Векторная алгебра

Составление определителя из координат векторов и его вычисление. Решение системы уравнений методом Крамера. Определение длины ребра пирамиды по формуле расстояния между двумя точками. Нахождение координат точки, симметричной относительно прямой.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 11.03.2014
Размер файла 222,3 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Даны четыре вектора и в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

.

Решение:

Составим из координат векторов определитель и вычислим его:

.

Определитель не равен нулю, следовательно, система векторов является линейно-независимой и образует базис трехмерного пространства.

Вектор единственным образом разлагается по векторам этого базиса.

.

Приравнивая соответствующие координаты векторов, получаем следующую систему 3-х линейных уравнений:

.

Решим систему уравнений методом Крамера:

.

.

.

.

.

Координаты вектора в базисе векторов

2. Даны координаты вершин пирамиды . Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) Объем пирамиды; 6) уравнения прямой ; 7) уравнение плоскости ; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины на грань . Сделать чертеж.

Решение:

1) Длину ребра найдем по формуле расстояния между 2-мя точками:

.

.

2) Угол между ребрами и найдем как угол между направляющими векторами и :

.

.

Косинус угла между векторами:

.

.

3) Вычислим угол между ребром и гранью .

Для этого вычислим координаты нормального вектора плоскости - им будет векторное произведение векторов и .

.

Векторное произведение:

.

Нормальный вектор плоскости: (19, -8, 14).

Синус угла:

.

.

4) Вычислим площадь грани . Она будет численно равна половине модуля векторного произведения векторов и :

Искомая площадь:

5) Вычислим объем пирамиды. Он будет равен шестой части модуля смешанного произведения векторов и :

Модуль смешанного произведения:

.

Искомый объем пирамиды:

6) Вычислим уравнение прямой А1А2. Направляющим вектором искомой прямой является вектор . Кроме того, прямая проходит через точку .

Уравнение искомой прямой:

.

7) Вычислим уравнение плоскости . Нормальный вектор плоскости . кроме того, плоскость проходит через точку .

- уравнение грани А1А2А3.

8) Составим уравнение высоты, опущенной на грань из вершины :

Нормальный вектор является направляющим вектором высоты, кроме того, высота проходит через точку

Искомое уравнение высоты:

.

Сделаем схематический чертеж:

Рис. 1

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

3. Найти координаты точки, симметричной точке относительно прямой .

Решение:

Составим уравнение прямой, проходящей перпендикулярно к заданной через точку :

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

.

.

.

Расстояние от точки до прямой:

.

Расстояние от точки до заданной прямой:

.

Пусть - искомая точка.

Расстояние от точки до заданной прямой равно , кроме того, она лежит на найденном перпендикуляре .

Решим систему уравнений:

.

.

-координата точки .

.

Ответ:

.

4. Построить на плоскости область решений системы линейных неравенств.

.

Для построения области допустимых решений строим в системе координат соответствующие данным ограничениям-неравенствам граничные прямые:

.

.

.

Рис. 2

Треугольник есть искомая область решения системы линейных неравенств.

векторный симметричный крамер

5. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояния до начала координат к расстоянию до прямой равно 0,6.

Решение:

Обозначим через координаты точки искомой линии:

Расстояние до начала координат:

.

.

Расстояние до прямой:

.

Получаем:

.

.

.

.

Полученная линия - эллипс.

Координаты центра .

.

Рис. 3

Литература

1. Высшая математика. Общий курс. Под ред. С.А. Самаля, Мн., 2000.

2. Гусак А.А. Высшая математика в 2 ч., Мн., 1998.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Вычисление скалярного и векторного произведений векторов, заданных в прямоугольной декартовой системе координат. Расчет длины ребра пирамиды по координатам ее вершин. Поиск координат симметричной точки. Определение типа линии, описываемой уравнением.

    контрольная работа [892,1 K], добавлен 12.05.2016

  • Понятие числовой прямой. Типы числовых промежутков. Определение координатами положения точки на прямой, на плоскости, в пространстве, система координат. Единицы измерения для осей. Определение расстояния между двумя точками плоскости и в пространстве.

    реферат [123,9 K], добавлен 19.01.2012

  • Решение задач систем линейных алгебраических уравнений, матричных уравнений, методы Гаусса и Кремера. Нахождение длины и координат вектора и исчисление его скалярного произведения. Уравнение прямой и определение координат точек неравенства; пределы.

    контрольная работа [220,9 K], добавлен 06.01.2011

  • Доказательство линейной независимости системы векторов пирамиды. Расчет длины ребра, угла между ребрами. Составление уравнения прямой и плоскости. Выполнение операций для матриц. Величина главного определителя. Поиск алгебраических дополнений матрицы.

    контрольная работа [156,0 K], добавлен 20.03.2017

  • Вычисление определителя с использованием правила треугольника и метода разложения по элементам ряда. Решение системы уравнений тремя способами: методом Гаусса, методом Кремера и матричным методом. Составление уравнения прямой и плоскости по формуле.

    контрольная работа [194,5 K], добавлен 16.02.2015

  • Решение системы уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса. Нахождение объема пирамиды, площади грани, величины проекции вектора с помощью средств векторной алгебры. Пример определения и решения уравнения стороны, высоты и медианы треугольника.

    контрольная работа [989,1 K], добавлен 22.04.2014

  • Нахождение проекции точки на прямую, проходящую через заданные точки. Изучение формул Крамера для решения систем линейных уравнений. Определение точки пересечения перпендикуляра и исходной прямой. Исследование и решение матричной системы методом Гаусса.

    контрольная работа [98,6 K], добавлен 19.04.2015

  • Вычисление определителя, алгебраических дополнений. Выполнение действий над матрицами. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера, методом Гауса. Определение плана выпуска химикатов на заводе. Составление экономико-математической модели задачи.

    контрольная работа [184,8 K], добавлен 25.03.2014

  • Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.

    контрольная работа [97,3 K], добавлен 24.05.2009

  • Нахождение длины ребер, углов между ними, площадей граней и объема пирамиды по координатам вершин пирамиды. Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера, средствами матричного исчисления. Уравнение кривой второго порядка.

    контрольная работа [330,3 K], добавлен 01.05.2012

  • Методика проверки совместности системы уравнений и ее решение. Вычисление параметров однородной системы линейных алгебраических уравнений. Нахождение по координатам модуля, проекции вектора, скалярного произведения векторов. Составление уравнения прямой.

    контрольная работа [104,2 K], добавлен 23.01.2012

  • Направленные отрезки и прямоугольная декартовая система координат. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом. Параллельность и перпендикулярность прямых. Пространство со скалярным произведением. Решение системы линейных уравнений по формуле Крамера.

    шпаргалка [1,1 M], добавлен 30.05.2015

  • Метод Гаусса–Жордана: определение типа системы, запись общего решения и базиса. Выражение свободных переменных с использованием матричного исчисления. Нахождение координат вектора в базисе. Решение системы уравнений по правилу Крамера и обратной матрицей.

    контрольная работа [200,4 K], добавлен 17.12.2010

  • Определение разности и произведения матриц. Решение системы линейных уравнений методом Крамера. Уравнение прямой проходящей через точки A (xa, ya) и C (xc, yc). Порядок определения типа кривой второго порядка и ее основных геометрических характеристик.

    контрольная работа [272,0 K], добавлен 11.12.2012

  • Решение системы линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса. Решение задачи на нахождение производных, пользуясь правилами и формулами дифференцирования. Исследование заданных функций методами дифференциального исчисления.

    контрольная работа [161,0 K], добавлен 16.03.2010

  • Решение системы уравнений по формулам Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса. Преобразование и поиск общего определителя. Преобразование системы уравнений в матрицу и приведение к ступенчатому виду. Алгебраическое дополнение элемента.

    контрольная работа [84,5 K], добавлен 15.01.2014

  • Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.

    контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010

  • Нахождение длины сторон и площади треугольника, координат центра тяжести пирамиды, центра масс тетраэдра. Составление уравнений геометрического места точек, высоты, медианы, биссектрисы внутреннего угла, окружности. Построение системы линейных неравенств.

    контрольная работа [1,2 M], добавлен 13.12.2012

  • Основные этапы и принципы решения системы линейных уравнений с помощью метода Крамара, обратной матрицы. Разрешение матричного уравнения. Вычисление определителя. Расчет параметров пирамиды: длины ребра, площади грани, объема, а также уравнения грани.

    контрольная работа [128,1 K], добавлен 06.09.2015

  • Определение положения точки в пространстве. Правая декартова (или прямоугольная) система координат. Способы измерения дуг. Определение координат точки в пространстве. Определение окружности и ее радиуса. Построение сферической системы координат.

    контрольная работа [59,3 K], добавлен 13.05.2009

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.