований цилиндра) (рис. 66, в). Длина прямоугольника равна рD (где D - диаметр основания), а высота - высоте цилиндра.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для нахождения на развертке точки А, лежащей на поверхности цилиндра, используют образующую NN1, проходящую через нее. Для этого откладывают отрезок M0No, равный дуге MN, изображенной в истинную величину на горизонтальной проекции. На развертке точку Aо, соответствующую точке A, получают, отложив отрезок N0A0, равный п'а'.

Прямой круглый конус и его развертка. Прямой круговой конус c осью, перпендикулярной какой-либо плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в окружность диаметра, равного диаметру основания. На две другие плоскости проекций он проецируется в равнобедренные треугольники, высота которых равна высоте конуса, а основание - диаметру основания конуса. На рис. 67 даны чертеж, прямоугольная изометрическая проекция и развертка поверхности прямого кругового конуса с осью, перпендикулярной плоскости Н. Проекции точек, лежащих на поверхности конуса, находят при помощи образующих и параллелей (рис. 67, а).

Аксонометрическую проекцию конуса строят аналогично проекции цилиндра. Сначала изображают основание конуса, затем откладывают на оси оz высоту. Завершают построение проведением проекций контурных образующих (рис. 67, б). Аксонометрические проекции точек, лежащих на поверхности конуса, строят по координатам, часто привлекая и образующие, на которых лежат эти точки.

Развертка поверхности конуса состоит из кругового сектора (боковой поверхности) и круга (основания) (рис. 67 в). Радиус сектора равен длине образующей конуса, а длина его дуги- длине окружности основания. Угол сектора б= 360°, где r - радиус основания и l - длина образующей.

Для построения на развертке точки Л, лежащей на поверхности конуса, используют образующую NS, проходящую через эту точку. Для этого на развертке откладывают дугу M0N0, равную дуге MN основания конуса. Точку А0 на развертке получают, отложив на N0S0 отрезок SQA0, равный отрезку s'a1', определяющему расстояние точки А от вершины конуса S (найденному способом вращения).

Размещено на Allbest.ru