История аксиоматического построения геометрии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Московской области

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Московского государственного областного университета

Физико-математический факультет

Кафедра: математического анализа и геометрии

Курсовая работа

Изучение темы «История аксиоматического построения геометрии»

Выполнила: студент 31группы

А.О. Третьякова

Проверила : канд.физ.-мат.наук,

доцент Птицына И.В.

Москва 2013



Оглавление

Введение

1. Развитие геометрии до Евклида

2. «Начала» Евклида и их значение для геометрии

3. О пятом постулате Евклида

4. Примеры доказательства пятого постулата

4.1 Доказательства Валлиса

4.2 Доказательство Прокла

4.3 Доказательство Нассир-Эддина

5. Аксиоматика Гильберта

Заключение



Введение

Геометрия - одна из наиболее древних математических наук. Первые геометрические факты найдены в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах (3 тысячелетие до н.э.). Возникновение геометрических знаний связано с практической деятельностью человека. В третьем веке до н.э. древнегреческий учёный Евклид написал книгу под названием «Начала». В этой книге Евклид подытожил накопленные к тому времени геометрические знания и попытался дать законченное аксиоматическое изложение этой науки. Написана она была настолько хорошо, что в течение 2000 лет повсюду преподавание велось либо по переводам, либо по незначительным переработкам этой книги. Немецкий философ И. Кант считал, что понятия и идеи евклидовой геометрии были заложены в человеческое сознание ещё до того, как человек научился что-либо осознавать.

Геометрия Евклида признавалась самым незыблемым творением научной мысли, при всем том математики, которые шли дальше, которые подвергали тщательному анализу каждое отдельное предложение, оценивая его не только с точки зрения содержания, но и выдержанности логической концепции были склонны к критике. Конкурировать с Евклидом, написать новые начала геометрии в течение многих веков не решался никто; но в критике отдельных его установок и рассуждений не было недостатка. Внимательный анализ обнаруживал, что умозаключение часто подменяется интуицией, указаниями наглядных представлений, соображениями, основанными на очевидности, т. е. на ощущениях глаза. Благодаря их анализу стало совершенно ясно, что этот фундамент слаб, что крепкое здание геометрии поддерживается еще другими основаниями, не получившими выражения в аксиоматике Евклида.

Одним из «слабых мест» Евклида является пятый постулат.

Цель моей работы: изучить аксиоматическое построение геометрии

Задачи:

Ознакомиться с материалом о Евклиде и «Началах».

Узнать подробнее о пятом постулате и о ученых, занимавшихся его доказательством.



1. Развитие геометрии до Евклида

геометрия евклид математика аксиоматический

Наибольшего развития геометрических знаний достигли древневосточные цивилизации - Египет, Вавилон, Индия, Китай. Говорить о геометрии как науке на этой стадии нельзя - это была эпоха предварительного накопления геометрических сведений.

В VII в. до н.э. благодаря торговле геометрические знания достигли Греции. Здесь геометрия получила широкое развитие, которое можно разделить на три периода:

1. (VII - VI в. до н. э.) Период является поворотным в развитии геометрии, основателем и представителем этого периода является Фалес Милетский. Греки впервые стали логически доказывать предложения геометрии в общем виде. Фалесу приписывают доказательство следующих теорем:

-- угол, вписанный в полуокружность, прямой.

-- вертикальные углы равны.

-- углы при основании равнобедренного треугольника равны между собой.

И другие.

Это достижение греческих математиков имело важнейшее значение в развитии геометрии, т. к. общее доказательство охватывало все возможные частные случаи. Постепенно выделялись немногие первоначальные предложения, которые получены из опыта и должны быть положены в основу геометрии без логического доказательства. Было заложено начало созданию дедуктивного, или аксиоматического метода изложения геометрии.

2. (VI - V в. до н. э.) - олицетворяется Пифагором и его школой. Пифагору предписывают доказательство следующих предложений:

-- сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам;

-- плоскость можно покрыть правильными треугольниками, четырехугольниками и шестиугольниками;

-- известная теорема Пифагора;

-- открытие геометрического способа решения квадратных уравнений;

-- открытие пяти правильных многогранников;

Но самым важным открытием школы Пифагора явилось открытие несоизмеримых отрезков. До этого открытия греки считали, что отношение двух любых отрезков может быть выражено рациональным числом.

Это явилось кризисом в развитии греческой математики, основное положение философии школы Пифагора, что «число есть мера вещей» потерпело поражение, а подняться до понятия иррационального числа они не сумели. Также разработка многих вопросов геометрии неизбежно приводила греческих математиков и философов к понятиям бесконечности и движения, к учению о бесконечно малых. К таким вопросам относились приближенные вычисления несоизмеримых величин, рассмотрение вопросов связанных со спрямлением окружности и квадратурой круга; вычисление объема поверхностей круглых тел и т. д. При этом греческие математики натолкнулись на глубокие противоречия и парадоксы, все это вызвало критику и споры среди философов. Нужно было сделать геометрию неуязвимой и при этом считалось, что это возможно лишь без привлечения понятий иррационального числа, бесконечности, движения.

3. (IV в. до н. э.) Философские школы в Афинах Платона и Аристотеля. С этими школами связывают два основных достижения:

-- выработку принципов научного построения геометрической системы, расчленение ее предложений на аксиомы, теоремы и определения;

-- разработку определенных методов и форм доказательства: анализ, синтез, доказательство от противного.

Таким образом, до III в. до н. э. геометрия в Греции накопила обильный фактический материал, назрела необходимость в его систематизации. Эта задача наиболее полное и совершенное разрешение получила в созданных Евклидом «Началах». Начался новый период развития геометрии.

Кроме "Начал" до нас дошли такие произведения Эвклида: книга под латинским названием "Data" ("Данные") (с описанием условий, при которых какой-нибудь математический образ можно считать "данным"); книга по оптике (содержащая учение о перспективе), по катоптрике (излагающую теорию искажений в зеркалах), книга "Деление фигур". Эвклид написал также произведение по астрономии "Явления" и музыке «Деление канона» -- трактат по элементарной теории музыки.

Евклид не дает строгих определений основных объектов геометрии: точки, линии, прямой, поверхности, плоскости. Вместо этого даны словесные описания важнейших свойств этих фигур. Например:

"Точка есть то, что не имеет частей";

"Линия - это длина без ширины";

"Окружность - это кривая, которая около каждой точки устроена одинаково".

Кроме аксиом, Евклид ввел постулаты: это утверждения о свойствах основных геометрических конструкций.



2. «Начала» Евклида и их значение для геометрии

Евклид - автор первого дошедшего до нас строгого логического построения геометрии. В нем изложение настолько безупречно для своего времени, что в течение двух тысяч лет с момента появления его труда «Начал» оно было единственным руководством для изучающих геометрию.

"Начала" Евклида состоят из 13 книг. 1 - 6 книги посвящены планиметрии, 7 - 10 книги - об арифметике и несоизмеримых величинах, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. Книги с 11 по 13 были посвящены стереометрии.

«Начала» намного превосходили более поздние труды математиков. Достаточно сказать, что они были переведены на все языки мира и выдержали около 500 изданий.

Каждой из 13 книг «Начал» предпосылаются основные предложения, необходимые для вывода всех предложений рассматриваемой книги. Эти предложения делятся на 3 категории: определения, аксиомы и постулаты.

"Начала" начинаются с изложения 23 определений и 10 аксиом. Первые пять аксиом - "общие понятия", остальные называются "постулатами". Первые два постулата определяют действия с помощью идеальной линейки, третий - с помощью идеального циркуля. Четвёртый, "все прямые углы равны между собой", является излишним, так как его можно вывести из остальных аксиом. Последний, пятый постулат гласил: "Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то, при неограниченном продолжении этих двух прямых, они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых".

Уже с древности именно постулат о параллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавших неестественным помещение его среди постулатов. Вероятно, это было связано с относительно меньшей очевидностью и наглядностью V постулата: в неявном виде он предполагает достижимость любых, как угодно далеких частей плоскости, выражая свойство, которое обнаруживается только при бесконечном продолжении прямых.

Пять "общих понятий" Евклида являются принципами измерения длин, углов, площадей, объёмов: "равные одному и тому же равны между собой", "если к равным прибавить равные, суммы равны между собой", "если от равных отнять равные, остатки равны между собой", "совмещающиеся друг с другом равны между собой", "целое больше части".

Первая книга «Начал» начинается с 23-х определений. Приведём список некоторых определений «Начал»:

Точка есть то, что не имеет частей.

Линия -- длина без ширины.

Края же линии -- точки.

Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках.

Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

Края же поверхности -- линии.

Плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях.

За определениями следуют постулаты и аксиомы, т. е. предложения, принимаемые без доказательства. Полный список аксиом и постулатов данный Евклидом не сохранился. Известно 5 постулатов и 10 аксиом.

Постулаты:

Требуется,

Чтобы из каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.

И чтобы каждую ограниченную прямую можно было продолжать неограниченно.

И чтобы из каждой точки, как из центра, можно было произвольным радиусом описать окружность.

И чтобы все прямые углы были равны друг другу.

И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 2-х прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше 2-х прямых.



Аксиомы:

Равные одному и тому же равны и между собой.

И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.

И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.

И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.

И удвоенные одного и того же равны между собой.

И половины одного и того же равны между собой.

И совмещающиеся друг с другом равны между собой.

И целое больше части.

И две прямые не содержат пространства.



3. О пятом постулате Евклида

Учение о параллельных линиях Евклид строит, так сказать, на двойном базисе. Первым фундаментом этого учения служит 16-е предложение книги, т.е. первая теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол треугольника больше каждого их внутренних с ним не смежных углов. При пересечении двух прямых, расположенных в одной плоскости, третьей образуется 8 углов, которые в парных комбинациях получают различные названия.

Если из внутренних накрест лежащих углов какие-либо два равны между собой, т. е. если

c = e или d = f (1)

то линии параллельны; в самом деле, если бы эти прямые пересекались, то образовался бы треугольник, в котором один из внешних углов был бы равен внутреннему, с ним не смежному, что противоречит 16 предложению. Отсюда следует, что линии параллельны также, если равны два внешних накрест лежащих угла, т. е. если имеет место одно из равенства

a = g или b = h (2)



или, если равны два соответственных угла

a = e, b = f, c = g, d = h (3)

или есть какие-либо два внутренних или два внешних односторонних угла составляют вместе 2d, т. е. если

c + f = 2d, или d + e = 2d, или a +h = 2d, или b + g = 2d (4)

Дело в том, что каждое из 12 равенств (1) - (4) влечет за собой все остальные 11. Мы приходим, таким образом, к теореме, которая вытекает, главным образом, из предложения, связанного с равенством (1)

Теорема. Если при пересечении двух прямых, лежащих в одной плоскости, третьей имеет место одно из равенств (1) - (4), то эти прямые параллельны.

Эта теорема разбита у Евклида на два предложения: двадцать седьмое и двадцать восьмое, которые в совокупности составляют так называемую прямую теорию параллельных линий; она устанавливает 12 равенств, каждое из которых достаточно для того, чтобы две прямые, расположенные в одной плоскости, были параллельны; она доказывается на основе предыдущих предложений, главным образом на основе теоремы о внешнем угле треугольника (шестнадцатое). В таком виде эти предложения излагаются во всех элементарных учебниках геометрии. Возникает обратный вопрос: если известно, что две прямые параллельны, то можно ли утверждать, что имеют место равенства (1) - (4)? Можно ли утверждать, что каждое из этих равенств выражает не только достаточное, но и необходимое условие параллельности двух прямых? Справедлива ли теорема, обратная предыдущей?

Мы привыкли к тому, что за доказательством каждой теоремы следует доказательство обратной теоремы, если только она справедлива. Так как и в этом случае, справедливость обратной теоремы не вызывала сомнений, то было естественно искать ее доказательство. История науки знает ряд вопросов, проблем, разрешение которых долгое время представляло камень преткновений для математической мысли. Простейшие из этих проблем возникли еще к глубокой древности. К числу таких недоступных задач принадлежало также требование доказать обратную теорему в учении о параллельных линиях, т. е. выполнить это доказательство теми же средствами, которыми доказаны предыдущие 27 предложений а «Началах» Евклида. Не подлежит сомнению, что такое доказательство усердно искали уже до Евклида, и это не удавалось. Подобно Александру Македонскому, Евклид решил разрубить гордиев узел: он принял обратное предложение за постулат, подлежащий в качестве такового приобщению к первым четырем постулатам. Согласно этой установке, каждый, приступающий к изучению геометрии должен был признать, что при пересечении двух параллельных линий третьей необходимо должны иметь место равенства (1) - (4); т. е. собственно принять нужно было только, что при пересечении двух параллельных линий третьей имеет место хотя бы только одно из равенств (1) - (4), так как каждое из них влечет за собою остальные. Евклид принимает, что при пересечении двух параллельных линий третьей имеет место какое-либо одно из равенств (4). Таким образом, Евклид принимает в качестве постулата, что при пересечении двух параллельных прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 2d, или - что, очевидно, то же - если при пересечении двух прямых, лежащих в одной плоскости, третьей сумма внутренних односторонних углов не равна двум прямым, то эти прямые не параллельны, они неизбежно пересекаются. Таков дополнительный постулат, который Евклид вводит, которым он пользуется, начиная с 29 предложения первой книги. Чтобы в этом узловом пункте быть вполне точным, нужно остановиться еще на одной детали. Из теоремы о внешнем угле непосредственно вытекает, что сумма двух углов треугольника никогда не может превысить 2d. Это и составляет содержание следующего семнадцатого предложения. В самом деле, если A и B внутренние углы

треугольника ABC при основании AB, А1 и В1 - соответствующие смежные углы, то сумма четырех углов

А + А1 + B + B1 = 4d

Но так как

А < B1, B < А1

то на сумму А + B приходится меньше половины суммы всех четырех углов, т. е.

A + B < 2d.

Это можно выразить так: если две прямые AC и BC пересекаются в точке C, то пересечению всегда имеет место с той стороны секущей AB, с которой сумма внутренних односторонних углов меньше 2d.

Теперь мы можем привести постулат о параллельности точно в той форме, в которой мы его находим в «Началах» Евклида.

Постулат V. Если при пересечении двух прямых лежащих на одной плоскости третьей сумма внутренних односторонних углов меньше 2d, то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше 2d.

Так возник знаменитый постулат, послуживший отправной точкой разветвления геометрии.

Геометрия, таким образом, с этого места разветвляется, распадется на две части: первую часть образуют те предложения, которые от постулата не зависят: их совокупность в настоящее время называют абсолютной геометрией; вторую составляют предложения, которые, как уже было ясно Евклиду, без этого постулата доказаны быть не могут; эти последние образуют так называемую собственно евклидову геометрию.

Вследствие своеобразного характера V постулата на нем было особенно сосредоточенно внимание комментаторов. Его часто заменяли другим эквивалентным ему постулатом, который казался более простым. Так, английскому математику Плейферу приписывают следующую формулировку постулата.

Постулат Плейфера: Через точку C, лежащую вне прямой AB, в плоскости ABC проходит только одна прямая, не встречающая AB.

Вообще у V постулата имеется огромное количество эквивалентных формулировок, многие из которых кажутся довольно очевидными. Вот некоторые из них:

- Существует прямоугольник (хотя бы один), то есть четырёхугольник, у которого все углы прямые.

-Прямая, проходящая через точку внутри угла, пересекает по крайней мере одну его сторону (аксиома Лоренца, 1791).

-Через каждую точку внутри острого угла всегда можно провести прямую, пересекающую обе его стороны.

-Если две прямые в одну сторону расходятся, то в другую - сближаются.

-Сближающиеся прямые рано или поздно пересекутся.

- Перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой непременно пересекаются (аксиома Лежандра).

- Точки, равноудалённые от данной прямой (по одну её сторону), образуют прямую,

-Если две прямые начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем начали (в ту же сторону, без пересечения) расходиться (аксиома Роберта Симсона, 1756).

-Сумма углов одинакова у всех треугольников.

-Существует треугольник, сумма углов которого равна двум прямым.

-Две прямые, параллельные третьей, параллельны и друг другу (аксиома Остроградского, 1855).

-Прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, непременно пересечёт и другую.

Эквивалентность их означает, что все они могут быть доказаны, если принять V постулат, и наоборот, заменив V постулат на любое из этих утверждений, мы сможем доказать исходный V постулат как теорему.



4. Примеры доказательства пятого постулата

В.Я. Буняковский делит доказательства постулата о параллельных на четыре категории. Обратимся к доказательствам, которые входят в классификацию В.Я. Буняковского.

1 категоия: Доказательства, в которых содержатся прямые ошибки.

2 категория: Первую и основную категорию доказательств постулата о параллельных линиях по Буняковскому образуют те, которые непосредственно или после ряда предвари тельных построений явно или неявно делают допущение, эквивалентное постулату Евклида. К этой категории принадлежит значительное большинство доказательств постулата.

3 категория: К третьей категории Буняковский относит доказательства, основанные на так называемом принципе однородности. Этот принцип заключается в том, что отрезок никогда не может определяться углами. Так, например, в треугольнике сторона с не может быть функцией его углов, т. е. не может иметь, место равенство вида:

( A,B,C).

4.1 Доказательства Валлиса

Первый пример

В 1663 г. в Оксфордском университете профессор Дж. Валлис прочел лекцию, содержавшую доказательство постулата о параллельных.

Нужно доказать, что перпендикуляр и наклонная к секущей непременно пересекаются со стороны острого угла Опустим из точки луча на прямую перпендикуляр, который упадёт в точку со стороны острого угла. Построим треугольник , подобный треугольнику при отношении сходственных сторон, равном, тогда сторона будет равна . Если приложим треугольник C'A'E' к прямой АС с надлежащей стороны так, чтобы сторона его C'A' совпала с отрезком АС, то прямые A E' и C E' пойдут соответственно по АВ и СD, и точка E' упадет в точку Е, в которой перпендикуляр АВ пересечется с наклонной СF.

Рассуждение кажется безукоризненным, но оно предполагает, что каждому треугольнику соответствует подобный ему треугольник при любом отношении подобия. Но такое допущение даже шире постулата Евклида, т.к. из существования подобных треугольников следует постулат Евклида и вся его геометрия.

Второй пример

«Пусть АВ и CD будут прямые, пересекающие неограниченную прямую ACF и образующие с нею по одну сторону внутренние углы ВАС и DCА, которые вместе составляют меньше двух прямых.

Я утверждаю, что прямые АВ и CD при неограниченном продолжении встречаются и именно с той стороны прямой AF, с которой лежат эти два угла.

В самом деле, представим себе, что прямая АС, расположенная между ними на неограниченной прямой ACF, прямолинейно по ней передвигается. Положим, далее, что прямая АВ, опирающаяся на АС, движется вместе с этим отрезком, сохраняя угол ВАС, до тех пор пока , т. е. движущаяся прямая АВ, встретит прямую CD в некоторой точке . Тогда есть треугольник, и существует другой подобный ему треугольник любой величины. Поэтому на отрезке СА (как на основании) можно построить треугольник, подобный треугольнику, с основанием СА. Пусть это выполнено и PCА есть этот треугольник».

Авторы доказательства постулата о параллельных линиях естественно стараются обеспечить себя от возможных возражений; при этом они очень часто входят в пространные рассуждения о совершенно тривиальных вещах, которыми правильность вывода совершенно не нарушается. Мы опускаем такого рода тривиальные соображения Валлиса и воспроизводим продолжение доказательства .Так как PCА есть треугольник, то стороны СР и АР (по определению треугольника) встречаются в точке Р; а так как

треугольник РСА подобен треугольнику (по построению), то- каждый угол одного треугольника равен соответствующему углу другого треугольника (согласно определению подобных прямолинейных фигур). В соответствии с этим РСА равен углу, т. е. DCA, и прямая СР лежит на продолжении прямой CD ибо, если бы прямая CD лежала по одну или другую сторону от (СP), то РСА был бы больше или меньше DCА, между тем как равенство их доказано.

Точно так же угол РАС равен углу. Но тому же , т. е. , равен BAF или ВАС, а потому ВАС равен РАС. Следовательно, прямая АР лежит на продолжении прямой АВ (если бы она лежала по одну или другую сторону ее, то ВАС и РАС не были бы равны, между тем как равенство их доказано).

Таким образом, прямая АР совпадает с продолжением прямой АВ. Совершенно так же СР и продолжение CD образуют прямую. Но, как уже было показано, АР и СР встречаются в точке Р; поэтому встречаются и продолжения прямых АВ и CD и именно в этой точке Р, т. е. с той стороны прямой ACF, с которой лежат два угла, составляющие меньше двух прямых, что и требовалось доказать.

Это доказательство я провел по самым строгим правилам, по образцу Евклида, чтоб даже и строгий судья не мог мне сделать упрека в его неполноценности. Однако, я совершенно не порицаю Евклида за то, что он не дал доказательства: напротив, я не имел бы ничего против того, чтобы он ввел еще большее число недоказанных постулатов, например, если бы он (вместе с Архимедом) постулировал, что прямая линия короче всех линий, проходящих между теми же концами; ему бы тогда не пришлось излагать 19 предложений, раньше чем доказать, что две стороны треугольника, вместе взятые, больше третьей, и многое другое, что само по себе очевидно».

Существенная заслуга Валлиса заключается в том, что он четко формулирует то допущение, которое в его рассуждении заменяет постулат о параллельных линиях. В отличие от многих других авторов, которые делают то или иное допущение молчаливо, скрывая это от себя и от читателя, Валлис высказывает убеждение, что без специального постулата учение о параллельных линиях обойтись не может. Валлис обнаружил, что допущение существования подобных фигур эквивалентно постулату Евклида; в этом -- значение его рассуждений. Саккери, анализируя доказательство Валлиса, уточнил этот результат; он показал, что достаточно принять существование двух подобных неравных треугольников, т. е. одной пары треугольников, которые имеют соответственно равные углы, но неравные стороны, чтобы доказать евклидов постулат.



4.2 Доказательство Прокла

То, что он, собственно, считает доказательством постулата, изложено следующим образом:

«Те, которые желают получить доказательство, должны быть осведомлены, что оно предполагает аксиому, которой пользовался Аристотель в своем доказательстве конечности мира; именно, если из одной точки выходят две прямые, то при неограниченном их продолжении расстояние между ними становится больше любой конечной величины. Он (Аристотель) указывает, что при продолжении бесконечных прямых линий от центра (от точки их пересечения) к периферии расстояние между ними также будет бесконечно; ибо если бы оно было только конечным, то оно все же могло бы быть увеличено, прямые же линии не были бы бесконечны.

Итак (пересекающиеся) прямые линии при неограниченном продолжении удаляются одна от другой на расстояние, которое становится больше любой конечной величины. Принимая это, я утверждаю, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных линий, пересекает также и другую.

В самом деле, пусть аb и cd будут параллельные прямые и пусть прямая efg пересекает аb (черт. 32); утверждаю, что она пересечет также cd. В самом деле, так как мы здесь имеем две прямые линии, которые могут быть неограниченно продолжены от точки f, именно fb и fg, то расстояние между ними превысит любую конечную величину. Следовательно, оно превзойдет величину расстояния между заданными параллельными прямыми линиями. Так как их расстояние становится, таким образом, больше расстояния между параллельными, то fg пересечет cd.

Установив это, мы можем последовательно провести доказательство постулата.

Пусть аb и cd будут две прямые, которые при пересечении с прямой ef образуют с ней углы bef и dfe, составляющие меньше двух прямых. Утверждаю, что прямые пересекутся с той стороны, с которой сумма углов меньше двух прямых. В самом деле, так как hef и dfe составляют меньше двух прямых, то пусть heb будет угол, дополняющий их сумму до двух прямых; продолжим he до точки к. Так как теперь прямая ef пересекает линии hk и cd и образует с ними внутренние односторонние углы, составляющие два прямых, именно hef и dfe, то прямые hк и cd параллельны; аb пересекает kh, следовательно, в силу установленного выше предложения, она пересекает также и cd.

Следовательно, прямые аb и cd встречаются с той стороны, о которой расположены углы, составляющие меньше двух прямых. Поставленная цель, таким образом, достигнута».

Приведенное рассуждение Прокла состоит из трех частей. В первой части Прокл четко оговаривает, что он допускает добавочную аксиому, ведущую свое начало от Аристотеля. Во второй части он при помощи этой добавочной аксиомы доказывает вспомогательное предложение, заключающееся в том, что прямая, расположенная в плоскости двух параллельных прямых и пересекающая одну из них, пересекает также вторую1). Наконец, третья часть посвящена доказательству постулата о параллельных линиях в том виде, в каком он формулирован в «Началах» у Евклида.

Рассуждение Прокла содержит двойную ошибку. Положение, которое он называет «аристотелевой аксиомой» и которое заключается в том, что точки, расположенные на одной стороне угла, по мере удаления от вершины неограничено удаляются от другой стороны угла, отнюдь не должно быть причислено к аксиомам. Оно допускает строгое доказательство, не опирающееся на постулат о параллельных линиях; это доказательство дано Лобачевским в сочинении «Новые начала геометрии», но встречается еще раньше в сочинении Саккери »

Во второй части, при доказательстве вспомогательного предложения, Прокл принимает, что расстояние между двумя параллельными линиями на всем их протяжении остается конечным (можно даже думать, что он считает это расстояние постоянным); это есть допущение, вполне эквивалентное постулату о параллельных линиях. Рассуждение Прокла и сохраняет свое значение потому, что оно устанавливает эквивалентность этих обоих положений.



4.3 Доказательство Нассир-Эддина

Нассир-Эддин предпосылает доказательству постулата три леммы, первую из которых он принимает без доказательства. Содержание их, по существу, заключается в следующем:

Лемма I :а) Если АВ и CD суть две прямые линии, расположенные таким образом, что перпендикуляры EF, GH, KL, опущенные из точек прямой АВ на CD, всегда образуют с прямой АВ неравные углы, которые все время остаются острыми со стороны В и тупыми со стороны А, то прямые АВ и CD, до тех пор, пока они не пересекаются, постоянно сближаются со стороны острых углов и расходятся со стороны тупых углов, т. е. перпендикуляры уменьшаются в сторону точек В и D и возрастают в сторону точек А и С.

б)Обратно, если проведенные таким образом, перпендикуляры становятся короче в направлении к точкам В, D и длиннее в направлении к А, С, так что прямые АВ и CD постоянно сближаются в сторону В, D и расходятся в противоположную сторону, то каждый перпендикуляр образует с прямой АВ два угла, один из которых острый, а другой тупой; при этом все острые углы обращены в сторону точек В, D, а тупые--в противоположную сторону.

Лемма II: Если из концов отрезка АВ восставим к нему перпендикуляры AC, BD и на них отложим равные отрезки AC, BD и проведем прямую DC, то каждый из углов ACD и BDC будет прямым, а отрезок CD будет равен АВ.

Доказательство последней леммы ведется от противного на основе предыдущей леммы. Если, например, ACD не прямой угол, то он либо острый, либо тупой; предположим, что он острый; тогда, согласно лемме I, АС больше BD, что противно условию; и т. д.

Доказав, что углы ACD, BDC прямые, уже нетрудно обнаружить, что отрезки АВ и CD равны.

Лемма III: В каждом треугольнике три угла составляют вместе два прямых. Для прямоугольного треугольника это доказывается на основании предыдущей леммы. В самом деле, если дан прямоугольный треугольник ВАС, то мы строим, как это сделано выше, четырехугольник ABDC, все углы которого, в силу предыдущей леммы, прямые. Диагональ ВС делит этот четырехугольник на два равных треугольника, в каждом из которых внутренние углы составляют, таким образом, вместе два прямых. Вместе с тем теорема справедлива и для любого треугольника, так как всякий треугольник может быть разбит на два прямоугольных треугольника.

Теперь Насир-Эддин переходит к окончательному доказательству V постулата. Здесь возможны три случая:

1) когда один из внутренних односторонних углов, составляющих вместе менее 2d, прямой,

когда они оба острые

когда один из них тупой.

Насир-Эддин обнаруживает, что два последних случая могут быть приведены к первому, и обращается к доказательству теоремы: если одна из двух прямых образует с секущей прямой угол, а Другая-- острый угол, то эти прямые встречаются со стороны острого угла.

Предположим, что прямые А В и CD встречают прямую FCE, образуя с ней прямой угол ECD и острый угол СЕВ. Возьмем на ЕВ произвольную точку G и из нее опустим перпендикуляр GH на ЕС. Так как СEG -острый, то перпендикуляр упадет со стороны точки С; при этом он либо совпадет с перпендикуляром DC, либо не совпадет с ним. В первом случае предложение доказано.

Если GH не совпадет с DC и упадет со стороны точки F, то прямая CD, входя внутрь треугольника, составленного перпендикуляром и прямыми АВ и EF, должна пересечь EG. Пусть, наконец, GH падает со стороны точки Е от прямой CD. Вдоль НС откладываем ряд отрезков НК, KL и т. д., равных ЕН, до тех пор пока точка деления М не упадет за точку С. Вдоль АВ отметим отрезки GN, NO и т. д., равные EG, до тех пор пока отрезок ЕР не станет таким же относительно отрезка EG, каким ЕМ является относительно ЕН, т. е. во столько же раз превзойдет GE, во сколько раз ME превосходит НЕ. В Тогда можно доказать, что перпендикуляры, опущенные из точек N, O,..., Р на прямую EF, падают соответственно в точки К,L,...,М.



В самом деле, проведем первый из этих перпендикуляров из точки N и обозначим его через NS.

Проведем далее отрезок EQ, перпендикулярный к ЕН и равный GH, и на SN отложим отрезок SR, также равный GH. Проведем, наконец, прямые GQ и GR. Тогда, в силу леммы II, углы EQG и QGH будут прямые и QG= EH. Таким же образом и углы SRG и RGH прямые и RG--SH; следовательно, отрезки RG и GQ лежат на одной прямой и углы, противоположные при вершине, NGR и EGQ равны. Углы NRG и GQE прямые, a DJG=GE по построению. Поэтому RG=GQ и вместе с тем SH--НЕ; а так как по построению НЕ--НК, то SH=KH, и точка S совпадает с К. Совершенно такое же рассуждение можно провести и относительно остальных перпендикуляров. Следовательно, прямая РМ перпендикулярна к FE; поэтому прямая CD, будучи параллельна МР й проходя внутри треугольника РМЕ, должна при достаточном продолжении пересечь ЕР».

В обширных рассуждениях, относящихся к V постулату, Саккери посвящает доказательству Насир-Эддина следующие соображения, отчетливо выясняющие несостоятельность этого доказательства. Приведем перевод этих рассуждений Саккери:

«Насир-Эддин требует признания двух положений. Во-первых, что две прямые, расположенные в одной плоскости и встречающие ряд других прямых линий таким образом, что последние постоянно перпендикулярны к одной из них, а другую постоянно пересекают под неравными углами, и именно, по одну сторону с острыми углами, а по другую под тупыми углами,--что такие две прямые, говорю я, до тех пор пока они не пересекаются, постоянно приближаются одна к другой в сторону острых углов и, наоборот, в сторону тупых углов постоянно расходятся.

Если других трудностей ,на его пути нет, я, со своей стороны, охотно признаю это требование Насир-Эцдина, ибо как раз то, что у него остается недоказанным, я самым строгим образом доказал во II приложении к III предложению ).

Второе требование Насир-Эддина представляет собой обращение первого; оно заключается в том, что угол должен в ту сторону, с которой упомянутые перпендикуляры по условию уменьшаются, постоянно оставаться острым, а с противоположной стороны, с которой перпендикуляры возрастают, должен оставаться тупым.В этом кроется недоразумение. Почему углы (считая от некоторого перпендикуляра, принимаемого за первый), будучи первоначально по одну сторону острыми, не могли бы постоянно возрастать, пока мы не дойдем до прямого угла, т. е. до перпендикуляра, который служит общим перпендикуляром обеих названных прямых; и если это наступит, то хитрые построения Насир-Эддина, при помощи которых он весьма остроумно, хотя и с большими усилиями, доказывает евклидову аксиому, сводятся на-нет».



5. Аксиоматика Гильберта

Среди математиков начала XX века одно из первых мест занимает профессор Геттингенского университета Давид Гильберт.

Давид Гильберт ( 23 января 1862 -- 14 февраля 1943)-немецкий математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областей математики. В 1910--1920-е годы (после смерти Анри Пуанкаре) был признанным мировым лидером математиков. Гильберт разработал широкий спектр фундаментальных идей во многих областях математики, в том числе и аксиоматику евклидовой геометрии.

Гильберта система аксиом евклидовой геометрии - система аксиом, предложенная в 1899 Гильбертом.

Основными (неопределяемыми) понятиями в аксиоматике Гильберта являются объекты: точки, прямые и плоскости и отношения между ними, выражаемые словами: «принадлежит», «между», «конгруэнтен». Природа основных объектов и отношений между ними может быть какой угодно, лишь бы эти объекты и отношения удовлетворяли указанным аксиомам.

Система аксиом содержит 20 аксиом, которые разбиты на пять групп.

I группа состоит из восьми аксиом принадлежности (соединения), которые описывают отношение «принадлежит».

I1. Для любых двух точек существует прямая, проходящая через каждую из этих двух точек.

I2. Для двух различных точек существует не более одной прямой, проходящей через каждую из этих двух точек.

I3. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

I4. Для любых трех точек, не лежащих на одной прямой, существует плоскость, проходящая через каждую из этих трех точек. На каждой плоскости лежит по крайней мере одна точка.

I5. Для любых трех точек, не лежащих на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через каждую из этих трех точек.

I6. Если две точки А, В прямой а лежат в плоскости б, то всякая точка прямой а лежит в плоскости б.

I7. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют еще по крайней мере одну общую точку.

I8. Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

II группа содержит четыре аксиомы порядка, описывающие отношение «между».

II1. Если точка В лежит между точкой А и точкой С. то А, B, С - различные точки одной прямой и В лежит также между С и А.

II2. Для любых двух точек А и В на прямой АВ существует по крайней мере одна точка С такая, что точка В лежит между А и С.

II3. Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.

II4 (аксиома Паша). Пусть А, В, С - три точки, не лежащие на одной прямой, и а - прямая в плоскости ABC, не проходящая ни через одну из точек А, В, С. Тогда, если прямая а проходит через внутреннюю точку отрезка АВ, то она проходит также через внутреннюю точку отрезка АС или через внутреннюю точку отрезка ВС.

III группа содержит пять аксиом конгруэнтности, которые описывают отношение «конгруэнтен» (это отношение Гильберт обозначает знаком ?).

III1. Если даны отрезок А В и луч ОХ, то на луче ОХ существует точка В' такая, что отрезок АВ конгруэнтен отрезку ОВ', то есть АВ ? ОВ'.

III2. Если А'В' ? АВ и А''В'' = АВ, то А'В' = А''В''.

III3. Пусть АВ и ВС - два отрезка на прямой, не имеющие общих внутренних точек, а А'В' и В'С' - два отрезка на той же или на другой прямой, тоже не имеющие общих внутренних точек. Тогда, если AB ? A'B' и ВС ? В'С', то АС ? А'С'.

III4. Пусть даны угол АОВ, луч О'А' и полуплоскость П', ограниченная прямой О'А'. Тогда в полуплоскости П' существует один и только один луч О'В' такой, что ?AOB = ?A'О'В'. Кроме того, каждый угол конгруэнтен самому себе.

III5. Если для двух треугольников ABC и А'В'С' имеем: АВ ? А'В', АС? А'С', ?BAC ? ?B'A'C', то ?ABC ? ?A'B'C'.

IV группа состоит из двух аксиом непрерывности.

IV1 (аксиома Архимеда). Пусть АВ и CD -два каких-нибудь отрезка. Тогда на прямой АВ существует конечное множество точек А1, А2, ..., Аn таких, что точка А1 лежит между А и А2, точка А2 лежит между A1 и A3 и т. д., причем отрезки АА1, А1А2, ..., Аn-1Аn конгруэнтны отрезку CD и В лежит между А и A1.

IV2 (аксиома Кантора). Пусть на какой-либо прямой а дана бесконечная последовательность отрезков A1B1, А2В2, ..., удовлетворяющая двум условиям: а) каждый последующий отрезок есть часть предыдущего, б) для любого наперед заданного отрезка CD найдется натуральное число n такое, что AnBn <CD. Тогда на прямой а существует точка М, принадлежащая каждому из отрезков этой последовательности.

V группа содержит одну аксиому о параллельных. Пусть даны прямая а и точка А, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой прямой а и точкой, существует не более одной прямой, проходящей через точку А и не пересекающей прямую а.



Заключение

В течение всей моей работы я ответила на все поставленные мною раньше вопросы, прочитала литературу, познакомилась с некоторыми доказательствами пятого постулата, поняла, что все попытки были безуспешны, т. к. в процессе доказательства применялись элементы теории параллельности Евклида. Узнала, почему геометрия разделилась на евклидову и геометрию Лобачевского. И то, что пятый постулат сыграл большую роль и стал отправной точкой для разделения геометрии.

Размещено на Allbest.ru

...